第八章非线性控制系统分析
l、基本内容和要求
（l）非线性系统的基本概念
非线性系统的定义。本质非线性和非本质非线性。典型非线性特性。非线性系统的特点。两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数
描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。谐波线性化的概念。描述函数定义和求取方法。描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数
（4）用描述函数分析非线性系统
非线性系统的一般结构。借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念
非线性系统的数学模型。相平面法的概念和内容。相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法
解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应
相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析
以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点
（l）非线性系统的特点
（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析
1研究非线性控制理论的意义
实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
2 非线性系统的特征
2.1 不能用线性(微分)方程描述；方框图中，非线性环节不能随意移动(不能保持信号等效)； 2.2 运动形式)(t c 不仅与系统特性和)(t r 有关，而且还与系统的初始状态有关；有的系统会出现
自振荡； 自持振荡：系统在无外部信号作用下维持的振荡，又称自激振荡，简称自振荡。线性系统只有在临界
阻尼情况下才可能有自振荡。
2.3 稳定性分析复杂；系统的稳定性不仅与系统结构参数有关还与系统的初始状态有关； 2.4 频率响应有畸变；输入信号是正弦信号时，系统的稳态输出不是正弦信号，而是多种频率的
正弦信号组合。 3 非线性系统的分析与设计方法 3.1 ☆相平面法 3.2 ☆描述函数法 3.3 逆系统方法
这三种方法将在8-3、8-4和8-5节讨论。
8-2 典型非线性特性及其对系统运动的影响
非线性特性千差万别，在工程上允许用折线近似替代曲线，只要直线线段足够短，就有满意的近似精度。那么，通常的非线性环节都可以用多个典型非线性特性串联和并联组合而成。
非线性特性的数学表达式和输入输出关系曲线都很重要。 1 非线性特性的等效增益
设非线性环节的输出为y ，输入为x ；输入输出关系为)(x f y =，是非线性函数； 等效增益记为： x x f x y k /)(/==。
有人将非线性系统看作是“变增益的线性系统”，简化非线性系统稳定性的分析过程。
2 ☆典型非线性特性对系统运动的影响
(1) ☆饱和特性 ⎪⎩⎪
⎨⎧-<-≤>=00000||x x x k x x x k x x x k y ；⎪⎩
⎪⎨⎧-=x x k k x x k x y //00 线性区； 系统工作范围：X x X <<-，)max(x X =； k —线性增益；0x —表示线性区宽度的参数，线性区宽度为02x ，简称0x 为线性区宽度。
若0x X <，则该元件是线性元件。 对系统稳定性的影响：系统进入饱和区，等效增益降低。若)(s G 的全部极点均在S 平面左半部，只要)(s kG 的开环增益x k 小于临界增益c k ，饱和特性不改变系统的稳定性。若)(s G 的极点不全在S
平面左半部，一旦系统进入饱和区，可能导致系统不稳定。
实际系统工作时，为充分利用系统性能，在大偏差情况下大多工作在饱和状态。工程界有“大偏差，小增益；小偏差，大增益”的工作经验。兼顾了充分利用系统性能和较高的控制精度要求。
(2) ☆死区(不灵敏)特性 ⎪⎩
⎪⎨⎧-<+≤>-=00000)(||0)(x x x x k x x x x x x k y 死 区； 对系统稳定性的影响：系统进入死区，等效增益为零。若)(s
区特性不改变系统的稳定性，只是降低了控制精度。若)(s G 的极点不全在S 平面左半部，通常会产生自振荡，这是工程中不满意的状态。
在工程实践中，只要系统满足控制精度要求(稳态误差在允许误差范围内)，尽可能利用死区特性减少控制器的动作，其实际物理意义是减少能量损耗和设备磨损。 (3) ☆继电特性 (3-1)
理想继电特性 ⎩⎨
⎧<->=0
x M
x
M y ； 理想继电器： (3-2)
⎪
⎩
⎪
⎨⎧-<-≤>
00||0
x x M x x x x M (3-3)
仅具有滞环的继电特性
⎩⎨⎧<->=00x
x M x x M y 或00&0&0x x x
x x x <>
->< ；
(3-4) 一般继电特性 ⎪
⎧-<-≤>h
x M mh x h x M ||0
或x x ><( 0=h ：理想继电特性；1=m ：仅具有死区的继电特性；1-=m ：仅具有滞环的继电特性。
(4) 间隙(齿隙)特性 ⎪⎩
⎪
⎨⎧<+==>-=0)(000)(00y x x k y y y
x x k y ； (5) 摩檫特性 ⎩⎨⎧>-<=00x
M x M y ；
8-3 相平面法
相平面法是在非线性系统线性部分的阶次小于等于二阶时的图解分析方法，该方法将系统(非线性环节的输入信号)运动姿态绘制在相平面上，直观清、楚地反映系统的稳定性、平衡状态、稳定精度和有无自振荡；使用相平面法分析系统的稳定性很方便。在应用相平面法分析系统稳定性时，都将典型输入的作用等价为系统的初始状态，假定系统输入恒为零，即分析系统的自由运动特性。 1
相平面的基本概念
☆二阶非线性系统： 0),(=+x x f x
，0)0(x x =，0)0(x x =； 式中 ),(x
x f 是x 和x 的非线性函数或线性函数 ☆ 相平面法： 求解二阶非线性系统的图解方法，用于分析系统稳定性。 ☆ 相变量： 二阶系统中的x 和x
称为相变量 。 ☆ 相平面： x
x -平面；横坐标为相变量x ；纵坐标为相变量x 。 ☆相轨迹：
x
x -平面上的点表示系统在给定初始状态时，某一时刻的状态。系统运动在相平面上留下的轨迹，是一条具有方向的曲线，称为相轨迹。
△相轨迹斜率：
x x t d x d t d x d x d x d ==/。可得x
d x
d x x =，代入系统(运动)方程，得到相轨迹方程。
