- - 摘 要
在复变函数的理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算理论中处于关键地位,柯西积分公式、柯西积分定理及其推论、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.本文首先阐述复积分的相关概念，在此基础上介绍复积分的几种基本求法，如：用参数方程法、牛顿—莱布尼兹公式、柯西积分定理、柯西积分公式、复周线柯西积分定理、解析函数的高阶导数公式、留数定理.针对每一种计算方法给出相应的例子.对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.
关键词：复积分；解析函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理 - I - ABSTRACT
In complex function theory, complex integration is an important tool of analytic
function.Analytic function of many important properties are using the complex function
integral to prove.Cauchy integral theorem in the calculation of complex integration theory
in a key position,Cauchy integral formulas, Cauchy integral theorem and its corollary,
Cauchy higher derivatives formula and residue theorem of integral to the complex
calculation has played a significant role. This paper first describes the complex
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《复变函数与积分变换》习题册
合肥工业大学
《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助
2018年9月
《复变函数与积分变换》第一章习题
1. 求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值: --
-- （1）122345iiii； （2）3132i.
2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:
（1）13i； （2）21ii.
3. 利用复数的三角表示计算下列各式:
（1）422i； （2）1031313ii
4. 解方程310z.
5. 设12coszz（0,z是z的辐角），求证：2cosnnzzn.
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6.指出满足下列各式的点z的轨迹或所在范围.
（1）arg()4zi；
（2）0zzazazb，其中a为复数，b为实常数. （选做）
7.用复参数方程表示曲线：连接1i与i41的直线段.
8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向. --
-- (1) 11,Re2zz；(2) 0Re1z；
9.函数zw1把下列z平面上的曲线映射成w平面上怎么样的曲线？
（1）224xy； （2）xy； （3）1x.
10.试证：0Relimzzz不存在.
《复变函数与积分变换》第二章习题
1.用导数定义求zzfRe)(的导数.
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2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？
（1）zzf1)(； （2））32233(3)(yyxixyxzf；
3.试讨论yixxyzf22)(的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(yxivyxuzf中的),(yxu和),(yxv均可微，那么ivuzf)(一定可导吗？
教 案课程
名称 复变函数与积分变换 课程编号 总计
学时：
讲课
学时：
实验
学时：
上机
学时： 学 分 2
类别 必修课（ ） 选修课（ ） 理论课（ ） 实验课（ ）
任课
教师 刘光辉 职称 讲师
授课
对象 专业班级： 共 个班
基本
教材
和主
要参
考资
料 序号 教材名称 作者 出版社 出版时间
1 复变函数与积分变换 华中科技大学数学系 高等教育出版社 2003，6
2 复变函数 西安交大数学系 高等教育出版社 2003，6
3 积分变换 祝同江 高等教育出版社 2002，8
教学
目的
要求 通过本课程的学习，使学生掌握处理电子信息问题的一些基本数学方法，为进一步学习数字信号处理等后续课程提供必要的数学基础。要求学生熟悉复变函数(特别是解析函数)的一些基本概念；掌握傅立叶变换、函数和拉普拉斯变换的概念及性质，能运用拉普拉斯变换方法求解积分、微分方程。
教学
重点
难点 解析函数的概念和性质，柯西积分定理与公式的运用；傅立叶变换、函数和拉普拉斯变换的概念及性质；运用拉普拉斯变换方法求解积分、微分方程。 复变函数与积分变换 课程教案
授课时间 第 周 周 第 节 课次 1
授课方式
（请打√） 理论课□√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□ 课时
安排 2
授课题目（教学章、节或主题）：§1.1复数
§1.2复数的三角表示
§1.3平面点集的一般概念
教学目的、要求：1. 掌握复数的概念及其运算,复数的四种表示法,三角不等式；
2. 了解区域及单连通域的概念,会求复平面上的曲线方程；
教学重点及难点：重点——复数的四种表示法
难点——复平面上的曲线方程
《复变函数与积分变换》(李江涛著)课后答案下载
《复变函数与积分变换》(李江涛著)内容介绍
第1章 复数与复变函数
1.1 复数
1.1.1 复数域
1.1.2 复平面、复数的模与辐角
1.1.3 复数的乘幂与方根
1.1.4 共轭复数
1.1.5 无穷远点与扩充复平面
1.2 复平面点集
1.1 1平面点集
1.2.2 区域
1.2.3 Jordan曲线
1.2.4 单连通区域与多连通区域
1.3 复变函数的极限与连续
1.3.1 复变函数的概念
1.3.2 复变函数的极限 1.3.3 复变函数的连续性
习题1
第2章 解析函数
2.1 解析函数的概念
2.1.1 复变函数的导数与微分
2.1.2 解析函数
2.2 C.-R.条件
2.3 初等函数
2.3.1 指数函数
2.3.2 对数函数
2.3.3 幂函数
2.3.4 三角函数与双曲函数
2.3.5 反三角函数与反双曲函数
习题2
第3章 复变函数的积分
3.1 复变函数的积分
3.1.1 复变函数积分的`定义
3.1.2 积分的存在性与计算
3.1.3 复积分的基本性质 3.2 Cauchy积分定理
3.2.1 单连通区域上的Cauchy积分定理
3.2.2 多连通区域上的Cauchy积分定理
3.3 Cauchy积分公式及其应用
3.3.1 Cauchy积分公式
3.3.2 解析函数的无穷可微性
3.3.3 Cauchy不等式与Liouville定理
3.3.4 Morera定理
3.4 解析函数与调和函数的关系
习题3
第4章 解析函数的级数展开及其应用
4.1 复级数的概念及基本性质
