中职数学平面向量的概念

平面向量的概念平面向量是数学中的一个重要概念，是指由两个矢量组成的有向线段。

平面向量通常用加粗的小写字母来表示，例如a、b等。

平面向量具有长度和方向两个基本属性，同时也具有加法、减法、数乘等运算，可用于求解各种几何和物理问题。

平面向量的表示方法有两种，一种是初末点法。

即用平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)来表示平面向量AB。

向量AB的表示方法为AB=(x2-x1,y2-y1)。

另一种是分量表示法，即将平面向量投影到坐标轴上，用坐标表示向量的长度和方向。

例如，向量AB在x 轴上的投影为x轴方向上的分量a，y轴方向上的投影为y轴方向上的分量b，则向量AB 可以表示为AB=a+b。

平面向量的长度可以用勾股定理求解，即向量AB的长度为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

方向可以用夹角cos求解，即两个向量的夹角cosθ=AB·CD/|AB|·|CD|，其中·表示点乘，|AB|和|CD|分别表示向量AB和CD的长度。

平面向量具有加法和减法运算，其运算方法为：对应坐标相加或相减。

例如向量AB 和向量CD的和为向量AC，其坐标为AC=(x2-x1+x4-x3,y2-y1+y4-y3)。

减法也是同样的方法。

数乘则是将向量的长度与方向进行分解，再将其乘以一个实数k，具体计算方法为：向量kAB=k(x2-x1,y2-y1)=(kx2-kx1,ky2-ky1)。

平面向量的重要应用之一是向量叉乘，即将两个向量进行叉乘，得到的结果是一个新的向量，并且该向量垂直于原来的向量。

例如向量AB和向量CD的叉乘为向量n，其坐标为n=AB×CD=[(y2-y1)(z4-z3)-(z2-z1)(y4-y3),(z2-z1)(x4-x3)-(x2-x1)(z4-z3),(x2-x1)(y4-y3)-(y2-y1)(x4-x3)]。

向量叉乘在计算平面和空间中的向量积、平面的法线、对称线等问题中都有着广泛的应用。

b第 1 节平面向量的概念及线性运算基础梳理1．向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或称 )． (2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 个单位的向量． (4)平行向量：方向 或 的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做 向量，任 一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0 与任一向量 (5)相等向量：长度 且方向 的向量． (6)相反向量：与 a 长度 ，方向 的向量，叫做 a 的相反向量． 2．向量的加法运算及其几何意义(1)三角形法则：已知非零向量 a 、 ，在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a ，BC ＝b ，则向量 AC 叫做 a 与 b 的，记作 a ＋b ，即 a ＋b ＝ AB ＋ BC ＝ AC ，这种求向量和的方法，称为向量加法的 ．(2)平行四边形法则：以同一点 O 为起点的两个已知向量 a 、b 为邻边作 OACB ，则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出， 如图所示．3．向量的减法运算及其几何意义(1)定义： a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量 的 ．(2)如图， AB ＝a ， AD ＝b ，则 DB ＝a －b .4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ 与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下： ①|λ a |＝|λ ||a |；②当λ ＞0 时，λ a 的方向与 a 的方向 ；当λ ＜0 时，λ a 的方向与 a 的方向 ；当λ ＝0 时，λ a ＝0.(2)运算律设λ ，μ 是两个实数，则 ①λ (μ a )＝(λ μ ) a ；②(λ ＋μ ) a ＝λ a ＋μ a ； ③λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b .(3)两个向量共线定理：向量 a(a ≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ ，使 b ＝λa .典例分析(A) a ＋ b (B) a ＋ b(C) a ＋ b (D) a ＋ b向量的有关概念【例 1】 给出下列各命题： ①零向量没有方向； ②若|a |＝|b |，则 a ＝b ； ③单位向量都相等； ④向量就是有向线段； ⑤若 a ＝b ，b ＝c ，则 a ＝c ；⑥若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB ＝ DC ， BC ＝ DA .其中真命题是________．向量的线性运算【例 2】 (2010 年高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB .设 CB ―→ ＝a ，CA ―→＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则 CD ―→等于( )1 2 2 1 3 3 3 3 3 4 4 3 5 5 5 5变式探究 21：(2010 年山东济南模拟)已知平面上不共线的四点 O 、A 、B 、C .若 OA ―→|AB ―→|－3OB ―→＋2OC ―→＝0，则 等于______．|BC ―→|向量共线与三点共线问题【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若 AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数 k ，使 k a ＋b 和 a ＋k b 共线．变式探究 31：已知向量 a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果 c ∥d ，那么( )(A)k ＝1 且 c 与 d 同向 (B)k ＝1 且 c 与 d 反向(C)k ＝－1 且 c 与 d 同向 (D)k ＝－1 且 c 与 d 反向易错警示错源一：零向量“惹的祸”【例 1】 下列命题正确的是( )(A)向量 a 、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ，使 b ＝λ a ； (B)在△ABC 中，AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；(C)不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a|＋|b |中两个等号不可能同时成立； (D)向量 a 、b 不共线，则向量 a ＋b 与向量 a －b 必不共线错源二：向量有关概念理解不当【例 2】 如图，由一个正方体的 12 条棱构成的向量组成了一个集合 M ，则集合 M 的元素个数为________．第 2 节平面向量基本定理及其坐标表示基础梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b ，如图，作 O A ＝a ， OB ＝b ，则∠AOB ＝θ 叫做向量 a与 b 的夹角，也可记作〈a ，b 〉＝θ .(2)范围：向量夹角θ 的范围是[0，π ]，a 与 b 同向时，夹角θ ＝0；a 与 b 反向时，夹角θ ＝π .(3)垂直关系：如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a ⊥b .质疑探究 △1：在 ABC 中，设 AB ＝a ， BC ＝b ，则 a 与 b 的夹角是∠ABC 吗？2．平面向量基本定理如果 e 1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使 a ＝λ 1e 1＋λ 2e 2.我们把不共线的向量 e 1，e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组．质疑探究 2：平面内任一向量用两已知不共线向量 e 1、e 2 表示时，结果唯一吗？平面内任何 两个向量 a 、b 都能作一组基底吗？3．平面向量的正交分解与坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．± a 或± 1 (x ，y )． x 2＋y 2 (4)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ＝b⎧⎪x 1＝x 2质疑探究 3：若 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ∥b 的条件能否可以写成 1＝ 1？【例 2】 已知点 A (－1,2)，B (2,8)以及 AC ―→＝ AB ―→，DA ―→＝－ BA ―→，求点 C 、变式探究 21：(2010 年山东临沂联考)已知 A (7,1)、B (1,4)，直线 y ＝ ax 与线段 AB 交于(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i 、j 作为基底．对于 平面内的一个向量 a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x ，y ，使得 a ＝x i ＋y j ， 则有序数对(x ，y )叫做向量 a 的坐标，记作 a ＝(x ，y )，其中 x ，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上 的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量 a 的坐标表示．相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相 等向量．4．平面向量的坐标运算(1)已知点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．(2)已知 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λ a ＝(λ x 1，λ y 1)，a ∥b (b ≠0)的充要条件是 x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)非零向量 a ＝(x ，y )的单位向量为1|a |⎨. ⎪⎩y 1＝y 2x y x 2 y 2提示：不能，因为 x 2，y 2 有可能为 0，应表示为 x 1y 2－x 2y 1＝0.典例分析平面向量基本定理及其应用【例 1】 如图，在平行四边形 ABCD 中，M ，N 分别为 DC ，BC 的中点，已知 AM ＝c ， AN ＝d ，试用 c ，d 表示 AB ， AD .向量坐标的概念及运算1 13 3D 的坐标和 CD ―→的坐标．12C ，且 AC ―→＝2CB ―→，则实数 a 等于( )4 5(A)2 (B)1 (C) (D)5 3共线向量的坐标运算【例 3】 (2010 年高考陕西卷)已知向量 a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )， ) |∥c ，则 m ＝________.变式探究 31：(2010 年福州市质检)已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若 a ∥ b ，则 2a ＋3b 等于( )(A)(－5，－10) (B)(－4，－8) (C)(－3，－6) (D)(－2，－4)易错警示错源：对共线向量不理解【例题】 已知两点 A (2,3)，B (－4,5)，则与 AB ―→共线的单位向量是( )(A)e ＝(－6,2)(B)e ＝(－3 10 1010 10－3 10 10 3 10 10(C)e ＝( ， )或 e ＝( ，－ )10 10 10 10(D)e ＝(－6,2)或(6，－2)第 3 节平面向量的数量积基础梳理1．数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b ，其夹角为θ .我们把数量|a ||b |cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)， 记作 a · b ，即 a · b ＝|a ||b |cos θ .规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 2．数量积的几何意义 (1)向量的投影： a |cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，当θ 为锐角时，它是正数，当θ 为 钝角时，它是负数；当θ 为直角时，它是 0.(2)a · b 的几何意义：数量积 a · b 等于 a 的长度|a |与 b 在 a 的方向上的投影|b |cos θ 的乘积． 3．数量积的运算律已知向量 a 、b 、c 和实数λ ，则： (1)交换律：a · b ＝b · a ；(2)结合律：(λ a )· b ＝λ (a · b )＝a ·(λ b )； (3)分配律：(a ＋b )· c ＝a · c ＋b · c .质疑探究：若非零向量 a ，b ，c 满足①a · c ＝b·c ，则 a ＝b 吗？②(a·b )· c ＝a ·(b·c )恒成立吗？ 提示：①不一定有 a ＝b ，因为 a · c ＝b · c c ·(a －b )＝0，即 c 与 a －b 垂直，但不一定有 a ＝x 1x 2＋y 1y 2(b .因此数量积不满足消去律．②因为(a·b )· c 与向量 c 共线，(b·c )· a 与向量 a 共线．当 c 与 a 不共线时(a · b )· c ≠a ·(b · c )即向量的数量积不满足结合律． 4．向量数量积的性质设 a 、b 都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，θ 是 a 与 e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ . (2)a ⊥b ⇔a · b ＝0.(3)当 a 与 b 同向时，a · b ＝|a ||b |； 当 a 与 b 反向时，a · b ＝－|a ||b |；特别地，a ·a ＝|a |2 或|a |＝ a ·a .(4)cos θ＝ a ·b.|a ||b |(5)|a ·b |≤|a ||b |.5．用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题(1)若非零向量 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)夹角公式：若非零向量 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ 是 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝ .x 12＋y 12 x 22＋y 22(3)距离公式：若表示向量 a 的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为(x 1，y 1)， x 2，y 2)， 则|a |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，这就是平面内两点间的距离公式．(4)垂直关系：设非零向量 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.典例分析向量数量积的运算及模的问题【例 1】(1)(2010 年高考天津卷△)如图，在 ABC 中，AD ⊥AB ， BC ＝BD ，| AD |＝1，则 AC · AD ＝________.(2)(2010 年高考广东卷)若向量 a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )· c ＝30，则 x ＝( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3(1)向量的数量积有两种计算方法：一是根据数量积的定义进行计算；二是依据向量的 坐标来计算．(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下： ①若 a ＝(x ，y )，则|a |＝ x 2＋y 2. ②|a |2＝a 2＝a ·a .③|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2.变式探究 11：(2009 年高考辽宁卷)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a ＝(2,0) ，|b |＝1，则 |a ＋2b |等于( )(A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12| (A)－ (B) (C)－ (D)【例 3】 已知|a |＝1，a ·b ＝ ，(a －b )·(a ＋b )＝ ，求：两向量垂直问题【例 2】 已知|a |＝5， b |＝4，且 a 与 b 的夹角为 60°，则当向量 k a －b 与 a ＋2b 垂直时， k ＝________.变式探究 21：(2009 年高考宁夏、海南卷)已知 a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量 λa ＋b 与 a －2b 垂直，则实数 λ 的值为( )1 1 1 17 7 6 6两向量夹角问题1 12 2(1)a 与 b 的夹角的大小；(2)a －b 与 a ＋b 的夹角的余弦值．变式探究 31：(2009 年高考重庆卷)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量 a 与 b 的夹 角是( )π π π π (A) (B) (C) (D)6 4 3 2数量积的综合应用【例 4】 已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若 a ∥b ，求 a ·b ；(2)若 a ，b 的夹角为 60°，求|a ＋b |； (3)若(a －b )⊥b ，求 a 与 b 的夹角．易错警示错源：忽视角的范围而“惹祸”【例题】设两个向量 e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1 与 e 2 的夹角为，若向量 2t e 1＋7e 2 与 e 1＋t e 2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．a ·b x 1x 2＋y 1y 2 x 2＋y 2· x 2＋y 2第 4 节平面向量的应用基础梳理1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹 角等问题．设 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即 a ∥b ⇔a ＝λ b (b ≠0)⇔x 1y 2－ x 2y 1＝0.②证明垂直问题，主要利用向量数量积，即 a ⊥b ⇔a · b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.③求线段的长，主要利用向量的模，即|a |＝ a 2＝ x 12＋y 12.④求夹角问题，利用数量积的变形公式：即 cos θ＝cos 〈a ，b 〉＝ ＝ |a ||b |1 12 2.2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体 应用，可用向量来解决．(2)物理中的功 W 是一个标量，它是力 f 与位移 s 的数量积，即 W ＝f · s ＝|f ||s |cos θ .3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合， 当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知 数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或 垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．典例分析向量在平面几何中的应用【例 1】 如图所示，若点 D 是三角形 ABC 内一点，并且满足 AB 2＋CD 2 ＝AC 2＋BD 2，(2)设 α＝ ，且 a ⊥(b ＋c )，求 cos β 的值．cos ( －α)sin (π＋2α)(2)若 a ⊥b ，且 m ＝0，求 的值．求证：AD ⊥BC .变式探究 11：在直角△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是( (A)|AC ―→|2＝AC ―→·AB ―→ (B)|BC ―→|2＝BA ―→·BC ―→ (C)|AB ―→|2＝AC ―→·CD ―→)(D)|CD ―→|2＝(AC ―→·AB ―→)×(BA ―→·BC ―→) |AB ―→|2平面向量在物理中的应用【例 2】 (2009 年高考广东卷)一质点受到平面上的三个力 F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的 作用而处于平衡状态．已知 F 1，F 2 成 60°角，且 F 1，F 2 的大小分别为 2 和 4，则 F 3 的大小 为( )(A)6 (B)2 (C)2 5 (D)2 7向量与三角的整合【例 3】 已知向量 a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量 b ＋c 的长度的最大值；π4变式探究 31：(2010 年河西区模拟)已知向量 a ＝( 3，1)，向量 b ＝(sin α－m ，cos α)， (1)若 a ∥b ，且 α∈[0,2π)，将 m 表示为 α 的函数，并求 m 的最小值及相应的 α 的值；π2cos (π－α)| x y平面向量与解析几何的整合【例 4】 (2010 年安徽巢湖模拟)已知 A (－ 3，0)，B ( 3，0)，动点 P (x ，y )满足|P A ―→| ＋|PB ―→|＝4.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点(1,0)作直线 l 与曲线 C 交于 M 、N 两点，求 OM ―→·ON ―→的取值范围．变式探究 41：(2010 年大连市六校联考)设 F 为抛物线 y 2＝2px (p ＞0)的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若 FA ＋ FB ＋ FC ＝0，FA |＋| FB |＋| FC |＝3，则该抛物线的方程是()(A)y 2＝2x (B)y 2＝4x (C)y 2＝6x (D)y 2＝8x易错警示错源：“共线”运用出错【例题】 如图，半圆的直径 AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于 A ，B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则( P A ＋ PB )· PC 的最小值是________．第 5 节复数的概念及运算基础梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中 a ，b 分别是它的实部和虚部．若 b ＝0，则 a ＋b i 为实数，若 b ≠0，则 a ＋b i 为虚数，若 a ＝0，b ≠0，则 a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且 b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与 c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且 b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面． 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴．实 轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示复数．(5)复数的模：向量 OZ ―→的模 r 叫做复数 z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a＋b i|＝r ＝ a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．z 2c ＋d i (2)常用结论： ＝－i ，(1± i)2＝±2i.一一 对应一一 对应 【例 2】 (2009 年高考海南、宁夏卷)复数3＋2i质疑探究 1：复数 a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是 a ＝0 吗？提示：不是，a ＝0 是 a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的必要条件，只有当 a ＝0，b ≠0 时，a ＋b i 才为纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数 z ＝a ＋b i ――→ ――→ 复平面内的点 Z (a ，b )(a ，b ∈R )；(2)复数 z ＝a ＋b i ――→ ――→ 平面向量 OZ ―→ (a ，b ∈R )． 3．复数的运算设 z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；za ＋b i (a ＋b i )(c －d i ) (4)除法： 1＝ ＝ (c ＋d i )(c －d i )ac ＋bd bc －ad＝c 2＋d 2 ＋ c 2＋d 2 i(c ＋d i ≠0)．质疑探究 2：(1)z 1，z 2 为复数，z 1－z 2＞0，那么 z 1＞z 2，这个命题是真命题吗？ (2)若 z 1，z 2∈R ，z 12＋z 22＝0，则 z 1＝z 2＝0，此命题对 z 1，z 2∈C 还成立吗？ 提示：(1)假命题．例如：z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋i ，z 1－z 2＝3＞0. 但 z 1＞z 2 无意义，因为虚数无大小概念．(2)不一定成立．比如 z 1＝1，z 2＝i 满足 z 12＋z 22＝0. 但 z 1≠0，z 2≠0.(1)i n 的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝ i ， i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，n ∈ Z . 1i典例分析(对应学生用书第 69 页)复数的有关概念【例 1】 已知 0＜a ＜2，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则|z |的取值范围是( (A)(1,5) (B)(1,3) (C)(1， 5) (D)(1 ， 3)思路点拨：写出|z |的表达式，根据 a 的范围确定|z |的取值范围．)变式探究 11：已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数 x ，y 分别为( )(A)x ＝－1，y ＝1 (B)x ＝－1，y ＝2 (C)x ＝1，y ＝1 (D)x ＝1，y ＝2复数代数形式的运算3－2i2－3i －2＋3i 等于((A)0 (B)2 (C)－2i (D)2i)【例 3】 (2010 年高考陕西卷)复数 z ＝ 在复平面上对应的点位于()变式探究 21：(2010 年高考广东卷)若复数 z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则 z 1· z 2 等于( )(A)4＋2i (B)2＋i (C)2＋2i (D)3＋i复数的几何意义i1＋i(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限变式探究 31：已知复数 z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为 A ，B ，C .O 为坐标原点，若 O C ＝x OA ＋y OB ，则 x ＋y 的值是______．易错警示错源：对复数的概念理解不透【例题】 设复数 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数为 z ＝a －b i ，则 z － z 为( )(A)实数 (B)纯虚数 (C)0 (D)零或纯虚数篇末总结平面向量是高中数学中的工具性知识，是高考必考内容，直接命题时题量一般为 1 道选择题 或填空题，更多地是作为工具整合于三角函数、解析几何相应的解答题中，其考查的重点是 向量的概念和线性运算(如 2010 年高考湖北卷，理 5)，数量积(如 2010 年高考湖南卷，文 6)， 与三角或解析几何的结合仍是高考中的重要题型(如 2010 年高考福建卷，文 11)．复数是每年高考必考内容，题量为 1 道选择题或填空题，主要考查复数的有关概念、几何意 义和代数形式的四则运算(如 2010 年高考辽宁卷，理 2)．3．(2010 年高考福建卷，文 11)若点 O 和点 F 分别为椭圆 ＋ ＝1 的中心和左焦点，(A)a ＝ ，b ＝ (B)a ＝3，b ＝1(C)a ＝ ，b ＝ (D)a ＝1，b ＝31．(2010 年高考湖北卷，理 △5)已知 ABC 和点 M 满足 MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0，若 存在实数 m 使得 AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则 m 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)52．若非零向量 a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )· b ＝0，则 a 与 b 的夹角为 ( )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°x 2 y 24 3点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP ―→·FP ―→的最大值为( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)81＋2i4．(2010 年高考辽宁卷，理 2)设 a ，b 为实数，若复数 ＝1＋i ，则()a ＋b i3 12 2 1 32 2【真题 1】 (2010 年高考江西卷，理 13)已知向量 a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与 b 的夹 角为 60°，则|a －b |＝______.追本溯源：人教 A 版必修 4 第 119 页复习参考题 A 组第 13 题： 已知|a |＝ 3，|b |＝2，a 与 b 的夹角为 30°，求|a ＋b |，|a －b |.【真题 2】 (2010 年高考重庆卷，理 14)已知以 F 为焦点的抛物线 y 2＝4x 上的两点 A 、B 满 足 AF ―→＝3FB ―→，则弦 AB 的中点到准线的距离为______．(A) b ＋ c (B) c － b(C) b － c (D) b ＋ c(A) (B)－ (C) (D)－x cos α－y sin α＋ ＝0 与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝ 的位置关系是( D )|【真题 3】 (2010 年高考江苏卷，2)设复数 z 满足 z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则 z 的模 为____．一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．(2010 年河西区模拟)复数 z ＝(2＋i )21－i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于(B )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2．已知平面向量 a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，a ∥b ，则 x 等于( C )(A)9 (B)1 (C)－9 (D)－13．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点 D 满足 BD ―→＝2DC ―→，则 AD ―→等于( A )2 1 5 23 3 3 3 2 1 1 2 3 3 3 3a ＋2i4．(2010 年高考山东卷)已知＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中 i 为虚数单位，则 a ＋b 等于i( B )(A)－1 (B)1 (C)2 (D)35．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则 BD ― →等于( B )(A)(－2，－4) (B)(－3，－5) (C)(3,5) (D)(2,4)6．已知两个单位向量 e 1，e 2 的夹角为θ ，则下列结论不正确的是( D ) (A)e 1 在 e 2 方向上的投影为 cos θ (B)e 12＝e 22 (C)(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)(D)e 1· e 2＝17．(2010 年高考全国新课标卷)a ，b 为平面向量，已知 a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则 a ， b 夹角的余弦值等于( C )8 8 16 16 65 65 65 65 8．(2010 年高考四川卷)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC ―→2＝16，AB ― →＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|等于( C ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)19．已知向量 a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若 a 与 b 的夹角为 60°，则直线1 12 2(A)相交 (B)相交且过圆心 (C)相切 (D)相离10．(2009 年高考海南、宁夏卷)已知点 O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ― →|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且 PA ―→· P B ―→＝PB ―→· P C ―→＝PC ― →· P A ―→，则点 O ，N ，P 依次是△ABC 的( C )15．(2010 年高考重庆卷 )已知复数 z ＝1＋i ，则 －z ＝________.(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心 (C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心11．(2011 年广东江门市高考模拟考试)若四边形 ABCD 满足 AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→ －AD ―→)· A C ―→＝0，则该四边形一定是( B ) (A)直角梯形 (B)菱形(C)矩形 (D)正方形12．设 a 、b 、c 是单位向量，且 a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( D )(A)－2 (B) 2－2 (C)－1 (D)1－ 2二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．(2010 年高考上海卷)若复数 z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则 z · z ＋z ＝________.14．(2010 年重庆模拟)已知|a |＝2，|b |＝ 2，a 与 b 的夹角为 45°，若|a ＋λb |＜ 10，则 实数 λ 的取值范围是________．2z16．(2011 年深圳市高三第一次调研△)在 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量 p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足 p ∥q ，则 C ＝______.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(本小题满分 11 分)(2009 年高考上海卷)已知复数 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ＋)(i 是虚数单位)是方程 x 2－4x ＋5＝0 的根．复数 w ＝u ＋3i(u ∈R )满足|w －z |＜2 5，求 u 的取值范围．18．(本小题满分 11 分)(2010 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段 AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数 t 满足(AB ―→－tOC ―→)· O C ―→＝0，求 t 的值．19．(本小题满分 11 分)(2009 年高考湖南卷)已知向量 a ＝(sin θ ，cos θ －2sin θ )，b ＝(1,2)． (1)若 a ∥b ，求 tan θ 的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ ＜π，求θ 的值．20．(本小题满分11分)已知：两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP―→·M N―→，PM―→·P N―→，NM―→·N P―→成公差小于零的等差数列．(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0，y0)，θ为PM―→，PN―→的夹角，求θ的取值范围．21．(本小题满分12分)已知复数z1＝m＋(3－2m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋2sinθ)i，(λ，θ∈R)，并且z1＝z，求λ的取值范围．222．(本小题满分14分)已知抛物线x2＝8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF―→＝λFB―→(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：线段FM被x轴平分；(2)计算FM―→·A B―→的值；(3)求证：|FM|2＝|F A|·|FB|.。

中职数学平面平面向量课件中职数学平面平面向量课件随着时代的发展，教育也在不断地进步与完善，课件作为新时期下教育技术手段之一，也越来越多地使用到升学教育中。

而中职数学平面向量作为高中数学基本知识之一，在教学中至关重要。

本篇文章将介绍中职数学平面向量课件。

一、平面向量基础知识平面向量是向量的一种，它的本质是一组有大小和方向的数，通常用有向线段来表示。

平面向量具有长度和方向两个基本特征，可以通过定点、大小、方向或坐标来确定，而且可以进行平移、旋转等运算。

二、平面向量的运算平面向量主要有加法和数乘两种运算。

加法运算的本质是将两个向量相应分量相加，数乘运算的本质是将一个向量每个分量都乘以一个数量。

三、平面向量的性质在平面向量的学习过程中，需要掌握平面向量的性质，包括共线向量的判定、向量的相等条件、向量的数量积及其应用等。

四、平面向量的应用平面向量作为高中数学中的基础知识，其应用领域也非常广泛。

在物理学、几何学、力学等学科中都有着相应的应用。

在此基础上，还可以衍生出更高级的数学知识。

五、中职数学平面向量课件为了帮助中职学生更好地学习平面向量知识，开发了相应的课件，通过图像和交互性来加强学生的记忆和理解。

此课件涵盖了平面向量的基础知识、计算问题以及实际应用等方面内容。

总之，平面向量是高中数学中的重要知识之一，能够引导学生深入了解向量空间及其运算方法，帮助学生理解其在物理学、几何学、力学等学科中的应用，跨学科的应用也增强了学生的知识积淀和技能定位。

中职数学平面向量课件通过生动的展示方式、富有互动的课程内容，提高了学生的学习效果，使学生们能够更好地掌握其所应用的知识和技能，为以后的学习和发展打好了坚实的基础。

中职数学平面向量知识点归纳
平面向量是中职数学中的一个重要概念，以下是关于平面向量知识点的归纳：
1. 向量的基本概念：向量是一个既有大小又有方向的量。

向量的大小称为向量的模。

向量可以用箭头表示，起点在原点，终点为坐标点的有向线段。

2. 向量的运算：
向量加法：向量加法满足三角形法则和平行四边形法则。

三角形法则的特点是首尾相连，平行四边形法则的特点是共起点。

向量数乘：一个实数与一个向量的乘积是一个向量，其模为该实数与原向量模的乘积，方向与原向量相同或相反。

向量的模：向量的大小称为向量的模，记作a。

3. 向量的数量积：两个向量的数量积是一个标量，记作a·b。

数量积的模等于两向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

4. 向量的向量积：两个向量的向量积是一个向量，记作a×b。

向量积的模
等于两向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

5. 向量的混合积：三个向量的混合积是一个标量，记作a·b×c。

混合积的模等于三向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

6. 向量的应用：向量可以用于描述现实生活中的各种物理现象，如力、速度、加速度等。

同时，向量也在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。

以上是关于平面向量知识点的归纳，掌握这些知识点有助于更好地理解向量的概念和运算，并能够在数学和实际问题中灵活运用。

01向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。

02向量的表示方法向量可以用小写字母或大写字母加箭头表示，如$vec{a}$或$overset{longrightarrow}{AB}$。

03向量的模向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$，模长是一个非负实数。

向量定义及表示方法03向量的模长等于有向线段的长度，可以通过勾股定理或三角函数计算。

向量的模长向量与正方向（通常是x 轴正方向）的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，取值范围是$[0, pi]$或$[0, 180^circ]$。

方向角向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值称为向量的方向余弦，可以通过方向角计算得到。

方向余弦向量模长与方向角模长为0的向量称为零向量，记作$vec{0}$，零向量没有方向。

零向量单位向量相反向量模长为1的向量称为单位向量，单位向量具有确定的方向。

与给定向量大小相等、方向相反的向量称为相反向量，记作$-vec{a}$。

030201零向量、单位向量和相反向量向量共线与平行关系向量共线如果两个向量在同一直线上或者平行于同一直线，则称这两个向量共线。

共线向量满足$vec{a} = kvec{b}$（$k$为实数）。

向量平行如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。

平行向量满足$vec{a} parallel vec{b}$。

共线与平行的关系在平面内，共线的向量一定平行，但平行的向量不一定共线。

加法定义两个向量相加，即将它们的对应分量相加得到新的向量。

几何意义向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加的结果可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，或者可以表示为将其中一个向量的终点连接到另一个向量的起点的向量。

01减法定义02几何意义两个向量相减，即将被减数的各分量减去减数的对应分量得到新的向量。

向量的减法可以表示为将减数向量的终点连接到被减数向量的起点的向量，这个向量与减数向量方向相反，大小相等。

职高高二平面向量知识点一、向量的定义和表示向量是有大小和方向的量，用箭头表示。

在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个坐标对或使用单位向量的倍数表示。

二、向量的运算1. 向量的相加向量的相加是将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

即，若A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)为两个向量，则其相加可表示为A + B= (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

2. 向量的减法向量的减法是将两个向量的对应分量相减得到新的向量。

即，若A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)为两个向量，则其相减可表示为A - B = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)。

3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将一个向量的每个分量都乘以一个数得到新的向量。

即，若A(x, y)为一个向量，且k为一个实数，则其数量乘法可表示为kA = (kx, ky)。

4. 向量的点积（内积）向量的点积用于判断两个向量之间的夹角关系。

若A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)为两个向量，则其点积可表示为A·B = x₁x₂ +y₁y₂。

5. 向量的叉积（外积）向量的叉积用于求得两个向量所构成的平行四边形的面积和方向。

若A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)为两个向量，则其叉积可表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。

三、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的长度或大小，可通过勾股定理计算得到。

若向量A(x, y)，则其模为|A| = √(x² + y²)。

2. 零向量零向量是模为零的向量，其所有分量都为零。

通常用0或O表示。

3. 平行向量平行向量是指方向相同或相反的向量。

对于平行向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，当且仅当存在实数k，使得(x₁, y₁) = k(x₂, y₂)时，A和B平行。

4. 垂直向量垂直向量是指两个向量的夹角为90°，其点积为0。

对于向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，当且仅当x₁x₂ + y₁y₂ = 0时，A和B垂直。

平面向量概念教案一．课题：平面向量概念二、教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣三．教学类型：新知课四、教学重点、难点1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。

五、教学过程（一）、问题引入1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。

在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。

而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。

（二）讲授新课1、向量的概念练习1 对于下列各量：①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度其中，是向量的有：②③④⑤2、向量的几何表示请表示一个竖直向下、大小为5N的力，和一个水平向左、大小为8N的力（1厘米表示1N）。

思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？（1）有向线段及有向线段的三要素（2）向量的模（4）零向量，记作＿＿＿＿；（5）单位向量练习2 边长为6的等边△ABC中，＝＿＿，与相等的还有哪些？总结向量的表示方法：1）、用有向线段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量与共线向量（1）相等向量的定义（2）共线向量的定义六．教具：黑板七．作业八．教学后记附：教案格式模板所在单位所属教研室课程名称授课教师《******》教案（宋体二号，标题加粗）一、课程性质：（注：填公共基础必修课、公共基础选修课、专业基础必修课、专业核心必修课、师范技能必修课、师范技能选修课）二、总学时∕学分:三、课程类型：理论课（）实践（含实验）课（）四、学时分配：理论课（）学时实践（含实验）课（）学时五、授课专业、层次：六、本课程的教学目的和要求：七、本课程的教学重点、难点：八、教材和参考书：《******》教案内容（宋体二号，标题加粗）一、章节内容：（正文：宋体五号，标题加粗，18磅）二、课时：三、教学目的：四、教学重点与难点：五、教学方法：六、教学过程设计：小结：七、作业布置：八、教具：想要了解更多，请访问我的豆丁主页：/2363291614。