张量分析第一章

(A2 5)
3.混合积
1 基矢量混合积
(ei e j ) ek ei j rer ek ei j rδr k
ei j k
(A2 7)
故也有定义
ei jk (ei e j ) ek ei (e j ek )
2 矢量混合积
(a b) c ei jk aibjek crer ei jk aibjcrδk r
第一节 问题的提出 第二节 矢量的基本运算 第三节 坐标变换及张量的定义
自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便 分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1,x2xn 记作 xi (i 1,2,n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数 指标 i 可以是下标，如 xi
e1 e2 e3 ei j tet ei j kek
a11 a12 a13
（比较： A a21 a22 a23 ei jk a1ia2 j a3k ）
a31 a32 a33
特别地：
e1 e2 e12kek e123e3 e3
2 两个任意矢量的叉积
a b aiei bje j aibjei e j aibjei j kek ei j k aibjek c
0 0 1 31 32 33
ij Ai
1 j A1
2 j A2
3 j A3
A1 A2
A3
Aj
j 1 j2 j3
ds2 dx2 dy2 dz2 dxidxi ijdxidx j
性质：
ijij ii 11 22 33 3
Aijij Aii Ajj A11 A22 A33
22
23
～ yx

z = x3
图 1－1
向量的定义
k = i3
a
P
y = x2
i = i1
O
j = i2
x = x1
向量的位置（作用点）效应可用向量函数来反映。如图 1－2，水流各点的流速可用向量函数 v ( x , y , z ) 表示， x , y , z 表示 v 作用点的空间坐标。
图 1－2
流速场
A B C
vA vB vC
a + b = b + a 交换律
(a + b) + c = a + (b + c ) 结合律
( λµ ) a = λ ( µ a )
λ (a + b ) = λ a + λ b
1a = a
结合律 分配律
a+0 = a
a + (−a ) = 0
零向量 负向量
(λ + µ ) a = λ a + µ a 分配律
(
)
ɶ1 , a ɶ2 , a ɶ3 = a ɶj = a ɶ je j a= a
(
)
1.2 点积与欧氏空间
★ 同义词 ： 点积、 点积、内积、 内积、数量积、 数量积、标量积 在线性空间里，没有长度和夹角的概念，从而没有几何度量的概念，此外几何上求向量在数轴上的投影， 物理上功与功率的计算等等，都需引入的点积的概念。
式中，小写指标 k , ℓ , m 为整型变量，称自由标，可在默认范围内取任意值。本书仅讨论 3 维线性 空间，自由标默认取值为 1 , 2 , 3 （n 维线性空间中，自由标默认取值为 1 ，… ,n） 。字母带自由标不 仅简化了数 （向量） 组的表示， 而且具有双重意义： 它既可代表数 （向量） 组全体(当视自由标为变量时)， 亦可表示数（向量）中某－分量(当视自由标为某－数值时)。

§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j, k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 eijk 1 若i, j, k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2
0 若有两个或三个指标相等
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
§A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
右叉乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akeie jkrer e T jkr ij akeier B
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
四、两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
坐标变换式 xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi, xi ) ii cos(xi , xi )
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
[ii ], [ii ]
互逆、正交矩阵
ii ii
ij
1 0
0 1
基矢量变换式
ei iiei ei iiei
坐标变换系数
v 任意向量变换式 i vii i vii i
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
kp kq kr
pk
eijk ekqr
iq jq
ir jr
iq jr ir jq
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 eijk a1ia2 j a3k eijk ai1a j2ak3

为了使张量在每个具体坐标系里能取得具有相同的物理量纲的分量在正交曲线坐标系取切于坐标曲线的无量纲单位矢量作为基矢量即cossinsincoscossinsinsincoscoscoscossinsincossinsin由此得到曲线坐标系的hamilton算子比较式a712与式a715得到bca并考虑到得到在正交曲线坐标系关于指标j和k是反称的因为共有6个为011332232333113132233232221121211331311122121只有212张量的梯度为了方便以后仍然把物理基记为16四圆柱坐标系张量的导数公式221212rzzzrrzr
8
gi j ,k k ( gi g j ) k gi g j k g j gi
g j k ,i i ( g j gk ) i g j gk i gk g j
（ａ） （ｂ） （ｃ）
gk i, j j ( gk gi ) j gk gi j gi gk
2
g i j 称为度量张量
r r ds dr.dr . dxi dxj gij dxi dxj xi x j
2
例1
求圆柱坐标系的自然基 gi 和度量张量g i j
空间任意点的向径为
r r cos e1 r sin e 2 ze 3 r g1 cos e1 sin e 2 r r g2 r sin e1 r cos e 2 r g3 e3 z
（b）＋（c）－（a），并考虑到
k gi g j i gk g j
得到
1 i g j g k ( g j k ,i g k i , j g i j ,k ) 2
9
1 1 1 i j k [ ( g j k ,i g k i , j g i j ,k ) g j j ( )g jk ] xi g j j gii g j j g k k 2

g c( g2 g3 )
1
上式两端同时点乘g1得到
所以 同理
g
2
1 g 1 g c g 1 ( g 2 g 3 ) c[ g 1
1
g2
g3 ] c
g
g
1
1 g
( g2 g3 )
1 g
( g 3 g1 ) ( g1 g 2 )
13
g
3
1 g
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x
1
e 1
x
2
e 2
x
3
e 3
x
k
ek
16
空间点的局部基矢量
下面证明：空间一点的局部逆变基矢量可表示为坐标面的
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梯度，即
g x
i i
x x
i k
ek,
i , k 1, 2 , 3 x x
i k
i i ik ik
det( j ) det( g g kj ) 1
i ik
这再次证明(gij)与 (gij)互为逆矩阵。
12
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g g j j,
i i
i , j 1, 2 , 3
由上式可知，逆变基矢量g1与协变基矢量g2 、 g3垂直， 可以用协变基矢量g2 、 g3的叉积表示逆变基g1：
dr
g ij g
i
dx g idx
gi g j ,
i , j 1, 2 , 3
称为度量张量G=(gij)的分量。
9
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g ij g i g j ,
i , j 1, 2 , 3

•
标量场（scalar
field）：f
(r,t)
• 向量场（vector field）：g (r,t) g=f(r,t)
• 均匀场（homogeneous field）：f c
• •
非 定均常匀流场场（（nstoen-adhyomfoigeelndou）s：ffi(erl)d）： field)：f(r,t)
a x b x a yb y a zb z 标量
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9
1
如a、b正交 ，则
abab0
2
如a、b平行 ，则
aba b
3 4
如 分a在 配b正 律交 ab投 c影 aba表 用 b示 ac
m a b a m b m a b
a
ax2ay 2az2
散度是标量，而不是向量。
diav l
im sa dsaxayaz a
v 0 v x y z
于是Gauss定理可以写作：
sa n d s sa d s v( a x x a y y a z z)d v v( a )dv
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div A 0 的场称为无源场。其性质：
运动学 动力学
以实际流体为主
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2
主要内容：
第一章 场论与张量分析初步
第二章 流体运动学
第三章 流体力学基本方程组
第四章 粘性流动基础
第五章 Navier-Stokes 方程的解
第六章 边界层理论
第七章 流体的旋涡运动
第八章 湍流理论
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3

ax ay az
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所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
15
二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
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二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
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数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
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③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
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梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
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四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk

i ′i
∑A
3
Ai ′j =δ ij
∑A
i =1
i ′i
Aj′i =δ i ′j ′
元素相乘作和等于0. 1 (i'=j') 矩阵A的同一行的各元 素的平方和等于1.
将正交矩阵每一行的三个元素看成一个矢量的三个分量： 正交矩阵的不同行所代表的矢量相互正交， 每一行所代表的矢量长度为1.
∑A
i =1
ai′ = ∑ Ai′i ai（i'=1，2，3）
i =1
3
r 如果 a是赝矢量，在坐标反演时，赝矢量要改变方向 r ∑ a e (当坐标转动) r ∑a e = r ∑ a e (当坐标反演)
3 3 i ′ =1 i′ i′ i =1 i i 3
矢量的分量和坐标基矢有相同的变化规律!
i =1
i
i
∑ A i ′i a i (当坐标转动) i =1 a i′ = 3 ∑1 A i ′i a i (当坐标反演) i=
3
赝矢量的分量在坐标转动时和坐标基矢有相同的 变换，而在坐标反演时和坐标基矢的变换相差符号.
四、正交变换 以上讨论的几种坐标变换（转动、反演和镜面 反射）都保持矢量点积的公式不变.
物理学院 凝聚态物理中心
物理学中的 张量分析
刘连寿，郑小平 著
坐标原点不动，包括转动、镜面反射和反演.
第3节 坐标变换 Vector Transform r r
a b = ∑ ai biδ ij
i =1
3
正交变换 —保持矢量点积不变的变换 一、基矢的变换 r r r 设原来坐标系的基矢为： e1 , e2 , e3 r r r r 坐标系转动后的坐标基矢为： e1′ , er′ , e3′ 2 e3 e3′ 这三个基矢在原来坐标中的分量用： ( A1′ 1 , A1′ 2 , A1′ 3 ), ( A2′1 , A2′2 , A2′3 ), ( A3′1 , A3′2 , A3′3 ), O′ 表示，因而有 O r r r r e1′ = A1′ 1e1 + A1′ 2 e2 + A1′ 3e3 r r r r r r e1 e1′ e2′ = A2′1e1 + A2′2 e2 + A2′3e3 r r r r e3′ = A3′1e1 + A3′2 e2 + A3′3e3

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.
7
对于笛卡儿坐标，X的3个分量为x1，x2，x3。而三个坐标方向的单 位分别用e1，e2，e3表示。有时也常用i，,j，k表示。因此位置向量和速 度向量可以写为：
x=x1e1+ x2e2+ x3e3
uuxiuyjuzk
向量的加减 ：
a ＋ b c
a cb
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第一节 第二节 第三节
场论简述 张量初步 雅可比行列式
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4
第一节 场论简述
• 基本概念 • 场的几何表示 • 标量场的梯度 • 向量的散度 • 向量的旋度 • 哈密顿算子▽和场论的基本运算公式
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一 基本概念
• 1.场（field）：
• 设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量 函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
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(1)标量:是一维的量，它只须1个数量及单位来表
示，它独立于坐标系的选择。
流体的温度，密度等均是标量。
(2)向量(矢量):不仅有数量的大小而且有指定的
方向，它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的 分量来表示,因此向量是三维的量。
速度,加速度是向量.
常用黑体字母x、u 表示空间坐标位置向量和流 速向量。也用 u、x类似表示。
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向量三重积：
a b c
a b c a c b a b c a b c a c b b c a
括号不能交换或移动
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.
15
二、场的几何表示
变化快

柱坐标系 任意坐标系
uz uz uz uz ur u uz ez r r z t
0.1 张量的特点
du ui j i u u gi j dt t
5
课程特点
研究张量及张量方程的表达、运算、 转换及数学特性 相关的主要先修课为高等数学、线性 代数和大学物理 建议的学习方法——参考文献法
11 12 13 21 22 23 31 32 33
1.1 向量与向量空间 13
由向量代数知，对于给定基向量(右手标准 正交)，有如下运算法则成立
相等
a ＝ b 当切仅当 ai = bi
0 ≡ (0 , 0 , 0)
－a ≡(－a1，－a2 ，－a3 )
指标表示法
a ajij ajij
j
j=1，2，3 哑标
爱因斯坦求和约定：若指标中有两个相同， 表示在默认范围内求和。 任意基向量 a ai gi ai a1 , a2 , a3 略去基向量 i=1，2，3 自由标 11 12 13 k，l=1，2，3 kl 21 22 23 ii ＝ (i1, i2 , i3) 32 33 31
由点积可定义 向量的长度和 夹角
a

aa
ab cos ab
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点积的公理化定义
由几何定义可导出向量点积的四条最基本的运算规律 :
ab ba
la b la b
a b c a c b c
a a 0 当切仅当 a 0 时 a a 0
1.2 点积与欧氏空间
克罗内克符号 ij
ei 标准正交基