§5 余弦函数
知识梳理
1.任意角的余弦函数
（1）定义
如图1-5-1所示，单位圆与角α的终边交于P点.设P（a，b）,则P点横坐标a是角α的函数，称为余弦函数，记为a=cosα(α∈R).通常用x、y表示自变量和因变量，将余弦函数表示为y=cosx(x∈R).
图1-5-1
（2）余弦线
如图1-5-1所示，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.单位圆中的有向线段OM叫做角α的余弦线（是三角函数线之一）.当角α的终边在y轴上时，M与O重合，此时余弦线变成一个点.
（3）余弦线所表示的余弦值可如下确定：
余弦线的方向是表示余弦值的符号，同x轴一致，向上为正，向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.
（4）任意角的余弦函数定义的推广
如图1-5-2所示，设P(x,y)是α的终边上任意一点，它到原点的距离|OP|=r，有r=22yx,则cosα=rx.
图1-5-2
对于每一个确定的角α，总有唯一确定的余弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做余弦函数.余弦函数值与点P在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小.
2.余弦函数值的符号
（1）图形表示：余弦值在各象限的符号如图1-5-3所示.
图1-5-3
（2）用表格表示
α的终边 cosα
x非负半轴 +
第一象限 +
y非负半轴 0
第二象限 -
x非正半轴 -
第三象限 -
y非正半轴 0
第四象限 +
3.余弦函数的图像和性质
(1)图像：如图1-5-4所示.
图1-5-4
(2)性质
函数
性质 y=cosx
定义域 R
值域 ［-1，1］ 当x=2kπ(k∈Z)时，y取最大值1
当x=(2k+1)π(k∈Z)时，y取最小值-1
周期 2π
奇偶性 偶函数
单调性 增区间 ［-π+2kπ,2kπ］(k∈Z)
减区间 ［2kπ,π+2kπ］(k∈Z)
对称性 对称中心 （kπ+2,0)(k∈Z)
对称轴 x=kπ(k∈Z)
§6 余弦函数的图像与性质
6．1 余弦函数的图像 6．2 余弦函数的性质
填一填
1.余弦函数图像的画法
(1)变换法：y＝sin x图像向左平移________个单位即得y＝cos x的图像．
(2)五点法：利用五个关键点________，________，________，________，________画出[0,2π]上的图像，再左右扩展即可．
2．余弦函数的性质
函数
性质 余弦函数y＝cos x
图像
定义域 R
值域 [－1,1]
最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1
当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性 是周期函数，最小正周期为________
奇偶性 是偶函数，图像关于y轴对称
单调性 在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上是________的
在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上是________的
判一判
1.当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.( )
2．函数y＝cos 2x在π2，π上是减函数．( ) 3．余弦函数的图像分别向左、右无限延伸．( )
4．y＝cos x的定义域为[0,2π]．( )
5．余弦函数y＝cos x是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴有无数多条．( )
6．余弦函数y＝cos x的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
7．函数y＝acos x(a≠0)的最大值为a，最小值为－a.( )
8．函数y＝cos x(x∈R)的图像向左平移π2个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图像，则g(x)＝－sin x．( )
想一想
1.余弦函数图像的两种画法是怎样的？
提示：(1)平移法：这种方法借助诱导公式，先将y＝cos x写成y＝sinx＋π2，然后利用图像平移得到y＝cos x的图像．
(2)“五点法”：在已知函数图像特征的情况下，描出函数图像的关键点，画出草图．这种方法对图像的要求精度不高，是比较常用的一种画图方法．
第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切
1.能够根据和角的正弦公式、余弦公式、正切公式导出二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式.
2.能够根据倍角公式得出半角公式,了解倍角公式和半角公式的内在联系.
3.能够使用倍角公式进行简单的三角恒等变换.
2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是错误！未找到引用源。,你能求出sin2θ-cos2θ的值吗?
问题1:二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α= (α为任意角);
(2)cos 2α=cos2α- = -1=1- (α为任意角);
(3)tan 2α= (α≠ +kπ,且α≠错误！未找到引用源。+
,k∈Z).
问题2:半角的正弦、余弦、正切公式
sin错误！未找到引用源。= ;cos错误！未找到引用源。= ;
tan错误！未找到引用源。=
=
=
.
问题3:如何根据倍角公式导出半角公式?
单角和倍角是相对的,α是错误！未找到引用源。的倍角,在问题1中如果使用这个关系,则得到cos2错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,sin2错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,把这个式子开方得cos错误！未找到引用源。=±错误！未找到引用源。,sin错误！未找到引用源。=±错误！未找到引用源。,再根据同角三角函数关系可得tan错误！未找到引用源。=±错误！未找到引用源。,符号由错误！未找到引用源。所在象限决定.对正切的半角公式又有tan错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,这组公式称为半角公式.
- 1 - 安边中学 高一 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时
备课组长签字： 王广青
包级领导签字：
学生：
上课时间：
集体备课 个人空间
一、课题： 6.1-6.2余弦函数图象的性质
二、学习目标
1.会用“五点法”画余弦函数的图像；
2.了解正弦函数、余弦函数图像之间的关系；
3.掌握余弦函数的性质及其应用。
三、教学过程
【自主预习】
阅读课本P30内容，完成下列任务。
1. 在下列坐标系中画出y=cosx的图像；
2. 总结y=cosx图像的画法：
（1）变换法，将正弦曲线y=sinx的图像向 平移 个单位长度得到。
（2）五点法，在平面直角坐标系中描出五个关键点：
， ， ， ， 。
然后用光滑曲线将五个点连接起来，得y=cosx,x∈[0,2π]的图像，再向左、右平移得到y=cosx的图像。
3. 思考：如何刻画余弦线，运用余弦线作出函数图像。
x y
o
- 2 - 【合作探究】
阅读课本P31内容，思考下列问题。
1. 余弦函数y=cosx,x∈R的性质：
2. 定义域： ; 值域： ;
3. 最值：当x= 时，y取最大值1；当x= 时，y取最小值-1;
4. 周期性：最小正周期是 ；
5. 单调性：增区间 ； 减区间 ；
6.奇偶性： 函数。
【检测训练】
0cos)2(21cos1.1xxx）（的集合求满足下面条件的
1cos3y1.2x）（最小值：求下列函数的最大值及
