必修五解三角形复习课件

(4)给出答案． 应用性ห้องสมุดไป่ตู้题在解题中往往会遇到一些非整数值(如带有 根号的数，不可约分的分数，小数等)，一般在运算过程中 不要急于查表或取值，而应保留其原来的形式，直到最后 才进行一次近似计算．这样不仅使保留的结果准确程度 高，而且有时运算也会简便些．
2．某人在平地上散步，已知正西方向有两根相距为6 m的标杆，当他向正北方向步行1 min后，看到一根标杆在 其西南方向，一根标杆在其南偏西30° 方向，求此人步行的 速度．(结果保留一位小数)
测量的精确度越高．
思考感悟
1．应用解三角形的知识解实际问题的步骤
提示：在应用解三角形的知识解决实际问题时，要分 析和研究问题中涉及的三角形，要明确它的哪些元素是已 知的，哪些元素是未知的，应该选用正弦定理还是余弦定 理进行求解． 应用解三角形的知识解实际问题的解题步骤是：
(1)根据题意作出示意图； (2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的 已知元素和未知元素； (3)选用正弦定理或余弦定理(有时需正、余弦定理并用) 进行求解，并注意运算的正确性；
类型二 [例2]
测量两个不可到达的点之间的距离 在一次反恐作战战前准备中，为了弄清基地组
3 织两个训练营地A和B之间的距离，盟军在两个相距为 a 2 的观测点C和D处，测得∠ADB＝30° ，∠BDC＝30° ，∠ DCA＝60° ，∠ACB＝45° ，如图所示．求基地组织的这两 个训练营地之间的距离．
变式训练1 在题设条件不变的情况下，求水田的宽 度．
解：过B作BD⊥AC，在Rt△BDA及Rt△BDC中 BD BD AD＝tan30° ，CD＝tan45° . BD BD 又AC＝AD＋CD＝tan30° ＋tan45° ＝8， 8 ∴BD＝ ＝4( 3－1) (m)． 3＋1 即水田的宽度为4( 3－1)米．

[分析] 根据 x 的范围，比较 x2＋x＋1，x2－1 及 2x＋1 的 大小，确定出最大边，再利用余弦定理计算．
[解析] ∵x>1，∴(x2＋x＋1)－(x2－1)＝x＋2>0， (x2＋x＋1)－(2x＋1)＝x2－x＝x(x－1)>0. ∴x2＋x＋1 是三角形中的最大边． 该边所对的角是最大角，设此最大角为 A， 则 cosA＝x2－12＋2x22－x＋1122x－＋x12＋x＋12＝－12， ∵0°<A<180°， ∴A＝120°， 即三角形的最大角为 120°.
解法二：已知等式可化为 b2－b2cos2C＋c2－c2·cos2B＝2bccosBcosC， 由余弦定理可得 b2＋c2－b2·a2＋2ba2b－c22－c2(a2＋2ca2c－b2)2 ＝2bc·a2＋2ba2b－c2·a2＋2ca2c－b2 ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC 为直角三角形．
解法三：已知等式变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC， ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB·cosC， ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC 为直角三角形．
sin A
3
y 4sin x 4sin( 2 x) 2 3 3
4 3 sin(x ) 2 3， 6
A ,0 B x 2 .
3
3
故 x ( , 5),sin(x ) (1 ,1］,
6 66
62
∴y的取值范围为 (4 3,6 3］.
正、余弦定理的综合应用 【名师指津】正、余弦定理的综合应用
正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解 三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实 际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系 式的运用：

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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2

正弦定理
由A+B+C=180˚,求出另一角，再 用正弦定理求出两边。
两边和夹角 (SAS)
三边(SSS)
用余弦定理求第三边，再用余弦
余弦定理 定理求出一角，再由
A+B+C=180˚得出第三角。
余弦定理
用余弦定理求出两角，再由 A+B+C=180˚得出第三角。
两边和其中一 边的对角(SSA)
正弦定理
用正弦定理求出另一对角,再由 A+B+C=180˚，得出第三角,然 后用正弦定理求出第三边。
2.大角对大边，小角对小边 。
余弦定理的作用
（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角； （3）判断三角形的形状。
。
三角形的面积公式
SABC
1 2
absin C
1 2
bcsin A
1 2
ac sin
B
斜三角形的解法
已知条件 定理选用
一般解法
一边和两角 (ASA或AAS)
一、实际应用问题
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员 先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利 用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC。
B
C
A
二、转化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A 求：a（即BC）.
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西