人大附中2012届初三第二学期数学练习2

海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷答案及评分参考 2012.05说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. A2. B3. C4. D5. C6. B7. A8. C二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9.3x ≠ 10.)2)(2(-+x x x 11. 6 12．()1129933(,);5()4,()4422n n --⨯- （每空2分）三、解答题（本题共30分, 每小题5分） 13．解：10)31(45sin 28π)14.3(-+︒-+-=1232+⨯+ ……………………………………………………………4分=4+ ……………………………………………………………5分14．解：由不等式①解得 2x >, …………………………………………………………2分 由不等式②解得 3x ≤. …………………………………………………4分因此不等式组的解集为23x <≤. ………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EF ，∴ A C B D F E ∠=∠． ……………………………………………………… 1分在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,EF BC DFE ACB DF AC∴ △ABC ≌△DEF ． ………………………………………………… 4分∴ AB=DE ． ………………………………………………… 5分16. 解: 法一：∵ ⎩⎨⎧==by a x ,是方程组 ⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解,∴ ⎩⎨⎧=-=+.12,32b a b a …………………………………………………2分解得 1,1.a b =⎧⎨=⎩ ………………………………………………… 4分∴ ()4()(4)541(11)141158a a b b a b -+-+=⨯⨯-+⨯⨯-+=. ……………… 5分ABCDEF法二：∵ ⎩⎨⎧==by a x ,是方程组 ⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解,∴ ⎩⎨⎧=-=+.12,32b a b a …………………………………………………2分2222444545(2)(2)5a a b a b b a b a b a b =-+-+=-+=+-+原式. ………4分123,2=-=+b a b a 将代入上式,得.85135)2)(2(=+⨯=+-+=b a b a 原式 ……………………………………………5分 17．解：（1）∵ 点A （,3m -）在反比例函数xy 3=的图象上，∴ m33=-.∴ 1m =-． ……………………………………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为A （-1, -3）. …………………………………………………… 2分 ∵ 点A 在一次函数y kx =的图象上，∴ 3k =.∴ 一次函数的解析式为y =3x . ……………………………………… 3分 （2）点P 的坐标为P (1, 3) 或P (-3, -9). （每解各1分） …………………… 5分18．解：设现在平均每天植树x 棵. ……………………………………………… 1分 依题意, 得60045050xx =-. …………………………………………………… 2分解得：200x =. ………………………………………………… 3分 经检验，200x =是原方程的解，且符合题意. …………………………………4分 答：现在平均每天植树200棵. ……………………………………………… 5分四、解答题（本题共20分, 每小题5分） 19．解: ∵∠ABC =90︒，AE=CE ，EB =12，∴ EB=AE=CE =12. ……………………1分∴ AC =AE+CE =24. ∵在Rt △ABC 中，∠CAB =30︒,∴ BC=12, cos 3012AB AC =⋅︒= ……………………2分 ∵ D EA C⊥，AE=CE ，∴ AD=DC ． ………………………………………………3分在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AD13==． …………4分∴DC =13.∴ 四边形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA=38+ …………………… 5分20.（1）证明：连结BD .∵ AD 是⊙O 的直径，ED CBA∴∠ABD =90°. ∴∠1+∠D =90°. ∵∠C =∠D ，∠C =∠BAE ， ∴∠D =∠BAE . …………………………1分∴∠1+∠BAE =90°.即 ∠DAE =90°.∵AD 是⊙O 的直径，∴直线AE 是⊙O 的切线. …………………………………………………2分（2）解: 过点B 作BF ⊥AE 于点F , 则∠BFE =90︒.∵ EB =AB ,∴∠E =∠BAE , EF =12AE =12×24=12.∵∠BFE =90︒, 4c os 5E =,∴512cos 4EF EB E==⨯=15. ……………………………………………………3分∴ AB =15.由（1）∠D =∠BAE ，又∠E =∠BAE , ∴∠D=∠E .∵∠ABD =90︒,∴ 54cos ==ADBD D . ………………………………………………………4分设BD =4k ，则AD ＝5k .在Rt △ABD 中, 由勾股定理得AB=3k , 可求得k =5. ∴.25=AD∴⊙O 的半径为252. ……………………………………………………………5分21.解：（1）290-(85+80+65)=60 (万元) . 补图(略) ………………………………1分（2）85⨯23%=19.55≈19.6 (万元).所以该店1月份音乐手机的销售额约为19.6万元. …………………………3分 （3）不同意，理由如下：3月份音乐手机的销售额是 6018%10.8⨯=（万元）,4月份音乐手机的销售额是 6517%11.05⨯=（万元）. …………………4分而 10.8<11.05, 因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了. ………5分22. 解：△BCE 的面积等于 2 . …………1分（1）如图（答案不唯一）： ……2分以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形是△EGM . …………3分 （2） 以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于 3 ． …………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）当m =0时，原方程化为,03=+x 此时方程有实数根 x = -3. …………1分当m ≠0时，原方程为一元二次方程.EDCBAGHI∵()()222311296131m m m m m ∆=+-=-+=-≥0.∴ 此时方程有两个实数根. ………………………………………………2分 综上, 不论m 为任何实数时, 方程 03)13(2=+++x m mx 总有实数根.（2）∵令y =0, 则 mx 2+(3m +1)x +3=0. 解得 13x =-，21x m=-. ………………………………………………3分∵ 抛物线()2313y m x m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数， ∴1m =.∴抛物线的解析式为243y x x =++. ………………………………………4分（3）法一：∵点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, ∴2211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++.∵,21y y =∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++.可得 04221=++n n n x .即 0)42(1=++n x n . ∵ 点P , Q 不重合, ∴ n ≠0.∴ 124x n =--. ……………………………………………………5分 ∴ 222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++= …………………………………7分法二：∵ 243y x x =++=(x +2)2-1， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x =-2.∵ 点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, 点P , Q 不重合, 且,21y y = ∴ 点 P , Q 关于直线 x =-2对称. ∴11 2.2x x n++=-∴ 124x n =--. …………………………………………………5分 下同法一.24. 解:（1） NP =MN , ∠ABD +∠MNP =180︒ (或其它变式及文字叙述,各1分). ………2分 （2）点M 是线段EF 的中点(或其它等价写法).证明：如图, 分别连接BE 、CF .∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ，AB ∥DC ，∠A =∠DCB ， ∴∠ABD =∠BDC . ∵ ∠A =∠DBC ， ∴ ∠DBC =∠DCB .∴ DB =DC . ① ………………………3分∵∠EDF =∠ABD ,∴∠EDF =∠BDC .∴∠BDC -∠EDC =∠EDF -∠EDC . 即∠BDE =∠CDF . ②又 DE =DF ， ③由①②③得△BDE ≌△CDF . …………………………………………………4分 ∴ EB =FC , ∠1=∠2.∵ N 、P 分别为EC 、BC 的中点， ∴NP ∥EB , NP =EB 21.同理可得 MN ∥FC ，MN =FC 21.∴ NP = NM . ………………………………………………………5分∵ NP ∥EB , ∴∠NPC =∠4.∴∠ENP =∠NCP +∠NPC =∠NCP +∠4. ∵MN ∥FC ，∴∠MNE =∠FCE =∠3+∠2=∠3+∠1.∴ ∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠3+∠1+∠NCP +∠4=∠DBC +∠DCB =180︒-∠BDC =180︒-∠ABD .∴ ∠ABD +∠MNP =180︒. ……………………………………………7分 25.解：（1）依题意, 112=⨯-b ,解得b =-2.将b =-2及点B (3, 6)的坐标代入抛物线解析式2y x bx c =++得 26323c =-⨯+. 解得 c =3.所以抛物线的解析式为322+-=x x y . ………………………………………1分（2）∵抛物线 322+-=x x y 与y 轴交于点A ，∴ A (0, 3). ∵ B (3, 6),可得直线AB 的解析式为3y x =+.设直线AB 下方抛物线上的点M 坐标为（x ，322+-x x ），过M 点作y 轴的平行线交直线AB 于点N , 则N (x , x +3). (如图1)∴ 132ABM AM N BM N B A S S S M N x x ∆∆∆=+=⋅-=. ……………………2分M1 3 24 P N AEFCDB∴()21323332x x x ⎡⎤+--+⨯=⎣⎦.解得 121,2x x ==∴点M 的坐标为(1, 2) 或 (2, 3). （3）如图2，由 PA =PO , OA =c , 可得2c P D =.∵抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为 ,2(bP - ∴2442c b c =-.∴ 22b c =. …………………………………………………………………5分 ∴ 抛物线2221b bx x y ++=, A （0，212b ），P （12b -，214b ）, D （12b -，0）.可得直线OP 的解析式为12y bx =-. ∵ 点B 是抛物线2212y x bx b =++与直线12y bx =-的图象的交点，令 221122bx x bx b -=++.解得12,2b x b x =-=-. 可得点B 的坐标为（-b ，212b ）. ……………………………………6分由平移后的抛物线经过点A , 可设平移后的抛物线解析式为2212y x m x b =++.将点D (12b -，0)的坐标代入2212y x m x b =++，得32m b =.∴ 平移后的抛物线解析式为223122y x bx b =++.令y =0, 即2231022x bx b ++=.解得121,2x b x b =-=-.依题意, 点C 的坐标为（-b ，0）. …………………………7分 ∴ BC =212b .∴ BC = OA .又BC ∥OA ，∴ 四边形OABC 是平行四边形.∵ ∠AOC =90︒，∴ 四边形OABC 是矩形. ……………………………………………………8分。

2024北京人大附中初一（下）期中数 学2024.4说明：1．本练习共6页，共四道大题，27道小题，满分100分，时间90分钟． 2．试题答案一律作答在答题纸的指定区域内，在区域外的作答无效． 一、选择题（本题共30分，每题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．的绝对值是AB ．C ．D 2．下面是5片树叶图，在A 、B 、C 、D 四幅图中，能通过图（1）平移得到的是（1）A ．B ．C ．D ．3．在平面直角坐标中，点()3,4A −在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知23x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程318x my −=的一个解，那么m 的值为A ．3B ．3−C ．4D ．4−5．右图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段CD 的长度，其依据是A ．垂线段最短B ．两点之间线段最短C ．两点确定一条直线D ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直6．若实数a ，b 满足340b +−=，那么a b +的值是 A ．2−B ．0C ．2D ．47．如图，直线AB CD ∥，点E ，F 在直线AB 上，点M 在直线CD 上，且满足90EMP =︒∠，若128=︒∠，则∠2的度数为A ．33°B ．56°C ．52°D ．62°8．如图是者北京城一些地点的分布示意图。

在图中，分别以正东，正北方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示东直门的点的坐标为()3.5,4，表示宣武门的点的坐标为()2,1−−，那么坐标原点所在的位置是A ．天安门B ．正阳门C ．西直门D ．阜成门9．如图，长青化工厂从A 地购买原料运回工厂，制成产品后运到B 地销售，该工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连，公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．请问该工厂的原料和产品各重有多少吨？若设原料重x 吨，产品重y 吨，则可以列方程组A ．10201500012011097200x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．()()1.51020150001.212011097200x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．20101500011012097200x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．()()1.52010150001.211012097200x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩10．如图，直线AB CD ∥，点E ，F 分别是直线AB ，CD 上的点，点G 为直线AB ，CD 之间的一点，连接EG ，FG ，∠AEG 的平分线交CD 于点H ，若38DFG ∠=︒，32372EHD G ∠+∠=︒，则∠CHE 的度数为A ．116°B ．118°C ．120°D ．122°二、填空题（本题共18分，每空2分）11．实数9的算术平方根是 ．12．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，若点()2,3M m m −在y 轴上，则OM 的值为 ． 13．写出一个无理数，使它在4和5之间，该无理数可以是 ． 14．在下图中，∠1和∠2是同位角的是 （直接填写序号）．15．在平面直角坐标系中，已知点()0,A a 、()3,0B ，直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为9，则a 的值为 ．16．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE AB ⊥，OF 平分∠EOD ，若40AOC ∠=︒，则FOB ∠= °．17．如果关于x ，y 的二元一次方程组34431164x y m x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足方程52310x y m −=+，则m 的值为 ．18．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某超市将运动耳机、手办模型、迷你音箱各若干个搭配成A ，B ，C 三种盲盒，具体信息如下表：盲盒的销售数量为 个；（2）已知某个月超市销售的三种盲盒的总成本为32100元，且一共销售盲盒65个（每种盲盒至少销售了1个），则迷你音箱的总成本最多为 元．三、解答题（本题共52分，第19，20题每题8分，第21题6分，第22，23题每题5分，第24题6分，第25-26每题7分）19．（14．（2）解方程：()21621250x −−=． 20．解下列方程组． （1）25238x y x y +=⎧⎨+=⎩．（2）348465x y x y −=⎧⎨+=⎩．21．如图，E 点为DF 上的点，B 为AC 上的点，12∠=∠，C D ∠=∠，证明：AC DF ∥请补充完整以下证明 证明：∵12∠=∠（已知）13∠=∠（ ）∴23∠=∠（等量代换）∴ ∥ （ ） ∴C ABD ∠=∠ 又∵C D ∠=∠（已知）∴D ABD ∠=∠（ ） ∴AC DF ∥（ ）22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是()2,0A −，()4,1B −，()1,2C −−．将三角形ABC 向上平移m 个单位（m 为正整数），再向右平移n 个单位（n 为正整数），得到三角形111A B C ，其中1A ，1B ，1C 是点A ，B ，C 的对应点．（1）当1m =，1n =时，画出平移后的三角形111A B C ，并写出点1B 的坐标 ； （2）若4m n +=，且三角形1OAC 的面积是1，则1C 的坐标是 ．23．已知，如图1，直线MN 与直线AB ，CD ，EF 分别交于M ，N ，P ，直线AB EF ∥，过点的射线NH 交直线AB 于点H ，12180∠+∠=︒，图1（1）求证：CD EF ∥；（2）如图2，直线KN 过点N ，若3245∠+∠=∠，求证：射线KN 为∠PNH 的角平分线．图224．小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换， A 变换：首先对实数取算术平方根，减去1；B 变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次A 1，实数10经过一次B 变换得到2． （1）①实数25经过一次A 变换所得的数是 ； ②实数25经过一次B 变换所得的数是 ；（2）整数m 经过两次在B 变换得到的数是2，则m 的最小值是 ；最大值是 ； （3）实数x 经过一次A 变换得到的数是a ，实数x 经过一次B 变换得到的数是b ，是否存在x 使得a b =成立？若存在请直接写出x 的值，若不存在请说明理由．25．已知点A ，B ，C ，D ，E 均为定点，直线AB CD ∥，点P 为射线EA 上一个动点（点P 不与点A 重合），连接PC ，（1）如图1，当点P 在线段AE 上时，若30A ∠=︒，70C ∠=︒，直接写出∠APC 的度数：图1（2）点M 为直线CD 下方的动点，连接CM ，CM 平分∠DCP ，①如图2，当点P 在线段AE 上时，连接AM ，若AM 平分∠BAE ，用等式表法∠M 与∠APC 之间的数量关系，并证明；图2②如图3，当点P 在直线CD 的下方运动时（点P 在射线EA 上），射线PN 平分∠APC ，点K 在直线CD 的下方，且满足射线CK PN ∥，若34BAB ∠=︒，请直接写出∠MCK 的度数．图3备用图26．在平面直角坐标系xOy 中，对于互不重合的两个点(),A a b ，(),B c d ，令2m a c =−，2n b d =−，若点P 的坐标为(),m n ，我们称点P 为点A 关于点B 的友好点．例如，已知()2,3A ，()1,5B ，则3m =，1n =，点A 关于点B 的友好点为()3,1 （1）已知()2,3A ，()1,5B ，①则点A 关于点B 的友好点的坐标为 ；②若点B 关于点C 的友好点是点A ，则点C 的坐标为 ；（2）已知点D D 关于()2,8E 的友好点为点F ，若点F 到x 轴的距离等于到y 轴距离的2倍，求点F 的坐标；（3）已知点)1,0G，(0,H ，点O 为坐标原点，点M 与点N 为三用形GOH 边上的任意两个不重合的两个点，若点Q 为点M 关于点N 的友好点，则所有可能的点Q 形成的图形的面积为 ．参考答案一、选择题（本题共30分，每题3分）11．312．61314．② 15．略 16．65°17．1211−18．略 三、解答题（本题共52分，第19，20题每题8分，第21题6分，第22，23题每题5分，第24题6分，第25-26每题7分）19．（1）解：原式424=−+−2=−（2）解：()2252116x −=5214x −=±5214x =+或5214x =−98x =或18x =−20． （1）25238x y x y +=⎧⎨+=⎩①②解：①×2得：2410x y += ③③－②得：2y = 将2y =代入①得：1x = ∴12x y =⎧⎨=⎩（2）348465x y x y −=⎧⎨+=⎩①②解：①×3得：91224x y −= ③ ②×2得：81210x y += ④ ④＋③得：2x = 得2x =代入①得：12y =−∴212x y =⎧⎪⎨=−⎪⎩21．证明：∵12∠=∠（已知）13∠=∠（对顶角相等）∴23∠=∠（等量代换）∴BD CE ∥（同位角相等，两直线平行） ∴C ABD ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 又∵C D ∠=∠（已知） ∴D ABD ∠=∠（等量代换）∴AC DF ∥（内错角相等，两直线平行） 22．（1）画出平移后的三角形111A B C1B 的坐标()3,2−；（2）()2,1−或()0,1． 23． （1）证明：∵12180+=︒∠∠，13180+=︒∠∠， ∴23=∠∠， ∴CD AB ∥， ∵AB EF ∥， ∴CD EF ∥． （2）证明 ∵CD EF ∥， ∴5CNP =∠∠． 即567=+∠∠∠， ∵3245+=∠∠∠， ∴67324+=+∠∠∠∠， ∵46=∠∠，23=∠∠， ∴726=+∠∠∠． 即7KNH =∠∠，∴直线KN 为∠PNH 的角平分线．24．（1）①4， ②2． （2）略 （3）4或9． 25．（1）40° （2）①略 ②17°或73° 26．（1）①()5,9 ②()1,12−−（2）∠M 与∠APC 之间的数量关系为：2APC AMC =∠∠ 证明：设1x =∠，2y =∠ ∵CM 平分∠DCP ， ∴212DCP x ==∠∠． ∵AM 平分∠BAE ， ∴222BAE y ==∠∠．过点作PG CD ∥，过点M 作MH AB ∥，∴2GPC DCP x ==∠∠，32y =∠∠， ∵AB CD ∥，PG CD ∥，MH AB ∥， ∴AB GP ∥，CD MH ∥．∴1CMH x ==∠∠，2GAP BAE y ==∠∠． ∴3AMC CMH x y =−=−∠∠∠422APC GPC x y =−=−∠∠∠∴2APC M =∠∠．（3）60+。

北京市西城区2012年初三一模试卷数学答案及评分标准2012. 5三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=32133321++⨯- …………………………………………………………4分 =323+．…………………………………………………………………… 5分14．解：由①得2->x ．……………………………………………………………………1分由②得x ≤37． ……………………………………………………………………3分∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤37．………………………………………………4分∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.∵ ∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90º，∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30º，∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分①② ⎪⎩⎪⎨⎧-+<-215)1(3x x x ，≥2x -4，∵ △ABE ≌△CBD ，∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分16. 解：原式=()()()()2a ab a b a b b a a b ++-⋅- =()22b b a +. ..….….….….….……………………3分 ∵ 2a +b =0，∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分∴ 原式=22224)2()(a a a a =--.∵ a 不为0，∴ 原式=41. ..….….….….……………………………………………………… 5分17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ， ∴ 2m k =，且m ＞0.∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，∴1212m ⋅⋅=. 解得 1=m . ……………………………………………………………… 1分∴ 点A 的坐标为)1,2(. ………………………………………………… 2分 ∴ 22k m ==. …………………………………………………………… 3分 （2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.依题意得 105.112001200+=x x . ……………………………………………………2分解得40=x . …………………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）2，50；…………………………………2分 （2）5040%20⨯=，C 组的户数为20. … 3分补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180⨯+=，∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 于300元的户数是180．……………………………… 5分)0(>=k xk y捐款户数分组统计图120．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，60C ∠=︒，∴ 90ABC ∠=︒，180120ADC C ∠=︒-∠=︒． 在Rt △ABD 中，∵90A ∠=︒，15ABD ∠=︒， ∴ 75ADB ∠=︒．∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=︒．…… 2分 （2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3）在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=︒， ∴sin BE BC C =⋅cos 1CE BC C =⋅=． ∵ 45BDC ∠=︒， ∴DE BE =∴1CD DE CE =+．…………………………………………… 3分 ∵ BC DF CD BE ⋅=⋅， ∴(31)333CD BE DF BC ⋅+⋅+==． …………………………… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=︒，DF BC ⊥，∴ 33AB DF +==…………………………………………………… 5分 21．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB =OD ，∴ 30OBD ∠=︒．……………………… 2分∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4， ∴ OB= OD= 2．在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，︒=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =︒=∠⋅=OBF OB OF ，即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分（2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，∴ BF=DF ．由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ． ∵ cos30BF OB =⋅︒=∴ x =． 在Rt △OEF 中，90OFE ∠=︒，图3FB图4AC∵ tan OFOED EF∠=∴ 60OED ∠=︒，1cos 2OED ∠=． …………………………………… 4分 ∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=︒． ∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=︒． ∴ 45C ∠=︒．∴ CD ==． ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分（2）120°；………………………………………………………………………… 3分． ……………………………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴ 22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分 整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分 （2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>．∴ 0∆>． ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．………………………… 4分（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2px =-抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x =沿y 轴方向向上平移一个单位得到，（如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………由题意得 22FEMN pS EF =⨯-=四边形．解得4p =±．………………………………………724．证明：（1）如图6．∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，直线DE 交直线CH 于点F ，∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分21∴ ∠1=∠2．又∵ ∠EDA =∠A ，∠EDA =∠1， ∴ ∠A ＝∠2．∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点，∴ HN ∥BF ． 由（1）得BF ∥AC ， ∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC =90°， AC 边的中点为M ， ∴ 12HM AC AM ==．∴ ∠A ＝∠3． ∴ ∠EDA =∠3． ∴ NE ∥HM ．∴ 四边形ENHM 是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM ．∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF 的中点为N ， ∴ 12HN DF =，即2DF HN =．∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分 （3）当AB =BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE 相等的线段是EF 和CE ． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD ．（如图8）∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ，∴ 1802ABC A ∠=︒-∠， AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA =∠A ，∴ 61802A ∠=︒-∠，AE =DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角， ∴ 6BDE A ∠=∠+∠．∵ 45BDE ∠=∠+∠， ∴ ∠A ＝∠4．③由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．………………………………………5分 ∴ BE = CE ． ……………………………………………………………… 6分 由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ． 由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ． ∴ ∠CFE=∠ECF ． ∴ EF=CE ．∴ BE=EF ． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE ．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分）25．解：（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 EA ∴ 1EP EA =∴ 点1P 的坐标为1(2,2P +．…………………………………………… 5分 由对称性得点2P 的坐标为2(2,2P -．……………………………… 6分∴符合题意的点P 的坐标为1(2,2P 、2(2,2P -. （3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11） 若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上． ∵ QA QB -=∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA 作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin 451A N BA ''=⋅︒=，cos 451BN BA '=⋅︒=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．解得114x =． 经检验，114x =在23x <<的范围内．∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． …………………………………………… 7分此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分图11。

人大附中2011-2012学年度第二学期期末初二数学练习一、选择题（每小题3分，共36分）1、下列各式正确的是（ ） A.416±= B.3)3(2-=- C.24-=- D.3327=2、下列根式中，最简二次根式是（ ） A.51 B.5.0 C.5 D.50 3、下列图形中不是中心对称图形的是（ ）A. 等边三角形B.矩形C.菱形D.圆4、下列说法正确的个数是（ ）①平行四边形的邻边相等；②矩形的两条对角线长相等；③菱形的对角线互相垂直； ④等腰梯形同一底上的两个角相等。

A. 4B.3C.2D.15、若2-=x 是方程0822=+-ax x的一个根，则a 的值为（ ） A. 1 B.1- C.3 D.3-6、如果最简二次根式a b b -3和22+-a b 是同类二次根式，那么b a 、的值分别是（ ） A.2,0==b a B.0,2==b aC.1,1=-=b aD.2,1-==b a7、用配方法解方程01322=--x x ，应该先把方程变形为（ ） A. 98)31(2=-x B.910)31(=-x C.98)31(2-=-x D.0)32(2=-x8、方程)2(2)2(x x x -=-的根为（ ） A. 2-=x B.2=xC.221==x xD.2,221-==x x9、如图，把矩形OABC 放在直角坐标系中，OC 在x 轴上， OA 在y 轴上，且OC ＝2，OA ＝4， 把矩形OABC 绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA ′B ′C ′，则点B ′的坐标为（ ）A. )4,2(B.)4,2(-C.），（2,4 D.)4,2(-10、如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆和DEF ∆为等边三角形，DE AB =， 点B ，C ，D 在x 轴上，点A ，E ，F 在y 轴上，下面判断正确的是（ ）A.DEF ∆是ABC ∆绕点O 顺时针旋转︒90得到的B.DEF ∆是ABC ∆绕点O 逆时针旋转︒90得到的C.DEF ∆是ABC ∆绕点O 顺时针旋转︒60得到的D.DEF ∆是ABC ∆绕点O 顺时针旋转︒120得到的11、如图，ABC ∆中，AD 是∠BAC 内的一条射线，BE ⊥AD ，且CH M ∆可由BEM ∆旋转而得，延长CH 交AD 于F ，则下列结论错误的是（ ）A. M 是BC 的中点B.EH FM 21= C.BC FM ⊥ D.AD CF ⊥12、已知反比例函数xk y 2-=的图像如图所示，则一元二次方程01)12(22=++--k x k x 的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B.有两个相等的实根C.没有实根D.无法确定二、填空题（每小题3分，共30分）13、计算：=22-18 。