2-2-2-1 对数函数及其性质(第1课时)对数函数的概念、图像和性质

.2 对数函数及其性质

1．对数函数的概念

1定义：一般地,我们把函数y＝logaxa＞0,且a≠1叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是0,＋∞．

2对数函数的特征：

特征错误!

判断一个函数是否为对数函数,只需看此函数是否具备了对数函数的特征．

比如函数y＝log7x是对数函数,而函数y＝－3log4x和y＝logx2均不是对数函数,其原因是不符合对数函数解析式的特点．

例1－1函数fx＝a2－a＋1loga＋1x是对数函数,则实数a＝__________．

解析：由a2－a＋1＝1,解得a＝0,1．

又a＋1＞0,且a＋1≠1,∴a＝1．

答案：1

例1－2下列函数中是对数函数的为__________．

1y＝logaxa＞0,且a≠1；2y＝log2x＋2；

3y＝8log2x＋1；4y＝logx6x＞0,且x≠1； 5y＝log6x．

解析：

序号 是否 理由

1 × 真数是x,不是自变量x

2 × 对数式后加2

3 × 真数为x＋1,不是x,且系数为8,不是1

4 × 底数是自变量x,不是常数

5 √ 底数是6,真数是x

答案：5

2．对数函数y＝logaxa＞0,且a≠1的图象与性质

1图象与性质

a＞1 0＜a＜1 图

象

性

质 1定义域{x|x＞0}

2值域{y|yR}

3当x＝1时,y＝0,即过定点1,0

4当x＞1时,y＞0；当0＜x＜1时,y＜0 4当x＞1时,y＜0；当0＜x＜1时,y＞0

5在0,＋∞上是增函数 5在0,＋∞上是减函数

谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y轴右侧,其单调性取决于底数．a＞1时,函数单调递增；0＜a＜1时,函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象,在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．

2指数函数与对数函数的性质比较

解析式 y＝axa＞0,且a≠1 y＝logax a＞0,且a≠1 性

对数函数及其性质

知识点一 对数函数的概念

思考 已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？

答案 由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞).

梳理 一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

知识点二 对数函数的图象与性质

思考 y＝logax化为指数式是x＝ay.你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？

答案 当a＞1时，若0＜x1＜x2，则12yyaa，解指数不等式，得y1＜y2从而y＝logax在(0，＋∞)上为增函数.

当0＜a＜1时，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上为减函数.

梳理 类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质：

定义 y＝logax (a>0，且a≠1)

底数

a>1 0

图象

定义域 (0，＋∞)

值域 R

单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数

共点性 图象过点(1,0)，即loga1＝0

函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；

x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；

x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]

对称性 函数y＝logax与y＝1logax的图象关于x轴对称

类型一 对数函数的概念

例1 已知对数函数y＝f(x)过点(4,2)，求f 12及f(2lg 2).

解 设y＝logax(a＞0，且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，因此f 12＝log212＝－1，f(2lg 2)＝log22lg

2＝lg 2.

反思与感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法

判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

对数函数及其性质

【要点梳理】

要点一、对数函数的概念

1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是0,，值域为R．

2．判断一个函数是对数函数是形如log(0,1)ayxaa且的形式，即必须满足以下条件：

（1）系数为1；

（2）底数为大于0且不等于1的常数；

（3）对数的真数仅有自变量x．

要点诠释：

（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log(1),2log,log3aaayxyxyx等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。

类型一、对数函数的概念

例1.下列函数中，哪些是对数函数？

（1）log(0,1)ayxaa；

（2）2log2;yx

（3）28log(1)yx；

（4）log6(0,1)xyxx；

（5）6logyx．

【答案】（5）

【解析】（1）中真数不是自变量x，不是对数函数．

（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．

（3）中真数为1x，不是x，系数不为1，故不是对数函数．

（4）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．

（5）中底数是6，真数为x，符合对数函数的定义，故是对数函数．

【总结】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．

要点二、对数函数的图象与性质

a＞1 0＜a＜1

图象

性质 定义域：（0，+∞）

值域：R

过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数

当0＜x＜1时，y＜0，

当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0，

当x≥1时，y≤0

类型二、对数函数的定义域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.

教学目标

（一） 教学知识点

1． 对数函数的概念；

2． 对数函数的图象与性质．

（二） 能力训练要求

1． 理解对数函数的概念；

2． 掌握对数函数的图象、性质；

3． 培养学生数形结合的意识．

（三）德育渗透目标

1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；

2．用联系的观点看问题；

3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．

教学重点

对数函数的图象、性质．

教学难点

对数函数的图象与指数函数的关系．

教学过程

一、复习引入：

1、指对数互化关系：

2、)10(aaayx且的图象和性质．

a＞1 0＜a＜1

图

象

性

质 (1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数

3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=x2表示．

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是yx2log.

如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是xy2log.

引出新课--对数函数．

二、新授内容：

1．对数函数的定义：

函数xyalog)10(aa且叫做对数函数，定义域为),0(，值域为),(．

例1．求下列函数的定义域：

（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya．

分析：此题主要利用对数函数xyalog的定义域（0，+∞）求解．

解：（1）由2x>0得0x,∴函数2logxya的定义域是0|xx；

（2）由04x得4x，∴函数)4(logxya的定义域是4|xx；

（3）由9-02x得-33x，