图3
图2
图1
E D
C A G G A B
C
D E F F E D C B
A F
N
M D
C B
A
70°
100°相交线与平行线重难点专题训练
专题一 各种背景下的平行
1. 将一张长方形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC =64°，则
∠1=______．
2. 如图，将一个长方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，使点C ，D 分别落在点C'，
D'处，若∠BFE =70°，则∠AED'的度数为（ ）
C ．30°
D ．20°
3. 如图，AB ∥CD ，点P ，P 1，P 2分别在两条平行线之间，∠P
=40°，
∠P 2=130°，若∠P AP 1=13∠P AP 2，∠PCP 1=1
3
∠PCP 2，则∠P 1的度数为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．80°
4. 如图1是长方形纸带，∠DEF =25°，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF 折叠
成图3，则图3中的∠CFE 的度数是________．
5. 如图，在四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 边上，将△BMN 沿MN
翻折，得△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥CD ，则∠B =___________．
6. 将一副直角三角板ABC 和EDF 如图放置（其中∠A =60°，∠F =45°），使点
E 落在AC 边上，且ED ∥BC ，则∠CE
F 的度数为_________．
F
E
D
C B A
21
E
F
D
C
B
A
7. 将一副学生用三角板按如图所示的方式放置，若AE ∥BC ，则∠AFD 的度数
是________．
8. 如图所示，将一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠α=43°，则∠β的度
数是（ ） A ．43°
B ．47°
C ．30°
D ．60°
9. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=35°，则
∠2等于（ ） A ．35°
B ．45°
C ．55°
D ．65°
10. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠2=∠3；
②∠3=∠4；③∠2+∠4=90°；④∠5-∠2=90°，其中正确结论有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11. 已知：如图，AB ∥CD ，E ，F 分别是AB ，CD 上的点．
求证：∠EPF =∠AEP +∠CFP ．
1
2
35
4
P
F E D
C
B
A
β
α
13. 已知直线AB ∥CD ，点M ，N 分别在直线AB ，CD 上，点E 为平面内一点．
（1）如图1，∠BME ，∠E ，∠END 的数量关系为____________（直接写出答案）；
（2）如图2，∠BME =m °，EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，EQ ∥NP ，求 ∠FEQ 的度数（用含m 的式子表示）；
（3）如图3，G 为CD 上一点，∠BMN =n ∠EMN ，∠GEK =n ∠GEM ，EH ∥MN 交AB 于点H ，探究∠GEK ，∠BMN ，∠GEH 之间的数量关系（用含n 的式子表示）．
图1 图2 图3
专题二 尺规作图
14. 作图题：
（1）在如图所示的方格纸中，经过线段AB 外一点C ，不用量角器与三角尺，仅用直尺，作线段AB 的垂线EF 和平行线GH ； （2）判断EF ，GH 的位置关系是________．
A B C D M
E
N
F
Q P
N
M
E D
C
B
A
K H
G
A
B
C
D
E
N M
15.利用网格作图：
（1）过点C作AB的平行线CD；
（2）过点C作AB的垂线，垂足为E；
（3）线段CE的长度是点C到直线_______的距离；
（4）连接CA，CB，在线段CA，CB，CE中，线段_____最短，理由是：____________________________________．
第一讲 相交线与平行线 【难题巧解点拨】 例1求证三角形的内角和为１８０度。 例2如图，AB 、CD 两相交直线与EF 、MN 两平行直线相交，试问一共可以得到同旁内角多少对? 例3 例３已知：∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠Ｆ＝360o .求证：AB ∥EF. 例4如图，∠１＋∠２＝∠BCD,求证AB ∥D E 。 【典型热点考题】 例１ 如图2—15，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，AB ∥CD 吗? AC ∥BD 吗?为什么? Ａ Ｂ Ｅ ＤＡ Ｃ A B C
例２ 平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点．怎样安排才能办到? 例３ 已知直线a 、b 、c 在同一平面内，a ∥b ，a 与c 相交于p ，那么b 与c 也一定相交．请说明理由． 一、选择题 1．图2—17 中，同旁内角共有 ( ) A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对 ２、光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之 间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°， ∠3=75°，则∠2= （ ） A ．50° B ．55° C ．66° D ．65° ３、如图为中华人民共和国国旗上的一个五角星，同学们再熟悉不过了，那么它的每个角的度数为（ ） A 045 B 030 C 036 040 ４、如图3，把长方形纸片沿EF 折叠，使D ，C 分别落在D '，C '的位置，若65EFB = ∠，则AED '∠等于（ ） Ａ．50 Ｂ．55 Ｃ．60 Ｄ．65 5．两条直线被第三条直线所截，如果所成8个角中有一对内错角相等，那么 ( ) A ．8角均相等 B ．只有这一对内错角相等
相交线与平行线知识点 1.相交线 同一平面中，两条直线的位置有两种情况： 相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：∠1，∠2，∠3，∠4； 邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角； 对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O，并且∠1 的两边分别是∠3两边的反向延长线，具有这种位置 关系的两个角，互为对顶角； ∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补角 相等，所以∠1＝∠3。 所以，对顶角相等 例题： 1.如图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。 2.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且AB CD ⊥， FOB__________。 2_______，∠= 127，则∠= ∠=? C E A 2 O B 1 F D 垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂 线，它们的交点叫做垂足。如图所示，图中AB⊥CD，垂足 为O。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90?。 例题： 如图，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，∠1＝26?，求∠EOD，∠2，∠3的度数。(思考：∠EOD可否用途中所示的∠4表示？) 垂线相关的基本性质：
（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 例题：假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？ *线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如何作下图线段的垂直平分线？ 2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。 平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。 如上图，直线a与直线b平行，记作a//b 3.同一个平面中的三条直线关系： 三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一 个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。 （1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如 图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关 知识解决； 例题： 如图，直线AB,CD,EF相交于O点，∠DOB是它的余角的两倍，∠AOE＝2∠DOF,且有OG⊥OA，求∠EOG的度数。 （2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）如 图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系： *同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；
思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法 ——明确解题思想，体会便捷渠道 ◆类型一方程思想 1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶ ∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为( ) A．180°B．160°C．140°D．120° 第1题图第2题图2．(2017·无棣县期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB， ∠AOD∶∠EOD＝4 ∶1，则∠AOF的度数为________． 3．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B的度数． 4．(2017·启东市期末)如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC. (1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数； (2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．
◆类型二分类讨论思想 5．若∠α与∠ β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是() A．18°B．126° C．18°或126°D．以上都不对 6．(2017·玄武区期末)在直线MN上取一点P，过点P作射线P A、PB.若P A⊥PB，当∠MP A ＝40°，则∠NPB的度数是________________． 7．(2017·江干区一模)一副直角三角尺按如图①所示方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图②，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合条件的度数为________________________________________________________________________． 8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点．当P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系． ◆类型三(转化思想)利用平移进行转化求图形的周长或面积 9．如图，直角三角形ABC的周长为100，在其内部有6个小直角三角形，则6个小直角三角形的周长之和为________． 第9题图
1相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 （4）余角的定义：如果说补角是 180°的话，那么余角就是90° 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短 A B C D O ?P A B O
的一条。 现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。 例题：1.两条直线相交，有_____对对顶角，三条直线两两相交，有_____对对顶角. 列题2 .下列语句错误的是( ) A.锐角的补角一定是钝角 B.一个锐角和一个钝角一定互补 C.互补的两角不能都是钝角 D.互余且相等的两角都是45° 例题3.如果∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，那么 ( ) A.∠2＞∠3 B.∠2=∠3 C.∠2＜∠3 D.∠2≥∠3 例题4 ∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1=63°，∠3=. 2平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
相交线及平行线复习 1. 如图所示, ∠1和∠2是对顶角的图形有( ) 1 2 12 1 2 2 1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 如图所示,已知直线AB , CD 相交于O , OA 平分∠EOC , ∠EOC =70°, 则∠BOD =?______. 3. 如图所示, 直线AB ,CD 相交于点O , 已知∠AOC =70°, OE 把∠BOD 分成两部分,? 且∠BOE :∠EOD =2:3, 则∠EOD =________. 4.如图所示, 直线a ,b ,c 两两相交, ∠1=2∠3, ∠2=65°, 求∠4的度数。 5. 如图所示，∠AOB =∠COD =90°，则下列叙述中正确的 是（ ） A.∠AOC =∠AOD B.∠AOD =∠BOD C.∠AOC =∠BOD D.以上 【练习】 1、下列语句正确的是（ ）. A 、相等的角是对顶角 B 、相等的两个角是邻补角 C 、对顶角相等 D 、邻补角不一定互补，但可能相等 2、下列语句错误的有（ ）个. （1）两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角 （2）有公共顶点并且相等的两个角是对顶角 （3）如果两个角相等，那么这两个角互补 （4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 O E D C B A O E D C B A c b a 3 4 1 2
3、如果两个角的平分线相交成90°的角，那么这两个角一定是（ ）. A 、对顶角 B 、互补的两个角 C 、互为邻补角 D 、以上答案都不对 4、已知∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角，那么∠1与∠3的关系是（ ）. A 、对顶角 B 、相等但不是对顶角 C 、邻补角 D 、互补但不是邻补角 5、下列说法正确的是（ ）. A 、有公共顶点的两个角是对顶角 B 、两条直线相交所成的两个角是对顶角 C 、有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角 D 、两条直线相交所成的无公共边的两个角是对顶角 6、如图1所示,下列说法不正确的是( ) A.点B 到AC 的垂线段是线段AB; B.点C 到AB 的垂线段是线段AC C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段; D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 7、下列说法正确的有( ) ①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8、点P 为直线m 外一点,点A,B,C 为直线m 上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到直线m 的距离 为( ) A.4cm B.2cm C.小于2cm D.不大于2cm 9.则下列结论：垂足为如图，,,,90D BC AD BAC ⊥?=∠ （1）点C 到AB 的垂线段是线段AB ； （2）点A 到BC 的距离是线段AD; （3）线段AB 的长度是点B 到AC 的距离； （4）线段BC 的长度是点B 到AC 的距离。 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【同位角、内错角、同旁内角】 1．如图，∠1和∠5是直线_______，______被直线_______所截而成的______角； ∠2和∠3是直线______，_______被直线_______所截而成的_______角； ∠6和∠9是直线______，_______被直线______?所截而成的______?角；? ∠ABC ?和∠BCD ?是直线______，______被直线_____所截得的________角． D C B A
相交线与平行线知识点总复习含答案 一、选择题 1．下列五个命题： ①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等； ②内错角相等； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④两个无理数的和一定是无理数； ⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 其中真命题的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数， 进行判断即可. 【详解】 ①正确； ②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误； ③正确； ④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误； ⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确； 故选：B ． 【点睛】 本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键． 2．如图，不能判断12//l l 的条件是（ ） A ．13∠=∠ B ．24180∠+∠=? C ．45∠=∠ D ．23∠∠= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，结合图形对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】 A 、∠1=∠3正确，内错角相等两直线平行；
B 、∠2+∠4=180°正确，同旁内角互补两直线平行； C 、∠4=∠5正确，同位角相等两直线平行； D 、∠2=∠3错误，它们不是同位角、内错角、同旁内角，故不能推断两直线平行． 故选：D ． 【点睛】 此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义． 3．如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，EG 平分∠AEF ，如果∠1=32°，那么∠2的度数是( ) A ．64° B ．68° C ．58° D ．60° 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据平行线性质得出∠1=∠AEG ，再进一步利用角平分线性质可得∠AEF 的度数，最后再利用平行线性质进一步求解即可. 【详解】 ∵AB ∥CD ， ∴∠1=∠AEG ． ∵EG 平分∠AEF ， ∴∠AEF=2∠AEG ， ∴∠AEF=2∠1=64°， ∵AB ∥CD ， ∴∠2=64°． 故选：A ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线性质以及平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 4．如图，将一张矩形纸片折叠，若170∠=?，则2∠的度数是（ ）
} 专题训练：相交线与平行线 一、选择题（每小题4分，共48分） 1．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（）。Ａ．相等Ｂ．互补Ｃ．相等或互补Ｄ．相等且互补 2．已知∠AOB=30°，又自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC : ∠AOB=4 : 3 ，那么∠BOC 等于（）。 Ａ．10°Ｂ． 40°Ｃ．70°Ｄ． 10°或70° 3．一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（）。 } Ａ．30°Ｂ．60°Ｃ．45°Ｄ．以上答案都不对 4.用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数（）。 A． 5个 B．10个 C． 11个D．以上都不对 5.在平面上画出四条直线，交点的个数最多应该是（） Ａ．4个 B． 5个 C． 6个 D． 8个 6.已知三条直线a,b,c，下列命题中错误的是（） Ａ．如果a∥b,b∥c,那么a∥c B．如果a⊥b,b⊥c,那么a⊥c C．如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c D．如果a⊥b,a∥c,那么b⊥c ！ 7．如果两条平行线被第三条直线所截得的8个角中，有一个角的度数已知， 则（）。 Ａ．只能求出其余3个角的度数 B.能求出其余5个角的度数 C．只能求出其余6个角的度数 D. 能求出其余7个角的度数 8．若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（）。 Ａ．一对同位角的平分线互相平行 B.一对内错角的平分线互相平行 C．一对同旁内角的平分线互相垂直 D．一对同旁内角的平分线互相平行 9．在同一平面内互不重合的三条直线,它们的交点个数是（）。 ] A．可能是0个，1个，2个 B．可能是0个，2个，3个 C．可能是0个，1个，2个或3个 D．可能是1个或3个 10．下列说法，其中正确的是（）。 A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等； B．不相交的两条直线就是平行线； C．点到直线的垂线段，叫做点到直线的距离； D．同位角相等，两直线平行。 11．下列关于对顶角的说法： 》 （1）相等的角是对顶角（2）对顶角相等 （3）不相等的角不是对顶角（4）不是对顶角不相等 其中正确的有（）。
湘教版七年级数学（下）第四章《相交线与平行线》基础卷（含答案） 一、选择题（30分） 1、如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行； B. 内错角相等，两直线平行； C. 同旁内角互补，两直线平行； D.两直线平行，同位角相等； 2、下列四个说法中，正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角； B. 和为180°的两个角互为邻补角； C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等； D.两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直； 3、如图，直线a ∥b ， 直线c 分别与a 、b 相交，∠1=50°，则∠2的度数为（ ） A. 150°； B. 130°； C. 100°； D. 50°； 4、如图，直线AB ∥CD ，AF 交CD 于点E ，∠CEF=140°，则∠A 等于（ ） A. 35°； B. 40°； C. 45°； D. 50°； 5、在下列实例中， ①时针运转过程；②火箭升空过程；③地球自转过程；④飞机从起跑到离开地面的过程；不属于平移过程的有（ ） A. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个； 6、如图，能判断直线ABCD 的条件是（ ） A. ∠1=∠2； B. ∠3=∠4； C. ∠1+∠3=180°； D. ∠3+∠4=180°； 7、如图，P O ⊥OR ，O Q ⊥PR ，则点O 到PR 所在直线的距离是线段（ ）的长。 A. OQ ； B. RO ； C. PO ； D. PQ ； 8、如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数为（ ） A. 30°； B. 25°； C. 20°； D. 15°； 9、如图，已知AB ∥CD ，∠DFE=135°， 则∠ABE 的度数为（ ） A. 30°； B. 45°； C. 60°； D. 90°； A B C D E F a b c 1 2 (第1题) (第3题) (第4题) A B C D 1 3 2 4 1 2 第6题 第7题 第8题 A B C D E F 第9题
初中数学相交线与平行线难题汇编附答案 一、选择题 1．如图，将一张含有30o角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠的大小为（） ∠=o，则1 244 α- A．14o B．16o C．90α -o D．44o 【答案】A 【解析】 分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论． 详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°． 故选A． 点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 2．如图所示，有下列五种说法：①∠1和∠4是同位角；②∠3和∠5是内错角；③∠2和∠6旁内角；④∠5和∠2是同位角；⑤<1和∠3是同旁内角；其中正确的是（） A．①②③④B．①②③④C．①②③④⑤D．①②④⑤ 【答案】D 【解析】 如图，
①∠1和∠4是直线AC和直线BC被直线AB截得的同位角，所以①正确； ②∠3和∠5是直线BC和直线AB被直线AC截得的内错角，所以②正确； ③∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线CB截得的内错角，所以③错误； ④∠5和∠2是直线AC和直线BC被直线AB截得的同位角，所以④正确； ⑤∠1和∠3是直线BC和直线AB被直线AC截得的同旁内角，所以⑤正确. 故答案选D. 点睛： （1）准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清两角是由哪两条直线被哪条直线截得，这其中的关键是辨别出截线，在截线的两旁的是内错角，在截线的同旁的为同位角或同旁内角； （2）辨别截线方法：先找出两角的边所在直线，公共直线即是截线. 3．下列说法中，正确的是（） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．垂于同一条直线的两条直线平行 D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角一定相等 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质和判定，平行线公理及推论逐个判断即可． 【详解】 A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项不符合题意； D、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 此题考查平行线的性质和判定，平行线公理及推论，能熟记知识点的内容是解题的关键． ∥的条件有（）个． 4．如图，下列能判定AB CD
相交线与平行线知识概念 1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 5.同位角、内错角、同旁内角： 同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位 角。 内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。 6.命题：判断一件事情的语句叫命题。 7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图 形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 9.定理与性质 对顶角的性质：对顶角相等。 10垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 12.平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 13.平行线的判定： 判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角相等，两直线平行。 本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些 优美的图案. 重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用. 难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。
相交线与平行线专题总结 一、知识点填空 1. 两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， 具有这种关系的两个角，互为_____________. 2. 对顶角的性质可概括为： 3. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相 互_______. 4. 垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直 ⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中， 5. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 6. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中:⑴如 果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种 关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别 在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两 个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对 角叫做_______________. 7. 在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线 的位置关系只有________与_________两种. 8. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 9. 平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两 条直线平行.简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ________________________________________. 10. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 11. 平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： ⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：________________________________ . 12. 判断一件事情的语句，叫做_______.命题由________和_________两部分组成. 题设是已知事项，结论是______________________.命题常可以写成“如 果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是 ，“那么” 后接的部分是_________. 如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题 叫做___________.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题 叫做___________.定理都是真命题. 13. 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫 做平移变换，简称_______.图形平移的方向不一定是水平的. 14. 平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完 全___ ___.⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后 得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________. 二：典型题型训练 15. 如图，,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那 么点A 到BC 的距离是_____，点B 到AC 的距离是 _______，点A 、B 两点的距离是_____，点C 到AB 的距离是________． 16. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是 _________；若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________；若//a b ，
七年级数学平行线的判定及性质（相交线与平行 线）基础练习 试卷简介:全卷共5道题，分值100分，测试时间30分钟。主要考察了大家对平行线的判定以及性质的掌握情况 一、单选题(共5道，每道20分) 1.如图，∠1＝∠A，则下列结论一定成立的是（） A.AB//FD B.ED//AC C.∠B＝∠1 D.∠3＝∠1 答案：B 解题思路：解：由∠1＝∠A，根据同位角相等，两直线平行的DE∥AC故选B． 易错点：不能够准确的找准同位角，内错角与同旁内角。 试题难度：三颗星知识点：平行线的判定与性质 2.如图2，直线a与直线b互相平行，则的值是 ( ) A.30 B.20 C.50 D.60 答案：B 解题思路：解：由a∥b知x=30，因为3y+x=180，可得y=50，所以=20故选B 易错点：同学们不能够根据平行的到x，y的值 试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
3.如图3，直线l1//l2，则∠α=（） A.100° B.110° C.120° D.130° 答案：D 解题思路：解：由l1//l2得，∠1=180°-110°=70°,所以70°+60°=130°故选D． 易错点：找不对同旁内角去转移角度。 试题难度：三颗星知识点：平行线的性质 4.如图4，AB//CD，∠BAE=120°，∠DCE=30°，则∠AEC=（） A.90° B.150° C.75° D.60° 答案：A 解题思路：过E做EF∥AB，则∠BAE+∠AEF=180°，所以∠AEF=60°，EF∥CD，所以
∠FEC=∠C=30°，所以∠AEC=90° 易错点：同学不能够把这些条件通过做平行线集中 试题难度：四颗星知识点：平行线的判定与性质 5.如图5，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1＝∠3．下列正确的结论有（）个． ①DE//BF；②AB//CD；③∠1=∠2；④∠A=∠C. A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 解题思路：由∠1＝∠3得，DE∥BF，由∠2=∠ADF，∠1=∠ABC，∠ADF=∠ABC的， ∠1=∠2=∠3，所以AB∥CD，所以∠A+∠ADF=∠C+∠ABC，所以∠A=∠C 易错点：不能够利用角平分线怎么利用。 试题难度：四颗星知识点：平行线的判定与性质
相交线与平行线难题汇编附答案 一、选择题 1．如图，直线 a ∥b ∥c ，直角三角板的直角顶点落在直线 b 上，若∠1＝30°，则∠2 等于（ ） A ．40° B ．60° C ．50° D ．70° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两直线平行内错角相等得1324==∠∠，∠∠，再根据直角三角板的性质得341290+=+=?∠∠∠∠，即可求出∠2的度数． 【详解】 ∵a ∥b ∥c ∴1324==∠∠，∠∠ ∵直角三角板的直角顶点落在直线 b 上 ∴341290+=+=?∠∠∠∠ ∵∠1＝30° ∴290160=?-=?∠∠ 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了平行线和三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角板的性质是解题的关键． 2．如图，不能判断12//l l 的条件是（ ） A ．13∠=∠ B ．24180∠+∠=? C ．45∠=∠ D ．23∠∠= 【答案】D 【解析】
【分析】 根据题意，结合图形对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】 A 、∠1=∠3正确，内错角相等两直线平行； B 、∠2+∠4=180°正确，同旁内角互补两直线平行； C 、∠4=∠5正确，同位角相等两直线平行； D 、∠2=∠3错误，它们不是同位角、内错角、同旁内角，故不能推断两直线平行． 故选：D ． 【点睛】 此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义． 3．如图，直线a ∥b ，直线c 分别交a ，b 于点A ，C ，∠BAC 的平分线交直线b 于点D ，若∠1=50°，则∠2的度数是( ) A ．50° B ．70° C ．80° D ．110° 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD 是∠BAC 的平分线，进而可得∠BAC 的度数，再根据补角定义可得答案． 【详解】 因为a ∥b ， 所以∠1=∠BAD=50°， 因为AD 是∠BAC 的平分线， 所以∠BAC=2∠BAD=100°， 所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°. 故本题正确答案为C. 【点睛】 本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等． 4．如图，下列能判定AB ∥CD 的条件有几个（ ） （1）12∠=∠ （2）34∠=∠（3）5B ∠=∠ （4）180B BCD ∠+∠=?．
相交线与平行线（解析） 尹分勇 辛显顺 一、选择题 1、（2009年山东省枣庄市）如图，直线a ，b 被直线c 所 截，下列说法正确的是（ ） A ．当12∠=∠时，a b ∥ B ．当a b ∥时，12∠=∠ C ．当a b ∥时，1290∠+∠= D ．当a b ∥时，12180∠+∠= 【关键词】平行线的性质与判定、对顶角相等。 【解析】观察图形知∠1的对顶角与∠2是同旁内角，根据平行线的性质与判定、对顶角相等，可排除A 、B 、C 。 【答案】D 【点评】对于选择说法正确类的题目常采用排除法。 2、（2009福建省福州）已知∠1=30°，则∠1的余角度数是（ ） A ．160° B ．150° C ．70° D ．60° 【关键词】互余及余角的定义。 【解析】由余角的定义可直接求∠1的余角=90°-∠1=60° 【答案】D 【点评】求一个锐角的余角可直接根据互余的定义带入求解。 3、（2009江西省）如图，直线m n ∥，?∠1=55，?∠2=45，则∠3的度数为（ ） A ．80? B ．90? C ．100? D ．110? 【关键词】平行线的性质、三角形外角。 【解析】∵∠4是∠1和∠2的外角、?∠1=55，?∠2=45， ∴∠4=∠1+∠2=100°；∵m n ∥，∴∠3=∠4=100° 【答案】C 【点评】要观察出要求解的角与已知角之间的位置关系，进而应用平行线的性质求解。 4、（2009年重庆市）如图，直线AB CD 、相交于点E ，DF AB ∥．若100AEC ∠=°， 则D ∠等于（ ） A ．70° B ．80° C ．90° D ．100° c a b 2 1 3 m n 2 1 （第3题）
第二章《平行线与相交线》基础知识小结——答案 一、余角与补角： 1、定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。即，∠α的余角为：90°－∠α； 如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。即，∠β的补角为：180°－∠β； 2、性质： ⑴余角的性质：同角（或等角）的余角相等； 例如：已知∠AOB ＝∠COD ＝90°，则有∠AOC ＝∠BOD ，符号语言表示如下： 例如：已知∠NOE ＝∠NOD ＝90°，∠1＝∠2，则有∠3＝∠4，符号语言表示如下： ⑵补角的性质：同角（或等角）的补角相等。 例如：直线AB 与CD 相交于O 点，则有∠1＝∠2，符号语言表示如下： 如图：点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，∠1＝∠2，则有∠ACE ＝∠BDF ，符号语言表示如下： 3、对顶角： 1、定义：具有公共顶点，并且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角 2、性质：对顶角相等。如下图，直线AB 与CD 相交于O 点，则有∠1＝∠2，符号语言表示如下： A B C D O ∵∠AOC ＋∠BOC ＝90°，∠BOD ＋∠BOC ＝90° ∴∠AOC ＝∠BOD (同角的余角相等) ∵∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°，且∠1＝∠2 ∴∠3＝∠4 (等角的余角相等) ∵∠1＋∠AOD ＝180°，∠2＋∠AOD ＝180° ∴∠1＝∠2 (同角的补角相等) ∵∠ACE ＋∠1＝180°，∠BDF ＋∠2＝180°，且∠1＝∠2 ∴∠ACE ＝∠BDF (等角的补角相等) 即“对顶角相等” A B C D O 1 2 A B E F D 1 2 A B C D O 1 2 ∵∠1与∠2是对顶角 ∴∠1＝∠2 (对顶角相等)
初中数学相交线与平行线难题汇编 一、选择题 1．如图所示，b∥c，a⊥b，∠1=130°，则∠2=（）． A．30°B．40°C．50°D．60° 【答案】B 【解析】 【分析】 证明∠3=90°，利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题． 【详解】 如图，反向延长射线a交c于点M， ∵b∥c，a⊥b， ∴a⊥c， ∴∠3=90°， ∵∠1=90°+∠4， ∴130°=90°+∠4， ∴∠4=40°， ∴∠2=∠4=40°， 故选B． 【点睛】 本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 2．下列说法中，正确的是（） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．垂于同一条直线的两条直线平行 D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角一定相等
【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质和判定，平行线公理及推论逐个判断即可． 【详解】 A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项不符合题意； D、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 此题考查平行线的性质和判定，平行线公理及推论，能熟记知识点的内容是解题的关键． 3．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为 A．80°B．50°C．30°D．20° 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠ 1=50°-30°=20°．故答案选D． 考点：平行线的性质;三角形的外角的性质． 4．如图所示，∠AOB的两边．OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（）
第五章《相交线与平行线》知识点 1.相交线 同一平面中，两条直线的位置有两种情况： 相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：∠1，∠2，∠3，∠4；邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角； 对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O，并且∠1的两边分别是∠3两边 的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角； ∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。 所以，对顶角相等 垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。垂线相关的基本性质： （1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。 平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。 3.同一个平面中的三条直线关系： 三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。 （1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决； （2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系： *同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角； *内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角； *同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角； 两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系： 两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等； 两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等 两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。 平行线判定定理：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行 平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行 平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行 （3）有三个交点 （4）没有交点： 第六章《平面直角坐标系》知识点 一、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。 1、记作（a ，b）； 2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。 二、平面直角坐标系 1、、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点： 平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。2、各象限的角平分线上的点的坐标特点： 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。3、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点： 关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数 4、特殊位置点的特殊坐标： 5、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下： ?建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； ?根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； 6