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平面向量的概念教案一、教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解平面向量的概念，掌握平面向量的基本运算法则，并能够熟练进行向量的相加、相减、数量乘法等运算。
2. 过程与方法：通过例题演练，培养学生独立思考、分析问题、解决问题的能力；通过实际应用，加深学生对平面向量概念的理解和运用。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，形成积极的学习态度，提高解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点：重点：平面向量的概念及基本运算法则。
难点：向量的数量乘法及在平面向量应用中的解决问题。
三、教学步骤：1. 导入新课：通过提问和引导学生联想等方式，引出向量的概念。
例如：什么是向量？向量有哪些性质？向量在生活中的应用等。
2. 确定学习目标：向学生解释接下来我们要学习平面向量，所以我们需要了解什么是平面向量及其基本性质，以及平面向量的加法、减法和数量乘法等基本运算，掌握这些内容。
3. 学习新知识：向学生详细讲解平面向量的定义、表示方法、平行向量、零向量、共线向量等基本概念和性质。
并讲解平面向量的基本运算法则，如向量的加法、减法、数量乘法等。
4. 练习与巩固：布置练习题，让学生积极参与，巩固学习内容。
5. 拓展应用：引导学生通过实际问题，运用平面向量的概念进行解决问题，提高学生的综合运用能力。
6. 总结归纳：通过本节课学习，对平面向量的概念和基本运算法则进行归纳总结，巩固所学知识。
四、教学手段：1. 教师讲解2. 学生讨论3. 课堂练习4. 实例演练五、教学资源：1. 教科书2. 多媒体课件3. 平面向量的实际应用例题材料六、教学反馈：1. 教师在学习过程中及时纠正学生的错误认识和解题方法。
2. 布置练习题，检验学生学习效果，及时发现学生的问题。
七、教学设计理念：通过让学生参与讨论和思考，培养其分析问题、解决问题的思维能力；通过实例演练，加深学生对平面向量概念的理解和运用；通过应用实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题的能力。
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1. 向量的概念把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a ,b ,c ,...等，在书写时，则在小写西文字符的上方加一个小箭头，例如a ,b ,c,...等．如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a |,|b |,|c |,...或|a |,|b |,|c|,...．特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e ．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量表示成如图9-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图9-2(1))，此时可以以AB ,CD ,11C B 等表示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB |,|CD |,|11C B |．由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．例1 设矩形ABCD 的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？课内练习11. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？2. 向量的比较 (1)向量相等任意两个数量a ,b 都可以比较，其关系不外乎相等(a =b )或不相等(a ≠b )两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a ,b 的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a ,b 的大小相等、方向相同时，才能说a ,b 相等，并表示成a =b ；否则a , b 就不相等(a ≠b )．在例1中的相等向量有且仅有 AB =DC , BA =CD , BC =AD , CB =DA ，更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a ,b 有相同的方向，且|a |>|b |，我们仍然只能说向量a 的模大于向量b 的模，而不能说向量a 大于向量b ．c a 图7-2(1)b D C 图7-2(2)B AB 1C 1若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是AD？为什么？(2)相反向量对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：AB=-BA, BC=-CB, DC=-CD, DA=-AD, AC=-,CA, BD=-DB．例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、四次位移．(3)平行向量若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．规定零向量平行于任意向量.根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a 的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量．例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．课内练习21. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理的解释．小结作业第3题图F1x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：(1)向量的加法运算 向量加法运算的法则．向量a 加向量b 的结果a +b 是按照下列法则生成的一个向量c ：把b 的始点移到a 的终点后、从a 的始点连到b 的终点．记作 c =a +b ．与数量相加一样，把a 叫做被加向量，b 叫做加向量，c 叫做和向量．在a ,b 不平行的情况下，c 是重合a ,b 的始点、以a ,b 为邻边组成的平行四边形的对角线向量，其指向与a ,b 同侧(平行四边形法则，见图9-9(1))； 也是是以a 的终点作为b 的始点所组成的三角形的 第三边向量(三角形法则，见图9-9(2))．对于三角形 法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连． 例4 用两种方法作出图9-10(1)中向量a ,b 的和向量c ．解 (1)按平行四边形法则，把的始点移到同一点构成一个以为相邻边的平行四边形，对角线向量即为和向量c ． (见图9-10(2)) (2)移b 的始点到a 的终点，从a 的始点连向b 的终点的向量即为和向量c (见图9-10(3))． 例5 (1)若b =-a ，求c =a +b ； (2)若a ,b 平行，求c =a +b ． 例6 已知向量a ,b , c , d 如图9-12，求f =a +b +c +d ．解 逐次应用向量加法的法则—— 移加向量的始点到被加向量的终点，从被加向量的始点连向加向量的终点，得 到和向量f 如图9-12所示，其中虚线表 示的向量，从左向右依次是a +b , a +b +c ． 课内练习31. 请举一个向量相加的实际问题．2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？3. a +(-a )=0，因此|a |+|-a |=0，这个结论正确吗？一般地，c =a +b ，因此|c |=|a |+|b |，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？4. 矩形ABCD 如图，试求 AB +BC ,BC +AB ,BA +BC ,BA +CB 得到的和向量之间有哪些关系？5. 矩形ABCD 如第4题，求图9-9(1) 图9-9(2) 图9-10(3) a b • b c图9-10(2) ab 图9-10(1) 图9-12 a b dca bcd f 第4题图A B CD(AB +BC )+CD ,AB +(BC +CD ),AB +BC +DC ,BA +BC +DA ．得到的和向量之间有哪些关系？数量加法运算满足交换律(a +b =b +a )、结合律(a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c ))，向量的加法运算同样满足交换律和结合律a +b =b +a ， a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c )， (2)向量的减法运算如同数量a ,b 相减a -b ，是被加数a 与加数b 的相反数-b 相加一样，所谓向量a ,b 相减a -b ，实际上是向量a 与向量b 的相反向量-b 相加，即a +(-b )．应用向量加法法则，可以得出向量减法运算的法则．图9-13(1)中是已知向量a ,b ；图9-13(2)显示了a +(-b )；图9-13(2)显示了 a -b 的直接运算法则，法则的文字表述是：a -b 的结果是一个向量c ， 把a ,b 的始点移到同一点，从b 的终点连向a 的终点的向量就是c (三角形法则) 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减．记作 c =a -b ．a 叫做被减向量，b 叫做减向量，c 叫做差向量．例7 在∆ABC 中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使CA 是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 例8 在∆ABC 中，若边向量为AB ,AC ,BC ，求 (1)a =AB +BC +AC ；(2)求b =AB -BC -AC ．课内练习41. 在∆ABC 中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使AB 是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？2. 在矩形ABCD 中的边向量为AB ,BC ,CD ，求(1)a =AB -BC ；(2)b =BC -AB ；(3)c =CD -BC ；(4)d =AB -BC - CD ．因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如 a -b =-b +a ，a -b -c =a -c -b =a -(b +c )． (3)向量的数乘运算在数量运算中，若a =2，b 是a 的两倍，则b =2a ．在例8向量运算中，我们两次都遇到a =AC +AC ,b =CB +CB 这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a =2AC , b =2CB 呢？这完全取决与如何规定2AC ,2CB 的含义，若规定它们的含义确实与图9-13(1) a b图9-13(2) -ba -b a c图9-13(3)AC+AC,CB+CB相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义：一个实数α乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模|α|倍，即|b|=|α|⋅|a|；b的方向当α>0时与a的方向相同，当α<0时与a的方向相反．记作b=α⋅a或b=αa，把向量的这种运算叫做向量的数乘运算．根据向量数乘运算的这种规定，立即可知-a=-1⋅a，a+a=2a，-a-a=-2a．把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律：(α+β)a=αa+βa，α (a+b)=αa+αb，其中α,β是任意实数，a,b是任意向量．根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数α，使b=α⋅a（a≠0），则a与b是平行向量；反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数α，使b=α⋅a（a≠0）．例8 设c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c．解h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a)=2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b．例9 ∆ABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为∆A1BC1，求边A1C1的长(见图9-15)．课内练习51. 已知向量a，作出向量-2a, 3a．2. 已知向量a的模为s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模．3. 设c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f-3d-3g-2b．4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行．当甲行进2km、乙行进6km时两人相距4km，问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km时，两人相距多少？小结：作业：x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1．平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量设在平面上已经建立了一个直角坐标系{xOy }．方向为x 轴正向的单位向量i 、方向为y 轴正向的单位向量j 叫做该坐标系的坐标基底向量(见图9-16)．(2)平面向量的直角坐标在坐标平面上给定了向量 a ，平移其始点到原点后(见图7-17)，设其终点A 的坐标为(x ,y )．把(x ,y )叫做向量a 的坐标，记作 a =OA =(x ,y )．若向量a 的坐标为(x ,y )，则其模可以用坐标表示为 |a |=22y x + (7-2-1) 坐标基底向量也有其坐标，分别是i =(1,0), j =(0,1)．以原点O 为始点、点A 在x ,y 轴上的投影为终点，是两个分别平行于i , j 的向量，根据向量加法定义，有a =x i +y j ， (7-2-2)即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合． 因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a ，直接在a 上作分解(见图7-17)．例如从图7-18，我们就可以直接看出AB =i -2j =(1,-2)．课内练习11. 写出图9-18中向量OP ,EF ,CD 的坐标，并求它们的模．2. 向量关系的坐标表示向量之间有相等、相反、平行(共线)等关系．当知道了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单．(1)相等：若a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)，则a =b ⇔ a 1=a 2, b 1=b 2．即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等． (2)相反：若a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)，则 a =-b ⇔ a 1=-a 2, b 1=-b 2．即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量相反．(3)平行(共线)：向量a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)平行 ⇔ 移a ,b 的始点到原点后，它们的终点A ,B 与原点共线 ⇔ ∆OA 1A ∽∆OB 1B (见图7-19) ⇔ 2121b b a a =．所以两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必图7-17图9-18 Ojyix图7-16图7-19定对应成比例．例1 已知向量a =(2,-1)，当x 为多少时，向量b =(x ,2)与a 平行？ 解 a //b ⇔ 212-=x ⇔ x =-4．所以当x =-4时a //b ．课内练习21. 根据向量坐标，判断下列向量中存在的共线：a =(2,-1),b =(-2, 1),c =(-6, 3),d =(42,-21),e =(2,-1),f =(8,-4),g =(-2,-1)． 2. 已知向量a =(9,-4)，当y 为多少时，向量b =(-12,y )与a 平行？3．平面向量运算的直角坐标表示把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2)，即可得向量运算的坐标表示．(1)数乘：设a =(x ,y )，即a =x i +y j ，b =λa ，则 b =λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j =(λx ,λy )，即 λa =λ(x ,y )=(λx ,λy )． (7-2-3) 即向量a 数乘λ后所得向量的坐标，是a 的纵、横坐标的λ倍． (2)加减法：设a =(a 1,b 1)，b =(a 2,b 2)，则 a =a 1i +b 1j ，b =a 2i +b 2j ，a +b =(a 1i +b 1j )+(a 2i +b 2j )=(a 1+a 2)i +(b 1+b 2)j ，即 a +b =(a 1+a 2, b 1+b 2)． (7-2-4) 同理也有a -b =(a 1-a 2, b 1-b 2)． (7-2-5) 所以向量a , b 的和、差向量的坐标，等于a , b 的坐标对应的和、差．(3)给定始终点的向量的坐标向量a =AB ．若已知点A ,B 在坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(见图7-20)， 则 OA =(x 1, y 1),OB =(x 2, y 2)，AB =OB -OA =(x 2-x 1,y 2-y 1)． (7-2-6)所以给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐标．例2 已知a =(1,-2), b =(2,3)，求a + b , a - b , 2a -3b ．例3 已知A (1,2), B (-2,1)，求AB ,BA ．解 应用公式(10-2-6)， AB =(-2-1,1-2)=(-3,-1)；BA =(1-(-2),2-1)=(3,1)． 例4 已知平行四边形ABCD 的顶点坐标A (1,1), B (2,3),C (-1,4)(见图7-21)，求顶点D 点坐标．例5 已知A (2,3),B (-2,5),且AB =2AC ，求C 点的坐标．例6 某人第一天按图9-23所示方向、以速度5km/h 步行3 小时到达A 处；第二天又按图9-23所示方向、以速度15km/h 骑了 3小时自行车到达B 处．问B 离此人出发点的直线距离是多少？x图7-20 y O ABxB ODCAy 图7-21课内练习21. 已知a=(-1,2),b=(2,-2),求a+b,a-b,-a+2b．2.已知a=(-2+x,4),b=(-3,-1-y),且a=b,求x,y．3.根据下列条件求AB与BA的坐标：(1)A(-1,0), B(2,-1)；(2)A(-2,1), B(3,1)；(3)A(2,1), B(0,-2)；(4)A(-2,4), B(-3,8)．4. 已知平行四边形ABCD的A(1,0),B(2,5),C(-1,1),求D点坐标．5.已知A(6,-3),B(3,-5),且AB= -2AC，求C点的坐标．小结：作业：x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1. 向量的数量积(1)平面向量所成的角给定两个非零平面向量a ,b ，移它们的始点到同一点，以表示向量的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a ,b 所成的角，记作(a ^b )(见图7-25)；为了使两个非零向量所成的角唯一，规定0≤(a ^b )≤π．零向量0与任何向量所成的角认为可以任意．为了方便有时也把(a ^b )叫做向量之间的夹角．从向量所成角定义，立即可知(a ^b )=0 ⇔ a //b (即a ,b 共线)；(a ^b )= π ⇔ a =-b (即a ,b 互为相反向量)． 特别地，当(a ^b )=2π，则我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． (2)向量的数量积已知向量a ,b ，a ,b 的数量积是一个以下式定义的数量： a ⋅b =|a ||b |cos(a ^b )其中(a ^b )表示向量a ,b 之间所成的角．向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别．这种区别在运算方面的体现，是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算．这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积．例1 求下列向量的数量积：(1)|a |=5,|b |=4, (a ^b )=23π，求a ⋅b ； (2)a =(3,4),|b |=21, (a ^b )=2π，求a ⋅b ； (3)a =(3,4), b =(-3,-4)，求a ⋅b ； (4)a =(1,3)，求a ⋅a ； (5)a =0，b =(x,y)，求a ⋅b ． 课内练习11. 求下列向量的数量积：(1)|a |=2,|b |=8, (a ^b )=4π，求a ⋅b ； (2)a =(1,3),|b |=31, (b ^a )=2π，求a ⋅b ； (3)a =(-3,-2), b =(3,2)，求a ⋅b ； (4)a =(5,3)，求a ⋅a ； (5)a =(10,y)，b =0，求a ⋅b ．(3)向量数量积的基本运算法则根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则：①交换律：a ⋅b =b ⋅a ；②数乘分配率：(λa )⋅b =a ⋅(λb )=λ(a ⋅b )，(任意λ∈R )；③分配率：(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c ．例2 设AB =(3,-1), |CD |=2, θ=(AB ^CD )=3π，求 (1)(2AB )⋅(3)；(2)(AB +2CD )⋅AB ；(3)(-4AB )⋅(AB +2)．课内练习21．已知|a |=4, |b |=3，a 与b 的夹角为65π，求(2a -b )⋅(a +2b )． 2．已知A (-1,2),B (1,4)，|CD |=4, θ=(AB ^CD )=3π，求 图7-25(1)AB ⋅(3CD )；(2)(2AB +)⋅AB ；(3)AB ⋅(-AB +2)．(4)向量数量积的基本结论从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的． ①a ⊥b ⇔ a ⋅b =0；②当a //b 且同向时，a ⋅b =|a ||b |；当a //b 且方向相反时，a ⋅b =-|a ||b |；③a ⋅a =|a |2，所以|a ；④cos(a ^b )=||||b a b a ⋅⋅． (7-3-2) 最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用．例3 已知|a |=4, |b |=5，分别在下列条件下求a ⋅b ： (1)a//b ； (2)a ⊥b ．例4 已知|a |=2, |b |=4，a b =-6，求(a ^b )的余弦值．课内练习31. 已知a //b ，|a |=1, |b |＝2，求 a ⋅b ．2. 下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由：(1)0⋅a =0；(2)|a |=a ⋅a ；(3)a ⋅b =|a ||b |；(4)a ⋅b =|a ⋅b |；(5)|a ⋅b |=|a ||b ||cos(a ^b )|；(6)(a ⋅b )(a ⋅b )=(a ⋅a )(b ⋅b )=|a |2|b |2；(7)a //b ⇔ 存在实数λ，使a ⋅b =λ|a |2；(8)(a +b )⋅(a -b )=|a |2-|b |2；(9)(a +b )⋅(a -b )=a 2-b 2．3. 已知|a |=1, |b |=4, a ⋅b =，求(a ^b )．2．平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化(即求出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积．首先考察坐标基底向量i , j 的数量积，有i ⋅i =1；i ⋅j =j ⋅i =0；j ⋅j =1． (4)现设向量 a , b 的坐标为a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，即a =x 1i +y 1j ,b =x 2i +y 2j ，则 a ·b =(x 1i +y 1j )·( x 2i +y 2j )=x 1x 2i ·i +y 1y 2j ·j +x 1y 2i ·j +y 1x 2j ·i ，即 a ·b =x 1x 2+y 1y 2． (7-3-3) 这就是说，两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和．以坐标表示向量数量积的基本公式③，能得到我们熟知的一些公式：设a =(x ,y )，则a ·a =|a |2=x 2+y 2，即向量模公式 |a |=22y x +；特别地当a =AB ，且起终点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为已知时，由AB =(x 2-x 1,y 2-y 1)，即得 |a |=|AB |=212212)()(y y x x -+-，此即为两点间的距离．例5 求下列向量的数量积：(1)a =(2, -1), b =(3, 1)，求a ·b ；(2)c =(-1, -1), d =(1, -1)，求c ·d ．例6 已知a =(1, 2), b =(-2, 3)，求(a +b )⋅(a -b ), (a - b )⋅(2a +b )．例7 (1)已知a =(-2, 6), a ·b =-6，设b =(6, y )，求y ；(2)已知a =(2,2), (a ^b )=4π, |b |=2，求b 的坐标． 课内练习41. 求下列向量的数量积：(1)a =(-2, 1), b =(3, -1)，求a ·b ；(2)c =(4, -1), d =(2, -1)，求c ·d ．2. 已知a =(2, -1), b =(-1, 5)，求(2a +b )⋅(2a -b ), (a -2b )⋅(2a +b )．3. 设a =(x , 6), a ·b =-6, b =(2, -1)，求x ．4. 已知|a |=1, (a ^b )=43π, b =(-1,2)，求a 的坐标． (2)平面向量所成角的计算公式把(9-3-3)向量模计算公式代入已有的向量所成角计算公式(7-3-2)，得 cos(a ^b )=222221212121y x y x y y x x +⋅++． (7-3-4)直线间夹角或向量间所成角的计算，一直是令人头痛的事．(7-3-4)表明，只要知道向量的坐标，就能计算出它们之间的所成角，是今后计算的主要手段．特别地，从向量数量积基本结论①和(7-3-4)，还能得到a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0， (7-3-5)这也是用来判定向量垂直的主要手段之一．例8 求向量a 与b 所成角：(1)a =(2,1) , b =(3,-1)；(2)a =(2,-1) , b =(-3,-1)．例9 已知点A (1,2)，B (2,3)，C (-2,5) ．求证∠BAC =2π． 课内练习51．求求向量a 与b 所成角：(1)a =(-1, 2), b =(2, 3)；(2)a =(-1,-2), b =(2, -5)．2. 证明以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形：(1) A (-1, - 4), B (5, 2), C (3, 4)；(2)A (-2, -3), B (19, 4), C (-1,-6)．3. 已知a =(4, 2), b =(-3,-3)，当k 为何值时，a +b 与k a +2b 垂直？4. 已知点A (0,1), B (5,2)，求点P (x ,y )，使PA ⊥PB 且PA =PB ．小结：作业：。
7.1.1 位移及向量的表示【教学目标】1. 了解有向线段的概念，理解并掌握向量的有关概念和向量相等的含义．2. 会用有向线段表示向量，并能根据图形判定向量是否平行、相等．3. 通过教学培养学生数形结合的能力．【教学重点】向量的概念．【教学难点】向量的概念．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．从物理背景和几何背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，归纳、概括向量的有关概念，使学生容易理解．同时结合习题让学生加深对相等向量的理解．【教学过程】教师结合教材图7-1，引导学生体会用有向线段可以表示位移这样具有大小和方向的向量．让学生画有向线段描述位移：“北偏东45，3个单位”．教师给出向量表示法．让学生在自己画好的向量上标注→AB或→a．小写字母a，b，c，…来表示，书写时，则常用带箭头的小写字母→a，→b，→c，…来表示．3．自由向量只有大小和方向，而无特定的位置．4．向量的两要素大小及方向．5．相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．如上图中，有向线段→AA，→BB，→CC都表示同一向量→a，这时可记作→AA＝→BB＝→CC＝→a．例如图所示，设O 是正六边形ABCDEF的中心，分别写出及向量→OA，→OB，→OC相等的向量．解→OA＝→CB＝→EF＝→DO；→OB＝→FA＝→DC＝→EO；→OC＝→AB＝→ED＝→FO．45北AABBCCAB CDEFO练习一已知D ，E ，F 是△ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，分别写出及→DE ，→EF ，→FD 相等的向量．6．向量的模已知向量 →AB ，则有向线段→AB 的长度，叫做向量→AB 的长度 (或模)，记作 |→AB |．7．零向量长度等于零的向量，记作→0．零向量的方向是不确定的．8．共线向量（或平行向量）如果表示一些向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则称这些向量平行或共线．平行向量方向相同或相反，向量→a 平行于向量→b ，记作→a //→b ．我们规定：零向量及任一向量平行，即对任一向量→a ，都有→0//→a ．9．位置向量问题2 如何用向量确定平面内一点的位置？任给一定点O 和向量→a ，过点O 作有向线段→OA ＝→a ，则点A 相对于点O 的位置被向量→a 所唯一确定．这时向量→OA 通常称作点A 相对于点O 的位置向量．例如→OA =“东偏南50，114km ”就表示师：线段长度可以比较大小，向量可以吗？教材图7-3中|→AA |=？学生熟悉向量的模的记法 并思考回答问题．学生辨别0及→0的不同．教师给出共线向量概念． 学生辨析向量平行及直线平行的区别以及相等向量及共线向量的不同．教师引导给出位置向量概念．师：有了位置向量的概念，我们就可以利用位置向量确定一点相对于另一点的位置，这样，我们就可以用向量来研究几何了．天津相对于北京的位置．练习二在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60，3 cm”处，Q在点O“南偏西30，3 cm”处，画出点P和Q相对于点O的位置向量．7.1.2 向量的加法【教学目标】1. 理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律．2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．【教学难点】对向量加法定义的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．创设问题情境，激发学生的好奇心及求知欲．并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．【教学过程】7.1.3 向量的减法【教学目标】1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．【教学重点】向量减法的三角形法则．【教学难点】理解向量减法的定义．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．【教学过程】7.2 数乘向量【教学目标】1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．2. 理解并掌握平行向量基本定理．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】数乘向量运算及运算律及平行向量基本定理．【教学难点】对数乘向量定义及平行向量基本定理的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．【教学过程】到原来的 2 倍．练习一任作向量 a ，再作出向量－3a ，12a ，－13a ，并说出它们的几何意义．3．数乘向量运算的运算律 设 λ，μR ，有： (1) (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (2) λ(μa )＝(λμ)a ； (3) λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．请观察，数乘向量运算律及实数乘法运算律有什么相似之处？例1 计算下列各式： （1）(－2) 12a ； （2）2(a ＋b )－3(a －b )； （3）(+)(a －b )－(－)(a+b ) ．解 （1）(－2)12a ＝(－2 12) a ＝－a ； （2）2 (a ＋b )－3 (a －b ) ＝2 a －3 a ＋2 b ＋3 b ＝(2－3) a ＋(2＋3) b ＝－a ＋5 b ． （3）(＋)(a －b )－(－)(a ＋b ) ＝(＋)a －(＋)b －(－)a －(－)b ＝(＋－＋)a －(＋＋－)b＝2a －2b ．练习二 化简：（1）2(a －b )＋3(a ＋b )； (2) 12(a ＋b )＋12(a －b )．例2 设x 是未知向量，解方程5 (x ＋a )＋3 (x －b )＝0． 解 原式可变形为5x ＋5a ＋3x －3b ＝0， 8 x ＝－5a ＋3b ，x ＝－58a ＋38b ．练习三 解关于x 的方程： (1) 3(a ＋x )＝x ； (2) x ＋2(a ＋x )＝0．例3 已知→OA＝3→OA ，→A B＝3→AB ，说明向量→OB 及→OB 的关系．解 因为→OB ＝→OA ＋→A B ＝3→OA ＋3→AB＝3(→OA ＋→AB )＝3→OB ．所以→OB 及→OB 共线且同方向，长度是→OB 的3倍．4．平行向量基本定理 如果a ＝λb ，则a //b ；反之如果a //b ，且b ≠0，则一定存在一个实数λ，使a ＝λb ．例如，如果 a ＝2b ，则 a //b ；如果 c ＝－2b ，则 c //b ；如果 d //b ，且d 的长度是 b 的一半，并且方向相反，则 d ＝－12b ．5．非零向量 a 的单位向量及 a 同方向且长度为1的向量，称为非零向量 a 的单位向量．易知，a 的单位向量为 a| a |．例4 若MN 是△ABC 的中位线，求证：a2bbc－2b－12bd7.3.1 向量的分解【教学目标】1. 理解平面向量的基本定理，会用已知的向量来表示未知的向量．2. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和解决问题．3. 通过教学，培养学生数形结合的能力．【教学重点】平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量．【教学难点】理解平面向量的基本定理．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．【教学过程】7.3.2 向量的直角坐标运算【教学目标】1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．【教学难点】理解平面向量的坐标表示．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．【教学过程】问题：在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，能否用向量的坐标表示两个向量的平行呢？探究：设 a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，如果b ≠ 0，则条件 a ＝λb 可用坐标表示为(a 1，a 2)＝λ(b 1，b 2)，即⎩⎨⎧==2211b a b a λλ消去 λ，得a 1b 2－a 2b 1＝0．一般地，对于任意向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，都有a //b a 1b 2－a 2b 1＝0．例5 判断下列两个向量是否平行： (1) a ＝(－1，3)，b ＝(5，－15)； (2) e ＝(2，0)，f ＝(0，3)．解 (1) 因为(－1)×(－15)－3×5＝0，所以向量 a 和向量 b 平行；(2) 因为2×3－0×0＝6≠0，所以向量e 和f 不平行．例6 已知点A (－2，－1)，B (0，4)，向量a ＝(1，y )，并且→AB ∥a ，求a 的纵坐标y ．解 由已知条件得 →AB ＝(0，4)－(－2，－1)＝(2，5)，因为→AB ∥a ，所以1×5－2×y ＝0．解得y ＝52．例7 已知点A (－2，－3)，B (0，1)，C (2，1．向量的直角坐标a＝a1e1＋a2e2＝(a1，a2)．2．向量的直角坐标运算：（1）两个向量和及差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和及差；（2）数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积；（3）一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标．3．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b a1b2－a2b1＝0．7.4.1 向量的内积【教学目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．【教学过程】1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a及b，作→OA＝a，→OB＝b，则∠AOB叫向量a及b的夹角．记作‹a，b›，规定0≤‹a，b›≤180．说明：(1)当‹a，b›＝0时，a及b同向；(2)当‹a，b›＝180时，a及b反向；(3)当‹a，b›＝90时，a及b垂直，记做a⊥b；(4)在两向量的夹角定义中，两向量必须是学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：（1）当‹a， b›＝0和180º时a及b的方向是怎样的？（2）当‹a，b›＝90时，a及b的方向又是怎样的？师生共同总结，师重点强调说明（4）．同起点的．2．向量的内积已知非零向量a及b，‹a，b›为两向量的夹角，则数量| a | | b | cos‹a，b›叫做a及b的内积．记作a·b＝| a | | b | cos‹a，b›．规定：0向量及任何向量的内积为0．说明：（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是正数、负数或零，符号由cos‹a，b›的符号所决定；（2）两个向量的内积，写成a·b，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.例1 求 |a|＝5，|b|＝4，‹a，b›＝120．求a·b．解由已知条件得a·b＝| a | | b | cos‹a，b›＝5×4×cos 120＝－10．3．向量的内积的性质设a，b 为两个非零向量，e是单位向量，则：（1）a·e＝e·a＝∣a∣cos‹ a，e›；（2）a b a·b＝0；（3）a·a＝| a |2或 | a |＝a·a；（4）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣．4．向量的内积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；如，实数乘法满足结合律：(a·b)·c ＝a·(b·c)，而向量的内积不满足；又如实数乘法满足：a·c＝b·ca＝b，而向量的内积不满足这种推出关系．学生分组讨论证明的方法；小组讨论后，教师对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结解答方法．教师给出具体的证明步骤．师生合作共同完成．7.4.2 向量内积的坐标运算及距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos‹a，b›及a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容及形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．1．已知非零向量a 及b，则a及b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求cos‹a，b›？2．a b ；3．| a |及a·a有何关系？定理在平面直角坐标系中，已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a ＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．我们还可以得到以下结论：(1)向量垂直的充要条件为a⊥b a1 b1＋a2 b2＝0；(2)两向量夹角余弦的计算公式为cos‹a，b›＝a1b1＋a2b2a12＋a22b12＋b22．问题：(1)若已知a＝(a1，a2) ，你能用上面的定理求出| a |吗？解因为| a |2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)＝a12＋a22，所以| a |＝a12＋a22．这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出|→AB|吗？解因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以→AB＝(x2－x1，y2－y1)．因为| a |＝a12＋a22，所以|→AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．例1 设a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：因此△ABC 是等腰三角形．例4 已知A (1，2)，B (2，3)，C (－2，5)，求证：→AB→AC ．证明 因为 →AB ＝(2－1，3－2)＝(1，1)， →AC ＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，可得→AB ·→AC ＝(1，1)·(－3，3)＝0．所以→AB→AC ．练习1．已知 A (1，2)，B (2，3)，C (－2，5)，求证：BAC =π2．2．已知点P 的横坐标是7，点P 到点N (－1，5)的距离等于10，求点P 的坐标．7.5 向量的应用【教学目标】1. 能运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．2. 通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成及分解”等问题．3. 通过教学，培养探究问题和解决问题的能力．【教学重点】运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．【教学难点】以向量为主题的数学模型的建立．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出以向量为主题的数学模型，使学生更容易理解向量的实质．【教学过程】≈(259.8，150)＋(－141.4，141.4) ＝(118.4，291.4) ，∣F ∣＝118.42＋291.42≈314.5． 设F 及x 轴的正向夹角为，则tan＝291.4118.4≈2.4611， 又由F 的坐标知是第一象限的角，所以 ≈67°53．即两个力的合力约为314.5 N ，及x 轴的正方向的夹角约为67°53 ，及y 轴的正方向的夹角约为22°7．练习一如图，用两条绳提一个物体，每条绳用力5 N ，这时两条绳的夹角为60°，且物体处于受理平衡状态，求物体所受的重力G ．2．速度向量例2 河水从东向西流，流速为2 m/s ，一轮船以2 m/s 垂直水流方向向北航行，求轮船的实际航行的方向和航速．解设a ＝“向西方向，2 m/s ”，b ＝“向北方向，2 m/s ”，则∣a ＋b ∣＝22＋22＝22≈2.8 m/s ． 由∣a ∣＝∣b ∣，可得a ＋b 的方向为西北方向．所以轮船实际航行速度为“向西北方向， 2.8m/s ”．练习二5NW60O。
复习引入：新授： 1. 向量的概念把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a ,b ,c ,...等，在书写时，则在小写西文字符的上方加一个小箭头，例如a ,b ,c,...等．如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a |,|b |,|c |,...或|a |,|b |,|c|,...．特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e ．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB ,CD ,11C B 等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB |,|CD |,|11C B |．由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．例1 设矩形ABCD 的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？课内练习11. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？ca图7-2(1)b D C图7-2(2)BAB 1C 12. 向量的比较(1)向量相等任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(a≠b)两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等(a≠b)．在例1中的相等向量有且仅有AB=DC, BA=CD, BC=AD, CB=DA，更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b．若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是AD？为什么？(2)相反向量对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：AB=-BA, BC=-CB, DC=-CD, DA=-AD, AC=-,CA, BD=-DB．例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、(3)平行向量若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．规定零向量平行于任意向量.根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a 的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量．例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．课内练习21. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理的解释．第3题图F1新授：(1)向量的加法运算 向量加法运算的法则．向量a 加向量b 的结果a +b 是按照下列法则生成的一个向量c ：把b 的始点移到a 的终点后、从a 的始点连到b 的终点．记作 c =a +b ．与数量相加一样，把a 叫做被加向量，b 叫做加向量，c 叫做和向量．在a ,b 不平行的情况下，c 是重合a ,b 的始 点、以a ,b 为邻边组成的平行四边形的对角线向量， 其指向与a ,b 同侧(平行四边形法则，见图9-9(1))； 也是是以a 的终点作为b 的始点所组成的三角形的 第三边向量(三角形法则，见图9-9(2))．对于三角形 法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连． 例4 用两种方法作出图9-10(1)中向量a ,b 的和向量c ．解 (1)按平行四边形法则，把的始 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形，对角线向量即为和向量c ． (见图9-10(2))(2)移b 的始点到a 的终点，从a 的始点连向b 的终点的向量即为和向量c (见图9-10(3))． 例5 (1)若b =-a ，求c =a +b ； (2)若a ,b 平行，求c =a +b ． 例6 已知向量a ,b , c , d 如图9- 12，求f =a +b +c +d ．解 逐次应用向量加法的法则—— 移加向量的始点到被加向量的终点，从图9-9(1)图9-9(2)图9-10(3)ab• bc图9-10(2)ab图9-10(1)图9-12abdc abcdf被加向量的始点连向加向量的终点，得 到和向量f 如图9-12所示，其中虚线表 示的向量，从左向右依次是a +b , a +b +c ． 课内练习31. 请举一个向量相加的实际问题．2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？3. a +(-a )=0，因此|a |+|-a |=0，这个结论正确吗？一般地，c =a +b ，因此|c |=|a |+|b |，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？4. 矩形ABCD 如图，试求AB +BC ,BC +AB ,BA +BC ,BA +CB 得到的和向量之间有哪些关系？ 5. 矩形ABCD 如第4题，求(AB +BC )+CD ,AB +(BC +CD ),AB +BC +DC ,BA +BC +DA ． 得到的和向量之间有哪些关系？数量加法运算满足交换律(a +b =b +a )、结合律(a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c ))，向量的加法运算同样满足交换律和结合律a +b =b +a ， a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c )， (2)向量的减法运算如同数量a ,b 相减a -b ，是被加数a 与加数b 的相反数-b 相加一样，所谓向量a ,b 相减a -b ，实际上是向量a 与向量b 的相反向量-b 相加，即a +(-b )．应用向量加法法则，可以得出向量减法运算的法则．图9-13(1)中是已知向量a ,b ；图9-13(2) 显示了a +(-b )；图9-13(2)显示了 a -b 的直接运算法则，法则的文字 表述是：a -b 的结果是一个向量c ，把a ,b 的始点移到同一点，从b 的终点连向a 的终点的向量就是c (三角形法则) 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减．第4题图A BC D图9-13(1)ab图9-13(2)-ba-b ac图9-13(3)记作c=a-b．a叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量．例7 在∆ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使CA是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？例8 在∆ABC中，若边向量为AB,AC,BC，求(1)a=AB+BC+AC；(2)求b=AB-BC-AC．课内练习41. 在∆ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使AB是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？2. 在矩形ABCD中的边向量为AB,BC,CD，求(1)a=AB-BC；(2)b=BC-AB；(3)c=CD-BC；(4)d=AB-BC- CD．因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c)．(3)向量的数乘运算在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a．在例8向量运算中，我们两次都遇到a=AC+AC,b=CB+CB这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2AC, b=2CB呢？这完全取决与如何规定2AC,2CB的含义，若规定它们的含义确实与AC+AC,CB+CB相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义：一个实数α乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模|α|倍，即|b|=|α|⋅|a|；b的方向当α>0时与a的方向相同，当α<0时与a的方向相反．记作b=α⋅a或b=αa，把向量的这种运算叫做向量的数乘运算．根据向量数乘运算的这种规定，立即可知-a=-1⋅a，a+a=2a，-a-a=-2a．把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律：(α+β)a=αa+βa，α (a+b)=αa+αb，其中α,β是任意实数，a,b是任意向量．根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数α，使b=α⋅a（a≠0），则a与b是平行向量；反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数α，使b=α⋅a（a≠0）．例8 设c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c．解h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a)=2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b．例9 ∆ABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为∆A1BC1，求边A1C1的长(见图9-15)．课内练习51. 已知向量a，作出向量-2a, 3a．2. 已知向量a的模为s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模．3. 设c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f-3d-3g-2b．4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行．当甲行进2km、乙行进6km时两人相距4km，问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km时，两人相距多少？复习引入：新授：1．平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量设在平面上已经建立了一个直角坐标系{xOy }．方向为x 轴正向的单位向量i 、方向为y 轴正向的单位向量j 叫做该坐标系的坐标基底向量(见图9-16)．(2)平面向量的直角坐标在坐标平面上给定了向量 a ，平移其始点到原点后(见图7-17)，设其终点A 的坐标为(x ,y )．把(x ,y )叫做向量a 的坐标，记作a =OA =(x ,y )．若向量a 的坐标为(x ,y )，则其模可以用坐标表示为 |a |=22y x + (7-2-1) 坐标基底向量也有其坐标，分别是i =(1,0), j =(0,1)．以原点O 为始点、点A 在x ,y 轴上的投影为终点，是两个分别平行于i , j 的向量，根据向量加法定义，有a =x i +y j ， (7-2-2) 即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合． 因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a ，直接在a 上作分解(见图7-17)．例如从图7-18，我们就可以直接看出AB =i -2j =(1,-2)．课内练习11. 写出图9-18中向量OP ,EF ,CD 的坐标，并求它们的模．2. 向量关系的坐标表示向量之间有相等、相反、平行(共线)等关系．当知道图7-17图9-18Ojyi x图7-16了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单． (1)相等：若a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)，则 a =b ⇔ a 1=a 2, b 1=b 2．即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等． (2)相反：若a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)，则 a =-b ⇔ a 1=-a 2, b 1=-b 2．即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量相反．(3)平行(共线)：向量a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)平行 ⇔ 移a ,b 的始点到原点后，它们的终点A ,B 与原点共线 ⇔ ∆OA 1A ∽∆OB 1B (见图7-19) ⇔ 2121b b a a =．所以两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必定对应成比例． 例1 已知向量a =(2,-1)，当x 为多少时，向量b =(x ,2)与a 平行？ 解 a //b ⇔ 212-=x ⇔ x =-4．所以当x =-4时a //b ．课内练习21. 根据向量坐标，判断下列向量中存在的共线：a =(2,-1),b =(-2, 1),c =(-6, 3),d =(42,-21),e =(2,-1),f =(8,-4),g =(-2,-1)． 2. 已知向量a =(9,-4)，当y 为多少时，向量b =(-12,y )与a 平行？3．平面向量运算的直角坐标表示把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2)，即可得向量运算的坐标表示．(1)数乘：设a =(x ,y )，即a =x i +y j ，b =λa ，则 b =λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j =(λx ,λy )，即 λa =λ(x ,y )=(λx ,λy )． (7-2-3) 即向量a 数乘λ后所得向量的坐标，是a 的纵、横坐标的λ倍． (2)加减法：设a =(a 1,b 1)，b =(a 2,b 2)，则图7-19a=a1i+b1j，b=a2i+b2j，a+b=(a1i+b1j)+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j，即a+b=(a1+a2, b1+b2)．(7-2-4) 同理也有a-b=(a1-a2, b1-b2)．(7-2-5) 所以向量a, b的和、差向量的坐标，等于a, b的坐标对应的和、差．(3)给定始终点的向量的坐标向量a=AB．若已知点A,B在坐标A(x 1,y1),B(x2,y2)(见图7-20)，则OA=(x1, y1),OB=(x2, y2)，AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)．(7-2-6) 所以给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐标．例2已知a=(1,-2), b=(2,3)，求a+b,a-b, 2a-3b．例3 已知A(1,2), B(-2,1)，求AB,BA．解应用公式(10-2-6)，AB=(-2-1,1-2)=(-3,-1)；BA=(1-(-2),2-1)=(3,1)．例4已知平行四边形ABCD的顶点坐标A(1,1), B(2,3),C(-1,4)(见图7-21)，求顶点D点坐标．例5 已知A(2,3),B(-2,5),且AB=2AC，求C点的坐标．例6 某人第一天按图9-23所示方向、以速度5km/h步行3小时到达A处；第二天又按图9-23所示方向、以速度15km/h骑了3小时自行车到达B处．问B离此人出发点的直线距离是多少？课内练习21. 已知a=(-1,2),b=(2,-2),求a+b,a-b,-a+2b．2.已知a=(-2+x,4),b=(-3,-1-y),且a=b,求x,y．3.根据下列条件求AB与BA的坐标：x图7-20yOABxBODCAy图7-21(1)A(-1,0), B(2,-1)；(2)A(-2,1), B(3,1)；(3)A(2,1), B(0,-2)；(4)A(-2,4), B(-3,8)．4. 已知平行四边形ABCD的A(1,0),B(2,5),C(-1,1),求D点坐标．5.已知A(6,-3),B(3,-5),且AB= -2AC，求C点的坐标．复习引入：新授：1. 向量的数量积(1)平面向量所成的角给定两个非零平面向量a ,b ，移它们的始点到同一点，以表示向量的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a ,b 所成的角，记作(a ^b )(见图7-25)；为了使两个非零向量所成的角唯一，规定0≤(a ^b )≤π．零向量0与任何向量所成的角认为可以任意．为了方便有时也把(a ^b )叫做向量之间的夹角．从向量所成角定义，立即可知(a ^b )=0 ⇔ a //b (即a ,b 共线)；(a ^b )= π ⇔ a =-b (即a ,b 互为相反向量)． 特别地，当(a ^b )=2π，则我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． (2)向量的数量积已知向量a ,b ，a ,b 的数量积是一个以下式定义的数量： a ⋅b =|a ||b |cos(a ^b )其中(a ^b )表示向量a ,b 之间所成的角．向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别．这种区别在运算方面的体现，是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算．这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积．例1 求下列向量的数量积：(1)|a |=5,|b |=4, (a ^b )=23π，求a ⋅b ； (2)a =(3,4),|b |=21, (a ^b )=2π，求a ⋅b ； (3)a =(3,4), b =(-3,-4)，求a ⋅b ； (4)a =(1,3)，求a ⋅a ； (5)a =0，b =(x,y)，求a ⋅b ． 课内练习11. 求下列向量的数量积：(1)|a |=2,|b |=8, (a ^b )=4π，求a ⋅b ； (2)a =(1,3),|b |=31, (b ^a )=2π，求a ⋅b ； (3)a =(-3,-2), b =(3,2)，求a ⋅b ； (4)a =(5,3)，求a ⋅a ； (5)a =(10,y)，b =0，求a ⋅b ．(3)向量数量积的基本运算法则根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则：①交换律：a ⋅b =b ⋅a ；图7-25②数乘分配率：(λa )⋅b =a ⋅(λb )=λ(a ⋅b )，(任意λ∈R )；③分配率：(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c ．例2 设AB =(3,-1), |CD |=2, θ=(AB ^CD )=3π，求 (1)(2AB )⋅(3CD )；(2)(AB +2CD )⋅AB ；(3)(-4AB )⋅(AB +2CD )．课内练习21．已知|a |=4, |b |=3，a 与b 的夹角为65π，求(2a -b )⋅(a +2b )． 2．已知A (-1,2),B (1,4)，|CD |=4, θ=(AB ^CD )=3π，求 (1)AB ⋅(3CD )；(2)(2AB +CD )⋅AB ；(3)AB ⋅(-AB +2CD )．(4)向量数量积的基本结论从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的． ①a ⊥b ⇔ a ⋅b =0；②当a //b 且同向时，a ⋅b =|a ||b |；当a //b 且方向相反时，a ⋅b =-|a ||b |；③a ⋅a =|a |2，所以|a ；④cos(a ^b )=||||b a b a ⋅⋅． (7-3-2) 最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用．例3 已知|a |=4, |b |=5，分别在下列条件下求a ⋅b ： (1)a//b ； (2)a ⊥b ．例4 已知|a |=2, |b |=4，a b =-6，求(a ^b )的余弦值．课内练习31. 已知a //b ，|a |=1, |b |＝2，求 a ⋅b ．2. 下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由：(1)0⋅a =0；(2)|a |=a ⋅a ；(3)a ⋅b =|a ||b |；(4)a ⋅b =|a ⋅b |；(5)|a ⋅b |=|a ||b ||cos(a ^b )|；(6)(a ⋅b )(a ⋅b )=(a ⋅a )(b ⋅b )=|a |2|b |2；(7)a //b ⇔ 存在实数λ，使a ⋅b =λ|a |2；(8)(a +b )⋅(a -b )=|a |2-|b |2；(9)(a +b )⋅(a -b )=a 2-b 2．3. 已知|a |=1, |b |=4, a ⋅b =，求(a ^b )．2．平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化(即求出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积．首先考察坐标基底向量i , j 的数量积，有i ⋅i =1；i ⋅j =j ⋅i =0；j ⋅j =1． (4)现设向量 a , b 的坐标为a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，即a =x 1i +y 1j ,b =x 2i +y 2j ，则 a ·b =(x 1i +y 1j )·( x 2i +y 2j )=x 1x 2i ·i +y 1y 2j ·j +x 1y 2i ·j +y 1x 2j ·i ，即 a ·b =x 1x 2+y 1y 2． (7-3-3) 这就是说，两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和．以坐标表示向量数量积的基本公式③，能得到我们熟知的一些公式：设a =(x ,y )，则a ·a =|a |2=x 2+y 2，即向量模公式 |a |=22y x +；特别地当a =AB ，且起终点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为已知时，由AB =(x 2-x 1,y 2-y 1)，即得 |a |=|AB |=212212)()(y y x x -+-，此即为两点间的距离．例5 求下列向量的数量积：(1)a =(2, -1), b =(3, 1)，求a ·b ；(2)c =(-1, -1), d =(1, -1)，求c ·d ．例6 已知a =(1, 2), b =(-2, 3)，求(a +b )⋅(a -b ), (a - b )⋅(2a +b )．例7 (1)已知a =(-2, 6), a ·b =-6，设b =(6, y )，求y ；(2)已知a =(2,2), (a ^b )=4π, |b |=2，求b 的坐标． 课内练习41. 求下列向量的数量积：(1)a =(-2, 1), b =(3, -1)，求a ·b ；(2)c =(4, -1), d =(2, -1)，求c ·d ．2. 已知a =(2, -1), b =(-1, 5)，求(2a +b )⋅(2a -b ), (a -2b )⋅(2a +b )．3. 设a =(x , 6), a ·b =-6, b =(2, -1)，求x ．4. 已知|a |=1, (a ^b )=43π, b =(-1,2)，求a 的坐标．(2)平面向量所成角的计算公式把(9-3-3)向量模计算公式代入已有的向量所成角计算公式(7-3-2)，得cos(a ^b )=222221212121y x y x y y x x +⋅++． (7-3-4)直线间夹角或向量间所成角的计算，一直是令人头痛的事．(7-3-4)表明，只要知道向量的坐标，就能计算出它们之间的所成角，是今后计算的主要手段．特别地，从向量数量积基本结论①和(7-3-4)，还能得到a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0，(7-3-5) 这也是用来判定向量垂直的主要手段之一．例8 求向量a 与b 所成角：(1)a =(2,1) , b =(3,-1)；(2)a =(2,-1) , b =(-3,-1)．例9 已知点A (1,2)，B (2,3)，C (-2,5) ．求证∠BAC =2π．课内练习51．求求向量a 与b 所成角：(1)a =(-1, 2), b =(2, 3)；(2)a =(-1,-2), b =(2, -5)．2. 证明以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形：(1) A (-1, - 4), B (5, 2), C (3, 4)；(2)A (-2, -3), B (19, 4), C (-1,-6)．3. 已知a =(4, 2), b =(-3,-3)，当k 为何值时，a +b 与k a +2b 垂直？4. 已知点A (0,1), B (5,2)，求点P (x ,y )，使PA ⊥PB 且PA =PB ．。
平面向量的概念【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为的倍．由此得到．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“ ”等条件.【教学过程】【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作．aAB图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a, 的模依次记作，．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．模为1的向量叫做单位向量．巩固知识典型例题例1 若平行四边形OABC的三个顶点O（0,0），A（2，-2），C（5,2），则B点坐标为作业1. 已知点，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标。
江苏省XY中等专业学校2021-2022-1教案编号：备课组别上课日期主备教师授课教师课题：§7.1 平面向量的概念0教学目标掌握平面向量的概念及表示能够计算平面向量的模和向量的方向重点重点：平面向量的概念难点难点：平面向量的概念教法讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容【课程引入】某学生在标准400m运动场上的百米起点A（1道）处出发，沿跑道跑完400m到终点（起点)A处。
（1）该生所跑的路程是多少？所发生的位移是什么?(2)如果该生从A处出发，跑完1500m，那么他所跑的路程是多少?位移是什么？（3）位移和路程这两个量有什么差别？A教学内容一，建构数学我们把既有大小又有方向的量称为向量。
我们常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
以A为起点、B为终点点向量(如图7--2（1)),记为AB，向量也可以用小写黑体字母表示，如a, b ,c等，向量大小称作量的长度（或模）。
向量AB的长度，记作AB；向量a的长度是一个数量，是非负实数。
长度为0的向量，记作0。
.零向量没有确定的方向。
长度为1 个单位长度的向量叫单位向量，记作e。
二，应用数学例1 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，分别以点A,B,C为起点或终点，可以构成哪些向量?用有向线段表示这些项链并求出它门的模。
教学内容解分别以点A,B,C为起点活终点可以构成向量AB,BC,CA,AC.,BACB丨AB|=丨BA=5,|BC|=|CB|=13,|CA|=|AC|=4.例2 如图，设ABCD的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量?这些向量的模分别是多少？解ABCD的所有边可以构成向量BCAB,,,CD DA,,AD,DC CB,BA.|AB|=|BA|=|CD|=1,2====DAADCBBC三，理解数学练习，1.判断下列说法是否正确，并说明理由。
b第 1 节平面向量的概念及线性运算基础梳理1．向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或称 )． (2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 个单位的向量． (4)平行向量：方向 或 的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做 向量，任 一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0 与任一向量 (5)相等向量：长度 且方向 的向量． (6)相反向量：与 a 长度 ，方向 的向量，叫做 a 的相反向量． 2．向量的加法运算及其几何意义(1)三角形法则：已知非零向量 a 、 ，在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a ，BC ＝b ，则向量 AC 叫做 a 与 b 的，记作 a ＋b ，即 a ＋b ＝ AB ＋ BC ＝ AC ，这种求向量和的方法，称为向量加法的 ．(2)平行四边形法则：以同一点 O 为起点的两个已知向量 a 、b 为邻边作 OACB ，则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出， 如图所示．3．向量的减法运算及其几何意义(1)定义： a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量 的 ．(2)如图， AB ＝a ， AD ＝b ，则 DB ＝a －b .4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ 与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下： ①|λ a |＝|λ ||a |；②当λ ＞0 时，λ a 的方向与 a 的方向 ；当λ ＜0 时，λ a 的方向与 a 的方向 ；当λ ＝0 时，λ a ＝0.(2)运算律设λ ，μ 是两个实数，则 ①λ (μ a )＝(λ μ ) a ；②(λ ＋μ ) a ＝λ a ＋μ a ； ③λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b .(3)两个向量共线定理：向量 a(a ≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ ，使 b ＝λa .典例分析(A) a ＋ b (B) a ＋ b(C) a ＋ b (D) a ＋ b向量的有关概念【例 1】 给出下列各命题： ①零向量没有方向； ②若|a |＝|b |，则 a ＝b ； ③单位向量都相等； ④向量就是有向线段； ⑤若 a ＝b ，b ＝c ，则 a ＝c ；⑥若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB ＝ DC ， BC ＝ DA .其中真命题是________．向量的线性运算【例 2】 (2010 年高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB .设 CB ―→ ＝a ，CA ―→＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则 CD ―→等于( )1 2 2 1 3 3 3 3 3 4 4 3 5 5 5 5变式探究 21：(2010 年山东济南模拟)已知平面上不共线的四点 O 、A 、B 、C .若 OA ―→|AB ―→|－3OB ―→＋2OC ―→＝0，则 等于______．|BC ―→|向量共线与三点共线问题【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若 AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数 k ，使 k a ＋b 和 a ＋k b 共线．变式探究 31：已知向量 a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果 c ∥d ，那么( )(A)k ＝1 且 c 与 d 同向 (B)k ＝1 且 c 与 d 反向(C)k ＝－1 且 c 与 d 同向 (D)k ＝－1 且 c 与 d 反向易错警示错源一：零向量“惹的祸”【例 1】 下列命题正确的是( )(A)向量 a 、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ，使 b ＝λ a ； (B)在△ABC 中，AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；(C)不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a|＋|b |中两个等号不可能同时成立； (D)向量 a 、b 不共线，则向量 a ＋b 与向量 a －b 必不共线错源二：向量有关概念理解不当【例 2】 如图，由一个正方体的 12 条棱构成的向量组成了一个集合 M ，则集合 M 的元素个数为________．第 2 节平面向量基本定理及其坐标表示基础梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b ，如图，作 O A ＝a ， OB ＝b ，则∠AOB ＝θ 叫做向量 a与 b 的夹角，也可记作〈a ，b 〉＝θ .(2)范围：向量夹角θ 的范围是[0，π ]，a 与 b 同向时，夹角θ ＝0；a 与 b 反向时，夹角θ ＝π .(3)垂直关系：如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a ⊥b .质疑探究 △1：在 ABC 中，设 AB ＝a ， BC ＝b ，则 a 与 b 的夹角是∠ABC 吗？2．平面向量基本定理如果 e 1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使 a ＝λ 1e 1＋λ 2e 2.我们把不共线的向量 e 1，e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组．质疑探究 2：平面内任一向量用两已知不共线向量 e 1、e 2 表示时，结果唯一吗？平面内任何 两个向量 a 、b 都能作一组基底吗？3．平面向量的正交分解与坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．± a 或± 1 (x ，y )． x 2＋y 2 (4)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ＝b⎧⎪x 1＝x 2质疑探究 3：若 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ∥b 的条件能否可以写成 1＝ 1？【例 2】 已知点 A (－1,2)，B (2,8)以及 AC ―→＝ AB ―→，DA ―→＝－ BA ―→，求点 C 、变式探究 21：(2010 年山东临沂联考)已知 A (7,1)、B (1,4)，直线 y ＝ ax 与线段 AB 交于(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i 、j 作为基底．对于 平面内的一个向量 a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x ，y ，使得 a ＝x i ＋y j ， 则有序数对(x ，y )叫做向量 a 的坐标，记作 a ＝(x ，y )，其中 x ，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上 的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量 a 的坐标表示．相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相 等向量．4．平面向量的坐标运算(1)已知点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．(2)已知 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λ a ＝(λ x 1，λ y 1)，a ∥b (b ≠0)的充要条件是 x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)非零向量 a ＝(x ，y )的单位向量为1|a |⎨. ⎪⎩y 1＝y 2x y x 2 y 2提示：不能，因为 x 2，y 2 有可能为 0，应表示为 x 1y 2－x 2y 1＝0.典例分析平面向量基本定理及其应用【例 1】 如图，在平行四边形 ABCD 中，M ，N 分别为 DC ，BC 的中点，已知 AM ＝c ， AN ＝d ，试用 c ，d 表示 AB ， AD .向量坐标的概念及运算1 13 3D 的坐标和 CD ―→的坐标．12C ，且 AC ―→＝2CB ―→，则实数 a 等于( )4 5(A)2 (B)1 (C) (D)5 3共线向量的坐标运算【例 3】 (2010 年高考陕西卷)已知向量 a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )， ) |∥c ，则 m ＝________.变式探究 31：(2010 年福州市质检)已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若 a ∥ b ，则 2a ＋3b 等于( )(A)(－5，－10) (B)(－4，－8) (C)(－3，－6) (D)(－2，－4)易错警示错源：对共线向量不理解【例题】 已知两点 A (2,3)，B (－4,5)，则与 AB ―→共线的单位向量是( )(A)e ＝(－6,2)(B)e ＝(－3 10 1010 10－3 10 10 3 10 10(C)e ＝( ， )或 e ＝( ，－ )10 10 10 10(D)e ＝(－6,2)或(6，－2)第 3 节平面向量的数量积基础梳理1．数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b ，其夹角为θ .我们把数量|a ||b |cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)， 记作 a · b ，即 a · b ＝|a ||b |cos θ .规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 2．数量积的几何意义 (1)向量的投影： a |cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，当θ 为锐角时，它是正数，当θ 为 钝角时，它是负数；当θ 为直角时，它是 0.(2)a · b 的几何意义：数量积 a · b 等于 a 的长度|a |与 b 在 a 的方向上的投影|b |cos θ 的乘积． 3．数量积的运算律已知向量 a 、b 、c 和实数λ ，则： (1)交换律：a · b ＝b · a ；(2)结合律：(λ a )· b ＝λ (a · b )＝a ·(λ b )； (3)分配律：(a ＋b )· c ＝a · c ＋b · c .质疑探究：若非零向量 a ，b ，c 满足①a · c ＝b·c ，则 a ＝b 吗？②(a·b )· c ＝a ·(b·c )恒成立吗？ 提示：①不一定有 a ＝b ，因为 a · c ＝b · c c ·(a －b )＝0，即 c 与 a －b 垂直，但不一定有 a ＝x 1x 2＋y 1y 2(b .因此数量积不满足消去律．②因为(a·b )· c 与向量 c 共线，(b·c )· a 与向量 a 共线．当 c 与 a 不共线时(a · b )· c ≠a ·(b · c )即向量的数量积不满足结合律． 4．向量数量积的性质设 a 、b 都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，θ 是 a 与 e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ . (2)a ⊥b ⇔a · b ＝0.(3)当 a 与 b 同向时，a · b ＝|a ||b |； 当 a 与 b 反向时，a · b ＝－|a ||b |；特别地，a ·a ＝|a |2 或|a |＝ a ·a .(4)cos θ＝ a ·b.|a ||b |(5)|a ·b |≤|a ||b |.5．用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题(1)若非零向量 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)夹角公式：若非零向量 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ 是 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝ .x 12＋y 12 x 22＋y 22(3)距离公式：若表示向量 a 的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为(x 1，y 1)， x 2，y 2)， 则|a |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，这就是平面内两点间的距离公式．(4)垂直关系：设非零向量 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.典例分析向量数量积的运算及模的问题【例 1】(1)(2010 年高考天津卷△)如图，在 ABC 中，AD ⊥AB ， BC ＝BD ，| AD |＝1，则 AC · AD ＝________.(2)(2010 年高考广东卷)若向量 a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )· c ＝30，则 x ＝( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3(1)向量的数量积有两种计算方法：一是根据数量积的定义进行计算；二是依据向量的 坐标来计算．(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下： ①若 a ＝(x ，y )，则|a |＝ x 2＋y 2. ②|a |2＝a 2＝a ·a .③|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2.变式探究 11：(2009 年高考辽宁卷)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a ＝(2,0) ，|b |＝1，则 |a ＋2b |等于( )(A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12| (A)－ (B) (C)－ (D)【例 3】 已知|a |＝1，a ·b ＝ ，(a －b )·(a ＋b )＝ ，求：两向量垂直问题【例 2】 已知|a |＝5， b |＝4，且 a 与 b 的夹角为 60°，则当向量 k a －b 与 a ＋2b 垂直时， k ＝________.变式探究 21：(2009 年高考宁夏、海南卷)已知 a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量 λa ＋b 与 a －2b 垂直，则实数 λ 的值为( )1 1 1 17 7 6 6两向量夹角问题1 12 2(1)a 与 b 的夹角的大小；(2)a －b 与 a ＋b 的夹角的余弦值．变式探究 31：(2009 年高考重庆卷)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量 a 与 b 的夹 角是( )π π π π (A) (B) (C) (D)6 4 3 2数量积的综合应用【例 4】 已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若 a ∥b ，求 a ·b ；(2)若 a ，b 的夹角为 60°，求|a ＋b |； (3)若(a －b )⊥b ，求 a 与 b 的夹角．易错警示错源：忽视角的范围而“惹祸”【例题】设两个向量 e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1 与 e 2 的夹角为，若向量 2t e 1＋7e 2 与 e 1＋t e 2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．a ·b x 1x 2＋y 1y 2 x 2＋y 2· x 2＋y 2第 4 节平面向量的应用基础梳理1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹 角等问题．设 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即 a ∥b ⇔a ＝λ b (b ≠0)⇔x 1y 2－ x 2y 1＝0.②证明垂直问题，主要利用向量数量积，即 a ⊥b ⇔a · b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.③求线段的长，主要利用向量的模，即|a |＝ a 2＝ x 12＋y 12.④求夹角问题，利用数量积的变形公式：即 cos θ＝cos 〈a ，b 〉＝ ＝ |a ||b |1 12 2.2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体 应用，可用向量来解决．(2)物理中的功 W 是一个标量，它是力 f 与位移 s 的数量积，即 W ＝f · s ＝|f ||s |cos θ .3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合， 当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知 数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或 垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．典例分析向量在平面几何中的应用【例 1】 如图所示，若点 D 是三角形 ABC 内一点，并且满足 AB 2＋CD 2 ＝AC 2＋BD 2，(2)设 α＝ ，且 a ⊥(b ＋c )，求 cos β 的值．cos ( －α)sin (π＋2α)(2)若 a ⊥b ，且 m ＝0，求 的值．求证：AD ⊥BC .变式探究 11：在直角△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是( (A)|AC ―→|2＝AC ―→·AB ―→ (B)|BC ―→|2＝BA ―→·BC ―→ (C)|AB ―→|2＝AC ―→·CD ―→)(D)|CD ―→|2＝(AC ―→·AB ―→)×(BA ―→·BC ―→) |AB ―→|2平面向量在物理中的应用【例 2】 (2009 年高考广东卷)一质点受到平面上的三个力 F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的 作用而处于平衡状态．已知 F 1，F 2 成 60°角，且 F 1，F 2 的大小分别为 2 和 4，则 F 3 的大小 为( )(A)6 (B)2 (C)2 5 (D)2 7向量与三角的整合【例 3】 已知向量 a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量 b ＋c 的长度的最大值；π4变式探究 31：(2010 年河西区模拟)已知向量 a ＝( 3，1)，向量 b ＝(sin α－m ，cos α)， (1)若 a ∥b ，且 α∈[0,2π)，将 m 表示为 α 的函数，并求 m 的最小值及相应的 α 的值；π2cos (π－α)| x y平面向量与解析几何的整合【例 4】 (2010 年安徽巢湖模拟)已知 A (－ 3，0)，B ( 3，0)，动点 P (x ，y )满足|P A ―→| ＋|PB ―→|＝4.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点(1,0)作直线 l 与曲线 C 交于 M 、N 两点，求 OM ―→·ON ―→的取值范围．变式探究 41：(2010 年大连市六校联考)设 F 为抛物线 y 2＝2px (p ＞0)的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若 FA ＋ FB ＋ FC ＝0，FA |＋| FB |＋| FC |＝3，则该抛物线的方程是()(A)y 2＝2x (B)y 2＝4x (C)y 2＝6x (D)y 2＝8x易错警示错源：“共线”运用出错【例题】 如图，半圆的直径 AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于 A ，B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则( P A ＋ PB )· PC 的最小值是________．第 5 节复数的概念及运算基础梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中 a ，b 分别是它的实部和虚部．若 b ＝0，则 a ＋b i 为实数，若 b ≠0，则 a ＋b i 为虚数，若 a ＝0，b ≠0，则 a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且 b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与 c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且 b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面． 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴．实 轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示复数．(5)复数的模：向量 OZ ―→的模 r 叫做复数 z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a＋b i|＝r ＝ a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．z 2c ＋d i (2)常用结论： ＝－i ，(1± i)2＝±2i.一一 对应一一 对应 【例 2】 (2009 年高考海南、宁夏卷)复数3＋2i质疑探究 1：复数 a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是 a ＝0 吗？提示：不是，a ＝0 是 a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的必要条件，只有当 a ＝0，b ≠0 时，a ＋b i 才为纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数 z ＝a ＋b i ――→ ――→ 复平面内的点 Z (a ，b )(a ，b ∈R )；(2)复数 z ＝a ＋b i ――→ ――→ 平面向量 OZ ―→ (a ，b ∈R )． 3．复数的运算设 z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；za ＋b i (a ＋b i )(c －d i ) (4)除法： 1＝ ＝ (c ＋d i )(c －d i )ac ＋bd bc －ad＝c 2＋d 2 ＋ c 2＋d 2 i(c ＋d i ≠0)．质疑探究 2：(1)z 1，z 2 为复数，z 1－z 2＞0，那么 z 1＞z 2，这个命题是真命题吗？ (2)若 z 1，z 2∈R ，z 12＋z 22＝0，则 z 1＝z 2＝0，此命题对 z 1，z 2∈C 还成立吗？ 提示：(1)假命题．例如：z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋i ，z 1－z 2＝3＞0. 但 z 1＞z 2 无意义，因为虚数无大小概念．(2)不一定成立．比如 z 1＝1，z 2＝i 满足 z 12＋z 22＝0. 但 z 1≠0，z 2≠0.(1)i n 的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝ i ， i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，n ∈ Z . 1i典例分析(对应学生用书第 69 页)复数的有关概念【例 1】 已知 0＜a ＜2，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则|z |的取值范围是( (A)(1,5) (B)(1,3) (C)(1， 5) (D)(1 ， 3)思路点拨：写出|z |的表达式，根据 a 的范围确定|z |的取值范围．)变式探究 11：已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数 x ，y 分别为( )(A)x ＝－1，y ＝1 (B)x ＝－1，y ＝2 (C)x ＝1，y ＝1 (D)x ＝1，y ＝2复数代数形式的运算3－2i2－3i －2＋3i 等于((A)0 (B)2 (C)－2i (D)2i)【例 3】 (2010 年高考陕西卷)复数 z ＝ 在复平面上对应的点位于()变式探究 21：(2010 年高考广东卷)若复数 z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则 z 1· z 2 等于( )(A)4＋2i (B)2＋i (C)2＋2i (D)3＋i复数的几何意义i1＋i(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限变式探究 31：已知复数 z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为 A ，B ，C .O 为坐标原点，若 O C ＝x OA ＋y OB ，则 x ＋y 的值是______．易错警示错源：对复数的概念理解不透【例题】 设复数 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数为 z ＝a －b i ，则 z － z 为( )(A)实数 (B)纯虚数 (C)0 (D)零或纯虚数篇末总结平面向量是高中数学中的工具性知识，是高考必考内容，直接命题时题量一般为 1 道选择题 或填空题，更多地是作为工具整合于三角函数、解析几何相应的解答题中，其考查的重点是 向量的概念和线性运算(如 2010 年高考湖北卷，理 5)，数量积(如 2010 年高考湖南卷，文 6)， 与三角或解析几何的结合仍是高考中的重要题型(如 2010 年高考福建卷，文 11)．复数是每年高考必考内容，题量为 1 道选择题或填空题，主要考查复数的有关概念、几何意 义和代数形式的四则运算(如 2010 年高考辽宁卷，理 2)．3．(2010 年高考福建卷，文 11)若点 O 和点 F 分别为椭圆 ＋ ＝1 的中心和左焦点，(A)a ＝ ，b ＝ (B)a ＝3，b ＝1(C)a ＝ ，b ＝ (D)a ＝1，b ＝31．(2010 年高考湖北卷，理 △5)已知 ABC 和点 M 满足 MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0，若 存在实数 m 使得 AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则 m 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)52．若非零向量 a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )· b ＝0，则 a 与 b 的夹角为 ( )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°x 2 y 24 3点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP ―→·FP ―→的最大值为( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)81＋2i4．(2010 年高考辽宁卷，理 2)设 a ，b 为实数，若复数 ＝1＋i ，则()a ＋b i3 12 2 1 32 2【真题 1】 (2010 年高考江西卷，理 13)已知向量 a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与 b 的夹 角为 60°，则|a －b |＝______.追本溯源：人教 A 版必修 4 第 119 页复习参考题 A 组第 13 题： 已知|a |＝ 3，|b |＝2，a 与 b 的夹角为 30°，求|a ＋b |，|a －b |.【真题 2】 (2010 年高考重庆卷，理 14)已知以 F 为焦点的抛物线 y 2＝4x 上的两点 A 、B 满 足 AF ―→＝3FB ―→，则弦 AB 的中点到准线的距离为______．(A) b ＋ c (B) c － b(C) b － c (D) b ＋ c(A) (B)－ (C) (D)－x cos α－y sin α＋ ＝0 与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝ 的位置关系是( D )|【真题 3】 (2010 年高考江苏卷，2)设复数 z 满足 z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则 z 的模 为____．一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．(2010 年河西区模拟)复数 z ＝(2＋i )21－i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于(B )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2．已知平面向量 a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，a ∥b ，则 x 等于( C )(A)9 (B)1 (C)－9 (D)－13．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点 D 满足 BD ―→＝2DC ―→，则 AD ―→等于( A )2 1 5 23 3 3 3 2 1 1 2 3 3 3 3a ＋2i4．(2010 年高考山东卷)已知＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中 i 为虚数单位，则 a ＋b 等于i( B )(A)－1 (B)1 (C)2 (D)35．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则 BD ― →等于( B )(A)(－2，－4) (B)(－3，－5) (C)(3,5) (D)(2,4)6．已知两个单位向量 e 1，e 2 的夹角为θ ，则下列结论不正确的是( D ) (A)e 1 在 e 2 方向上的投影为 cos θ (B)e 12＝e 22 (C)(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)(D)e 1· e 2＝17．(2010 年高考全国新课标卷)a ，b 为平面向量，已知 a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则 a ， b 夹角的余弦值等于( C )8 8 16 16 65 65 65 65 8．(2010 年高考四川卷)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC ―→2＝16，AB ― →＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|等于( C ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)19．已知向量 a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若 a 与 b 的夹角为 60°，则直线1 12 2(A)相交 (B)相交且过圆心 (C)相切 (D)相离10．(2009 年高考海南、宁夏卷)已知点 O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ― →|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且 PA ―→· P B ―→＝PB ―→· P C ―→＝PC ― →· P A ―→，则点 O ，N ，P 依次是△ABC 的( C )15．(2010 年高考重庆卷 )已知复数 z ＝1＋i ，则 －z ＝________.(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心 (C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心11．(2011 年广东江门市高考模拟考试)若四边形 ABCD 满足 AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→ －AD ―→)· A C ―→＝0，则该四边形一定是( B ) (A)直角梯形 (B)菱形(C)矩形 (D)正方形12．设 a 、b 、c 是单位向量，且 a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( D )(A)－2 (B) 2－2 (C)－1 (D)1－ 2二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．(2010 年高考上海卷)若复数 z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则 z · z ＋z ＝________.14．(2010 年重庆模拟)已知|a |＝2，|b |＝ 2，a 与 b 的夹角为 45°，若|a ＋λb |＜ 10，则 实数 λ 的取值范围是________．2z16．(2011 年深圳市高三第一次调研△)在 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量 p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足 p ∥q ，则 C ＝______.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(本小题满分 11 分)(2009 年高考上海卷)已知复数 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ＋)(i 是虚数单位)是方程 x 2－4x ＋5＝0 的根．复数 w ＝u ＋3i(u ∈R )满足|w －z |＜2 5，求 u 的取值范围．18．(本小题满分 11 分)(2010 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段 AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数 t 满足(AB ―→－tOC ―→)· O C ―→＝0，求 t 的值．19．(本小题满分 11 分)(2009 年高考湖南卷)已知向量 a ＝(sin θ ，cos θ －2sin θ )，b ＝(1,2)． (1)若 a ∥b ，求 tan θ 的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ ＜π，求θ 的值．20．(本小题满分11分)已知：两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP―→·M N―→，PM―→·P N―→，NM―→·N P―→成公差小于零的等差数列．(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0，y0)，θ为PM―→，PN―→的夹角，求θ的取值范围．21．(本小题满分12分)已知复数z1＝m＋(3－2m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋2sinθ)i，(λ，θ∈R)，并且z1＝z，求λ的取值范围．222．(本小题满分14分)已知抛物线x2＝8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF―→＝λFB―→(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：线段FM被x轴平分；(2)计算FM―→·A B―→的值；(3)求证：|FM|2＝|F A|·|FB|.。
课题】7.2平面向量的坐标表示【教学目标】知识目标：（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则.【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.【教学设计】向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）.设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j.如果点A的坐标为（x，y），则OA=x i+y j，将有序实数对（x，y）叫做向量OA的坐标•记作OA=（x，y）.例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题.要强调此时起点的位置.让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．（90分钟）教学过程】(2)图7—18AB=OB-OA=(x2i+y2力-(屮+片力=(x2一x1)i+(y2—y"由此看到，对任一个平面向量Q,都存在着一对有序实数(x,y)，使得a=x i+y j.有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)•如图7—17所示，向量的坐标为OA=(2,3).如图7—18(1)所示，起点为原点，终点为M(x,y)的向量的坐标为教师行为学生教学行为意图M(x,y)OM=(x,y).如图7—18(2)所示，起点为A(x1?y1),终点为B(x^y?)的向时 间353. 已知A ,B 两点的坐标，求ABBA 的坐标.(1) A(5,3),B (3,—1); A(1,2),B(2,1); A(4,0),B(0,—3). *创设情境兴趣导入 【观察】 观察图7—20，向量 OA =(5,3),OP =(3,0),OM =OA +OP =(8,3).可以看到, 两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和. 图7—20 *动脑思考探索新知 【新知识】 设平面直角坐标系中，a =(X ],y i ),b =(x 2,yj ，则a +b =(x i +y ]j )+(x 2i +y^j ) =(x ]+x 2)i +(y ]+y 2)j .所以a +b =(X ]+x ?,y 】+y ?)•(7.6) 类似可以得到 a —b =(X ]—x 2,y 二y 2)•(77)教师 行为 质疑 引导 分析 学生 行为 教学 意图 思考参与 分析 总结思考 归纳归纳仔细理解 分析记忆 讲解引导启发学生思考带领 学生 总结27教师教学后记】。
平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：1. 理解平面向量的定义及相关术语；2. 掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；3. 能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。
二、教学重难点：教学重点：向量的基础运算和性质；教学难点：向量问题的解答。
三、教学方法：讲述法、举例法、实验法。
四、教学过程：1. 前置知识概括为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。
向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。
在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。
2. 讲解平面向量的定义及相关术语平面向量即为有向线段，表示为 $\vec{a}$，具有大小和方向。
平面向量有以下几个重要的术语：（1）起点：向量 $\vec{a}$ 的起点是线段的始点，表示为 $A$。
（2）终点：向量 $\vec{a}$ 的终点是线段的末点，表示为 $B$。
（3）长度：向量 $\vec{a}$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。
（4）方向角：向量 $\vec{a}$ 的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用 $\theta$表示。
（5）方向余弦：向量 $\vec{a}$ 的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用 $\cos\alpha$ 和$\cos\beta$表示。
（6）坐标表示：用有序数对 $(a_x, a_y)$ 表示向量 $\vec{a}$，其中 $a_x$ 和 $a_y$ 分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。
3. 讲解向量的基本运算及性质（1）向量的加法：设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为两个向量，它们的和记为 $\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。
[精品]人教版中职数学教案-第七章--平面向量[9份教案]7.1.1 位移与向量的表示【教学目标】1. 了解有向线段的概念，理解并掌握向量的有关概念和向量相等的含义．2. 会用有向线段表示向量，并能根据图形判定向量是否平行、相等．3. 通过教学培养学生数形结合的能力．【教学重点】向量的概念．【教学难点】向量的概念．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．从物理背景和几何背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，归纳、概括向量的有关概念，使学生容易理解．同时结合习题让学生加深对相等向量的理解．7.1.2 向量的加法【教学目标】1. 理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律．2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．【教学难点】对向量加法定义的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲．并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.1.3 向量的减法【教学目标】1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．【教学重点】向量减法的三角形法则．【教学难点】理解向量减法的定义．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.2 数乘向量【教学目标】1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．2. 理解并掌握平行向量基本定理．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理．【教学难点】对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．d7.3.1 向量的分解【教学目标】1. 理解平面向量的基本定理，会用已知的向量来表示未知的向量．2. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和解决问题．3. 通过教学，培养学生数形结合的能力．【教学重点】平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量．【教学难点】理解平面向量的基本定理．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.3.2 向量的直角坐标运算【教学目标】1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．【教学难点】理解平面向量的坐标表示．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．7.4.1 向量的内积【教学目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos?a，b?与a·b ＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．7.5 向量的应用【教学目标】1. 能运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．2. 通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题．3. 通过教学，培养探究问题和解决问题的能力．【教学重点】运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．【教学难点】以向量为主题的数学模型的建立．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出以向量为主题的数学模型，使学生更容易理解向量的实质．。
中职数学平面向量教案第一章：向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的概念，向量的表示方法（字母表示和箭头表示）通过实际例子解释向量的方向和大小1.2 向量的几何表示介绍向量的几何表示方法，箭头表示向量的方向和长度绘制向量图，让学生理解向量的直观表示1.3 向量的坐标表示介绍向量的坐标表示方法，二维和三维空间中的向量坐标表示解释坐标轴上的向量表示，以及坐标系中的向量表示第二章：向量的运算2.1 向量的加法介绍向量的加法运算，同一直线上的向量加法，不同直线上的向量加法利用图形和坐标表示向量的加法运算2.2 向量的减法介绍向量的减法运算，通过加上相反向量实现向量的减法利用图形和坐标表示向量的减法运算2.3 向量的数乘介绍向量的数乘运算，即向量与实数的乘积解释数乘运算的性质和运算规律，利用图形和坐标表示向量的数乘运算第三章：向量的数量积3.1 向量的数量积定义介绍向量的数量积概念，即向量的点积解释数量积的性质和运算规律3.2 数量积的计算公式介绍数量积的计算公式，即两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积利用图形和坐标表示数量积的计算3.3 数量积的应用介绍数量积的应用，如判断两个向量的垂直关系，计算向量的模长和夹角利用实际例子展示数量积的应用第四章：向量的叉积4.1 向量的叉积定义介绍向量的叉积概念，即向量的叉积结果为一个向量，其方向垂直于原来的两个向量解释叉积的性质和运算规律4.2 叉积的计算公式介绍叉积的计算公式，即两个向量的叉积结果的模长等于它们的模长的乘积与夹角的正弦值的乘积，方向垂直于原来的两个向量利用图形和坐标表示叉积的计算4.3 叉积的应用介绍叉积的应用，如计算平行四边形的面积，求解两个向量的夹角利用实际例子展示叉积的应用第五章：向量的线性相关性5.1 向量的线性相关性定义介绍向量的线性相关性概念，即一组向量中存在至少一个向量可以由其他向量通过线性组合表示解释线性相关性的性质和判定条件5.2 向量的线性组合介绍向量的线性组合，即一组向量的加权和利用图形和坐标表示向量的线性组合5.3 向量的线性无关性介绍向量的线性无关性，即一组向量中没有任何一个向量可以由其他向量通过线性组合表示利用判定条件判断一组向量是否线性无关第六章：向量的应用6.1 物理中的应用介绍向量在物理学中的应用，如速度、加速度、力等物理量的向量表示通过实际例子解释向量在物理学中的作用6.2 几何中的应用介绍向量在几何中的应用，如计算线段的长度、夹角的大小、平行四边形的面积等通过实际例子解释向量在几何中的作用第七章：向量的分解7.1 向量的分解概念介绍向量的分解概念，即将一个向量分解为两个或多个向量的和解释向量分解的意义和作用7.2 向量的正交分解介绍向量的正交分解，即将一个向量分解为两个垂直向量的和利用正交基底进行向量分解，解释正交分解的性质和运算规律7.3 向量的坐标分解介绍向量的坐标分解，即将一个向量分解为坐标轴上的分量之和利用坐标表示向量的分解，解释坐标分解的性质和运算规律第八章：向量的方程8.1 向量的方程概念介绍向量的方程概念，即用向量的运算表达式描述向量之间的关系解释向量方程的意义和作用8.2 向量的线性方程组介绍向量的线性方程组，即由多个线性方程组成的方程组解向量的线性方程组，解释解的性质和判定条件8.3 向量的非线性方程介绍向量的非线性方程，即方程中包含向量的非线性运算通过实际例子解释向量非线性方程的解法和应用第九章：向量的空间9.1 向量的空间概念介绍向量的空间概念，即由向量组成的几何空间解释向量空间的意义和性质9.2 向量空间的基本性质介绍向量空间的基本性质，如向量加法、数乘运算的封闭性，线性组合的性质等解释向量空间的公理体系和判定条件9.3 向量空间的子空间介绍向量空间的子空间，即由原向量空间中的一部分向量组成的子集解释子空间的性质和运算规律，以及子空间之间的关系第十章：向量的进一步应用10.1 向量在工程中的应用介绍向量在工程技术中的应用，如力学、电路、控制等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在工程中的应用和作用10.2 向量在计算机科学中的应用介绍向量在计算机科学中的应用，如图形学、计算机图形处理、机器学习等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在计算机科学中的应用和作用10.3 向量在其他领域的应用介绍向量在其他领域中的应用，如经济学、生物学、环境科学等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在其他领域的应用和作用重点和难点解析1. 向量的概念与几何表示：重点关注向量的定义和几何表示方法，理解向量的方向和大小。
复习模块：平面向量一 、知识点（1）平面向量的概念及线性运算平面向量两要素：大小，方向。
零向量：记作0，手写时记做0 ，方向不确定。
单位向量：模为1的向量。
平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作a //b 。
规定：零向量与任何一个向量平行。
相等向量：模相等,方向相同，记作a = b 。
负向量：与非零向量a 的模相等，方向相反的向量，记作 a 。
规定：零向量的负向量仍为零向量。
向量加法的三角形法则：如图1，作AB u u u r =a , BC u u u r =b ，则向量AC u u u r 记作a ＋b ，即，和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点．向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD 中，AB u u u r ＋AD u u u r =AB u u u r ＋BC u u u r =AC u u u r , AC u u u r 所表示的向量就是AB u u u r 与AD u u u r 的和．平行四边形法则不适用于共线向量。
向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0；（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）．向量的减法：起点相同的两个不共线向量a 、 b ，a 与b 的差运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．如图3。
a −b =a+(−b )，设a =u u u r OA，b u u u r OB ， 向量的数乘运算：数与向量的乘法运算。
一般地，实数 与向量a 的积是一个向量，记作 a ，它的模为， 若|| a 0，则当 ＞0时， a 的方向与a 的方向相同，当 ＜0时， a 的方向与a 的方向相反．共线向量充要条件：对于非零向量a、b ，当0 时， aAa -b Bb 图3 图1A CB a b a +b ab 图2 C B一般地，有 0a = 0, 0 = 0 .线性组合：一般地， a ＋ b 叫做a , b 的一个线性组合．如果l ＝ a ＋ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．（2）平面向量的坐标表示设点1122(,)(,)A x y B x y ， ，则起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为2121() u u u r AB x x y y ，．设平面直角坐标系中，11(,)x y a ，22(,)x y b ，则由此得到，对非零向量a 、 b ，设1122(,),(,),a bx y x y当0（3）平面向量的内积向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>。
中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 2.1向量的概念（第1课时）教学目标通过学习，以位移、力等物理背景，了解平面向量、有向线段、单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的含义；能体会向量及有关概念的抽象过程，知道有向线段可以表示向量；能区分并举例说明相等向量、相反向量、共线向量。
重点向量及相关概念，向量的表示，共线向量的概念及判断．难点向量的两个要素及向量的表示，共线向量的概念．教法教学设备教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入随着我国综合国力的不断增强,我国海军装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试航. 如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S舰从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点. 如果S舰沿其他方向航行100 n mile,能不能到达B点呢？教学内容二、探索新知可以看出，S舰从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点．事实上,图中带箭头的线段AB包含两个要素：航程100 n mile；航向东北方向．物理学中，把“S舰沿东北方向航行100 n mile”称为S舰的位移.生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量. 向量常用小写黑体英文字母a、b、c 等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如a.向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|.模为1的向量称为单位向量．规定:模为零的向量为零向量，记作0或0.零向量的方向是任意的.一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．“情境与问题”中，有向线段直观地表示了S 舰的位移，其长度表示S 舰位移的大小，其箭头指向表示S舰位移的方向.一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.三、典型例题例1如图(1)所示，用点A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段表示出A地至B、C 两地的位移，并通过测量和计算指出它们的大小和方向（精确到1km）.教学内容解如图(2)所示，用有向线段AB表示A地到B地的位移.测量可得AB≈2.5cm.因此位移AB的大小|AB|≈25km，方向是正北.同理，用有向线段AC表示A地到C 地的位移.位移的大小|AB|≈22km，方向是正东.例 2 如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量.解向量a：|a|=222+2=22，东北方向；向量b：|b|=222+2=22，东北方向；向量c：|c|=221+1=2，西南方向；向量d：|d|=221+1=2，东北方向；向量m：|m|=2，正北方向；向量i：|i|=1，正东方向；向量j：|j|=1，正北方向；其中的单位向量有：i、j.四、巩固练习1.在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N).教学内容(1)方向正北、大小为20N的力，用向量AB表示；(2)方向正东、大小为50N的力，用向量CD表示.2.按图中的比例尺,分别求出由A地到B、C两地的位移(长度精确到1km)五、归纳总结六、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案教学内容向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系.一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量a与b相等时，记a=b.与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作−a.规定：零向量的相反向量仍是零向量.进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量.当向量a与b平行时，记a∥b.规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a,都有0∥a.温馨提示对于坐图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l. 然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出OA=a、OC=c、OD=d如右图所示. 这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.因此，平行向量也称共线向量.（3）因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、三、典型例题AD的平行向量；AB相等的向量；AO的相反向量．由平行四边形的性质可知，因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，所以AD的平行向量有DA、BC、CB；）因为相等向量是模相等且方向相同的两个向量，所以与向量AB相等的向量只有DC；因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、方向相反的向量，所以AO的相反向量有OA、CO.四、巩固练习试判断下列说法是否正确。
职高高1数学书平面向量的教案职高高1数学书平面向量教案模板高一新生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考核的知识和思维触点广的特点。
下面是作者为你准备的职高高1数学书平面向量的教案，快来鉴戒一下并自己写一篇与我们分享吧！职高高1数学书平面向量的教案篇1一、教材分析及处理函数是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的运用;函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切;函数是近一步学习数学的重要基础知识;函数的概念是运动变化和对峙统一等观点在数学中的具体体现;函数概念及其反应出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，《函数》教学设计。
对函数概念本质的知道，第一应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地运用等，初步知道用集合与对应语言刻画的函数概念.其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依靠、反复地、螺旋式上升地知道函数的本质。
教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的知道。
学生现状学生在第一章的时候已经学习了集合的概念，同时在初中时已学过一次函数、反比例函数和二次函数，那么如何用集合知识来知道函数概念，结合原有的知识背景，活动体会和知道走入今天的课堂，如何有效地激活学生的学习爱好，让学生积极参与到学习活动中，到达知道知识、掌控方法、提高能力的目的，使学生获得有益有效的学习体验和情感体验，是在教学设计中应摸索的。
二、教学三维目标分析1、知识与技能(重点和难点)(1)、通过实例让学生能够进一步体会到函数是描写变量之间的依靠关系的重要数学模型。
并且在此基础上学习运用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
不但让学生能完本钱节知识的学习，还能较好的复习前面内容，前后衔接。
(2)、了解构成函数的三要素，缺一不可，会求简单函数的定义域、值域、判定两个函数是否相等等。
(3)、掌控定义域的表示法，如区间情势等。
复习引入：新授： 1. 向量的概念把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a ,b ,c ,...等，在书写时，则在小写西文字符的上方加一个小箭头，例如a ,b ,c,...等．如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a |,|b |,|c |,...或|a |,|b |,|c|,...．特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e ．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB ,CD ,11C B 等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB |,|CD |,|11C B |．由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．例1 设矩形ABCD 的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？课内练习11. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？ca图7-2(1)b D C图7-2(2)BAB 1C 12. 向量的比较(1)向量相等任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(a≠b)两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等(a≠b)．在例1中的相等向量有且仅有AB=DC, BA=CD, BC=AD, CB=DA，更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b．若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是AD？为什么？(2)相反向量对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：AB=-BA, BC=-CB, DC=-CD, DA=-AD, AC=-,CA, BD=-DB．例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、(3)平行向量若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．规定零向量平行于任意向量.根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a 的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量．例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．课内练习21. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理的解释．第3题图F1新授：(1)向量的加法运算 向量加法运算的法则．向量a 加向量b 的结果a +b 是按照下列法则生成的一个向量c ：把b 的始点移到a 的终点后、从a 的始点连到b 的终点．记作 c =a +b ．与数量相加一样，把a 叫做被加向量，b 叫做加向量，c 叫做和向量．在a ,b 不平行的情况下，c 是重合a ,b 的始 点、以a ,b 为邻边组成的平行四边形的对角线向量， 其指向与a ,b 同侧(平行四边形法则，见图9-9(1))； 也是是以a 的终点作为b 的始点所组成的三角形的 第三边向量(三角形法则，见图9-9(2))．对于三角形 法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连． 例4 用两种方法作出图9-10(1)中向量a ,b 的和向量c ．解 (1)按平行四边形法则，把的始 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形，对角线向量即为和向量c ． (见图9-10(2))(2)移b 的始点到a 的终点，从a 的始点连向b 的终点的向量即为和向量c (见图9-10(3))． 例5 (1)若b =-a ，求c =a +b ； (2)若a ,b 平行，求c =a +b ． 例6 已知向量a ,b , c , d 如图9- 12，求f =a +b +c +d ．解 逐次应用向量加法的法则—— 移加向量的始点到被加向量的终点，从图9-9(1)图9-9(2)图9-10(3)ab• bc图9-10(2)ab图9-10(1)图9-12abdc abcdf被加向量的始点连向加向量的终点，得 到和向量f 如图9-12所示，其中虚线表 示的向量，从左向右依次是a +b , a +b +c ． 课内练习31. 请举一个向量相加的实际问题．2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？3. a +(-a )=0，因此|a |+|-a |=0，这个结论正确吗？一般地，c =a +b ，因此|c |=|a |+|b |，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？4. 矩形ABCD 如图，试求AB +BC ,BC +AB ,BA +BC ,BA +CB 得到的和向量之间有哪些关系？ 5. 矩形ABCD 如第4题，求(AB +BC )+CD ,AB +(BC +CD ),AB +BC +DC ,BA +BC +DA ． 得到的和向量之间有哪些关系？数量加法运算满足交换律(a +b =b +a )、结合律(a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c ))，向量的加法运算同样满足交换律和结合律a +b =b +a ， a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c )， (2)向量的减法运算如同数量a ,b 相减a -b ，是被加数a 与加数b 的相反数-b 相加一样，所谓向量a ,b 相减a -b ，实际上是向量a 与向量b 的相反向量-b 相加，即a +(-b )．应用向量加法法则，可以得出向量减法运算的法则．图9-13(1)中是已知向量a ,b ；图9-13(2) 显示了a +(-b )；图9-13(2)显示了 a -b 的直接运算法则，法则的文字 表述是：a -b 的结果是一个向量c ，把a ,b 的始点移到同一点，从b 的终点连向a 的终点的向量就是c (三角形法则) 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减．第4题图A BC D图9-13(1)ab图9-13(2)-ba-b ac图9-13(3)记作c=a-b．a叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量．例7 在∆ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使CA是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？例8 在∆ABC中，若边向量为AB,AC,BC，求(1)a=AB+BC+AC；(2)求b=AB-BC-AC．课内练习41. 在∆ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使AB是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？2. 在矩形ABCD中的边向量为AB,BC,CD，求(1)a=AB-BC；(2)b=BC-AB；(3)c=CD-BC；(4)d=AB-BC- CD．因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c)．(3)向量的数乘运算在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a．在例8向量运算中，我们两次都遇到a=AC+AC,b=CB+CB这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2AC, b=2CB呢？这完全取决与如何规定2AC,2CB的含义，若规定它们的含义确实与AC+AC,CB+CB相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义：一个实数α乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模|α|倍，即|b|=|α|⋅|a|；b的方向当α>0时与a的方向相同，当α<0时与a的方向相反．记作b=α⋅a或b=αa，把向量的这种运算叫做向量的数乘运算．根据向量数乘运算的这种规定，立即可知-a=-1⋅a，a+a=2a，-a-a=-2a．把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律：(α+β)a=αa+βa，α (a+b)=αa+αb，其中α,β是任意实数，a,b是任意向量．根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数α，使b=α⋅a（a≠0），则a与b是平行向量；反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数α，使b=α⋅a（a≠0）．例8 设c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c．解h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a)=2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b．例9 ∆ABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为∆A1BC1，求边A1C1的长(见图9-15)．课内练习51. 已知向量a，作出向量-2a, 3a．2. 已知向量a的模为s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模．3. 设c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f-3d-3g-2b．4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行．当甲行进2km、乙行进6km时两人相距4km，问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km时，两人相距多少？复习引入：新授：1．平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量设在平面上已经建立了一个直角坐标系{xOy }．方向为x 轴正向的单位向量i 、方向为y 轴正向的单位向量j 叫做该坐标系的坐标基底向量(见图9-16)．(2)平面向量的直角坐标在坐标平面上给定了向量 a ，平移其始点到原点后(见图7-17)，设其终点A 的坐标为(x ,y )．把(x ,y )叫做向量a 的坐标，记作a =OA =(x ,y )．若向量a 的坐标为(x ,y )，则其模可以用坐标表示为 |a |=22y x + (7-2-1) 坐标基底向量也有其坐标，分别是i =(1,0), j =(0,1)．以原点O 为始点、点A 在x ,y 轴上的投影为终点，是两个分别平行于i , j 的向量，根据向量加法定义，有a =x i +y j ， (7-2-2) 即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合． 因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a ，直接在a 上作分解(见图7-17)．例如从图7-18，我们就可以直接看出AB =i -2j =(1,-2)．课内练习11. 写出图9-18中向量OP ,EF ,CD 的坐标，并求它们的模．2. 向量关系的坐标表示向量之间有相等、相反、平行(共线)等关系．当知道图7-17图9-18Ojyi x图7-16了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单． (1)相等：若a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)，则 a =b ⇔ a 1=a 2, b 1=b 2．即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等． (2)相反：若a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)，则 a =-b ⇔ a 1=-a 2, b 1=-b 2．即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量相反．(3)平行(共线)：向量a =(a 1,b 1),b =(a 2,b 2)平行 ⇔ 移a ,b 的始点到原点后，它们的终点A ,B 与原点共线 ⇔ ∆OA 1A ∽∆OB 1B (见图7-19) ⇔ 2121b b a a =．所以两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必定对应成比例． 例1 已知向量a =(2,-1)，当x 为多少时，向量b =(x ,2)与a 平行？ 解 a //b ⇔ 212-=x ⇔ x =-4．所以当x =-4时a //b ．课内练习21. 根据向量坐标，判断下列向量中存在的共线：a =(2,-1),b =(-2, 1),c =(-6, 3),d =(42,-21),e =(2,-1),f =(8,-4),g =(-2,-1)． 2. 已知向量a =(9,-4)，当y 为多少时，向量b =(-12,y )与a 平行？3．平面向量运算的直角坐标表示把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2)，即可得向量运算的坐标表示．(1)数乘：设a =(x ,y )，即a =x i +y j ，b =λa ，则 b =λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j =(λx ,λy )，即 λa =λ(x ,y )=(λx ,λy )． (7-2-3) 即向量a 数乘λ后所得向量的坐标，是a 的纵、横坐标的λ倍． (2)加减法：设a =(a 1,b 1)，b =(a 2,b 2)，则图7-19a=a1i+b1j，b=a2i+b2j，a+b=(a1i+b1j)+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j，即a+b=(a1+a2, b1+b2)．(7-2-4) 同理也有a-b=(a1-a2, b1-b2)．(7-2-5) 所以向量a, b的和、差向量的坐标，等于a, b的坐标对应的和、差．(3)给定始终点的向量的坐标向量a=AB．若已知点A,B在坐标A(x 1,y1),B(x2,y2)(见图7-20)，则OA=(x1, y1),OB=(x2, y2)，AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)．(7-2-6) 所以给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐标．例2已知a=(1,-2), b=(2,3)，求a+b,a-b, 2a-3b．例3 已知A(1,2), B(-2,1)，求AB,BA．解应用公式(10-2-6)，AB=(-2-1,1-2)=(-3,-1)；BA=(1-(-2),2-1)=(3,1)．例4已知平行四边形ABCD的顶点坐标A(1,1), B(2,3),C(-1,4)(见图7-21)，求顶点D点坐标．例5 已知A(2,3),B(-2,5),且AB=2AC，求C点的坐标．例6 某人第一天按图9-23所示方向、以速度5km/h步行3小时到达A处；第二天又按图9-23所示方向、以速度15km/h骑了3小时自行车到达B处．问B离此人出发点的直线距离是多少？课内练习21. 已知a=(-1,2),b=(2,-2),求a+b,a-b,-a+2b．2.已知a=(-2+x,4),b=(-3,-1-y),且a=b,求x,y．3.根据下列条件求AB与BA的坐标：x图7-20yOABxBODCAy图7-21(1)A(-1,0), B(2,-1)；(2)A(-2,1), B(3,1)；(3)A(2,1), B(0,-2)；(4)A(-2,4), B(-3,8)．4. 已知平行四边形ABCD的A(1,0),B(2,5),C(-1,1),求D点坐标．5.已知A(6,-3),B(3,-5),且AB= -2AC，求C点的坐标．复习引入：新授：1. 向量的数量积(1)平面向量所成的角给定两个非零平面向量a ,b ，移它们的始点到同一点，以表示向量的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a ,b 所成的角，记作(a ^b )(见图7-25)；为了使两个非零向量所成的角唯一，规定0≤(a ^b )≤π．零向量0与任何向量所成的角认为可以任意．为了方便有时也把(a ^b )叫做向量之间的夹角．从向量所成角定义，立即可知(a ^b )=0 ⇔ a //b (即a ,b 共线)；(a ^b )= π ⇔ a =-b (即a ,b 互为相反向量)． 特别地，当(a ^b )=2π，则我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． (2)向量的数量积已知向量a ,b ，a ,b 的数量积是一个以下式定义的数量： a ⋅b =|a ||b |cos(a ^b )其中(a ^b )表示向量a ,b 之间所成的角．向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别．这种区别在运算方面的体现，是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算．这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积．例1 求下列向量的数量积：(1)|a |=5,|b |=4, (a ^b )=23π，求a ⋅b ； (2)a =(3,4),|b |=21, (a ^b )=2π，求a ⋅b ； (3)a =(3,4), b =(-3,-4)，求a ⋅b ； (4)a =(1,3)，求a ⋅a ； (5)a =0，b =(x,y)，求a ⋅b ． 课内练习11. 求下列向量的数量积：(1)|a |=2,|b |=8, (a ^b )=4π，求a ⋅b ； (2)a =(1,3),|b |=31, (b ^a )=2π，求a ⋅b ； (3)a =(-3,-2), b =(3,2)，求a ⋅b ； (4)a =(5,3)，求a ⋅a ； (5)a =(10,y)，b =0，求a ⋅b ．(3)向量数量积的基本运算法则根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则：①交换律：a ⋅b =b ⋅a ；图7-25②数乘分配率：(λa )⋅b =a ⋅(λb )=λ(a ⋅b )，(任意λ∈R )；③分配率：(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c ．例2 设AB =(3,-1), |CD |=2, θ=(AB ^CD )=3π，求 (1)(2AB )⋅(3CD )；(2)(AB +2CD )⋅AB ；(3)(-4AB )⋅(AB +2CD )．课内练习21．已知|a |=4, |b |=3，a 与b 的夹角为65π，求(2a -b )⋅(a +2b )． 2．已知A (-1,2),B (1,4)，|CD |=4, θ=(AB ^CD )=3π，求 (1)AB ⋅(3CD )；(2)(2AB +CD )⋅AB ；(3)AB ⋅(-AB +2CD )．(4)向量数量积的基本结论从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的． ①a ⊥b ⇔ a ⋅b =0；②当a //b 且同向时，a ⋅b =|a ||b |；当a //b 且方向相反时，a ⋅b =-|a ||b |；③a ⋅a =|a |2，所以|a ；④cos(a ^b )=||||b a b a ⋅⋅． (7-3-2) 最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用．例3 已知|a |=4, |b |=5，分别在下列条件下求a ⋅b ： (1)a//b ； (2)a ⊥b ．例4 已知|a |=2, |b |=4，a b =-6，求(a ^b )的余弦值．课内练习31. 已知a //b ，|a |=1, |b |＝2，求 a ⋅b ．2. 下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由：(1)0⋅a =0；(2)|a |=a ⋅a ；(3)a ⋅b =|a ||b |；(4)a ⋅b =|a ⋅b |；(5)|a ⋅b |=|a ||b ||cos(a ^b )|；(6)(a ⋅b )(a ⋅b )=(a ⋅a )(b ⋅b )=|a |2|b |2；(7)a //b ⇔ 存在实数λ，使a ⋅b =λ|a |2；(8)(a +b )⋅(a -b )=|a |2-|b |2；(9)(a +b )⋅(a -b )=a 2-b 2．3. 已知|a |=1, |b |=4, a ⋅b =，求(a ^b )．2．平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化(即求出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积．首先考察坐标基底向量i , j 的数量积，有i ⋅i =1；i ⋅j =j ⋅i =0；j ⋅j =1． (4)现设向量 a , b 的坐标为a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，即a =x 1i +y 1j ,b =x 2i +y 2j ，则 a ·b =(x 1i +y 1j )·( x 2i +y 2j )=x 1x 2i ·i +y 1y 2j ·j +x 1y 2i ·j +y 1x 2j ·i ，即 a ·b =x 1x 2+y 1y 2． (7-3-3) 这就是说，两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和．以坐标表示向量数量积的基本公式③，能得到我们熟知的一些公式：设a =(x ,y )，则a ·a =|a |2=x 2+y 2，即向量模公式 |a |=22y x +；特别地当a =AB ，且起终点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为已知时，由AB =(x 2-x 1,y 2-y 1)，即得 |a |=|AB |=212212)()(y y x x -+-，此即为两点间的距离．例5 求下列向量的数量积：(1)a =(2, -1), b =(3, 1)，求a ·b ；(2)c =(-1, -1), d =(1, -1)，求c ·d ．例6 已知a =(1, 2), b =(-2, 3)，求(a +b )⋅(a -b ), (a - b )⋅(2a +b )．例7 (1)已知a =(-2, 6), a ·b =-6，设b =(6, y )，求y ；(2)已知a =(2,2), (a ^b )=4π, |b |=2，求b 的坐标． 课内练习41. 求下列向量的数量积：(1)a =(-2, 1), b =(3, -1)，求a ·b ；(2)c =(4, -1), d =(2, -1)，求c ·d ．2. 已知a =(2, -1), b =(-1, 5)，求(2a +b )⋅(2a -b ), (a -2b )⋅(2a +b )．3. 设a =(x , 6), a ·b =-6, b =(2, -1)，求x ．4. 已知|a |=1, (a ^b )=43π, b =(-1,2)，求a 的坐标．(2)平面向量所成角的计算公式把(9-3-3)向量模计算公式代入已有的向量所成角计算公式(7-3-2)，得cos(a ^b )=222221212121y x y x y y x x +⋅++． (7-3-4)直线间夹角或向量间所成角的计算，一直是令人头痛的事．(7-3-4)表明，只要知道向量的坐标，就能计算出它们之间的所成角，是今后计算的主要手段．特别地，从向量数量积基本结论①和(7-3-4)，还能得到a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0，(7-3-5) 这也是用来判定向量垂直的主要手段之一．例8 求向量a 与b 所成角：(1)a =(2,1) , b =(3,-1)；(2)a =(2,-1) , b =(-3,-1)．例9 已知点A (1,2)，B (2,3)，C (-2,5) ．求证∠BAC =2π．课内练习51．求求向量a 与b 所成角：(1)a =(-1, 2), b =(2, 3)；(2)a =(-1,-2), b =(2, -5)．2. 证明以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形：(1) A (-1, - 4), B (5, 2), C (3, 4)；(2)A (-2, -3), B (19, 4), C (-1,-6)．3. 已知a =(4, 2), b =(-3,-3)，当k 为何值时，a +b 与k a +2b 垂直？4. 已知点A (0,1), B (5,2)，求点P (x ,y )，使PA ⊥PB 且PA =PB ．。
