数学：2.1.2《指数函数及其性质》(3)课件(新人教A版必修1)

2.1.2 指数函数及其性质

疱丁巧解牛

知识·巧学·升华

一、指数函数及其性质

1.指数函数的定义

一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1，x∈R）叫做指数函数，其中x是自变量.

由于当a=0时，若x＞0，ax恒等于0；若x≤0，ax无意义.

当a＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在.

当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a＞0且a≠1.

只有形如y=ax（a＞0且a≠1）且定义域为R的函数，才是指数函数，又如y=3·2x，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.

要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a＞0且a≠1的情况下，对任意一个x都有唯一确定的值y与它对应，所以x是任意实数.

2.指数函数的图象和性质

（1）下面先画指数函数y=2x及y=0.5x图象

列出x,y的对应值表，用描点法化出图象：

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8

y=0.5x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.13

要点提示 函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称.

（2）指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a＞1 0＜a＜1

图象

性质 ①定义域：R

②值域：（0，+∞）

③过点（0，1），即x=0时，y=1

④在R上是增函数，

当x＜0时，0＜y＜1；

当x＞0时，y＞1 ④在R上是减函数，

当x＜0时，y＞1；

当x＞0时，0＜y＜1

指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等． 指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数．

学 习 目 标 核 心 素 养

１．掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．（重点）

２．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．（重点） １．通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．

２．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养.

比较对数值的大小

【例１】 比较下列各组值的大小：

（１）log５错误!与log５错误!；

（２）log错误!２与log错误!２；

（３）log２３与log５４．

[解] （１）法一（单调性法）：对数函数y＝log５x在（0，＋∞）上是增函数，而错误!

法二（中间值法）：因为log５错误!<0，log５错误!>0，

所以log５错误!

（２）法一（单调性法）：由于log错误!２＝错误!，log错误!２＝错误!，

又因对数函数y＝log２x在（0，＋∞）上是增函数，

且错误!>错误!，所以0>log２错误!>log２错误!，

所以错误!

法二（图象法）：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log错误!x及y＝log错误!x的图象，由图易知：log错误!２

（３）取中间值１，

因为log２３>log２２＝１＝log５５>log５４， 所以log２３>log５４．

比较对数值大小的常用方法 １同底数的利用对数函数的单调性. ２同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. ３底数和真数都不同，找中间量.

提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或１的大小.

１．比较下列各组值的大小：

（１）log错误!0．５，log错误!0．6；

（２）log１．５１．6，log１．５１．４；

（３）log0．５7，log0．67；

（４）log３π，log２0．8．

[解] （１）因为函数y＝log错误!x是减函数，且0．５<0．6，所以log错误!0．５>log错误!0．6．

（２）因为函数y＝log１．５x是增函数，且１．6>１．４，所以log１．５１．6>log１．５１．４．

1 高中数学 2.1.2-3指数函数及其性质导学案 新人教A版必修1

学习目标：深入学习指数函数的性质

学习重点：能解决与指数函数有关的综合应用问题

学习过程：

一、 关于定义域：求下列函数的定义域

1、1621xy

2、191xy

3、xy416

二、 关于值域：

1、求下列函数的值域

（1）3121xy

2 （2）xy32

（3）212225.0xxy

（4）231xy，0,2x

（5）121xy

2、函数)1,0(aaayx在2,1上的最大值比最小值大2a，则a的值为______

3 三、 关于单调性：

1、 求下列函数的单调区间

（1）12.01xy

(2)322xxay ）（1,0aa

2、 已知xxaaaa122)2()2(，则x的取值范围是_____________

四、 关于奇偶性

1、判断函数xxf2121)(的奇偶性

4

2、已知函数xxeaaexf)( )0(a是R上的偶函数，求a的值

一、选择题

1、 若指数函数yax()1在()，上是减函数，那么（ ）

A、 01a B、 10a

C、 a1 D、 a1

2、已知310x，则这样的（ ）

A、 存在且只有一个 B、 存在且不只一个

C、 存在且x2 D、 根本不存在

3、函数fxx()23在区间()，0上的单调性是（ ）

A、 增函数 B、 减函数

C、 常数 D、 有时是增函数有时是减函数

5 4、下列函数图象中，函数yaaax()01且，与函数yax()1的图象只能是（ ）

第 1 页 共 11 页 陕西省高中数学人教新课标A版必修1 第二章 基本初等函数(I) 2.1.2 指数函数及其性质

姓名:________ 班级:________ 成绩:________

一、

选择题 (共16题；共32分)

1.

（2分） (2016高一上·临川期中)

下列各函数中，是指数函数的是（

）

A . y=（﹣3）x

B . y=﹣3x

C . y=3x﹣1

D . y=3﹣x

2. （2分） (2019高一上·九台期中) 函数 是指数函数，则 的值是（ ）

A . 4

B . 1或3

C . 3

D . 1

3. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）

A .

B .

C .

D .

4. （2分） 已知实数a，b满足＞（ ）a＞（ ）b＞ ， 则（ ）

第 2 页 共 11 页 A . b＜2

B . b＞2

C . a＜

D . a＞

5. （2分） (2018高一上·台州期末) 已知函数 ，则其值域为（ ）

A .

B .

C .

D .

6. （2分） 若 ， 则（ ）

A . a>b>c

B . b>a>c

C . c>a>b

D . b>c>a

7. （2分） 函数y=22x﹣2x+1+2的定义域为M，值域P=[1，2]，则下列结论一定正确的个数是（ ）

①M=[0，1]； ②M=（﹣∞，1）； ③[0，1]⊆M； ④M⊆（﹣∞，1]；⑤1∈M； ⑥﹣1∈M．