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模块综合检测[学生用书单独成册] (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C.a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，(a －b )·b ＝0，所以a －b 与b 垂直．故选C. 2．点P 从()1，0出发，沿单位圆逆时针方向运动4π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 解析：选C.由三角函数的定义知，Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫cos 4π3，sin 4π3＝⎝⎛⎭⎫－12，－32.故选C.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω＞0，|φ|<π2的图像如图所示，则f (0)＝( )A ．1B.12C.22D.32解析：选D.由图像知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，把⎝⎛⎭⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝sin π3＝32.故选D.4．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠xOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A.设P (x ，y )，则r ＝OP ＝1，由任意角的三角函数定义，得⎩⎨⎧sin θ＝yr＝y ，cos θ＝xr ＝x ，即P (cos θ，sin θ)．5．已知sin (π＋α)＝45且α是第三象限的角，则cos (2π－α)的值是( )A ．－45B ．－35C ．±45D.35解析：选B.由sin (π＋α)＝45，得－sin α＝45，即sin α＝－45，又因为α是第三象限的角，所以cos (2π－α)＝cos α＝－35.故选B.6．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0D ．－π4解析：选B.y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin2x ，为奇函数．故选B.7．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：选C.设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1 ⇒cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ＝120°.故选C.8．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图像，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图像上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)解析：选B.f (x )＝2sin x 向左平移π6得f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝g (x )，把g (x )图像横坐标伸长到原来的3倍得g ⎝⎛⎭⎫13x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6.故选B. 9．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.由已知得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图像如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C.由图像可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sin π4x .所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.11．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A.152B.152C ．7D ．18解析：选A.因为AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，所以|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2 ＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×()222－12×22×3×cos π4＋32＝152.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图像与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A.因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排除C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排除B ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知向量m ＝(1，3)，n ＝(2a ，1－a )，若m ⊥n ，则a ＝________． 解析：m ＝(1，3)，n ＝(2a ，1－a )，m ·n ＝2a ＋3－3a ＝3－a ＝0，所以a ＝3. 答案：314．已知A ，B ，C 三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，若pOA →＋qOB →＋rOC →＝0，其中p ，q ，r ∈R ，则p ＋q ＋r ＝________.解析：因为A 、B 、C 三点在同一条直线l 上，存在实数λ使AB →＝λAC →， 所以OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，(λ－1)OA →＋OB →－λOC →＝0，因为pOA →＋qOB →＋rOC →＝0，p ＝λ－1，q ＝1，r ＝－λ，p ＋q ＋r ＝0. 答案：015．已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1]上的递增区间为________．解析：由T ＝2π2ω＝πω，f(x)的最大值为2，所以πω＝2，即ω＝π2，即f(x)＝2sin(πx －π4)，所以当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z ，f (x )是递增的，故f (x )在[－1，1]上的递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 16．已知tan(α＋β)＝3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，那么tan β＝________．解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2，则tan α＝13，由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，所以tan β＝43.答案：43三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点． (1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标． 解：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，因为P 在AB 上，所以BA →与P A →共线．BA →＝(4，2)，P A →＝(1－m ，－2－n )，所以4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.①又因为OP →⊥AB →，所以(m ，n )·(－4，－2)＝0. 所以2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，所以OP →＝(1，－2)． 18．(本小题满分12分)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13.(1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋sin 2⎝⎛⎭⎫32π＋α的值． 解：(1)因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13，所以tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α ＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2⎝⎛⎭⎫－122－⎝⎛⎭⎫－12＋1⎝⎛⎭⎫－122＋1＝85. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2x －3sin x ·cos x ＋1. (1)求函数f (x )的递增区间；(2)若f (θ)＝56，θ∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3，求sin2θ的值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－32sin2x ＋1＝12cos2x －32sin2x ＋32 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32，令2k π＋π≤2x ＋π3≤2k π＋2π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，故f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z.(2)因为f (θ)＝56，所以cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＋32＝56，所以cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－23，由θ∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3⇒π<2θ＋π3<5π3， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－53.所以sin2θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3sin π3＝23－56. 20．(本小题满分12分)(2015·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图像，求y ＝g (x )的图像离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)由(1)，知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)绕着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos2x )，求函数f (x )＝m·n ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域．解：(1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α，则tan α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.所以tan α＜tan π4，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17＋11－17×1＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45.(2)f (x )＝3sin θ·sin2x ＋2cos θ·2cos2x ＝125sin2x ＋125cos2x ＝1225sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－125，1225.22．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2，1)，n ＝()0，－5，且m ⊥(OA →－n )．(1)求向量OA →； (2)若cos(β－π)＝210，0＜β＜π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)因为OA →＝(cos α，sin α)， 所以OA →－n ＝()cos α，sin α＋5. 因为m ⊥(OA →－n )， 所以m ·(OA →－n )＝0， 所以2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， 所以OA →＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)因为cos(β－π)＝210， 所以cos β＝－210，又0＜β＜π， 所以sin β＝1－cos 2β＝7210， 且π2＜β＜π. 又因为sin2α＝2sin αcos α ＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos2α ＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，所以cos(2α－β)＝cos2αcos β＋sin2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝. 22。
3・3第三章概率3. 3.1几何概型第三章概率几何概型第三章概率概型.2-掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率.预习蔻・g隹学习t 研读•思考・尝试1.几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.(2)特点：①可能出现的结果有无限多个：②每个结果发生的可能性一相等.2.几何概型中事件A的概率的计算公式构成事件A的区域长度（面积或体积）P（A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.自我尝试，下列概率模型都是几何概型吗？(对的打“ J",错的打(1)从区间［-10, 10］中任取出一个数，求取到1的概率• ( X )(2)从区间［-10, 10冲任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率.((3)从区间［-10, 10］中任取出一个数，求取到大于1且小于2的数的概率.(V )(4)向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离正方形的中心不超过1 cm的概率.)解析：⑴不是几何概型；(2)(3)(4)是几何概型，满足无限性, 且等可能性.2.用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部 位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米 刻度处的概率为(B )A.| 1 4解析：由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻2—1 1度处的概率为P=-^- = yB.D.3.如图，假设你在如图甲示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为解析：设圆的半径为乩则圆的面积为S=TI R\阴影的面积STL7阴=空• 2R • R=R ,…亠S阴疋 1 故所求WP=y=^2=-.探究案▼讲练互动* 探究点一与长度有关的几何概型例1 函Sfc/(x)=x 2—X —2, xE[—5, 5],那么任取一点兀0丘 [-5, 5],使沧o)W0的概率为(CA. 1 3 c — ^•10解惑•探究・突破B.［解析］令X2—X—2=0,得X1 = —1, X2=2, /(x)的图象是开口向上的抛物线，与兀轴的交点为(一1，0), (2, 0),图象在兀轴下方，即/(x o)^O的xo的取值范围x o e[-l, 2],所以P2_ (_1) =3 5- (-5) =10*Q互动探究本例中，若将a x e[-5, 5],x0e[-5, 5]”分别改为“兀丘[0, 5],x o e[O, 5]”,则概率为多少?解：当任取一点x o e[O, 5]时，/Uo)W0的可的取值范围为乩e[0, 2],故由几何概型概率计算公式可得，所求概率P=|Eo2(1)本题的关键是判断事件发生的概率是只与长度有关的几何概型.(2)将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解.电翌劇1|练1 .某人从甲地去乙地共走了 500米，途经一条宽 为兀米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，如果物品掉到 河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被A. 80米B. 100米 D. 50 米解析:该物品能够被找到的路径长为500-x 米，由几何概型知,4 500—x5=_500_,解得兀=100米，故选B.找到的概率是右则河宽为（B ）C. 40 米探究点二与面积有关的几何概型（数形结合思想）® 2 （2014•高考重庆卷）某校早上8： 00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7： 30〜7： 50之间到校，且每人在该时到校的概率为」2 •（用数字作答）间段的任何时彎校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟［解析］设小王到校时间为小小张到校时间为V，则小张比小王至少早到5分钟时满足x~y^5.如图，原点O表示7： 30, 在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域（图中正方形区域），该正方形区域的面积为400,小张比小王至少早到5分钟对应的图形（图中阴影部分）的面积为;X15X15225225 2 9故所求概率为p=400=32-(1)数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来.包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符合条件的点集问题)去解决.(2)与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：叫—构成事件A的区域面积)一试验的全部结果所构成的区域面积・(3)解与面积相关的几何概型问题的三个关键点①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；③套用公式，从而求得随机事件的概率.g跟踪训练2・_海豚在水池中自由游弋，水池为长宽2030 m, m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.解：如图所示，区域幻是长30 m、宽20 m的长方形，图中阴影部分表示事件4：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.由于区域Q的面积为30X20 = 600(m2),阴影部分的面积为30X20—26X16= 184(m2).所以P(A)=芻=||.即海豚嘴尖离23岸边不超过2 m的概率为亦.20 m30 m探究点三与体积有关的几何概型例3 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从 中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率 是多少？解：取出10毫升种子，其中“含有麦诱病种子”这一事件记为故取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01.“体积比”求几何概型的概率是常见题型，通常利用图形的几 何特征度量来求随机事件的概率. 电］跟踪训练3.如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细 菌.用一小杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个 细菌的概率.A,则 P(A) = 取出的种子体积 10 所有种子的体积=而5=。
