2018学年高中数学必修五课件：第1章 解三角形 1-3-2 精品

数学 必修5
第一章 解三角形
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第一章 解三角形
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【错因】 本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD， 产生了增解，应用正弦定理来求解．
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测量角度问题
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1．如图，货轮在海上以50海里/ 时的速度沿方位角(从指北方向顺时针 转到目标方向线的水平角)为155°的方 向航行．为了确定船的位置，在B点处 观测到灯塔A的方位角为125°.半小时后， 货轮到达C处，观测到灯塔A的方位角 为80°.求此时货轮与灯塔之间的距离． (得数保留最简根号)
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第一章 解三角形
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(3)方位角和方向角 从正_北____方向顺_时__针____转到目标方向线所成的角叫方位角 _______.如图2，目标A的方位角为135°. 从指_定____方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫 __方__向__角__，如图3，北偏东30°，南偏东45°.

【例 2】 已知△ABC 的三边长分别为 a=2 3, ������ = 2 2, ������ = 6 + 2, 求△ABC 的各角度数.
分析利用余弦定理的推论求出两个角,利用三角形的内角和定理
求出第三个角.
解由余弦定理的推论,
得 cos A=
������2+������2-������2 2������������
= (2
2)2+( 6+ 2×2 2×(
2)2-(2 6+ 2)
3)2 =
12,
cos
B=
������2+������2-������2 2������������
=
(2
3)2+( 6+ 2×2 3×(
2)2-(2 6+ 2)
2)2 =
22.
∵A,B∈(0,π),∴A=60°,B=45°.
∴C=180°-A-B=180°-60°-45°=75°.
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典例透析
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
【做一做1】 在△ABC中,a=4,b=4,C=30°,则c2等于 ( ).
A.32-16 3 B. 32 + 16 3
C.16
D.48
答案:A
【做一做2】 在△ABC中,a=2,b=5,c=6,则cos B等于( ).
A.
5 8
B.
65 24
3 + 1 , 解此
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Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
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典例透析
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

������2 +������2
于是 cos C=
������2 +������2 -������2 2������������
< 0,
故角C是钝角,△ABC是钝角三角形. 答案:D
知识建构 专题一 专题二 专题三
综合应用
真题放送
应用2在△ABC中,角A,B均为锐角,且cos A>sin B,则△ABC的形状 是( ). A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 提示:借助于正弦定理转化为讨论A+B的范围.
1+cos2������ 2cos2 ������ 解由已知 = 1+cos2������ 2cos2 ������
=
cos2 ������ cos2 ������
=
������cos������ cos������ ,得 ������cos������ cos������
= .
������ ������
知识建构 专题一 专题二 专题三
综合应用
真题放送
应用 3
������cos������ 1+cos2������ 在△ABC 中,若 = , 试判断△ABC 的形状. ������cos������ 1+cos2������
提示:将二倍角化为单角后,有两个思路:一是完全转化为角的关 系,二是完全转化为边的关系,然后根据角或边的关系来判断三角 形的形状.
解析:∵cos A=si n 又 A,B
π ∴ − ������ > ������ . 2 π
π
π π -������ , ∴ sin -������ 2 2 π 均为锐角,∴ − ������为锐角, 2

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[ 思 路 点 拨 ] 已知cosB＋C ―→ A 利―用 定―正 理→弦 求B ―→ 求C ―→ h＝bsin C
解析： 由 1＋2cos(B＋C)＝0 和 B＋C＝π－A，
得
1－2cos
A＝0，所以
cos
A＝12，所以
sin
A＝
3 2.
再由正弦定理，得
sin
B＝bsian
A＝
2 2.
由 b<a 知 B<A，所以 B 不是最大角，B<π2，
解析： 由 S△ABC＝3 3＝12BC·CA·sin C＝12×3×4sin C 得
sin C＝ 23，又 C 为锐角．故 C＝60°. 答案： B
3．在△ABC 中，bc＝20，S△ABC＝5 3，△ABC 的外接圆
半径为 3，则 a＝________.
解析： ∵S△ABC＝12bcsin A＝5 3，bc＝20，
2．平行四边形 ABCD 中，AB＝4 6，AC＝4 3，∠BAC＝
45°，则 AD＝________.
解析： BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos 45°
＝(4
3)2＋(4
6)2－2×4
3×4
6×
2 2
＝48.
∴AD＝BC＝4 3.
答案： 4 3
三角形中的综合问题
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 设 S 为△ABC 的面积，满足 S＝ 43(a2＋b2－c2)．
(1)求角 C 的大小； (2)求 sin A＋sin B 的最大值．
[思路点拨]
[规范解答] (1)由题意可知12absin C＝ 43×2abcos C．2分

已知三边解三角形
在△ABC 中，已知 a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和 sin C. 【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角？ (2)求 sin C 能否应用余弦定理？
【自主解答】 ∵a>c>b，∴A 为最大角， 由余弦定理的推论，得：
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×532×－572＝－12，
∴A＝120°，∴sin
A＝sin
120°＝
3 2.
由正弦定理sina A＝sinc C，得：
sin
C＝csian
A＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sin C＝5143.
1．本题已知的是三条边，根据大边对大角，找到最大角是解题的关键． 2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或 余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．
2．在△ABC 中，已知 a＝4，b＝6，C＝120°，则边 c＝
.
【解析】 根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120° ＝76，c＝2 19.
【答案】 2 19
教材整理 2 余弦定理的变形
阅读教材 P6 上头“思考”～P7，完成下列问题．
1．余弦定理的变形 b2＋c2－a2
探究 2 在△ABC 中，若 c2＝a2＋b2，则 C＝π2成立吗？反之若 C＝π2，则 c2 ＝a2＋b2 成立吗？为什么？
【提示】 因为 c2＝a2＋b2，所以 a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形 cos C ＝a2＋2ba2b－c2＝0，即 cos C＝0，所以 C＝π2，反之若 C＝π2，则 cos C＝0，即a2＋2ba2b－c2 ＝0，所以 a2＋b2－c2＝0，即 c2＝a2＋b2.

【提示】 A＝π－(B＋C)，sin A＝sin[π－(B＋C)] ＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C.
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A＝π4，bsinπ4＋C －csinπ4＋B＝a.
(1)求证：B－C＝π2； (2)若 a＝ 2，求△ABC 的面积．
【提示】 在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线 段 AD 是△ADC 与△ABD 的公共边，∠B 既是△ABC 的内角，又是△ABD 的内 角．
探究 2 在探究 1 中，若 sin B＝sin ∠ADB，则△ABD 是什么形状的三角形？ 在此条件下若已知 AB＝m，DC＝n，如何求出 AC?
Bcos
A＝sinsiAn－CB.
法二：sinsiAn－CB＝sin
Acos
B－cos sin C
Asin
B
＝a·a2＋2ca2c－b2－c b2＋2cb2c－a2·b
＝2a22－c2 b2
＝a2－c2 b2.
1．三角恒等式证明的三个基本原则 (1)统一边角关系． (2)由繁推简． (3)目标明确，等价转化． 2．三角恒等式证明的基本途径 (1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形． (2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数 公式进行恒等变形．
Asin Asin
B－sin C－sin
Bcos Ccos
A A
＝ssiinn
Acos Acos
CB＝ccooss
CB＝左边．
∴原等式成立．
[探究共研型] 三角形中的综合问题 探究 1 如图 1-2-30 所示，图中共有几个三角形？线段 AD 分别是哪些三角 形的边，∠B 是哪些三角形的内角？

探究1：如图，设
那么向量c的平方是
AB c，AC b，BC a，
什么？表示为对应的边可以得到什么式子？
提示：c=b-a，|c|2=(b-a)·(b-a)=b·b+a·a-2a·b =a2+b2-2abcosC，所以c2=a2+b2-2abcosC.
探究2：利用探究1的结论思考下面的问题： (1)已知三角形的三边a，b，c，如何表示cosC.
注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角
的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的 单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形 中边与角的一种数量关系.
2 a b c 等价于
sin A sin B sin C a b , b c ，a c . sin A sin B sin B sin C sin A sin C
180°-（40°+ 64°）= 76°，
c
=
asinC sinA
=
20sin76° sin40°
30（cm）.
注意精确度
（2）当B 时，C=180 （A+B）
180 （40 116）=24，
c=
a sin C sin A
=
20sin 24 sin 40
1（3 cm）.
【变式练习】
在△ABC中，b= 3 ，B=60°，c=1，则此三角形有
其他推导方法
（1）因为涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究 此问题.
提示:
作单位向量j⊥AC，j与AB夹角为锐角. j
由向量的加法可得AB = AC + CB， a
C b
则j·AB = j·（AC + CB），
B

[小组合作型] 已知两角及一边解三角形
(1)在△ABC 中，c＝ 3，∠A＝75°，∠B＝60°，则 b 等于( )
32 A. 2
32 B. 4
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，∠A＝60°，∠B＝45°，则 8082000】
【精彩点拨】 (1)可先由角 A、B 求出角 C，然后利用正弦定理求 b； (2)直接利用正弦定理求解.
阶
阶
段
段
一
三
1.1 正弦定理和余弦定理
学
阶 段 二
1.1.1 正弦定理
业 分 层 测
评
1.掌握正弦定理及基本应用.(重点) 2.会判断三角形的形状.(难点) 3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 正弦定理 阅读教材 P3～P4 例 1 以上内容，完成下列问题.
【自主解答】 法一：根据正弦定理，得sina A＝sinb B＝sinc C， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2， ∴∠A 是直角，∠B＋∠C＝90°， ∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin
B＝
2 2.
∵0°<∠B<90°，∴∠B＝45°，∠C＝45°，
【解析】
∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得siAnBC＝sAinCB，即sin
6 60°
＝sinAC45°，解得 AC＝2.
【答案】 2
已XX知X 两边及一边的对角解三角形
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知∠A＝ 60°，a＝4 3，b＝4 2，则∠B＝________.

∠DAC＝60°－30°＝30°.
∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，
∴AC＝AB＝40，∠ADC＝120°，∠ACD＝30°，
在△ACD 中，由正弦定理，得
CD＝ssiinn∠∠CADADC·AC＝ssiinn13200°°·40＝403
3 .
4．河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5 m，迎水坡的坡比是 3∶3，则斜坡的坡角 α 等于________，斜坡 AB 的长度是 ________．
• 1．如图，在平地上有一点A，
测得一塔尖C的仰角为45°，
向前行进a m到B处，又测得
塔尖C的仰角为60°，则塔高
是A_．_3_＋_2_2_a__ m(
)B．3＋2
3 a
C．(3＋ 2)a
D．(3＋ 3)a
• [答案] B
[解析] 由题意，知∠CAB＝45°，∠CBO＝60°，
∴∠COB＝90°，∴∠ABC＝120°，∠ACB＝15°，AB＝a，
在△ABD 中，∠BAD＝α， BD＝ABsin∠BAD＝BsCincoαs－βsiβnα. ∴将测量数据代入上式，得 BD＝3s0icno6s405°－°si4n56°0°≈71(m)． CD＝BD－BC≈71－30＝41(m)． 答：山的高度约为 41 m.
课堂典例讲练
• 正、余弦定理在高度测量上的应
≈13(m)． 3
答：旗杆的高大约为 13 m.
• (2015·湖北理，13)如图，一辆汽车在一条水 平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路 北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶 600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75° 的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ ________m.
[答案] 100 6

【做一做 1】 在△ABC 中,A=30°,B=45°,a = 2, 则������ = .
答案:2
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D典例透析
IANLITOUXI
2.余弦定理 (1)定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C .
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D典例透析
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1.高度问题 剖析在测量底部不可到达的建筑物的高度问题时,由于底部不可 到达,因此这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用 正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点 之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题. 归纳总结在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦 定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两 个方向角和仰角)和一边,如图.
在 △ABC 中 ,由于 ∠ABC=பைடு நூலகம்0°, = tan θ.
sin������tan������
∴AB=BC· tan θ= · s. sin(������+������)
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������������ ������ ∴ = , sin������ sin[180 ° -(������ + ������)] ������������ ������ 即 = . sin������ sin(������ + ������)

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a
＝1，c＝4 2，B＝45°，则sin C等于( )
A．441
B．45
C．245
D．4
41 41
解析： 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8 2× 22＝25，∴b＝5. ∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－35， sin C＝ 1－cos2C＝45. 答案： B
即a2＝ __b_2＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s_A__ ， b2＝ __a_2＋__c_2_－__2_a_c_c_o_s_B__ ， c2＝ __a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_s_C__.
公式推论
b2＋c2－a2 cos A＝______2_b_c_________，
6分
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
8分
∴a＝b或a2＋b2＝c2，
10分
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
12分
利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意 事项
(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化 为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而 判断三角形的形状．
答案： A
3．在△ABC中，若b＝1，c＝
3
，C＝
2π 3
，则a＝
________.
解析： ∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴( 3)2＝a2＋12－2a×1×cos 23π，
∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1.
答案： 1
4．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b， c，若b＝3，c＝3 3，B＝30°，求边长a.

解析： 在△ABC 中，
由正弦定理得 sin B＝bsin A＝ a
6×
2 2 ＝1，因为
b＜a，
23 2
所以 B＜A，所以 B＝30°，
C＝180°－A－B＝105°，sin C＝sin 105°＝
sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝
6＋ 2 4.
4
4
因此 S＝12acsinB＝12×1×2×
15＝ 4
415.
已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角 A, B,C的对边
a cosC 3a sin C b c 0
（1）求 A
（2）若a 2，ABC 的面积为 3 求 b,c
解 （1）由 a cosC 3a sin C b c 0 及正弦定理得 sin AcosC 3 sin Asin C sin B sin C 0
解三角形
知识梳理
1．正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R
为△ABC外接圆半径，则
定 理
正弦定理
余弦定理
内 容
a sin
b
c
A＝_s_i_n_B__＝_s_in__C_＝2R
a2＝_b_2_＋__c_2_－__2_b_c_co_s__A_；
b2＝_c_2_＋__a_2－__2_c_a_c_o_s_B__； c2＝_a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_s__C_
则2c－a＝2k sin C－k sin A ＝2sin C－sin A ，
b
ksinB
sinB
所以cos A －2cos C＝2sinC－sin A .
cosB

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第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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由sina A＝sinc C得，
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
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第一章 解三角形
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当B＝60°时，C＝90°， c＝ a2＋b2＝4 3； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2 3. 所以B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
8分 10分
12分
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第一章 解三角形
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第一章 解三角形
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解析： 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦 的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正 确．
答案： B
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第一章 解三角形
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合作探究 课堂互(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a； (2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1. ∵30°<C<150°，∴C＝90°， 从而A＝180°－(B＋C)＝60°， a＝ c2－b2＝4 3.