自动控制原理 第八章 离散控制系统(2)

n阶方程需要n个初始值，从n+1开始递推，初始值 不同解也不同，初始值可以看作为输入。
t
* 例8-19 将后向差分方程 c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k) 转换为前向差分方程，并用迭代法求输出序列c(k)。 解： 对后向差分方程 c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k) 令k’=k-2，则变换为前向差分方程 c(k’+2)-5c(k’+1)+6c(k’)=r(k’+2)
e*(t)
二阶前向差分:
Δ2e(k)=Δ[Δe(k)]=Δ[ e(k+1) - e(k)] = Δe(k+1) - Δe(k)] = [ e(k+2) - e(k+1)] - [ e(k+1) - e(k)] = e(k+2) - 2e(k+1) +e(k)
Δe(k)
▽e(k)
(k-1)T kT (k+1)T
根据新的初始条件，并令k’=2, 3, 4…，逐拍递推， 有
k’=0 c(0)=6 k’=1 c(1)=25 初始条件 k’=2 c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=90 k’=3 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=301 k’=4 c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=966 … 由此可以画出输出c(k)随时间变化的曲线。
k 0

Z[ ]
e( kT )

Z-1[ ]
E Biblioteka Baidu z ) Z [e * ( t )] e( kT ) z k
k 0
8.5 离散系统的数学模型
数学模型是系统定量分析的基础。 连续系统—微分方程—L变换—代数方程—传递函数 离散系统—差分方程— Z变换—代数方程—脉冲传函 类比：相似性 把握住两者的共同点和不同点，可事半功倍！
实数位移定理
n
Z[ae( t )] aE( z )
Z[e(t nT)] z E( z)
Z [e( t T )] zE ( z ) ze (0) 2 2 Z [e( t 2T )] z E ( z ) z e(0) ze (T ) Z [e( t 3T )] z 3 E ( z ) z 3e(0) z 2 e(T ) ze ( 2T )
1 n
在零初始条件下，进行z变换
(1 a1z an z )C ( z ) (b0 b1z 1 bm z m ) R( z )
求Z变换的方法： 1）级数求和法（由定义式） 2）部分分式展开法，将E(s)部分分式展开，将对应典型 环节的z变换求和得出。 Z变换的性质： 1）线性性质，2）平移性质（延迟，超前），3）位移性 质，4）初值定理，5）终值定理，6）卷积和定理
线性定理
Z[e1 ( t ) e2 ( t )] E1 ( z ) E 2 ( z )
c( k ) a1c( k 1) an c( k n) b0 r ( k ) b1r ( k 1) bm r ( k m )
n—系统的阶次
在实际当中， 应用较广泛
k—系统的第k个采样周期
m n
线性定常系统差分方程的一般形式。 递推形式
c (k ) b j r (k j ) ai c (k i )
n！ e( k i ) ( 1) i 0 i！ ( n i )！
n i
2. 线性常系数差分方程
对于单输入单输出线性定常离散系统，在某一采样时刻的输
出值 c(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有关，而且与过去时刻的 输入值r(k-1)、 r(k-2)…有关，还与过去的输出值c(k-1)、 c(k-2)… 有关。可以把这种关系用n阶后向差分方程描述：
3) z变换法 用z变换法求解常系数差分方程的方法与用拉氏 变换求解微分方程方法类似。
r(k )
差分方程式
c(k)
Z
经典法求解
时域解
Z-1 C(z) 求解代数方程
z域解
R(z)
z的代数方程
用z变换法求解常系数差分方程的一般步骤：
1. 利用z变换的超前或延迟定理对差分方程两边进行 z变换，代入相应的初始条件，化为复变量z的代 数方程； 2. 求出代数方程的解c(z)；
k
例8-21 二阶离散系统的差分方程为 c(k+2)-5c(k+1)+6c(k) =r(k) 已知r(k)=1(k)=1,初始条件 c(0)=6,c(1)=25,求响应c(k)。
解：对差分方程两边取z变换
[z2C(z)-z2c(0)-zc(1)] –5[zC(z)-zc(0)]-6C(z)=R(z)
t
n阶前向差分: ne(k ) n1[e(k )] n1e(k 1) n1e(k )
n！ (1) e (k n i ) i！ (n i )！ i 0
i n
2)
后向差分 是现在时刻采样值e(k)与上一时刻采样值e(k-1)之差 ▽e(k) 。即， ▽e(k)= e(k) - e(k-1) ▽e(k)称为一阶后向差分。 e*(t) 二阶后向差分: Δe(k)
n—系统的阶次 递推形式
m n
k—系统的第k个采样周期
在实际当中， 较少应用
c(k n) b j r (k m j ) ai c(k n i )
j 0 i 1
3. 差分方程的解法 有经典法*-较繁琐：通解+特解、迭代法和z变换法。 1) 迭代法 线性定常系统差分方程可以写成递推形式
终值定理
e() lim e(t ) lim( z 1) E ( z )
t z 1
Z反变： e(kT ) Z 1[ E( z )]
1）长除法 得到一个降幂排列的级数 （简单，开式） 2) 部分分式法
步骤：① 先将变换式写成
E(z) z
，展开成部分分式，
E ( z ) n Ai z i 1 z z i
j 0 i 1
特别适合在计算机上求解。比连续系统方便！
线性定常离散系统，也可以用n阶前向差分方程 描述, 即
c( k n) a1c( k n 1) an c( k ) b0 r ( k m ) b1r ( k m 1) bm r ( k )
对应的初始条件可根据原方程初值及变量和的关系求出。
当，k’=0有k=2，则 c(k’)|k’=0 =c(0’)=6 r(k’)|k’=0 =r(0’)=1 当，k’=1有k=3，则 c(k’)|k’=1 =c(1’)=25 r(k’)|k’=1 =r(1’)=1
写出差分方程的递推形式
c(k’+2)= r(k’+2) +5c(k’+1)-6c(k’)
c (k ) b j r (k j ) ai c (k i )
j 0 i 1 m n
c(k n) b j r (k m j ) ai c(k n i )
j 0 i 1
m
n
当给出输出函数的n个初始值后，可以从n+1个值 递推计算下去，它适合于计算机运算，简单快捷。
3. 对c(z)进行反变换，得出c(kT)或c*(t)。
Z [e( t T )] zE ( z ) ze (0) Z [e( t 2T )] z 2 E ( z ) z 2 e(0) ze (T ) 3 3 2 Z [e( t 3T )] z E ( z ) z e(0) z e(T ) ze ( 2T )
② 两端乘以z ③ 查z变换表
*
Ai z E (z) i 1 z z i
n
a
k
z za
e(kT) Ai zi k
i 1
n
e (t ) e(kT ) (t kT )
i 1
n
e(t ) e( kT )
采样
e * ( t ) e( kT ) ( t kT )
例8-20 一阶离散系统的差分方程为 c(k+1)-bc(k) =r(k) 已知r(k)=ak,初始条件 c(0)=0，求响应c(k)。 解：对差分方程两边取z变换 zC(z)-zc(0)-bC(z)=R(z)
z , c ( 0) 0 代入 R( z ) Z (a ) za z C(z) 求得 ( z a )(z b) 1 z z C(z) [ ] 部分分式法求z反变换 ab za zb 1 查表得 c( k ) (a k b k ) ( k 0,1,2,...) ab
▽2e(k)=▽[▽e(k)]=▽[ e(k) - e(k-1)] = ▽e(k) - ▽e(k-1)] = [ e(k) - e(k-1)] - [ e(k-1) - e(k-2)] = e(k) - 2e(k-1) +e(k-2)]
▽e(k)
(k-1)T kT (k+1)T
t
n阶后向差分: ▽ne(k)=▽n-1[▽e(k)]=▽n-1e(k) - ▽n-1e(k-1)]=
作为一个数学模型，仅依赖于对象本身，与输入无关。
1. 脉冲传函的定义 定义： 在线性定常离散系统中, 初始条件为零时，系 统输出与输入信号的z变换之比，称为脉冲传函。
C ( z ) 输出脉冲序列的 z 变换 G( z ) R( z ) 输入脉冲序列的 z变换
设系统的差分 方程为：
c(k ) a1c(k 1) anc(k n) b0 r (k ) b1r (k 1) bm r (k m)
查表得
c(k ) 0.5 8 2 13.5 3
k
k
(k 0,1,2,...)
8.5.2 脉冲传递函数
在连续系统中，传递函数是s域的数学模型，分析起来比时域 里面的微分方程更方便；同样，在离散系统中通过z变换，可以 建立z域的数学模型，称为z传递函数，又称脉冲传递函数。 给分 析和计算带来极大方便。
8.5.1 差分方程 在离散系统中，由于采样时间的离散性，要描述脉 冲序列随时间的变化规律，需采用差分的概念。 1. 差分的定义
差分：是采样信号两相邻采样脉冲之间的差值。一系列差值变 化的规律，可反映出采样信号的变化规律。
设离散函数序列e(kT) ，为了方便可简写为e(k)。
1)
前向差分 是下一时刻采样值e(k+1)与现在时刻采样值e(k) 之差 Δ e(k) 。即 Δ e(k)= e(k+1) - e(k) Δ e(k)称为一阶前向差分。
z , c(0) 6, c(1) 25 代入 R( z ) Z (1( k )) z 1 (6 z 2 11z 6)z 求得 C ( z ) 2 ( z 5z 6)(z 1) 0.5z 8z 13.5z C(z) 部分分式法求z反变换 z 1 z 2 z 3
第八章 离散控制系统 (2)
• 数学模型
–
–
1.差分方程 2.脉冲传递函数
• 离散系统的时域分析
–
– –
1.稳定性 2.动态性能 3.稳态误差
上一次课的重点内容回顾：
Z变换 ： Z变换的定义：采样函数的拉氏变换
* KTs k E * ( s) L e ( t ) e ( KT ) e e ( KT ) z E z z eTs k 0 k 0
例8-18 已知离散系统的后向差分方程 c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k) 初始条件c(0)=0, c(1)=1。 试用迭代法求在r(k)=1(k)=1 (k>0)作用下的输出序列。
解：可以写出后向差分方程的递推形式
c(k)= r(k) + 5c(k-1)-6c(k-2)
根据初始条件c(0)=0, c(1)=1，并令k=2, 3, 4…，逐 拍递推，有 c*(t) k=0 c(0)=0 k=1 c(1)=1 初始条件 k=2 c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6 k=3 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25 k=4 c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90 T 2T 3T 4T … 由此可以画出输出c(k)随时间变化的曲线。