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4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
章末复习(二)学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内．(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．3．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r→相离；d＝r→相切；d<r→相交．4．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则5．求圆的方程时常用的四个几何性质6．与圆有关的最值问题的常见类型(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题． 7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B | ＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 8．空间中两点的距离公式空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2.类型一 求圆的方程例1 根据条件求下列圆的方程．(1)求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程；(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程． 考点 圆的标准方程题点 圆心在某直线上求圆的标准方程 解 (1)由题意知，线段AB 的垂直平分线方程为 3x ＋2y －15＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3，∴圆心C (7，－3)，半径为r ＝|AC |＝65. ∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. (2)方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心坐标为(a ，b )，半径为r ＝10， 圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为d ＝|a －b |2.由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得 d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10，∴(a －b )2＝4.又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.方法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝10， ∵圆心C (a ，b )在直线y ＝2x 上，∴b ＝2a . 由圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42， 将y ＝x 代入(x －a )2＋(y －b )2＝10， 得2x 2－2(a ＋b )x ＋a 2＋b 2－10＝0.设直线y ＝x 交圆C 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝42， ∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝a ＋b ，x 1x 2＝a 2＋b 2－102，∴(a ＋b )2－2(a 2＋b 2－10)＝16，即a －b ＝±2.又∵b ＝2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤 第一步：选择圆的方程的某一形式．第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)． 第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F )． 第四步：代入圆的方程．注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．跟踪训练1 如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为________________．考点 圆的弦长问题题点 直线和圆相交求圆的方程 ★答案☆ (x －1)2＋(y －2)2＝2解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. 类型二 直线与圆的位置关系例2 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 考点 直线和圆的位置关系 题点 直线和圆的位置关系 解 (1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2. ①当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离为d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切． ②当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知，|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.(2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎫2322＝4，解得a ＝－34.反思与感悟 当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系及弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆半径为r ，则弦长为l ＝2r 2－d 2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线． 跟踪训练2 已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P ，且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 弦的中点的轨迹方程． 考点 直线和圆的位置关系 题点 直线和圆的位置关系解 (1)如图所示，|AB |＝43，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，∴|AD |＝2 3.由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0， 得(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，∴|AC |＝4. 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.当所求直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线l 的距离为|－2k －6＋5|k 2＋1＝2，得k ＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，∴k CD·k PD＝－1，即y－6x＋2·y－5x＝－1，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.类型三圆与圆的位置关系例3已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)求当m取何值时两圆外切？(2)求当m取何值时两圆内切？(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．考点题点解圆Q1：x2＋y2－2x－6y－1＝0可化为(x－1)2＋(y－3)2＝11，可得圆心Q1(1,3)，r1＝11，圆Q2可化为(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心Q2(－5,6)，r2＝61－m.两圆圆心距|Q1Q2|＝(5－1)2＋(6－3)2＝5.(1)当两圆外切时，|Q1Q2|＝11＋61－m，即5＝11＋61－m.解得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，|Q1Q2|＝|11－61－m|，因为11<5，所以|Q1Q2|＝61－m－11，所以5＝61－m－11，所以m＝25－1011.(3)当m＝45时，由两圆方程相减，得公共弦方程为x2＋y2－2x－6y－1－x2－y2＋10x＋12y－m＝0，即4x＋3y－23＝0.圆心Q1到公共弦的距离为d ＝|4×1＋3×3－23|42＋32＝2，所以公共弦长为2r 21－d 2＝2(11)2－22＝27.跟踪训练3 已知两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为________． 考点 圆与圆的位置关系题点 已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围 ★答案☆ (－2，－1)解析 两圆的圆心坐标分别为O 1(－1,1)和O 2(2，－2)， 由平面几何知，直线O 1O 2垂直平分线段PQ ， 则k PQ ·12O O k ＝k PQ ·1－(－2)－1－2＝－1，∴k PQ ＝1.∴直线PQ 的方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. 由点P (1,2)在圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2上， 可得r ＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝5，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴Q (－2，－1)．类型四 数形结合思想的应用例4 若曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤13，34D.⎝⎛⎦⎤512，34考点 数形结合思想的应用 题点 数形结合思想的应用 ★答案☆ D解析 首先明确曲线y ＝1＋4－x 2表示半圆，由数形结合可得512＜k ≤34.反思与感悟 数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．跟踪训练4 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx 的最大值为________，最小值为________．考点 数形结合思想的应用 题点 数形结合思想的应用 ★答案☆3 －3解析 如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k ，即y ＝kx ， 则当圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(也可由平面几何知识，得|OC |＝2，|CP |＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°)1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋54a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞23B ．－23＜a ＜2C ．a ＞1D ．a ＜1考点 圆的一般方程题点 二元二次方程表示圆的条件 ★答案☆ D解析 由题意知a 2＋4a 2－4⎝⎛⎭⎫54a 2＋a －1＞0，解得a ＜1. 2．以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝9 考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的方程★答案☆ B3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°＜α≤30° B ．0°＜α≤60° C ．0°≤α≤30°D ．0°≤α≤60°考点 直线与圆的位置关系题点 由直线与圆的位置关系求参数的值或范围 ★答案☆ D解析 设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0， 圆心(0,0)到直线l 的距离为d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，解得0≤k ≤3，即0≤tan α≤3，∴0°≤α≤60°.4．圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 考点 圆与圆的位置关系 题点 两圆的位置关系与其公切线 ★答案☆ C解析 两圆的标准方程分别为C 1：(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；C 2：(x ＋2)2＋(y －4)2＝64， 则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8. 圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13. 又∵r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2， ∴两圆相交，则公切线共2条．5．已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0. (1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值．考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)． 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切，所以|3＋3|1＋(－m )2＝2，解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．一、选择题1．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用★答案☆D解析曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则曲线C表示的是以(－a,2a)为圆心，2为半径的圆．要使圆C上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|>2，故a>2.综上，a>2.2．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1,3，－3} D．{5，－5,3，－3}考点两圆的位置关系题点由圆与圆的位置关系求参数的值或范围★答案☆C解析∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，当两圆内切时，|a|＝1，当两圆外切时，|a|＝3，∴实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}，故选C.3．已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的方程 ★答案☆ B解析 由圆心在x ＋y ＝0上，可排除C ，D.再结合图像，或者验证选项A ，B 中，圆心到两直线的距离是否等于半径2即可．4．如图，在长方体ABCO －A 1B 1C 1D 1中，|OA |＝3，|OC |＝4，|OD 1|＝3，BC 1与B 1C 相交于点P ，则点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫4，32，32B.⎝⎛⎭⎫32，32，4 C ．(3，4，3) D.⎝⎛⎭⎫32，4，32 考点 题点 ★答案☆ D解析 过P 作BC 的垂线交BC 于点M ，则点M 是BC 的中点，|PM |＝32，|MC |＝32，所以P ⎝⎛⎭⎫32，4，32. 5．已知直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是()考点题点★答案☆B解析由题意，得圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2.∵圆M过原点(0,0)，∴排除A，C选项．选项B，D中，圆心M(a，－b)在第一象限，∴a>0，b<0，∴直线ax－y＋b＝0经过第一、三、四象限，故B选项符合．6．已知直线l：kx＋y－2＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的对称轴，过点A(0，k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为()A．2 B．2 2 C．3 D．23考点 圆的切线问题 题点 圆的切线长问题 ★答案☆ D解析 由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0， 得(x －3)2＋(y ＋1)2＝1，表示以C (3，－1)为圆心，1为半径的圆．由题意可得直线l ：kx ＋y －2＝0经过圆C 的圆心(3，－1)， 故有3k －1－2＝0，得k ＝1，则点A (0,1)， 即|AC |＝(0－3)2＋(1＋1)2＝13，则|AB |＝|AC |2－r 2＝(13)2－1＝23，故选D.7．已知圆心为(2,0)的圆C 与直线y ＝x 相切，则切点到原点的距离为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D.3 考点 圆的切线问题 题点 圆的切线长问题 ★答案☆ B解析 如图，设圆心为C ，切点为A ，圆的半径为r ＝|2－0|2＝2，|OC |＝2，∴切点到原点的距离为22－(2)2＝ 2.故选B. 二、填空题8．若两圆x 2＋(y ＋1)2＝1和(x ＋1)2＋y 2＝r 2相交，则正数r 的取值范围是________________． 考点 圆与圆的位置关系题点 由圆与圆的位置关系求参数的值或范围★答案☆ (2－1，2＋1)解析 ∵两圆x 2＋(y ＋1)2＝1和(x ＋1)2＋y 2＝r 2相交， 圆x 2＋(y ＋1)2＝1的半径和圆心分别是1，(0，－1)， 圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2的半径和圆心分别是r ，(－1，0)，∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和， 即|r －1|＜(0＋1)2＋(－1－0)2＜r ＋1， ∴r －1＜2＜r ＋1， ∴r ∈(2－1，2＋1)，即正数r 的取值范围是(2－1，2＋1)．9．已知在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)的直线l 与直线x －y ＋1＝0垂直，且l 与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为________． 考点 圆的弦长问题题点 直线与圆位置关系的综合问题 ★答案☆ 1解析 ∵直线l 的方程为y ＝－(x －1)， 即x ＋y －1＝0.又由圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3，得x 2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (0，－1)到l 的距离为d ＝|－2|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22， 又原点O 到l 的距离为|－1|2＝22，∴S △OAB ＝12×22×22＝1.10．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是______________________________________． 考点 圆的标准方程题点 圆心在某直线上求圆的标准方程★答案☆ (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析 由题意可设圆心C (a ，a )，如图，得22＋22＝2a 2， 解得a ＝±2，r 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.11．直线x ＋y ＋a ＝0(a >0)与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且S △OAB ＝3，则a ＝________. ★答案☆6或2解析 ∵圆心到直线x ＋y ＋a ＝0的距离d ＝|a |2， |AB |＝2×4－a 22，∴S △OAB ＝12×2×4－a 22×|a |2＝3，解得a 2＝6或a 2＝2.又a >0， ∴a ＝6或 2. 三、解答题12．已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)． (1)在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |；(2)若xOz 平面内的点M 到点A 的距离与到点B 的距离相等，求点M 的坐标满足的条件． 考点 题点解 (1)由于点P 在x 轴上，故可设P (a ,0,0)， 由|P A |＝|PB |，得(a －1)2＋4＋1＝(a －2)2＋4， 即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a＝1，所以点P的坐标为P(1,0,0)．(2)由于点M在平面xOz内，故可设M(x,0，z)，由|MA|＝|MB|，得(x－1)2＋(－2)2＋(z＋1)2＝(x－2)2＋(z－2)2，即x＋3z－1＝0.所以点M的坐标满足的条件为x＋3z－1＝0.13．已知圆心坐标为(3,4)的圆N被直线x＝1截得的弦长为2 5.(1)求圆N的方程；(2)若过点D(3,6)的直线l被圆N截得的弦长为42，求直线l的斜率．考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题解(1)由题意知，圆心到直线的距离为3－1＝2，∵圆N被直线x＝1截得的弦长为25，∴圆的半径为r＝5＋4＝3，∴圆N的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9.(2)显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y－6＝k(x－3)，即kx－y－3k＋6＝0，∵圆心(3,4)到直线l的距离为d＝21＋k2，r＝3，弦长为42，∴42＝29－d2，化简得1＋k2＝4，解得k＝± 3.四、探究与拓展14．直线3x＋y－23＝0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为() A．30° B．45° C．60° D．90°考点圆的弦长问题题点直线与圆位置关系的综合问题★答案☆C解析过O作OC⊥AB，垂足为点C，由圆的方程x2＋y2＝4，得圆心O的坐标为(0,0)，半径为r＝2.∵圆心到直线3x＋y－23＝0的距离为d＝|OC|＝232＝3，∴直线被圆截得的弦长为|AB|＝2r2－d2＝2，∴△AOB 为等边三角形，即∠AOB ＝60°，∴直线被圆截的劣弧AB 所对的圆心角为60°，故选C.15．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相交于A ，B 两点．(1)求公共弦AB 所在的直线方程；(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A ，B 两点的圆的方程；(3)求经过A ，B 两点且面积最小的圆的方程．考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 求过两圆交点的圆的方程解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得x －2y ＋4＝0. ∴圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的公共弦AB 所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(2)由(1)得x ＝2y －4，代入x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0中，得y 2－2y ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (－4,0)，B (0,2)． 又圆心在直线y ＝－x 上，设圆心为M (x ，－x )，则|MA |＝|MB |，|MA |2＝|MB |2，即(x ＋4)2＋(－x )2＝x 2＋(－x －2)2，解得x ＝－3.∴圆心M (－3,3)，半径|MA |＝10.∴圆心在直线y ＝－x 上，且经过A ，B 两点的圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(3)由A (－4,0)，B (0,2)，得AB 的中点坐标为(－2,1)，12|AB|＝12(－4－0)2＋(0－2)2＝ 5.∴经过A，B两点且面积最小的圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.。
高中数学学习材料唐玲出品第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率【课时目标】 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．1．倾斜角的概念和范围在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按____________方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．直线倾斜角α的范围是0°≤α<180°．2．斜率的概念及斜率公式定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α取值范围当α＝0°时，______；当0°<α<90°时，______；且α越大，k 越大；当90°<α<180°时，______；且α越大，k 越大； 当α＝90°时，斜率________．过两点的直线的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝__________ (x 1≠x 2)．一、选择题1．对于下列命题①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为()A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是()A．[0°，90°]B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k26．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是()A．mn>0 B．mn<0C．m>0，n<0 D．m<0，n<0二、填空题7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为____________________________________________________________________．9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是______________．三、解答题10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．11．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的坐标．能力提升12．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，求yx的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c的大小关系是________________．1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．2．三点共线问题：(1)已知三点A ，B ，C ，若直线AB ，AC 的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB |＋|BC |＝|AC |，也可断定A ，B ，C 三点共线．3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率答案知识梳理 1．逆时针 2．定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜 角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α 取值范围当α＝0°时，k ＝0；当0°<α<90°时，k >0；且α越大，k 越大； 当90°<α<180°时，k <0；且α越大，k 越大； 当α＝90°时，斜率不存在．过两点的直线的斜率公式直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．作业设计1．C [①②③正确．]2．C [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3．]3．D [因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180° ＝α－135°．]4．C [倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．]5．D [由图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大． ∴k 1<k 3<k 2．]6．C [由题意知，直线与x 轴不垂直，故n ≠0．直线方程化为y ＝－m n x ＋1n ，则－mn>0，且1n<0，即m >0，n <0．] 7．30°或150° 33或－338．0 9．20°≤α<200°解析 因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)， 所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°． 10．解 αAD ＝αBC ＝60°，αAB ＝αDC ＝0°，αAC ＝30°， αBD ＝120°．k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0，k AC ＝33，k BD ＝－3．11．解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意，由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x， 解得x ＝2，即P (2,0)． 12．解y x ＝y －0x －0其意义表示点(x ，y )与原点连线的直线的斜率． 点(x ，y )满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则点(x ，y )在线段AB 上，并且A 、B 两点的坐标分别为A (2,4)，B (3,2)，如图所示．则k OA ＝2，k OB ＝23．所以得y x 的最大值为2，最小值为23．13．f (c )c >f (b )b >f (a )a解析 画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率．。
复习课(一)立体几何初步空间几何体的三视图、表面积与体积空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图、二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力，难度低档．[考点精要]1．三视图的画法规则(1)主、俯视图都反映了物体的长度——“长对正”；(2)主、左视图都反映了物体的高度——“高平齐”；(3)左、俯视图都反映了物体的宽度——“宽相等”．2．表面积(1)多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各面面积之和．(2)旋转体的表面积：①S圆柱＝2πrl＋2πr2；②S圆锥＝πrl＋πr2；③S圆台＝π(R＋r)l＋πr2＋πR2.3．体积(1)柱体：V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．(2)锥体：V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)．(3)台体：V 台体＝13(S 上＋S 上S 下＋S 下)h .其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面面积．[典例] (1)将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为( )(2)(重庆高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π B.13π6 C.7π3D.5π2(3)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2[解析] (1)图②所示的几何体的左视图由点A ，D ，B 1，D 1确定外形为正方形，判断的关键是两条对角线AD 1和B 1C 是一实一虚，其中要把AD 1和B 1C 区别开来，故选B.(2)由三视图可知，原几何体左侧是半圆锥，右侧是圆柱， ∴V ＝V 半圆锥＋V 圆柱＝12×13π×12×1＋π×12×2＝13 6π.(3)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D.[答案](1)B(2)B(3)D[类题通法]1．简单几何体的三视图的问题应从以下几个方面加以把握：(1)搞清主视、左视、俯视的方向，同一物体由于放置的位置不同，所画的三视图可能不同．(2)看清简单组合体是由哪几个基本元素组成．(3)画三视图时要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，还要注意几何体中与投影垂直或平行的线段及面的位置．2．求不规则几何体的表面积、体积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积、体积，再通过求和或作差求得几何体的表面积、体积．[题组训练]1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()解析：选D由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.2．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 3．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为________．解析：VD 1-EDF ＝VF -DD 1E ＝13S △D 1DE ·AB ＝13×12×1×1×1＝16.答案：16与球有关的问题考查球的表面积与体积的求法，难度低档．[考点精要] 球的表面积与体积(1)球的表面积公式S 球＝4πR 2. (2)球的体积公式V 球＝43πR 3.[典例] (1)如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD .若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π B ．3π C.23π D ．2π(2)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．[解析] (1)如图，取BD 的中点E ，BC 的中点O ，连接AE ，OD ，EO ，AO .由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD .由于平面ABD ⊥平面BCD ， 所以AE ⊥平面BCD .因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AE ＝22，EO ＝12，所以OA ＝32. 在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32. 所以该球的体积V ＝43π⎝⎛⎭⎫323＝32π.(2)由主视图知，三棱柱的底面边长为2，高为1，外接球的球心在上下两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的线段长为球的半径，则R 2＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫2332＝1912(其中R 为球的半径)，则球的表面积S ＝4πR 2＝4π×1912＝193π. [答案] (1)A (2)193π[类题通法]解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．[题组训练]1.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A ．2B ．1 C. 2D.22解析：选C 连接BC 1，B 1C 交于点O ，则O 为平面BCC 1B 1的中心．由题意知，球心为侧面BCC 1B 1的中心O ，BC 为截面圆的直径，所以∠BAC ＝90°，则△ABC 的外接圆圆心N 位于BC 的中点，同理，△A 1B 1C 1的外接圆圆心M 位于B 1C 1的中点，设正方形BCC 1B 1的边长为x ，在Rt △OMC 1中，OM ＝x2，MC 1＝x2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，所以⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫x 22＝1，即x ＝2，即AB ＝AC ＝1，所以侧面ABB 1A 1的面积为2×1＝2，选C.2．设A ，B ，C ，D 是球面上的四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，且AB ＝3，AC ＝4，AD ＝11，则球的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．100πD ．144π解析：选A 三棱锥A -BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它和三棱锥A -BCD 的外接球是同一个，且体对角线的长为球的直径，若设球的半径为R ，则2R ＝32＋42＋(11)2＝6，故R ＝3，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝36π，故选A.平行关系、垂直关系的证明查．常以选择、解答题形式出现，难度中档．[考点精要]1．判定线线平行的方法(1)利用定义：证明线线共面且无公共点．(2)利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理： a ∥α，a β，α∩β＝b ⇒a ∥b . (4)利用面面平行的性质定理： α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b . (5)利用线面垂直的性质定理： a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . 2．判定线面平行的方法(1)利用定义：证明直线a 与平面α没有公共点，往往借助反证法． (2)利用直线和平面平行的判定定理： a α，b α，a ∥b ⇒a ∥α. (3)利用面面平行的性质的推广： α∥β，a β⇒a ∥α.3．判定面面平行的方法(1)利用面面平行的定义：两个平面没有公共点．(2)利用面面平行的判定定理：aα，bα，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β.(4)平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.4．证明直线与平面垂直的方法(1)利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面．符号表示：∀aα，l⊥a⇔l⊥α.(其中“∀”表示“任意的”)(2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：l⊥m，l⊥n，mα，nα，m∩n＝P⇒l⊥α.(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(4)利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝l，mα，m⊥l⇒m⊥β.5．证明平面与平面垂直的方法利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直．符号表示：l⊥α，lβ⇒α⊥β.[典例]如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.[证明](1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F∥平面ADE.[类题通法]1．平行、垂直关系的相互转化2．证明空间线面平行或垂直需注意三点(1)由已知想性质，由求证想判定．(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．[题组训练]1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：选D平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，所以A错；垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，所以B错；平行于同一直线的两平面可以平行也可以相交，所以C错；垂直于同一平面的两条直线一定平行，所以答案选D.2．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：(1)平面AD1E∥平面BGF；(2)D1E⊥AC.证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F∥BE且D1F＝BE.∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF.又∵D1E平面BGF，BF平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1.又AD1平面BGF，FG平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.(2)连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD.∵D1D⊥AC，D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵D1E平面BDD1B1，∴D1E⊥AC.折叠问题折叠问题是高考中的常考题型，一般难度相对较大，常与证明问题和探索性问题结合考查．难度中档．[考点精要]解决折叠问题的基本思路是利用不变求变，一般步骤如下：(1)平面→空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形．想象出空间图形，完成平面图形与空间图形在认识上的转化．(2)空间→平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变．(3)平面→空间：弄清楚变与不变的元素以后，再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系．[典例]如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．(1)如果平面ADE⊥平面DEC，求证：AB＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.[证明](1)过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC.又AD＝AE，∴M是DE的中点．取BC中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC.又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.又∵N是BC中点，∴AB＝AC.(2)取BC的中点N，连接AN.∵AB＝AC，∴AN⊥BC.取DE的中点M，连接MN，AM，∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，∴AM⊥平面BCDE.∵AM平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．[题组训练]1．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A -EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B ．AG ⊥△EFH 所在平面C ．HF ⊥△AEF 所在平面D ．HG ⊥△AEF 所在平面解析：选A ∵AD ⊥DF ，AB ⊥BE ，又∵B ，C ，D 重合记为H ，∴AH ⊥HF ，AH ⊥HE .∴AH ⊥平面EFH .2．如图所示，在直角梯形ABEF 中，将DCEF 沿CD 折起使∠FDA ＝60°，得到一个空间几何体．(1)求证：BE ∥平面ADF ；(2)求三棱锥E -BCD 的体积．解：(1)证明：由已知条件，可知BC ∥AD ，CE ∥DF ，折叠之后平行关系不变，又因为BC 平面ADF ，AD 平面ADF ，所以BC ∥平面ADF .同理CE ∥平面ADF .又因为BC ∩CE ＝C ，BC平面EBC ，CE 平面EBC ，所以平面BCE ∥平面ADF .又因为BE 平面BCE ， 所以BE ∥平面ADF .(2)因为DC ⊥EC ，DC ⊥BC ，EC 平面EBC ，BC 平面EBC ，EC ∩BC ＝C ，所以DC ⊥平面EBC .又因为DF ∥EC ，AD ∥BC ，∠FDA ＝60°，所以∠ECB ＝60°.又因为EC ＝1，BC ＝1，所以S △ECB ＝12×1×1×32＝34. 所以V E -BCD ＝V D -EBC ＝13×DC ×S △ECB ＝13×1×34＝312.1．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A．1B．2C．3 D．4解析：选B由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A1B1C1-ABC，且AB＝8，BC ＝6，BB1＝12.若要得到半径最大的球，则此球与平面A1B1BA，平面BCC1B1，平面ACC1A1相切，故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等，故半径r＝2.故选B.2．过平面外两点与这个平面平行的平面()A．只有一个B．至少有一个C．可能没有D．有无数个解析：选C过这两点的直线若与已知平面平行，则有且只有一个，若与已知平面相交，则不存在．故选C.3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，则下列命题错误的是()A．如果直线a⊥α，那么直线a必垂直于平面β内的无数条直线B．如果直线a∥α，那么直线a不可能与平面β平行C．如果直线a∥α，a⊥l，那么直线a⊥平面βD．平面α内一定存在无数条直线垂直于平面β内的所有直线解析：选B A选项中直线a必定与平面β内无数条平行直线垂直，故正确；B选项中如果a∥α，a∥l，aβ，则a∥β，故错误；由面面垂直的性质定理可知C选项正确；在平面α内，垂直于交线l的直线都垂直于平面β，也就垂直于平面β内的所有直线，故D选项正确．4．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：①若l⊥α，α⊥β；则l∥β，②若l∥α，α∥β，则l∥β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.其中说法正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．0解析：选A对于①，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或lβ，故①错误；对于②，若l∥α，α∥β，则lβ或l∥β，故②错误；对于③，若l⊥α，α∥β，则l⊥β，故③正确；对于④，若l∥α，α⊥β，则lβ或l∥β或l⊥β或l与β斜交，故④错误．5．四面体ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与()A．AC，BD之一垂直B．AC，BD都垂直C．AC，BD都不垂直D．AC，BD不一定垂直解析：选B∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.∴AN＝CN.在等腰△ANC 中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.6．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D由l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4可知l1与l4可能垂直，可能平行，也可能既不垂直又不平行．故选D.7．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝7.答案：78．正三棱柱ABC -A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长等于________．解析：如图，取A1B1的中点H，连接EH，FH，则EH＝4，FH＝1.由正三棱柱的性质知△EFH为直角三角形．所以EF＝FH2＋EH2＝17.答案：179.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为________．解析：几何体的表面积为S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.答案：24＋1.5π10．一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A-CDEF的体积．解：(1)证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝22，∴∠CBF＝90°.取BF中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知NG∥CF，MG∥EF.又MG∩NG＝G，CF∩EF＝F，∴平面MNG∥平面CDEF.又∵MN平面MNG，∴MN∥平面CDEF.(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE-BCF为直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝ 2.∴V A-CDEF＝13S四边形CDEF·AH＝13×2×22×2＝83.11．如图所示，在几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积；(2)证明：平面ADE∥平面BCF.解：(1)取BC的中点为O，ED的中点为G，连接AO，OF，FG，AG.∵AO⊥BC，AO平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED.∵AO＝FG＝3，∴V ABCDFE＝13×4×3×2＝833.(2)证明：由(1)知AO∥FG，AO＝FG，∴四边形AOFG为平行四边形，∴AG∥OF.又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE平面ADE，AG平面ADE，FO∩BC＝O，FO平面BCF，BC平面BCF，∴平面ADE∥平面BCF.12．如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．解：(1)证明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E，DE平面CDE，EC平面CDE，∴AE⊥平面CDE.(2)证明：取AB中点H，连接GH，FH，∴GH∥BD，FH∥BC，∵GH 平面BCD ，BD 平面BCD ，∴GH ∥平面BCD .同理：FH ∥平面BCD ，又GH ∩FH ＝H ，∴平面FHG ∥平面BCD ，∵GF 平面FHG ，∴GF ∥平面BCD .(3)取线段AE 的中点R ，则平面BDR ⊥平面DCB .取线段DC 的中点M ，取线段DB 中点S ，连接MS ，RS ，BR ，DR ，EM .则MS 綊12BC ，又RE 綊12BC ， ∴MS 綊RE ，∴四边形MERS 是平行四边形，∴RS ∥ME .在△DEC 中，ED ＝EC ，M 是CD 的中点，∴EM ⊥DC .由(1)知AE ⊥平面CDE ，AE ∥BC ，∴BC ⊥平面CDE .∵EM 平面CDE ，∴EM ⊥BC .∵BC ∩CD ＝C ，∴EM ⊥平面BCD .∵EM ∥RS ，∴RS ⊥平面BCD .∵RS 平面BDR ，∴平面BDR ⊥平面DCB .。
第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．过程与方法通过一系列直线的不同位置的学习，培养学生的探究精神．3．情感、态度与价值观通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想．●重点难点重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式．难点：直线倾斜角与它的斜率之间的关系．直线的倾斜角、斜率都是用来刻画直线倾斜程度的，它们本质上是一致的，倾斜角α与斜率k之间存在k＝tan α(α≠90°)的关系，可以通过改变直线倾斜角来进一步认识斜率，从而化解难点．(教师用书独具)●教学建议教学时结合具体图形，学生容易了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线方向，观察教材上的图2－1，2－2要确定直线条中某一条直线还需要给出一个角，即引出倾斜角，进一步引出斜率，进而探究斜率与倾斜角的关系．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，认识直线的斜率和倾斜角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握直线倾斜角的求法⇒通过例2及互动探究，使学生掌握直线的斜率的求法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握直线的倾斜角和斜率的综合问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈校正课标解读 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)． 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式(重点).直线的倾斜角和斜率【问题导思】1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？ 2．当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？3．直线l 1，l 2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？【提示】 1.不能.2.不确定.3.不一样．1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．2．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，通常用α表示．(2)范围：0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k ＝{ tan α，α≠90°，不存在，α＝90°. 4．倾斜角、斜率及直线特点之间的联系倾斜角α 直线特点 斜率k 的变化0° 垂直于y 轴 k ＝00°<α<90° 由左向右上升 随着倾斜角在0°→90°间逐渐增大，直线的斜率k也逐渐增大，且恒为正值α＝90° 垂直于x 轴 k 不存在90°<α<180°由左向右下降随着倾斜角在90°→180°间逐渐增大，直线的斜率k 也逐渐增大，且恒为负值 5.过两点的直线斜率的计算公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.求直线的倾斜角 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°【思路探究】倾斜角的取值范围0°≤α＜135°α＋45°135°≤α＜180°α－135°【自主解答】由倾斜角的范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°，如图所示，故选D.【答案】 D1．研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角α的范围是0°≤α＜180°，否则将造成角度范围的扩大，产生不符合范围的角度．如对α不分类，选项A将出现大于等于180°的角；选项B、C将出现小于0°的角．2．此类问题应紧扣倾斜角的范围和倾斜角概念中的三个关键条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③逆时针方向旋转．有时利用数形结合的思想方法求解．图2－1－1中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角．图2－1－1【解】设直线l的倾斜角为β，图①中α是直线l的倾斜角，β＝α；图②中α不是直线l的倾斜角，β＝180°－α；图③中α不是直线l的倾斜角，β＝α；图④中α不是直线l的倾斜角，β＝90°＋α.求直线的斜率(1)直线过两点A(1,3)、B(2,7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的倾斜率．【思路探究】(1)利用过两点的直线的斜率公式求得．(2)利用斜率的定义求．【自主解答】(1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公式得k ＝7－32－1＝4.(2)因为直线l 的斜率k ＝1，所以直线l 的倾斜角为45°，所以直线l ′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l ′的斜率k ′＝tan 135°＝－1.1．熟记斜率公式是解答本题的关键．2．求直线的斜率有两种思路一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x 轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．将本题中的两点改为(1,1)，(－1，－2)其余不变． 【解】 k ＝－2－1－1－1＝32.直线的倾斜角、斜率的综合应用 已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (3,1)，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．【思路探究】 欲使直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率与直线PA ，PB 的斜率有必然的关系，通过画图可知．【自主解答】 设直线l 的斜率为k ，当l 与线段AB 相交时，k PB ≤k ≤k PA ， 又∵k PA ＝1＋33－2＝4，k PB ＝1＋23＋3＝12，∴12≤k ≤4， 即直线l 的斜率的取值范围为12，433，3－12，3)．1．2直线的方程第1课时直线方程的点斜式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的点斜式．(2)了解斜截式与一次函数的关系．2．过程与方法通过直线点斜式方程的学习，培养学生的探索精神．3．情感、态度与价值观培养学生用代数思维解决几何问题，提高数学的学习兴趣．●重点难点重点：直线方程的点斜式．难点：直线方程的应用．给定点P(x0，y0)和斜率k后，直线就唯一确定了，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．(教师用书独具)●教学建议本节是在学习了直线的倾斜角和斜率之后，进行直线方程的学习，因此本节课宜采用探究式课堂模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主为前提，两点斜率公式为基本探究问题，引出直线方程的点斜式，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展、提高．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，认识掌握直线方程的点斜式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用点斜式求直线方程⇒通过例2及变式训练，使学生掌握利用斜截式求直线方程⇒通过例3及变式训练，使学生点斜式、斜截式的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标巩固所学知识并进行反馈、矫正课标解读1.掌握直线方程的点斜式(重点)．2．了解直线在y轴截距的概念(易混点)．3．了解斜截式与一次函数的关系(难点).直线方程的点斜式【问题导思】若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？【提示】y－y0＝k(x－x0)．1．直线的方程如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：(1)直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；(2)满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上．2．直线方程的点斜式和斜截式利用点斜式求直线方程根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2,8)，D(－3，－2)．【思路探究】解答本题可先分析每条直线的斜率是否存在，然后选择相应形式求解．【自主解答】(1)y－4＝－3，即y＝－3x＋1，图形如图(1)所示．(2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x.图形如图(2)所示．(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3.图形如图(3)所示．(4)k ＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y －8＝2(x －2)，即y ＝2x ＋4.图形如图(4)所示．1．求直线的斜率是解题的关键，利用“两点确定一条直线”作图．2．利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x 0，y 0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x ＝x 0)．本例第(4)问中“C (2,8)”改为“C (m,8)”，试写出满足条件的直线方程． 【解】 当m ＝－3时，斜率不存在，直线方程为x ＝－3； 当m ≠－3时，k ＝8－(－2)m －(－3)＝10m ＋3，∴y －(－2)＝10m ＋3，即y ＝10m ＋3x ＋24－2m m ＋3.利用斜截式求直线方程 (1)写出斜率为2，在y 轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标．【思路探究】 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．【自主解答】 (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0，化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)．1．已知直线斜率或直线与y 轴有交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．写出斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程，并求m 为何值时，直线过点(1,1)? 【解】 由题意知，直线方程为y ＝2x ＋m .把点(1,1)代入得1＝2×1＋m ， ∴m ＝－1.点斜式、斜截式方程的综合应用 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0，求证：不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． 【思路探究】 可以把直线l 的方程变形为点斜式或斜截式，根据其特点证明．【自主解答】 法一 将直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限．∴直线l 必过第一象限．法二 将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a ＞0时，不论a 取何值，直线一定经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然过第一象限；当a ＜0时，3－a5＞0，直线一定经过第一象限．综上，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定过第一象限．1．法一是变形为点斜式，法二是变形为斜截式．2．解决此类问题关键是将方程转化为点斜式或斜截式来处理．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1，12) B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(－1，－12)【解析】 ∵直线方程可化为y －1＝m ， ∴直线恒过定点(－2,1)．【答案】B忽视对字母的分类讨论致误求过两点(m,2)，(3,4)的直线方程． 【错解】 ∵k ＝4－23－m ＝23－m，∴直线方程为y－4＝23－m(x－3)．【错因分析】未考虑m与3的关系导致错误的出现．【防范措施】当m＝3时斜率不存在，故应该讨论m与3的关系．【正解】当m＝3时，直线斜率不存在，∴直线方程为x＝3，当m≠3时，k＝23－m，∴直线方程为y－4＝23－m(x－3)．1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解．2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)【解析】由点斜式可得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．【答案】 D2．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,2 B．－3，－3C．－3,2 D．2，－3【解析】由斜截式方程形式可知，k＝2，b＝－3.【答案】 D3．倾斜角为150°，在y轴上截距为6的直线方程是________．【解析】∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33，又知直线在y轴上截距为6，∴y＝－33x＋6.【答案】y＝－33x＋64．已知直线的斜率为2，与x轴交点横坐标为－1，求直线方程．【解】∵直线过(－1,0)，k＝2，由点斜式得y＝2 ∴y＝2x＋2.一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )A ．y －2＝－33(x ＋4)B ．y －(－2)＝－33(x －4)C ．y －(－2)＝33(x －4)D ．y －2＝33(x ＋4)【解析】 k ＝tan 150°＝－33，∴y －(－2)＝－33(x －4)．【答案】 B2．方程y ＝kx ＋1k表示的直线可能是( )【解析】 斜率为k ，且k ≠0，在y 轴上的截距为1k.当k >0时，1k >0；当k <0时，1k<0，从而选B.【答案】 B3．直线l 过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b )在l 上，则b 的值为( ) A ．2 009 B ．2 010 C ．2 011 D ．2 012【解析】 ∵直线斜率k ＝5－(－1)2－(－1)＝2，∴直线点斜式方程为y －5＝2(x －2)， ∴y ＝2x ＋1，令x ＝1 005，∴b ＝2 011. 【答案】 C4．方程y ＝k (x ＋4)表示( ) A ．过点(－4,0)的所有直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线【解析】 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线．【答案】 C 5．(2013·佛山高一检测)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 当a ＝0时，不满足条件，当a ≠0时，令x ＝0，y ＝a ＋2， 令y ＝0，x ＝2＋aa .由已知得a ＋2＝2＋aa .∴(a ＋2)(1－1a )＝0.∴a ＝－2或a ＝1.【答案】 D 二、填空题 6．(2013·平江高一检测)直线－x ＋3y －6＝0的倾斜角是________，在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝33x ＋23，∴tan α＝33，∴α＝π6，在y 轴上的截轴为2 3.【答案】 π6，2 37．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12. 【答案】 －128．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．【解析】 由已知得直线方程 y ＋1＝tan 45°(x －4)， 即y ＝x －5.当x ＝0，y ＝－5，当y ＝0，x ＝5. ∴被坐标轴所截得的线段长|AB |＝52＋52＝5 2.【答案】 5 2 三、解答题9．写出下列直线的方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截轴是－2. (2)倾斜角是30°，过点(2,1)．【解】 (1)根据斜截式得直线方程为y ＝3x －2. (2)k ＝tan 30°＝33. ∴直线方程为y －1＝33(x －2)，∴y ＝33x －233＋1. 10．直线x －y ＋1＝0上一点P (3，m )，把已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°后得直线l ，求直线l 的方程．【解】 把点P (3，m )的坐标代入方程x －y ＋1＝0可得3－m ＋1＝0，∴m＝4，即P(3,4)．又∵已知直线方程可化为y＝x＋1，∴k＝1＝tan 45°，即倾斜角为45°.如图，易知已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°， 所得直线的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 60°＝3，∴所求直线方程为y －4＝3(x －3)．11．经过点A (－2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程． 【解】 设直线为y －2＝k (x ＋2)，交x 轴于点(－2k－2,0)，交y 轴于点(0,2k ＋2)，S ＝12×|2k ＋2|×|2k ＋2|＝1，|4＋2k ＋2k |＝1， 得2k 2＋3k ＋2＝0或2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－12或k ＝－2，∴x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求．(教师用书独具)如图所示，已知△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，点C 在直线AB 上方． 求：(1)线段AB 的方程；(2)AC 所在直线的方程及在y 轴上的截距．【思路探究】 结合倾斜角和斜率的关系或斜率公式，得所求直线的斜率，从而求解． 【自主解答】 (1)由A (1,1)，B (5,1)，得AB ∥x 轴， ∴k AB ＝0，∴线段AB 的方程为y ＝1(1≤x ≤5)． (2)k AC ＝tan 60°＝3，∴直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)，整理得y ＝3x ＋1－3，令x ＝0得y ＝1－3， ∴在y 轴上的截距为1－ 3.1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在，当k＝0时，y＝b表示与x轴平行的直线，当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截矩是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，求分别满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在y轴上截距为3.【解】由直线y＝－33x＋5，得k＝－33，即tan α＝－33，∴α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)∵l过点P(3，－4)，则由点斜式方程得：y＋4＝33(x－3)，即y＝33x－3－4. (2)∵l在y轴上截距为3，则由斜截式方程得：y＝33x＋3.第2课时直线方程的两点式和一般式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式和一般式．难点：利用直线方程的各种形式求直线方程．两点式其实就是点斜式的变形，值得注意的是两点式方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1中的条件x1≠x2，y1≠y2，使得它既不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线．(教师用书独具)●教学建议本节课的教学内容为直线方程的两点式和一般式，在此之前，学生已掌握了直线方程的点斜式、斜截式，在本节教学时，通过师生探讨，得出直线的两点式和一般式方程，通过直线的两点式方程向截距式方程的过渡训练，让学生体会由一般到特殊的处理方法，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解直线方程的两点式、一般式⇒通过例1及互动探究使学生掌握灵活运用题目条件求直线方程⇒通过例2及变式训练使学生掌握一般式方程与其他方程的互化⇒通过例3及变式训练使学生掌握一般式方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课标解读1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化(重点)．2．了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系(难点).直线方程的两点式【问题导思】已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？【提示】k AB＝y2－y1x2－x1由点斜式方程得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．1．两点式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)是直线l上的两点，则l的两点式为y－y1y2－y1＝x－x1 x2－x1.2．截距式：若直线l过A(a,0)，B(0，b)，(ab≠0)，则直线l的两点式方程可化为xa＋yb＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．直线方程的一般式【问题导思】以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？【提示】能．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．直线方程的两点式和截距式 求满足下列条件的直线方程： (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．【自主解答】 (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式，得x 4＋y－5＝1化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线过P (2,3) ， ∴2＋3a ＝1，∴a ＝5， 直线方程为x ＋y －5＝0，所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．将本例(1)中的A 改(－2，m )，求直线方程． 【解】 当m ＝－1时直线方程为y ＝－1， 当m ≠－1时，由两点式得y －m －1－m ＝x －4－2－4，∴y ＝m ＋16x ＋m －13.直线方程的一般式 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值；(1)l 在x 轴上的截距是－3；(2)l 的斜率是－1.【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式． 【自主解答】 (1)由题意可得⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ② 由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④ 由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.1．本题的易错点是(1)中漏掉m 2－2m －3≠0，(2)中漏掉2m 2＋m －1≠0.2．把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为2，且经过点A (1，－1)．(2)斜率为12，在y 轴上的截距为1.【解】 (1)y －(－1)＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.(2)y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.直线方程的应用 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(15，35)，说明直线l 恒过第一象限．对于求a 的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．【自主解答】 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限， 故l 过第一象限．(2)如图，直线OA的斜率k＝35－015－0＝3，∵l不经过第二象限，∴a≥3.1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键． 2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．若直线(m －1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．【解析】 {m －1＜0，1－2m ＜0，∴12＜m ＜1. 【答案】 (12，1)分类讨论思想在直线方程问题中的应用(12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 对截距相等一定要考虑都为0，都不为0，若不为0求出截距让其相等．【规范解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等.2分∴当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意.4分当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1.∴当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.7分综上所述，当a ＝2时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为3x ＋y ＝0；当a ＝0时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为x ＋y ＋2＝0.8分(2)将l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴{ －(a ＋1)＞0，a －2≤0，或{－(a ＋1)＝0，a －2≤0.10分∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1x －(－35)－2,2－1,1－12，120,2 C ．－3，3－33，33－33，33(x －1)2＋y 2－1 B ．(13，34 D ．512，＋∞)【思路点拨】 根据图形的特点求解．【解析】 先作出已知曲线y ＝1＋4－x 2的图形，再根据直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)． 如图所示，曲线是以(0,1)为圆心，r ＝2为半径的半圆，直线表示过定点(2,4)的动直线．由图形中关系可求得k PC ＝512. 【答案】 D点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．12，114，1 D ．(14，1)【解析】 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和(x ，y )的直线斜率，显然k AD 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈(14，1)． 【答案】 D。
