中职数学基础模块下册《平面向量的坐标表示》

《平面向量的坐标表示》讲义一、平面向量的基本概念在数学的世界里，平面向量是一个非常重要的概念。

我们先来了解一下什么是平面向量。

简单来说，平面向量是既有大小又有方向的量。

比如，一个力，它不仅有大小（比如 10 牛顿），还有方向（比如水平向右），这就是一个平面向量。

为了方便研究和计算，我们通常用有向线段来表示平面向量。

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

二、平面向量的坐标表示接下来，咱们重点讲讲平面向量的坐标表示。

想象在一个平面直角坐标系中，有一个向量。

我们以这个平面直角坐标系的原点为起点，向量的终点坐标就可以用来表示这个向量。

比如说，有一个向量的终点坐标是（3, 4)，那么这个向量就可以用坐标（3, 4) 来表示。

那为什么要用坐标来表示向量呢？这是因为坐标表示能够让我们更方便地进行向量的运算和研究。

三、平面向量坐标表示的计算既然知道了平面向量可以用坐标表示，那怎么计算呢？假设我们有两个向量，向量 a 的坐标是（x1, y1)，向量 b 的坐标是（x2, y2)。

（一）加法运算它们的和，也就是向量 a ＋向量 b 的坐标就是（x1 ＋ x2, y1 ＋ y2)。

比如说，向量 a 是（1, 2)，向量 b 是（3, 4)，那么 a ＋ b 就是（1＋ 3, 2 ＋ 4) ＝（4, 6) 。

（二）减法运算向量 a 向量 b 的坐标就是（x1 x2, y1 y2)。

例如，向量 a 是（5, 6)，向量 b 是（2, 3)，那么 a b 就是（5 2, 6 3) ＝（3, 3) 。

（三）数乘运算如果有一个实数 k 乘以向量 a ，那么得到的新向量的坐标就是（kx1, ky1) 。

比如，向量 a 是（2, 3)，k ＝ 2，那么 k a 就是（2 2, 2 3) ＝（4,6) 。

四、平面向量坐标表示的应用平面向量的坐标表示在很多方面都有应用。

（一）解决几何问题比如证明平行四边形、判断三角形的形状等。

平面向量的坐标表示平面向量是二维空间中具有大小和方向的量，可以用坐标表示。

平面向量的坐标表示方式有两种：位置向量和方向向量。

一、位置向量的坐标表示位置向量是指从原点O到平面上的一个点P所形成的向量。

位置向量的坐标表示方式为(r, θ)，其中r表示向量的大小，θ表示向量与x轴的夹角。

当点P(x, y)在第一象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角。

当点P(x, y)在第二象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的负值。

当点P(x, y)在第三象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的180°减去角度。

当点P(x, y)在第四象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的正值。

二、方向向量的坐标表示方向向量是指没有起点的向量，仅有大小和方向的定义。

方向向量的坐标表示方式为(a, b)，其中a表示向量在x轴方向上的分量，b表示向量在y轴方向上的分量。

通过给定a和b的数值，可以确定一个方向向量。

三、坐标表示的计算方法已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求向量AB的坐标表示。

首先，根据两点坐标求出向量的坐标差：Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。

然后，根据坐标差得到向量的坐标表示：AB = (Δx, Δy)。

四、坐标表示的应用1. 向量的加法和减法：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A加向量B的结果为A+B = (a+c, b+d)；若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A减去向量B的结果为A-B = (a-c, b-d)。

2. 向量的数量积：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A和向量B的数量积为A·B = ac + bd。

3. 向量的模长：若有向量A(a, b)，则向量A的模长为|A| = √(a² + b²)。

五、结论通过坐标表示，可以方便地进行向量的计算和运算。

《平面向量的坐标表示》讲义一、引言在数学的广阔天地中，平面向量是一个极其重要的概念。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、工程学等多个学科中发挥着关键作用。

而平面向量的坐标表示，则为我们研究和解决向量问题提供了一种极为有效的工具。

接下来，让我们一起深入探索平面向量的坐标表示。

二、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，一个向量可以用有向线段来表示。

有向线段的长度表示向量的模，有向线段的方向表示向量的方向。

我们把平面内具有大小和方向的量叫做平面向量。

通常用小写字母a、b、c 等来表示向量。

例如，有一个向量从点 A(x₁, y₁)指向点 B(x₂, y₂)，我们就可以用AB 来表示这个向量。

三、平面向量的坐标表示1、向量坐标的定义对于平面内的任意一个向量 a，我们都可以将其平移，使其起点与坐标原点 O 重合。

此时，向量 a 的终点坐标（x, y) 就称为向量 a 的坐标，记作 a ＝（x, y)。

比如，有一个向量的终点坐标是（3, 2)，那么这个向量的坐标就是（3, 2)。

2、坐标表示的意义通过坐标表示，我们将向量与有序数对建立了一一对应的关系。

这使得向量的运算可以转化为数的运算，大大简化了问题的处理。

四、平面向量坐标的运算1、加法运算设向量 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则 a ＋ b ＝（x₁＋ x₂, y₁＋ y₂)。

例如，a ＝（2, 3)，b ＝（1, －1)，那么 a ＋ b ＝（2 ＋ 1, 3 ＋（－1)）＝（3, 2)2、减法运算a b ＝（x₁ x₂, y₁ y₂)比如，a ＝（5, 4)，b ＝（2, 1)，则 a b ＝（5 2, 4 1) ＝（3, 3)3、数乘运算若λ 为实数，向量 a ＝（x, y)，则λa ＝（λx, λy)例如，λ ＝ 2，a ＝（1, 2)，那么 2a ＝（2×1, 2×2) ＝（2, 4)五、平面向量坐标运算的性质1、平行向量的坐标关系若向量 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，且 a ∥ b，则 x₁y₂x₂y₁＝ 0比如，a ＝（2, 4)，b ＝（4, 8)，因为 2×8 4×4 ＝ 0，所以 a ∥ b2、垂直向量的坐标关系若向量 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，且 a ⊥ b，则 x₁x₂＋y₁y₂＝ 0例如，a ＝（1, 2)，b ＝（－2, 1)，因为 1×（－2) ＋ 2×1 ＝ 0，所以 a ⊥ b六、平面向量坐标表示的应用1、求向量的模对于向量 a ＝（x, y)，其模长为｜a| ＝√（x²＋ y²)比如，向量 a ＝（3, 4)，则｜a| ＝√（3²＋ 4²) ＝ 52、求向量的夹角设向量 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，它们的夹角为θ，则cosθ ＝（x₁x₂＋ y₁y₂) ／（｜a| ｜b|）例如，a ＝（1, 0)，b ＝（0, 1)，则cosθ ＝（1×0 ＋ 0×1) ／（1×1) ＝ 0，所以θ ＝ 90°3、解决几何问题通过建立平面直角坐标系，将几何图形中的线段用向量表示，利用向量的坐标运算解决几何中的长度、角度、平行、垂直等问题。

【学习目标】 1．了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；2．了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.3．培养学生应用向量知识解决问题的能力.【重点难点】向量线性运算的坐标表示及运算法则. 向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.【教学过程】第一课时：平面向量的坐标表示（一）问题情境【观察】设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为i , y 轴的单位向量为j ，OA 为从原点出发的向量，点A 的坐标为（2，3）．则2OM =i ，3ON =j ．由平行四边形法则知23OA OM ON =+=+i j（二）新知探究1、对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数(,)x y ，使得x y =+a i j ．有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)x y =a ．2、x y =+a i j 向量的模：3、00010j 01=i = (,) , = (,)特性：（，），4、11221221(,),(,),0x y x y x y x y ==-=a b a b 若与平行，有5、11221212A(,),B(,),=--x y x y AB x x y y 若有（，）（三）例题练习例1．写出下列向量的坐标表示，并求它们的模1 a 4(2) b -3(3) c 2π=-==i j i j （）例2．如图所示，用x 轴与y 轴上的单位向量i 、j表示向量a 、b , 并写出它们的坐标．第二课时：平面向量的直角坐标运算（一）新知探究设平面直角坐标系中，1122(,),(,),x y x y ==a b则1122()()x y x y +=+++a b i j i j 1212()()x x y y =+++i j ．课题序号8 授课班级 1313/1314 课时 2 课题 7.3平面向量的坐标表示主备 张凡娣 22x y a →+（7．6）7．7）（7．8） （三）例题练习例3．设a ＝(1,−2), b ＝(−2,3)，求下列向量的坐标：(1) a ＋b ， (2) −3 a ， (3) 3 a −2 b ．例4．(,2),(3,), a x b x x a b a b ==向量当是何值时，（1)与平行，（2）与方向相反练习一：1． 点A 坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i 与j 表示向量OA ．2． 设向量34a i j =-,写出向量a 的坐标．3． 已知A ，B 两点的坐标，求AB BA ，的坐标．(1) (5,3),(3,1);-A B (2) (1,2),(2,1);A B (3) (4,0),(0,3)-A B ．4．已知点(2,1)(3,2)-P Q ，，求PQ QP ，的坐标．练习二：P54/【教学后记】。

教案【双基讲解】1.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，以原点为始点，点P 为终点的向量错误!未找到引用源。

叫做点P的位置向量.在平面直角坐标系内，方向与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

如图：设点P的坐标为错误!未找到引用源。

，它在错误!未找到引用源。

轴上的射影为错误!未找到引用源。

，在错误!未找到引用源。

轴上的射影为错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，所以错误!未找到引用源。

我们把有序实数对错误!未找到引用源。

叫做向量错误!未找到引用源。

的坐标，记作错误!未找到引用源。

【示范例题】例。

写出平面直角坐标系中下列各点的位置向量：（1）A(3，−2) ；（2）B(0，−2（3）C(−3，0) .【双基讲解】在平面直角坐标系内，设点错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

向量错误!未找到引用源。

如何用坐标来表示？如图：由向量的减法，可得：错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

，即错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

2. 向量错误!未找到引用源。

的模：由于向量的模就是向量的大小，即点错误!未找到引用教师提问教师讲解集体教学教师讲解谈话法讲授法演示法谈话法通过实例导入问题应用知识领会实践方法源。

之间的距离. 所以向量错误!未找到引用源。

的模为错误!未找到引用源。

.若a= (x，y)，则错误!未找到引用源。

【示范例题】例.平面直角坐标系中，已知点P，Q的坐标分别为(2，−3)，(3，6)，求向量错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

的坐标及错误!未找到引用源。

的模.解错误!未找到引用源。

.错误!未找到引用源。

.|错误!未找到引用源。

|=错误!未找到引用源。

. 【双基讲解】向量的坐标运算：提问：已知a=错误!未找到引用源。

你能得出错误!未找到引用源。