2020-2021学年高一数学课时同步练习 第二章 一元二次函数、方程和不等式章末综合检测

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式教学设计一、教学目标1. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；2. 会解一元二次不等式. 二、教学重难点 1. 教学重点一元二次不等式的解法及实际应用. 2. 教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式. 三、教学过程 （一）新课导入思考：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m ，围成的矩形区域的面积要大于20 m 2，则这个矩形的边长为多少米？（学生自主探究，举手回答，教师引导、总结）解：设这个矩形的一条边长为x m ，则另一条边长为(12-x )m. 由题意，得(12-x )x > 20，其中{|012}x x x ∈<<. 整理得212200x x -+<，{|012}x x x ∈<<.只要求出不等式的解集，就得到了问题的答案.下面我们来探究不等式的解法. （二）探索新知 探究一 一元二次不等式定义：一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是20ax bx c ++>或20ax bx c ++<，其中a ，b ，c 均为常数，0a ≠.探究二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的关系问题1 根据图象探究一元二次不等式212200x x -+<与二次函数21220y x x =-+之间的关系.（教师引导学生，详细讲解）如图，在平面直角坐标系中画出二次函数21220y x x =-+的图象，图象与x 轴有两个交点.这两个交点的横坐标就是方程212200x x -+=的两个实数根12210x x ==，，因此二次函数21220y x x =-+与x 轴的两个交点是(2，0)和(10，0).一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.于是，二次函数21220y x x =-+的两个零点是12210x x ==，. 从上图可以看出，二次函数21220y x x =-+的两个零点12210x x ==，将x 轴分成三段.当2x <或10x >时，函数图象位于x 轴上方，此时0y >，即212200x x -+>；当210x <<时，函数图象位于x 轴下方，此时0y <，即212200x x -+<.所以，一元二次不等式212200x x -+<的解集是{|210}x x <<.因为{|210}{|012}x x x x <<⊆<<，因此当围成的矩形的一条边长x 满足210x <<时，围成的矩形区域的面积大于220m .问题2 利用上述方法求一般的一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>和20(0)ax bx c a ++<>的解集.（学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师做最后总结）因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>，设24b ac ∆=-，它的根按照0∆>，0∆=，0∆<可分为三种情况.相应地，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此，分三种情况来讨论对应的一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>和20(0)ax bx c a ++<>的解集.如下表.例1 求不等式2560x x -+>的解集.解：对于方程2560x x -+=，因为0∆>，所以它有两个实数根.解得1223x x ==，. 画出二次函数256y x x =-+的图象，如下图，结合图象得不等式2560x x -+>的解集为{|23}x x x <>，或. 例2 求不等式29610x x -+>的解集.解：对于方程29610x x -+=，因为0∆=，所以它有两个相等的实数根，解得1213x x ==. 画出二次函数2961y x x =-+的图象，如下图，结合图象得不等式29610x x -+>的解集为1{|}3x x ≠.例3求不等式2230x x -+->的解集. 解：不等式可化为2230x x -+<.因为80∆=-<，所以方程2230x x -+=无实数根. 画出二次函数223y x x =-+的图象，如下图， 结合图象得不等式2230x x -+<的解集为∅. 因此，原不等式的解集为∅. 总结求解一元二次不等式的过程. 探究三 一元二次不等式的应用例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：2202200y x x =-+.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x 辆摩托车，根据题意，得220220060000x x -+>.移项整理，得211030000x x -+<.对于方程2110300001000x x -+=∆=>，，方程有两个实数解125060x x ==，. 画出二次函数21103000y x x =-+的图象，如图，结合图象得不等式211030000x x -+<的解集为{|5060}x x <<，从而原不等式的解集为{|5060}x x <<.因为x 只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得60000元以上的收益.例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km/h ）之间有如下关系：21120180s v v =+.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1 km/h ）？解：根据题意，得21139.520180v v +>. 移项整理，得2971100v v +->. 对于方程29711000v v +-=∆>，，方程有两个实数根12v v ==. 画出二次函数297110s v v =+-的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为12{|}v v v v v <>，或. 因为车速0v >，所以2v v >.而279.980v <<，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.（三）课堂练习1.不等式2230x x -++<的解集是( ) A.{|1}x x <- B.3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C.3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.3|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 答案：D解析：不等式2230x x -+<+可变为2230x x ->-，解得1x <-或32x >，故选D. 2.已知集合{}2|20A x x x =-->，则RA =( )A.{}|12x x -<<B.{}|12x x -≤≤C.{}{}|1|2x x x x <-⋃>D.{}{}|1|2x x x x ≤-⋃≥答案：B解析：因为{}2|20A x x x =-->， 所以{}2R|20A x x x =--≤{}|12x x =-≤≤，故选B.3.不等式2(3)2(3)40a x a x -+--<对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围为( ) A.{}|3a a <-B.{}|13a a -<≤C.{}|3a a ≤-D.{}|33a a -<<答案：B解析：当3a =时，不等式为40-<，对x ∈R 恒成立，当3a ≠时，则2304(3)16(3)0a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩，解得313a a <⎧⎨-<<⎩，所以13a -<<. 综上，实数a 的取值范围是{}|13a a -<≤，故选B. （四）小结作业 小结：1. 一元二次不等式的定义；2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的关系；3. 一元二次不等式的应用. 作业： 四、板书设计2.3二次函数与一元二次方程、不等式1. 一元二次不等式的定义；2. 解一元二次不等式；3. 一元二次不等式的应用.。

习题课 基本不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021江苏南京高一期末)设实数x 满足x>0,函数y=2+3x+4x+1的最小值为( )A.4√3-1B.4√3+2C.4√2+1D.6x>0,∴x+1>0,∴y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥2√3(x +1)·4x+1-1=4√3-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=2√33-1>0时,等号成立,∴函数y=2+3x+4x+1的最小值为4√3-1.故选A .2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a+1b的最大值为( ) A.-1 B .-32C .-4D .-2解析a<0,b<0,a+b=-2,∴1a +1b =-121a+1b (a+b )=-122+b a +a b ≤-122+2√b a ·ab =-2,当且仅当a=b=-1时,等号成立,故y=1a+1b的最大值为-2,故选D .3.(多选题)(2021广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a 2+b 2=1,则( ) A.a+b ≤√2 B.a+b ≤12C.a+b>√2D.1a 2+1b 2≥4(a+b )2=a 2+b 2+2ab=1+2ab ≤1+(a 2+b 2)=2(当且仅当a=b 时,等号成立),又a>0,b>0,则a+b ≤√2,故A 正确; 1a 2+1b 2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2=1+b 2a 2+a 2b 2+1≥2+2√a 2b 2·b 2a 2=2+2=4, 当且仅当b 2a2=a 2b 2,即a=b 时,等号成立,故D 正确.故选AD .4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v 2800 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 h .解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v 2800v =v16h,最后一辆车驶完全程共需要400vh,所以一共需要400v+v 16h,由基本不等式,得400v+v 16≥2√400v·v16=10,故最少需要10h .5.已知a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2b ab的最小值为 .a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2b ab=1b+2a=13(2a+b )2a+1b=135+2ba +2a b≥13(5+4)=3,当且仅当2ba =2ab且2a+b=3,即a=b=1时,a+2b ab取得最小值3.6.已知正数a ,b ,x ,y 满足a+b=10,a x+by=1,x+y 的最小值为18,求a ,b 的值.(x+y )(a x +by )=a+bx y+ay x+b=10+bx y+ay x.因为x ,y>0,a ,b>0,所以x+y ≥10+2√ab =18,即√ab =4. 当且仅当bx y=ay x时,等号成立.又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.7.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+x 2360升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值.设所用时间为t=130x小时,则y=130x×6×(2+x 2360)+14×130x ,50≤x ≤100. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=3380x+136x ,50≤x ≤100.(2)y=3380x+136x ≥263√390, 当且仅当3380x=136x ,即x=2√390时,等号成立.又2√390<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=338050+136×50=263915(元).等级考提升练8.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m 恒成立,则m 的最大值等于( )A.10B.9C.8D.7解析2a +1b =2a+1b (2a+b )=5+2b a +2ab≥5+2√2b a ·2ab=9,当且仅当2b a =2ab,即a=b=13时,等号成立.所以2a+1b 的最小值为9,又因为2a +1b ≥m 恒成立,所以m ≤9,即m 的最大值为9. 9.(2021浙江温州高一期末)已知正数a ,b 满足a+b=1,则4a 1-a+b 1-b的最小值是( )A.1 B .2 C .4 D .8a ,b 满足a+b=1,则4a 1-a+b 1-b=4a b +b a≥2√4a b ·b a=4,当且仅当4ab =ba ,即b=2a=23时,等号成立. 故4a1-a +b1-b 的最小值是4, 故选C .10.(2021云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是( ) A.1B .12C .1D .2x ,y ,则x>0,y>0,且x+y=1, 由基本不等式可得x 2+y 2≥2xy , 所以2(x 2+y 2)≥x 2+y 2+2xy=(x+y )2=1,所以x 2+y 2≥12,当且仅当x=y=12时,等号成立,因此,两个正方形的面积之和x 2+y 2的最小值为12.故选B .11.(多选题)(2021浙江湖州高一期末)已知a>0,b>0.若4a+b=1,则( ) A.14a+1b的最小值为9B .1a +1b 的最小值为9C .(4a+1)(b+1)的最大值为94 D .(a+1)(b+1)的最大值为94,14a +1b =(14a +1b )(4a+b )=2+b4a +4ab ≥2+2√b4a ·4ab=4,当b4a =4a b,即b=4a 且4a+b=1时,等号成立,故14a +1b 的最小值是4,故A 不正确;1a +1b =(1a +1b )(4a+b )=5+b a +4a b≥5+2√b a·4ab=9,当b a=4a b,即b=2a 且4a+b=1时,等号成立,1a+1b的最小值为9,故B 正确;(4a+1)(b+1)≤[(4a+1)+(b+1)2]2=94,当4a+1=b+1,即b=4a=12时,等号成立,故C 正确;(a+1)(b+1)=14〖(4a+4)(b+1)〗≤14[(4a+4)+(b+1)2]2=94,当且仅当4a+4=b+1时,等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-14,b=2时,等号成立,但a>0,所以等号不能成立,故D 不正确.故选BC . 12.设函数y=x+ax (a>0).(1)若a=1,求当x>0时,函数y 的最小值为 ;(2)当x>2时,该函数存在最小值,则满足条件的一个a 的值为 .(2)5(答案不唯一,只要a>4即可)当a=1时,由基本不等式得x+1x ≥2√x ·1x =2,当且仅当x=1x ,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+ax ≥2√x ·ax =2√a ,当且仅当x=ax ,x=√a 时等号成立,故√a >2,即a>4.填a>4的任意一个a 都符合题意.13.对任意m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,则实数a 的最大值为 .√2m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,∴m 2+2n 2≥amn , 即a ≤m 2+2n 2mn =m n+2n m恒成立.∵mn +2nm≥2√m n ·2nm =2√2, ∴a ≤2√2,即最大值为2√2.14.经观测,某公路段在某时段内的车流量y (单位:千辆/时)与汽车的平均速度v (单位:千米/时)之间有如下关系:y=920v v 2+3v+1600(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v 为 时车流量y 最大,最大车流量为 千辆/时(精确到0.01).11.08 y=920v v 2+3v+1600=920v+1600v+3≤2√v ·1600v+3=92083≈11.08.当v=1600v,即v=40千米/时,车流量最大,最大值为11.08千辆/时.新情境创新练15.中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(2≤x ≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a (1+x )x元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a 的取值范围.设甲工程队的总造价为y 元,则y=3150×2x+400×12x+7200=900x+16x+7200(2≤x ≤6),900x+16x+7200≥900×2×√x ·16x +7200=14400.当且仅当x=16x ,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14400元.(2)由题意可得,当2≤x ≤6时,900x+16x+7200>900a (1+x )x恒成立,即(x+4)2x>a (1+x )x,∴a<(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6,又x+1+9x+1+6≥2√(x +1)·9x+1+6=12,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立.∴a 的取值范围为{a|0<a<12}.。

或
1 0<x<a
B．－1a <x<0 或 0<x<－1b
C．x<1b
或
1 x>a
D．－1a <x<－1b
【解析】选
C.因为
1 a>x
>b，所以
ax2>x>bx2(x≠0)，由
ax2>x
可得
x<0
或
1 x>a
，由 x>bx2
可得
x>0
或
1 x<b
，求交集可得，x<1b
或
1 x>a
.
3．(2020·泰安高一检测)某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为 15 元，若按最 低售价销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏，为了使 这批台灯每天获得 400 元以上(不含 400 元)的销售收入，则这批台灯的销售单价 x(单 位：元)的取值范围是( ) A．10<x<20 B．15≤x<20 C．15<x<20 D．10≤x<20 【解析】选 B.由题意，x[30－2(x－15)]>400， 则－2x2＋60x－400>0，即 x2－30x＋200<0， 所以(x－10)(x－20)<0，即 10<x<20， 因为每盏最低售价为 15 元，所以 15≤x<20.
m＋1>0 Δ＝（－m）2－4（m＋1）（m－1）≤0
，
即m3m>2－－14≥0
m>－1 ，所以m≤－2 33或m≥2 33
，
解得
2 m≥3
3，
所以 m 的取值范围是32

2020-2021学年高一上数学新教材必修一
第2章：一元二次方程的解集及其根与系数的关系
一、选择题
1．下列一元二次方程的解集为空集的是()
A．x2＋2x＋1＝0B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
2．用配方法解下列方程，配方正确的是()
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
3．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情况是()
A．只有一个元素B．有两个元素
C．为空集D．不能确定有几个元素
4．已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个不相等的实数根，则α＋β＋αβ的值为()
A．－1B．9 C．3D．27
5．已知x＝－1是关于x的一元二次方程2x2＋kx－1＝0的一个根，则实数k的值为()
A．1 B．－1
C．0 D．2
二、填空题
6．已知方程3x2－18x＋m＝0的一个根是1，那么它的另一个根是________，m＝________.
7.若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝________.
8．若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，则m 的值为________．
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