高教版中职数学(基础模块)下册7.2《平面向量的坐标表示》word教案

教案
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【课题】6．1 数列的概念【教学目标】知识目标：（1）了解数列的有关概念；（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．能力目标：通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．【教学重点】利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．【教学难点】根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．【教学设计】通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】．从小到大依次取正整数时，cos，…．的近似值（四舍五入法）,,n a ，．()n N．其中，下角码中的数为项数，1a 表示第由小至大依次取正整数值时，以表示数列中的各项，因此，通常把第n 项【教师教学后记】【课题】6．2 等差数列（一）【教学目标】知识目标：（1）理解等差数列的定义；（2）理解等差数列通项公式．能力目标：通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力． 【教学重点】等差数列的通项公式． 【教学难点】等差数列通项公式的推导． 【教学设计】本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:d a a n n =-+1(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：,,,,1n a n d a 只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量． 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【教师教学后记】【课题】6．3 等比数列（一）【教学目标】知识目标：（1）理解等比数列的定义；（2）理解等比数列通项公式．能力目标：通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等比数列的通项公式．【教学难点】等比数列通项公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:q a a nn =+1(常数). 例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：1a ，q ,n , n a , 只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是aq a qa,,比较好,因为这样设了以后,这三个数的积正好等于,3a 很容易将a 求出.【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【教师教学后记】【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=ab a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件. 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 *揭示课题7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境 兴趣导入如图7－1所示，用100N ①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1介绍 播放 课件引导 分析了解 观看 课件 思考 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点0 3AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作手写时应在字母上面加箭头，记作a．aAB的模依次记作AB．模为零的向量叫做，零向量的方向是不确定的．模为AB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量= b．也就是说，种性质的向量叫做自由向量．AB= MN，GH= －TK．DA 相等的向量；DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-；BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；OC 的负向量；A D E （练习题FABOC共线的向量．AC叫做AB与位BC的和AC=AB+BC．aa bAB=a, BC=b，AC叫做向量a＋b ，即AB＋BC=AC（7．求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做AD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：a）= 0；总结归纳AB表示船速，AC为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解反复强调62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则-=+-+=+=．OA OB OA OB OA BO BO OA BA()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点过 程行为行为 意图 间解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即 BA = a －b ．【想一想】当a 与 b 共线时，如何画出a －b ．说明领会 思考 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点70*运用知识 强化练习1．填空：（1）AB AD -=_______________，（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72*创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．质疑思考引导启发BbOaAba（1）（2）图7－14过 程行为行为 意图 间 类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78*巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＝a ＋b ,BD ＝b −a ，因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ， OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ． 例6中，12a ＋12b 和−12a +12b 都叫做向量a ，b 的线性组合，或者说，AO 、OD 可以用向量a ，b 线性表示．强调 含义说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OA，使OA＝12AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作计算：AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材【教师教学后记】【课题】7.2 平面向量的坐标表示【教学目标】知识目标：（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则.【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.【教学设计】向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j．如果点A的坐标为（x，y）,则OA x yi j，=+将有序实数对（x，y）叫做向量OA的坐标．记作OA=（x，y）．例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题7.2 平面向量的坐标表示*创设情境兴趣导入【观察】设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）(图7－17)．则图7－172OM=i，3ON=j．由平行四边形法则知介绍质疑引导了解思考从实例出发使学生自然的走向知识点2OA OM ON =+=+i 可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的i +=OM x 22,)x y （如图(x ,y )2212(()(i =-==-+AB OB OA x x x y 由此看到，对任一个平面向量， 使得(2,3)=OA ）所示，起点为原点，终点为(,=OM x ．）所示，起点为2(=-AB x x ，典型例题－19所示，用并写出它们的坐标．OM ＋MA (5,3)=a (4,3)=-b过 程行为 行为 意图 间【想一想】观察图7－19，OA 与OM 的坐标之间存在什么关系？ 例2 已知点(2,1)(3,2)-P Q ，，求PQQP ，的坐标． 解 (3,2)(2,1)(1,3),=--=PQ (2,1)(3,2)(1,3)=--=--QP ．引领 讲解 说明主动 求解会15*运用知识 强化练习1． 点A 的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i 与j 的线性组合表示向量OA ．2． 设向量34a i j =-,写出向量a 的坐标． 3． 已知A ，B 两点的坐标，求AB BA ，的坐标． (1) (5,3),(3,1);-A B (2) (1,2),(2,1);A B (3) (4,0),(0,3)-A B ． 提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况20*创设情境 兴趣导入图7－19过 程行为 行为 意图 间 【观察】观察图7－20，向量(5,3)OA =,(3,0)OP =,(8,3)OM OA OP =+=．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考27*动脑思考 探索新知 【新知识】设平面直角坐标系中，11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则 1122()()x y x y +=+++a b i j i j1212()()x x y y =+++i j ．所以1212(,)x x y y +=++a b ． （7．6）类似可以得到1212(,)x x y y -=--a b ． （7．7）总结 归纳思考 归纳带领 学生 总结图7－20。

平面向量的坐标表示教案内容：一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握平面向量的坐标表示方法。

2. 能够运用坐标表示法解决一些简单的向量问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学重点与难点1. 重点：平面向量的概念，坐标表示方法的推导及应用。

2. 难点：平面向量坐标的运算规律，空间想象能力的培养。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面向量的概念及坐标表示方法。

2. 利用图形演示，帮助学生直观理解向量的坐标表示。

3. 运用例题解析，引导学生掌握向量坐标的运算规律。

4. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。

四、教学准备1. 教学课件：平面向量坐标表示的相关图片和动画。

2. 教学素材：多媒体设备，黑板，粉笔。

3. 练习题：针对本节课内容的练习题。

五、教学过程1. 导入：回顾标量与向量的概念，引出平面向量的定义。

2. 讲解：向量的概念，向量的坐标表示方法，向量坐标的运算规律。

3. 演示：利用图形演示向量的坐标表示，让学生直观理解。

4. 例题：解析平面向量坐标的运算规律，引导学生运用坐标表示法解决问题。

5. 练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。

6. 总结：本节课的主要内容，强调平面向量坐标表示的重要性。

7. 作业：布置相关作业，巩固所学知识。

教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解平面向量的概念，并通过图形演示，让学生直观地理解向量的坐标表示。

在讲解向量坐标的运算规律时，要结合实例进行分析，让学生更好地掌握。

要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。

六、教学拓展1. 引导学生思考：坐标表示法在实际问题中的应用，如物理学中的力的分解、几何中的位移等。

2. 讲解向量坐标的转换：如何将空间直角坐标系中的向量转换为平面坐标系中的向量。

七、课堂互动1. 提问：请同学们举例说明平面向量的坐标表示在实际问题中的应用。

2. 小组讨论：如何利用向量坐标表示法解决几何问题。

，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．

第七单元平面向量复数知识体系第1节平面向量的概念及线性运算基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或称)．(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于个单位的向量．(4)平行向量：方向或的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0与任一向量(5)相等向量：长度且方向的向量．(6)相反向量：与a长度，方向的向量，叫做a的相反向量．2．向量的加法运算及其几何意义(1)三角形法则：已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC 叫做a与b的，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC，这种求向量和的方法，称为向量加法的．(2)平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出，如图所示．3．向量的减法运算及其几何意义(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)如图，AB＝a，AD＝b，则DB＝a－b.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向；当λ＜0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ) a；②(λ＋μ) a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.典例分析向量的有关概念【例1】 给出下列各命题：①零向量没有方向；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③单位向量都相等；④向量就是有向线段；⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝，＝.其中真命题是________．向量共线与三点共线问题【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．变式探究31：已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )(A)k ＝1且c 与d 同向 (B)k ＝1且c 与d 反向(C)k ＝－1且c 与d 同向 (D)k ＝－1且c 与d 反向向量的线性运算【例2】 (2010年高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD ―→等于( ) (A)13a ＋23b (B)23a ＋13b (C)35a ＋45b (D)45a ＋35b 变式探究21：(2010年山东济南模拟)已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C .若OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→＝0，则|AB ―→||BC ―→|等于______．易错警示错源一：零向量“惹的祸”【例1】下列命题正确的是()(A)向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；(B)在△ABC中，AB―→＋BC―→＋CA―→＝0；(C)不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；(D)向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线错源二：向量有关概念理解不当【例2】如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元素个数为________．第2节平面向量基本定理及其坐标表示基础梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a 与b的夹角，也可记作〈a，b〉＝θ.(2)范围：向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ＝0；a与b反向时，夹角θ＝π.(3)垂直关系：如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.质疑探究1：在△ABC中，设＝a，＝b，则a与b的夹角是∠ABC吗？2．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．质疑探究2：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底吗？3．平面向量的正交分解与坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x ，y 分别叫做a 在x 轴、y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量a 的坐标表示．相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．4．平面向量的坐标运算(1)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)非零向量a ＝(x ，y )的单位向量为典例分析 平面向量基本定理及其应用【例1】 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC的中点，已知AM ＝c ，AN ＝d ，试用c ，d 表示AB ，AD .共线向量的坐标运算【例3】 (2010年高考陕西卷)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )±1|a |a 或±1x 2＋y 2(x ，y )． (4)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ＝b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2y 1＝y 2. 质疑探究3：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的条件能否可以写成x 1x 2＝y 1y2？ 提示：不能，因为x 2，y 2有可能为0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 向量坐标的概念及运算 【例2】 已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ―→＝13AB ―→，DA ―→＝－13―→，求点C 、D 的坐标和CD ―→的坐标．变式探究21：(2010年山东临沂联考)已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC ―→＝2CB ―→，则实数a 等于( )(A)2 (B)1 (C)45 (D)53∥c ，则m ＝________.变式探究31：(2010年福州市质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )(A)(－5，－10) (B)(－4，－8)(C)(－3，－6) (D)(－2，－4)易错警示第3节 平面向量的数量积基础梳理1．数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，其夹角为θ.我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．数量积的几何意义(1)向量的投影：|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正数，当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0.(2)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．3．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则：(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .质疑探究：若非零向量a ，b ，c 满足①a ·c ＝b·c ，则a ＝b 吗？②(a·b )·c ＝a ·(b·c )恒成立吗？ 提示：①不一定有a ＝b ，因为a ·c ＝b ·c ⇔c ·(a －b )＝0，即c 与a －b 垂直，但不一定有a ＝错源：对共线向量不理解 【例题】 已知两点A (2,3)，B (－4,5)，则与AB ―→共线的单位向量是( ) (A)e ＝(－6,2) (B)e ＝(－31010，1010) (C)e ＝(－31010，1010)或e ＝(31010，－1010) (D)e ＝(－6,2)或(6，－2)b .因此数量积不满足消去律．②因为(a·b )·c 与向量c 共线，(b·c )·a 与向量a 共线．当c 与a 不共线时(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )即向量的数量积不满足结合律．4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |；典例分析向量数量积的运算及模的问题【例1】(1)(2010年高考天津卷)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝，||＝1，则·＝________.(2)(2010年高考广东卷)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |. 5．用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题 (1)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)夹角公式：若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，2与b 的夹角，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12x 22＋y 22. (3)距离公式：若表示向量a 的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|a |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，这就是平面内两点间的距离公式．(4)垂直关系：设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (1)向量的数量积有两种计算方法：一是根据数量积的定义进行计算；二是依据向量的坐标来计算．(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下： ①若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.②|a |2＝a 2＝a ·a .③|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 变式探究11：(2009年高考辽宁卷)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) (A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12易错警示错源：忽视角的范围而“惹祸”【例题】设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．两向量垂直问题 【例2】 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当向量k a －b 与a ＋2b 垂直时，k ＝________. 变式探究21：(2009年高考宁夏、海南卷)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) (A)－17 (B)17 (C)－16 (D)16 两向量夹角问题【例3】 已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角的大小；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 变式探究31：(2009年高考重庆卷)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是( ) (A)π6 (B)π4 (C)π3 (D)π2 数量积的综合应用 【例4】 已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a ，b 的夹角为60°，求|a ＋b |； (3)若(a －b )⊥b ，求a 与b 的夹角．第4节 平面向量的应用基础梳理1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹角等问题．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.②证明垂直问题，主要利用向量数量积，即a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.③求线段的长，主要利用向量的模，即2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体应用，可用向量来解决．(2)物理中的功W 是一个标量，它是力f 与位移s 的数量积，即W ＝f ·s ＝|f ||s |cos θ.3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．典例分析向量在平面几何中的应用【例1】 如图所示，若点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，|a |＝a 2＝x 12＋y 12. ④求夹角问题，利用数量积的变形公式：即cos θ＝cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12·x 22＋y 22.求证：AD ⊥BC .变式探究11：在直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( ) (A)|AC ―→|2＝AC ―→·AB ―→ (B)|BC ―→|2＝BA ―→·BC ―→ (C)|AB ―→|2＝AC ―→·CD ―→ (D)|CD ―→|2＝(AC ―→·AB ―→)×(BA ―→·BC ―→)|AB ―→|2平面向量在物理中的应用【例2】 (2009年高考广东卷)一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( ) (A)6 (B)2 (C)2 5 (D)27 向量与三角的整合 【例3】 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值； (2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值． 变式探究31：(2010年河西区模拟)已知向量a ＝(3，1)，向量b ＝(sin α－m ，cos α)， (1)若a ∥b ，且α∈[0,2π)，将m 表示为α的函数，并求m 的最小值及相应的α的值； (2)若a ⊥b ，且m ＝0，求cos (π2－α)sin (π＋2α)cos (π－α)的值．变式探究41：(2010年大连市六校联考)设F 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若＋＋＝0，||＋||＋||＝3，则该抛物线的方程是( )(A)y 2＝2x (B)y 2＝4x(C)y 2＝6x (D)y 2＝8x易错警示错源：“共线”运用出错【例题】 如图，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(＋)·PC 的最小值是________．第5节 复数的概念及运算基础梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示复数．平面向量与解析几何的整合 【例4】 (2010年安徽巢湖模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，动点P (x ，y )满足|PA ―→|＋|PB ―→|＝4. (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点(1,0)作直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，求OM ―→·ON―→的取值范围． (5)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．质疑探究2：(1)z 1，z 2为复数，z 1－z 2＞0，那么z 1＞z 2，这个命题是真命题吗？(2)若z 1，z 2∈R ，z 12＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0，此命题对z 1，z 2∈C 还成立吗？提示：(1)假命题．例如：z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋i ，z 1－z 2＝3＞0.但z 1＞z 2无意义，因为虚数无大小概念．(2)不一定成立．比如z 1＝1，z 2＝i 满足z 12＋z 22＝0.但z 1≠0，z 2≠0.典例分析变式探究11：已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ，y 分别为( )(A)x ＝－1，y ＝1 (B)x ＝－1，y ＝2(C)x ＝1，y ＝1 (D)x ＝1，y ＝2质疑探究1：复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0吗？提示：不是，a ＝0是a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的必要条件，只有当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i 才为纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ――→一一――→对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )；(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一――→对应平面向量OZ ―→ (a ，b ∈R )．3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bdc 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(1)i n 的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，n ∈Z .(2)常用结论：1i ＝－i ，(1±i)2＝±2i.(对应学生用书第69页)复数的有关概念【例1】 已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) (A)(1,5) (B)(1,3) (C)(1，5) (D)(1，3) 思路点拨：写出|z |的表达式，根据a 的范围确定|z |的取值范围．复数代数形式的运算【例2】 (2009年高考海南、宁夏卷)复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i 等于()(A)0 (B)2 (C)－2i (D)2i变式探究21：(2010年高考广东卷)若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( )(A)4＋2i (B)2＋i (C)2＋2i (D)3＋i变式探究31：已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C .O 为坐标原点，若＝x ＋y ，则x ＋y 的值是______．易错警示篇末总结平面向量是高中数学中的工具性知识，是高考必考内容，直接命题时题量一般为1道选择题或填空题，更多地是作为工具整合于三角函数、解析几何相应的解答题中，其考查的重点是向量的概念和线性运算(如2010年高考湖北卷，理5)，数量积(如2010年高考湖南卷，文6)，与三角或解析几何的结合仍是高考中的重要题型(如2010年高考福建卷，文11)．复数是每年高考必考内容，题量为1道选择题或填空题，主要考查复数的有关概念、几何意义和代数形式的四则运算(如2010年高考辽宁卷，理2)．复数的几何意义【例3】 (2010年高考陕西卷)复数z ＝i 1＋i 在复平面上对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 错源：对复数的概念理解不透 【例题】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数为z ＝a －b i ，则z －z 为( ) (A)实数 (B)纯虚数 (C)0 (D)零或纯虚数1．(2010年高考湖北卷，理5)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0，若存在实数m 使得AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则m 等于( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)52．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°【真题2】 (2010年高考重庆卷，理14)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF ―→＝3FB ―→，则弦AB 的中点到准线的距离为______．3．(2010年高考福建卷，文11)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)8 4．(2010年高考辽宁卷，理2)设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i ＝1＋i ，则( ) (A)a ＝32b ＝12 (B)a ＝3，b ＝1 (C)a ＝12b ＝32 (D)a ＝1，b ＝3 【真题1】 (2010年高考江西卷，理13)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝______. 追本溯源：人教A 版必修4第119页复习参考题A 组第13题： 已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为30°，求|a ＋b |，|a －b |.【真题3】 (2010年高考江苏卷，2)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为____．2．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，a ∥b ，则x 等于( C )(A)9 (B)1 (C)－9 (D)－15．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→等于( B )(A)(－2，－4) (B)(－3，－5)(C)(3,5) (D)(2,4)6．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( D )(A)e 1在e 2方向上的投影为cos θ(B)e 12＝e 22(C)(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)(D)e 1·e 2＝18．(2010年高考四川卷)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|等于( C )(A)8 (B)4 (C)2 (D)110．(2009年高考海南、宁夏卷)已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→＝PC ―→·P A ―→，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( C )一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2010年河西区模拟)复数z ＝(2＋i )21－i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( B ) (A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限3．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点D 满足BD ―→＝2DC ―→，则AD ―→等于( A ) (A)23b ＋13c (B)53c －23b (C)23b －13c (D)13b ＋23c4．(2010年高考山东卷)已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )(A)－1 (B)1 (C)2 (D)3 7．(2010年高考全国新课标卷)a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( C ) (A)865 (B)－865 (C)1665 (D)－16659．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若a 与b 的夹角为60°，则直线x cos α－y sin α＋12＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12的位置关系是( D ) (A)相交 (B)相交且过圆心 (C)相切 (D)相离(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心(C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心11．(2011年广东江门市高考模拟考试)若四边形ABCD 满足AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝0，则该四边形一定是( B )(A)直角梯形 (B)菱形(C)矩形 (D)正方形16．(2011年深圳市高三第一次调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝______.18．(本小题满分11分)(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB ―→－tOC ―→)·OC ―→＝0，求t 的值．19．(本小题满分11分)(2009年高考湖南卷)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值．12．设a 、b 、c 是单位向量，且a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( D ) (A)－2 (B)2－2 (C)－1 (D)1－ 2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2010年高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________. 14．(2010年重庆模拟)已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若|a ＋λb |＜10，则实数λ的取值范围是________． 15．(2010年高考重庆卷)已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(本小题满分11分) (2009年高考上海卷)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ＋)(i 是虚数单位)是方程x 2－4x ＋5＝0的根．复数w ＝u ＋3i(u ∈R )满足|w －z |＜25，求u 的取值范围．20．(本小题满分11分)已知：两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP―→·MN―→，PM―→·PN―→，NM―→·NP―→成公差小于零的等差数列．(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0，y0)，θ为PM―→，PN―→的夹角，求θ的取值范围．21．(本小题满分12分)已知复数z1＝m＋(3－2m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋2sin θ)i，(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．22．(本小题满分14分)已知抛物线x2＝8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF―→＝λFB―→(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：线段FM被x轴平分；(2)计算FM―→·AB―→的值；(3)求证：|FM|2＝|F A|·|FB|.。

向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
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数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。

课时教学设计首页（试用）授课时间：年月日课题7.3.2 向量的直角坐标运算课型新授第几1、2课时课时教学目标1.理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．2.能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．3.通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物（三维）之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．教学重点：教学重点平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．与教学难点：难点理解平面向量的坐标表示．教学本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展方法自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．与手段使用教向量的坐标运算不难，但学生对向量坐标表示的意义理解有些难度，所以处理教材材时，把向量坐标的意义做为重点讲解，而具体的坐标运算法则注重师生共同分析得的出，以自主学习为主。

本节可视教学情况分为两节课教学。

构想太原市教研科研中心研制第1 页（总页）课时教学流程教师行为学生行为1．平面内建立了直角坐标系，点A教师提出问题．可以怎么表示?学生回忆解答．yaA(a， b)O x2．平面向量是否也有类似的表示呢?3．平面向量基本定理的内容是什么?1．向量的直角坐标在直角坐标系内，我们分别：学生阅读课本，讨论并回(1) 取基向量 : 取与 x轴和 y 轴的答教师提出的问题：正方向相同的两个单位向量e1，e2作为（ 1）e1，e2与平面向量基基向量．本定理中的 e1，e2有什么区别？(2) 得到实数对：任作一个向量a，（ 2）向量的坐标与有序实由平面向量基本定理，有且只有一对实数对之间是什么关系？数 a1，a2，使得a＝a1e1＋a2e2，我们把 (a1，教师针对学生的回答进行a2)叫做向量a的坐标，记作点评．a＝(a1，a2)，①教师引导学生学习向量的其中 a1叫做a在 x 轴上的坐标， a2叫直角坐标表示．做a 在y轴上的坐标． e1，e2叫做直角坐标平面上的基向量．①式叫做向量的坐标表示．探究：（1）如图，e1，e2是直角坐标平面学生尝试解答．教师针对上的基向量，你能写出0，e1，e2的坐标学生的回答进行点评．吗？ye2O e1x教师提出问题．师生共同解答．第 2 页（总页）设计意图☆补充设计☆为知识迁移做准备．问题是为突出本课重点而设计．通过对比教学可以加深学生的印象．通过问题的详细探究，比直接给出说明更符合学生的特点，容易被学生接受．求特殊向量的坐标，可以加深学生对向量坐标概念的理解，从而提高学生的读图能力．太原市教研科研中心研制课时教学流程e1＝(1，0)， e2＝(0，1)， 0＝(0，0)．（2）向量的坐标与点的坐标之间有试一试：在平面直角坐标何关系？系 xOy 中作向量a＝(1，2)，y→作有向线段 OA ，使得点 A(1，y A(x， y)2) ，并说明向量 a 与有向线段→e2OA表示的向量的关系．O e1x x设点 A 的坐标为 (x， y)，则→＝＋y e＝( x，y)．OA x e12→即点 A 的位置向量 OA 的坐标 (x，y)，→加深对“向量OA 的坐标与点 A 的坐标一一对应”这个结论的理解，在向量坐标与原有的点坐标之间架起桥梁，为应用向量知识解决几何问题奠定基础．也就是点 A 的坐标；反之，点 A 的坐标学生讨论求解．也是点 A 相对于坐标原点的位置向量→OA的坐标．例1 如图，用基向量e1，e2分别表示向量 a，b，c，d，并求出它们的坐标．y32ab1e2－ 3－2－1O e1123x－1c d－2－3通过例 1 可让学生加深对向量的直角坐标表示概念的理解，从而进一步提高学生的读图能力．解由图可知学生阅读课本向量的直角a＝3e1＋2e2＝(3，2 )，坐标运算公式，在理解的基础b＝－2e1＋3e2＝(－2，3)，上记忆坐标运算公式．c＝－2e1－3e2＝(－2，－3)，d＝2e1－3e2＝(2，－3)．太原市教研科研中心研制第3 页（总页）课时教学流程2．向量的直角坐标运算(1)如果 a＝(a1，a2)， b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2)＝(a1＋ b1， a2＋ b2)；a－b＝(a1，a2)－(b1，b2)＝(a1－ b1， a2－ b2)；λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)，其中λ是实数．证明a＋ b＝(a1，a2)＋(b1，b2)＝(a1e1＋a2e2)＋ (b1e1＋ b2e2)＝a1e1＋ b1e1＋ a2e2＋b2e2＝(a1＋ b1) e1＋ (a2＋ b2) e2＝(a1＋ b1， a2＋ b2)．请同学仿照上面的证明，自己证明其他两个结论．上述向量的坐标运算公式，也可用语言分别表述为：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积．教师对于第一个性质引领学生仔细推导．教师给出具体的证明步骤．学生可分组讨论证明其他两个公式；小组讨论后，教师对学生的回答给以补充、完善．师生共同总结向量的直角坐标运算公式及文字叙述．教师简单点拨，学生尝试解答 a＋ b， a－ b，3a＋4b．教师点评，并板书详细的解题过程．在板书证明的过程中，突出解题思路与步骤．通过学生讨论，老师点拨，可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点．例2 已知a＝ (2，1)，b＝ (－ 3，4)，求a＋ b， a－ b，3a＋4b．解a＋ b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－ 1， 5)；a－ b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)；3a＋ 4b＝ 3(2， 1)＋4(－ 3， 4)＝(6， 3)＋ (－ 12， 16)＝(－ 6， 19)．教师出示问题．学生阅读图形，讨论并回答教师提出的问题：→（ 1） AB 是哪两个向量的差向量？巩固理解，形成技能．例 3已知 A (x1，y1) ，点 B ( x2，y2) ，→→（ 2） OA 和 OB 坐标分别为第 4 页（总页）太原市教研科研中心研制课 时 教 学 流 程→什么？求 AB 的坐标．教师针对学生的回答进行可以进一步培养解→→→AB ＝ OB － OA点评．学生的读图，识图能＝ (x 2， y 2)－ (x 1， y 1 ) 力，培养学生数形结＝ (x 2－ x 1， y 2－ y 1)．合的思想．师生共同总结文字结论 ．yB (x 2， y 2)ox此结论可用语言表述为：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的相应坐标．练习一学生抢答．教师点拨，学生讨论解答 ．老师巡回观察点拨、解答学生疑难．教师点评，并板书详细的解题过程．1．已知 a ，b 的坐标，求 a ＋ b ，a －b ：(1) a ＝ (4， 3)， b ＝ (－ 4， 8)；(2) a ＝ (3， 0)， b ＝ (0，4) ．→2．已知 A ，B 两点的坐标， 求AB ，→BA 的坐标：(1) A(－ 3， 4)， B(6， 3)；(2) A(－3， 6)， B(－ 8，－ 7)．例 4 已知 A (－ 2，1)，点 B (1，3)，求线段 AB 中点 M 的坐标．yBMA1在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤．O1x太原市教研科研中心研制第 5 页 （总 页）课时教学流程解因为→→→AB ＝ OB－ OA＝(1，3)－(－2，1)＝(3，2)；所以→→→OM ＝ OA＋ AM→1→＝OA ＋2 AB1＝(－2， 1)＋2(3， 2)1＝ (－， 2)．因此 M(－12， 2)．3．用向量的坐标表示向量平行的条件复习：（1）平行向量基本定理：如果向量b≠ 0，则 a//b 的充分必要条件是，存在唯一实数λ，使a＝λb；（2）数乘向量：已知b＝ (b1， b2)，则λb＝(λb1，λb2)．师生共同复习．为知识迁移做准备．教师提出问题．引出探究的问题．师生共同探究用向量的坐标表示向量平行的条件．教师给出具体的探究步骤．问题：在直角坐标系中，向量可以用学生尝试解答．坐标表示，那么，能否用向量的坐标表示两个向量的平行呢？探究：设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如果 b ≠ 0，则条件 a＝λb 可用坐标表示为(a1， a2)＝λ(b1，b2)，即a1b1a2b2消去λ，得师生共同解决例5，教师详细板书解题过程，带领学生太原市教研科研中心研制第 6 页（总页）课 时 教 学 流 程仔细分析解题步骤．a 1b 2－a 2b 1＝ 0．一般地，对于任意向量a ＝ (a 1，a 2)，b ＝ (b 1， b 2)，都有a //b a 1b 2－ a 2b 1＝ 0．例 5 判断下列两个向量是否平行：(1) a ＝ (－ 1，3)， b ＝ (5，－ 15)；(2) e ＝ (2， 0)， f ＝ (0，3) ．解 (1) 因为 (－ 1) × ( － 15) － 3 × 5＝ 0，所以向量 a 和向量 b 平行；(2) 因为 2× 3－0× 0＝ 6≠ 0，所以向量 e 和 f 不平行．例 6 已知点 A( －2，－ 1)，B(0，4)，→向量 a ＝ (1， y)，并且 AB ∥ a ，求 a 的纵坐标 y ．解 由已知条件得→AB ＝ (0， 4)－ (－ 2，－ 1)＝ (2， 5)，→因为 AB ∥ a ，所以1× 5－ 2× y ＝ 0．解得 y ＝52．例 7 已知点 A( －2，－ 3)，B(0，1)，C(2， 5)，求证： A ， B ，C 三点共线．证明 由已知条件得→AB ＝ (0， 1)－ (－ 2，－ 3)＝ (2， 4)，→AC ＝ (2， 5)－ (－ 2，－ 3)＝ (4， 8)．→因为 2× 8－ 4× 4＝ 0，所以 AB ∥→AC ，又线段 AB 和 AC 有公共点 A ，所以教师点拨，学生讨论解答．师生合作共同完成．通过例 5 可让学生加深对向量平行的条件的理解．通过例 6 进一步加深学生对向量的坐标表示向量平行的条件的理解．通过学生讨论、教师点拨，帮助学生顺利证明 A ，B ， C 三点共线．再次巩固用向量的坐标表示向量平行的思路和步骤．A ，B ，C 三点共线．第 7 页 （总 页）太原市教研科研中心研制课时教学流程练习二1．已知a＝ (－3，－ 4)，b＝ (2， y) ，并且 a ∥ b，求y．2．已知点 A(－ 1，－ 3)，B(0，－ 1)，C(1， 1)，求证： A， B，C 三点共线．学习新知后紧跟练习有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．太原市教研科研中心研制第8 页（总页）课时教学设计尾页（试用）☆补充设计☆板书设计1．向量的直角坐标a＝a1e1＋a2e2＝(a1，a2)．例题与练习：2．向量的直角坐标运算：（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；（2）数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积；（3）一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标．3．若a＝ (a1， a2)，b＝ (b1， b2)，则a∥ b a1b2－ a2b1＝0．作业设计教材P49练习A组第 1 题 (1) (3) ，第 2 题(1)(3) ；教材P51练习A组第3题．教学后记太原市教研科研中心研制第9 页（总页）。

中职数学（基础模块）教案1．1集合的概念知识目标：（1)理解集合、元素及其关系；（2)掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合．能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合的表示法．教学难点:集合表示法的选择与规范书写．课时安排：2课时．1。

2集合之间的关系知识目标：（1）掌握子集、真子集的概念;（2）掌握两个集合相等的概念;（3）会判断集合之间的关系.能力目标:通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力。

教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示．教学难点：真子集的概念．课时安排：2课时．1.3集合的运算(1）知识目标：（1)理解并集与交集的概念;（2）会求出两个集合的并集与交集．能力目标：（1)通过数形结合的方法处理问题,培养学生的观察能力;（2）通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点：交集与并集．教学难点：用描述法表示集合的交集与并集．课时安排:2课时．1。

3集合的运算（2）知识目标：（1）理解全集与补集的概念；（2）会求集合的补集．能力目标:（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力;（2)通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点:集合的补运算．教学难点:集合并、交、补的综合运算．课时安排：2课时．1。

4充要条件知识目标：了解“充分条件"、“必要条件”及“充要条件”．能力目标:通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力．教学重点：（1）对“充分条件"、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2)符号“”,“”,“"的正确使用．教学难ZYB重油煤焦油专用泵点:“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．课时安排:2课时．2。

1不等式的基本性质知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法;⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．教学重点：⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．教学难点：比较两个实数大小的方法．课时安排：1课时．2．2区间知识目标：⑴掌握区间的概念;⑵用区间表示相关的集合．能力目标：通过数形结合高温导热油泵的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力．教学重点:区间的概念．教学难点：区间端点的取舍．课时安排：1课时．2。

中职数学平面向量教案第一章：向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的概念，向量的表示方法（字母表示和箭头表示）通过实际例子解释向量的方向和大小1.2 向量的几何表示介绍向量的几何表示方法，箭头表示向量的方向和长度绘制向量图，让学生理解向量的直观表示1.3 向量的坐标表示介绍向量的坐标表示方法，二维和三维空间中的向量坐标表示解释坐标轴上的向量表示，以及坐标系中的向量表示第二章：向量的运算2.1 向量的加法介绍向量的加法运算，同一直线上的向量加法，不同直线上的向量加法利用图形和坐标表示向量的加法运算2.2 向量的减法介绍向量的减法运算，通过加上相反向量实现向量的减法利用图形和坐标表示向量的减法运算2.3 向量的数乘介绍向量的数乘运算，即向量与实数的乘积解释数乘运算的性质和运算规律，利用图形和坐标表示向量的数乘运算第三章：向量的数量积3.1 向量的数量积定义介绍向量的数量积概念，即向量的点积解释数量积的性质和运算规律3.2 数量积的计算公式介绍数量积的计算公式，即两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积利用图形和坐标表示数量积的计算3.3 数量积的应用介绍数量积的应用，如判断两个向量的垂直关系，计算向量的模长和夹角利用实际例子展示数量积的应用第四章：向量的叉积4.1 向量的叉积定义介绍向量的叉积概念，即向量的叉积结果为一个向量，其方向垂直于原来的两个向量解释叉积的性质和运算规律4.2 叉积的计算公式介绍叉积的计算公式，即两个向量的叉积结果的模长等于它们的模长的乘积与夹角的正弦值的乘积，方向垂直于原来的两个向量利用图形和坐标表示叉积的计算4.3 叉积的应用介绍叉积的应用，如计算平行四边形的面积，求解两个向量的夹角利用实际例子展示叉积的应用第五章：向量的线性相关性5.1 向量的线性相关性定义介绍向量的线性相关性概念，即一组向量中存在至少一个向量可以由其他向量通过线性组合表示解释线性相关性的性质和判定条件5.2 向量的线性组合介绍向量的线性组合，即一组向量的加权和利用图形和坐标表示向量的线性组合5.3 向量的线性无关性介绍向量的线性无关性，即一组向量中没有任何一个向量可以由其他向量通过线性组合表示利用判定条件判断一组向量是否线性无关第六章：向量的应用6.1 物理中的应用介绍向量在物理学中的应用，如速度、加速度、力等物理量的向量表示通过实际例子解释向量在物理学中的作用6.2 几何中的应用介绍向量在几何中的应用，如计算线段的长度、夹角的大小、平行四边形的面积等通过实际例子解释向量在几何中的作用第七章：向量的分解7.1 向量的分解概念介绍向量的分解概念，即将一个向量分解为两个或多个向量的和解释向量分解的意义和作用7.2 向量的正交分解介绍向量的正交分解，即将一个向量分解为两个垂直向量的和利用正交基底进行向量分解，解释正交分解的性质和运算规律7.3 向量的坐标分解介绍向量的坐标分解，即将一个向量分解为坐标轴上的分量之和利用坐标表示向量的分解，解释坐标分解的性质和运算规律第八章：向量的方程8.1 向量的方程概念介绍向量的方程概念，即用向量的运算表达式描述向量之间的关系解释向量方程的意义和作用8.2 向量的线性方程组介绍向量的线性方程组，即由多个线性方程组成的方程组解向量的线性方程组，解释解的性质和判定条件8.3 向量的非线性方程介绍向量的非线性方程，即方程中包含向量的非线性运算通过实际例子解释向量非线性方程的解法和应用第九章：向量的空间9.1 向量的空间概念介绍向量的空间概念，即由向量组成的几何空间解释向量空间的意义和性质9.2 向量空间的基本性质介绍向量空间的基本性质，如向量加法、数乘运算的封闭性，线性组合的性质等解释向量空间的公理体系和判定条件9.3 向量空间的子空间介绍向量空间的子空间，即由原向量空间中的一部分向量组成的子集解释子空间的性质和运算规律，以及子空间之间的关系第十章：向量的进一步应用10.1 向量在工程中的应用介绍向量在工程技术中的应用，如力学、电路、控制等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在工程中的应用和作用10.2 向量在计算机科学中的应用介绍向量在计算机科学中的应用，如图形学、计算机图形处理、机器学习等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在计算机科学中的应用和作用10.3 向量在其他领域的应用介绍向量在其他领域中的应用，如经济学、生物学、环境科学等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在其他领域的应用和作用重点和难点解析1. 向量的概念与几何表示：重点关注向量的定义和几何表示方法，理解向量的方向和大小。

江苏省高邮职业教育中心校教案纸首页江苏省高邮职业教育中心校教案纸续页一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7定比分点坐标公式：若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比 8点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点9线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++111110．力做的功：W = |F |⋅|s |cos ，是F 与s 的夹角二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，若a 0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a ⋅b =0，不能推出b =0因为其中cos有可能为0（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc ⇒ a=c 但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但ac(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )ca (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1e ⋅a = a ⋅e =|a |cos2aba ⋅b = 0C3当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = |a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4cos=||||b a ba ⋅5|a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 判断正误，并简要说明理由①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０； 对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题。

2.3.4 平面向量共线的坐标表示编制人： 使用时间：2011年 月 日 姓名： 班级：三维目标：1.知识与技能：（1）掌握平面向量的坐标运算；（2）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.2.过程与方法：利用已经学过的向量加减，数乘坐标运算来推导共线的坐标表示3.情感态度价值观：培养从已知到未知的自主探究精神，调动学生的积极性和主动性学习重点：平面向量的坐标运算,共线的坐标表示学习难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.学习过程：一、复习: 已知),(11y x a = ，),(22y x b = 则b a +=_______b a -=_______λa =______二、新知：1.平面向量共线的坐标表示思考:如何用坐标表示两个共线向量?解析:设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠0 .因为a ,b 共线,当且仅当存在实数λ使得______________由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) 即____________________消去λ，_________________a ∥b (b ≠)的等价条件是______________________注：向量共线的等价条件有a ∥b (b ≠)12210a b x y x y λ⇔=⇔-=2．看课本的例1例2完成101页A 组5题B 组2题例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 分线段P 1P 2满足∣P 1P ∣ =2∣PP 2∣，求点P 的坐标.(3) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.练习：课本101页练习5、6这节课我的收获是：1.向量共线的等价条件是：__________________2.P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 当点P 是线段P 1P 2的中点时,则点P 的坐标（ ）当点P 分线段P 1P 2满足P 1P =λPP 2时点P 的坐标是（ ）当堂检测：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ）A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ）A.-3 B .-1 C.1 D.33.若AB =i +2j ， DC =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44. 若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，则x 的值为________5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = .。

【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 、 相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。

授课题目2.4向量的坐标表示选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课从数轴上的点与实数一一对应、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应开始，通过探究起点在原点的向量OA与单位向量i，j之间的关系，把向量OA分解为x i和y j之和，建立了向量OA与点A的坐标(x,y)之间的关系，并且OA=x i+y j；接着利用向量的减法建立了任一向量AB与它的终点B与起点A 的坐标的差之间的关系，AB=(x2- x1) i+(y2- y1) j．这两个式子表明任意一个向量都可以用一个有序实数对与之对应，这个有序实数对就是向量的坐标表示．教学目标知道向量坐标的合理性和应用价值，会用直角坐标表示向量；能用向量坐标进行向量的线性运算和内积运算；会用向量坐标解决有关向量大小、共线、垂直等问题；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.教学重点会用向量的坐标形式进行向量运算，判定两个向量平行或垂直．教学难点向量内积的坐标表示的几何应用．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入我们知道,数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x,y)是一一对应的，(x,y)是点P的坐标.平面直角坐标系中所有以原点(0,0)为起点、以点P(x,y)为终点的向量与有序实数对(x,y)也是一一对应的，如图所示．提出问题引发思考思考分析回答结合数轴和平面直角坐标系中点与坐标的关系引入新知探索新知2.4.1向量的坐标表示如图所示，在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴上的两个单位向量i、j.以原点O为起点做向量OP，点P的坐标为(x,y).向量OP与两个单位向量i、j之间有什么关系呢？过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N.由于向量OM与i共线，并且OM的模等于| x |，=OM x i；同理可得，=ON y j.根据向量加法的平行四边形法则，有=++OP OM ON x yi j.讲解说明展示讲解理解思考领会理解通过把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通进一步，对于图中所示的以A为起点的向量AB，记点A与点B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则有因此，对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得a= x i+y j. 我们把有序实数对称为向量a的坐标. 方便起见，常把向量a用它的坐标(x,y)表示，即a=(x,y).温馨提示在上图中，0=(0,0)，i=(1,0)，j=(0,1)；OP=(x,y)，AB=(x2-x1, y2-y1).例1 已知两点A(-2,3)、B(3,1)，求向量AB和BA的坐标. 解AB=(3-(-2), 1-3)= (5,-2);BA=(-2-3, 3-1)= (-5, 2).例2 如图所示，单位圆与坐标轴交于A、B、C、D四点，∠AOM=45°，∠BOE=30°，∠CON=45°，求向量OB、OM、ON、OE的坐标.解由于点B的坐标为(0,1)，故OB=(0,1)；点M的坐标为故22=22OM⎛⎫⎪⎝⎭，；同理可得例3 如图所示，⏥ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,3)、(−2,1)、(−1,0),求第四个顶点D的坐标.解 在⏥ABCD 中，有AB =DC .设点D 的坐标为(x ,y )，则()=1DC x y ---，.又 ()=22,3AB ---1()=4,2--，故有 ()()4,2=1x y -----，. 于是， 1=4=2x y -----⎧⎨⎩，，从而=3=2.x y ⎧⎨⎩，所以，点D 的坐标为(3,2).形的性质、相等向量、向量的坐标表示等多个知识点，渗透了方程的思想巩固练习练习2.4.11. 判断下列说法是否正确.(1) x 轴上的单位向量i 的坐标为(1,0)；(2)起点不在原点的向量不能确定它的坐标；(3)由于x 轴和y 轴上的单位向量i 、j 的模都是1，所以它们的坐标相等；(4)向量OA 的坐标是唯一确定的.2.已知点A (2,-1)，写出向量OA 的坐标，并用x 轴和y 轴上的单位向量i 、j 线性 表示向量OA .3.已知向量OA =-5i +2j ，写出点A 的坐标.4.已知向量a =3i -j ，写出向量a 的坐标.5.已知两点A 与B 的坐标，求AB 和BA 的坐标. (1) A (-1, 5)，B (-3, 1)； (2) A (-5, 3)，B (4, 5)； (3) A (2,-6)，B (3, 5).6.如图所示，O 为菱形ABCD 对角线的交点，AC =4，BD =6.以对角线CA 、DB 所在的直线作x 、y 轴，求向量OC 、OD 、OB 的坐标.提问 巡视 指导思考 动手 求解 交流及时掌握学生掌握情况查漏补缺情境导入2.4.2向量线性运算的坐标表示对于向量a=(x1,y1)和b= (x2,y2)，向量a+b、a-b、λa如何用坐标表示呢？提出问题引发思考思考分析回答提出问题引发思考探索新知这说明两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差).实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积．讲解说明展示讲解理解思考领会理解结合向量加法进行推理，提升数学运算核心素养典型例题例4 设a=(3, -2)，b= (-2, 1)，求：(1)a+b；(2)a-b；(3)3a-2b .解(1)a+b= (3,-2)+(-2,1) = (3+(-2),-2+1) = (1,-1) ;(2) a-b=(3,-2)-(-2,1)= (3-(-2),-2-1)= (5,-3)；(3) 3a-2b=3(3,-2)-2 (-2,1)=(9,-6)- (-4,2)=(13,- 8)．例 5 如图所示,正六边形ABCDEF的中心O在坐标原点，边长为2，CF在x轴上，试求向量AB、BC、DE的坐标.解(1) 根据题意，ΔABO和ΔBOC都是边长为2得到正三角形，故点C的坐标为(2,0).因此(2) 设正六边形与y 轴的负半轴交于点G,则OG为正三角形ABO的高和中线.于是OG=3BG=3×1=3.故点B的坐标为(1,-3).于是，(3) 因为(1,3)OB=-，所以我们知道，当a≠0时，a∥b⇔存在实数λ，使得b=λa.设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，由b=λa得，x2=λx1且y2=λy1，则2211x yx y=或x1 y2=x2 y1.因此，当a≠0时，a∥b⇔2211x yx y=或x1 y2=x2 y1.提问引导讲解强调提问引导讲解强调提问引导思考分析解决交流思考分析解决交流思考分析例4是向量坐标的线性运算示例例5是结合特殊图形和相等向量的性质解决问题例6是达成课标要求会用向量的坐标形式判定两个向练习2.4.21.已知向量a、b的坐标分别求a+3b，5a-2b的坐标.(1) a=(−2,3)，b=(4,6);(2) a=(2,3)，b=(3,1).2.已知向量a、b的坐标，判断这两个向量是否共线.(1) a=(−2,3)，b=(6, −9);(2) a=122,5⎛⎫⎪⎝⎭-，b=12,25⎛⎫⎪⎝⎭-;(3) a=(1,−2)，b=(−7,14).3.己知点B(4, −3)，连接OB 并延长至C点，使得|OC|=2|OB| ，求向量OC的坐标.4. 求例5中向量AD、AC、BD的坐标.5. 如图所示，正方形ABCD的中心在原点O，四边与坐标轴垂直，边长为2，求向量AC与BD的坐标.2.4.3 向量内积的坐标表示和，即a·b=x1x2+y1y2.根据内积的定义，还可以得到以下结论：例7已知向量a=(3,4)，b=(−2, 1)，求a·b、|a|、|b|、1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；。

中职数学基础模块下册平面向 量的概念课件
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CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积与投影 • 平面向量应用举例
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01
平面向量基本概念
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向量定义及表示方法
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向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，常 用带箭头的线段表示，线段的长度 表示向量的大小，箭头的指向表示 向量的方向。
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数量积定义及性质
数量积定义
性质1
两个向量的数量积是一个标量，其大小等于 这两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积， 方向由夹角决定。
交换律，即a·b=b·a。
性质2
分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。
性质3
与零向量的数量积，a·0=0。
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19
投影概念及计算方法
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坐标运算
若向量a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
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11
向量运算性质总结
交换律
向量加法满足交换律，即 a+b=b+a。
零元
存在零向量0，使得对于任 意向量a，都有a+0=a。
数乘结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，都有(λμ)a=λ(μa)。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
这两个向量的和。
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三角形法则
将两个向量平移至同一起 点，首尾相接，从第一个 向量起点指向第二个向量 终点的向量即为这两个向

高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。

会用基底表示平面内任一向量。

2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。

学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。

活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。

因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。

向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。

活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。

教案【双基讲解】1.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，以原点为始点，点P 为终点的向量错误!未找到引用源。

叫做点P的位置向量.在平面直角坐标系内，方向与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

如图：设点P的坐标为错误!未找到引用源。

，它在错误!未找到引用源。

轴上的射影为错误!未找到引用源。

，在错误!未找到引用源。

轴上的射影为错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，所以错误!未找到引用源。

我们把有序实数对错误!未找到引用源。

叫做向量错误!未找到引用源。

的坐标，记作错误!未找到引用源。

【示范例题】例。

写出平面直角坐标系中下列各点的位置向量：（1）A(3，−2) ；（2）B(0，−2（3）C(−3，0) .【双基讲解】在平面直角坐标系内，设点错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

向量错误!未找到引用源。

如何用坐标来表示？如图：由向量的减法，可得：错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

，即错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

2. 向量错误!未找到引用源。

的模：由于向量的模就是向量的大小，即点错误!未找到引用教师提问教师讲解集体教学教师讲解谈话法讲授法演示法谈话法通过实例导入问题应用知识领会实践方法源。

之间的距离. 所以向量错误!未找到引用源。

的模为错误!未找到引用源。

.若a= (x，y)，则错误!未找到引用源。

【示范例题】例.平面直角坐标系中，已知点P，Q的坐标分别为(2，−3)，(3，6)，求向量错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

的坐标及错误!未找到引用源。

的模.解错误!未找到引用源。

.错误!未找到引用源。

.|错误!未找到引用源。

|=错误!未找到引用源。

. 【双基讲解】向量的坐标运算：提问：已知a=错误!未找到引用源。

你能得出错误!未找到引用源。