利用函数图象解决问题

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一次函数解决问题专项练习

1．甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：

（1） （填“甲”或“乙”）先到达终点；甲的速度是 米/分钟；

（2）求：甲与乙相遇时，他们离A地多少米？

2．为营造书香家庭，周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书，走了6min发现忘带借书证，小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证，姐姐以原来的速度继续向前走，小亮取回借书证后骑单车原路原速前往图书馆，小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆．已知骑车的速度是步行速度的2倍，如图是小亮和姐姐距离家的路程y（m）与出发的时间x（min）的函数图象，根据图象解答下列问题：

（1）小亮在家停留了多长时间？

（2）求小亮骑车从家出发去图书馆时距家的路程y（m）与出发时间x（min）之间的函数解析式．

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3．已知：甲乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是甲乙两车离A地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）求甲车离A地的距离y甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）若它们出发第5小时，离各自出发地的距离相等，求乙车离A地的距离y乙（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．

4．有A、B两个港口，水由A流向B，水流的速度是4千米/小时，甲、乙两船同时由A顺流驶向B，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/小时，乙在静水中的速度是20千米/小时．

设甲行驶的时间为t小时，甲船距B港口的距离为S1千米，乙船距B港口的距离为S2千米，如图为S1（千米）和t（小时）函数关系的部分图象．

（1）A、B两港口距离是 千米．

4.5 一次函数的应用

第1课时 利用一次比例函数解决实际问题

要点感知1 函数图象由两个一次函数拼接在一起，我们要按照图象实行分段处理，每段看

它适合哪种函数模型.

预习练习1-1 如图所示中的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y(元)与通话

时间t(分钟)之间的函数关系，则通话8分钟应付电话费__________元.

要点感知2 同一坐标系中若有多条直线，我们要对每条直线进行处理，重在找出这些函数

的交点坐标和每个图形的起始坐标(交点的求法一般将两个函数的表达式联立在一起，组成

方程组，方程组的解便是交点坐标).

预习练习2-1 在同一平面直角坐标系中，若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M，

则点M的坐标为( )

A.(-1，4) B.(-1，2) C.(2，-1) D.(2，1)

2-2 如图，l1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销

量的关系，当该公司赢利(收入＞成本)时，销售量必须__________.

知识点1 利用一次函数解决分段计费问题

1.如图是某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象，那么从图象中可看出，

复印超过100面的部分，每面收费( )

A.0.4元 B.0.45元 C.约0.47元 D.0.5元

2.某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；

如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知甲用户某月份用煤气80立方米，那

么这个月甲用户应交煤气费__________元.

3.为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水

量不超过20吨时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨2元

计费，超过部分按每吨2.8元计费.设每户家庭月用水量为x吨时，应交水费y元.

(1)分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数表达式；

(2)小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，问小颖家五月份比四月份节约用水

4.5 一次函数的应用

灵师不挂怀,冒涉道转延。——韩愈《送灵师》

汪村学校 钱少华

第1课时 利用一次函数解决实际问题

【知识与技能】

1.进一步训练学生的识图能力.

2.能利用函数图象解决简单的实际问题.

【过程与方法】

1.通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识.

2.通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力.

【情感态度】

通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题.

【教学重点】

一次函数图象的应用.

【教学难点】

利用一次函数的知识解决实际问题

一、创设情境，导入新课

我们前面学习了有关函数的知识，相继我们又学习了一次函数的知识，那么你能举出生活中一次函数的例子吗？

【教学说明】让学生能够学以致用，采用设问的方式使他们很快融入到学习中去，从而顺其自然地过渡到新内容.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

问题 一次函数的实际应用

思考 教材第133页“动脑筋” 【教学说明】通过在实际问题中，自变量的取值范围不同，函数的解析式也就不同，经历分段函数的运用，培养了学生分类讨论的思想.

例：教材第134页“例1”

【教学说明】让学生明确在实际问题中，两个一次函数图象都要附带自变量的取值范围，同时能够利用它们的图象分析解决问题.

三、运用新知，深化理解

1.如图，l1反映某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时的销售量（ ）

A.小于4件 B.大于4件 C.等于4件 D.大于或等于4件

2.甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y(米)与长跑时间x(分)之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：

一次函数实际应用（解析版）

1．已知A、B两地之间有一条长270千米的公路．甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．

（1）乙车的速度为 千米/时，a= ，b=

（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．

（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．

2．（8.00分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．

（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．

（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．

（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是 立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为 分钟．

3．（8分）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件），甲车间加工的时间为x(时），y与x之间的函数图象如图所示．

（1）甲车间每小时加工服装的件数为 件；这批服装的总件数为 件．

（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装的数量y与x之间的函数关系式．

（3）求甲、乙两车间共同加工完1 000件服装时甲车间所用的时间．

4.实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都是10cm的圆柱形容器（甲、丙的底面积相同），用两个相同的管子在容器的6cm高度处连通（即管子底离容器底6cm，管子的体积忽略不计），、现在三个容器中，只有甲中有水，水位高2cm，如图①所示，若每分钟同时向乙、丙中注入相同量的水，到三个容器都注满水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）与注水时间t（min）的图象如图②所示．