正态分布习题

概率分布练习题均匀和正态分布

概率分布练习题：均匀和正态分布

一、均匀分布练习题

题目1：

某餐厅接待的顾客用餐时间服从一个均匀分布，其中午时段的用餐时间在12分钟至30分钟之间。现假设该时间段内顾客用餐时间的概率密度函数为f(x)，请计算以下几种情况的概率：

1）顾客用餐时间不超过20分钟的概率。

2）顾客用餐时间超过25分钟的概率。

3）顾客用餐时间在15分钟至25分钟之间的概率。

解答：

1）顾客用餐时间不超过20分钟的概率。

设顾客用餐时间为X，X的取值范围为12至30分钟。

由于均匀分布的概率密度函数为恒定值，即f(x) = 1 / (b - a)，其中a为最小值，b为最大值。

所以，计算概率为积分求解，即P(X ≤ 20) = ∫[12, 20] f(x) dx。

计算得，P(X ≤ 20) = (20 - 12) / (30 - 12) = 8 / 18 ≈ 0.444。

2）顾客用餐时间超过25分钟的概率。 计算概率为P(X > 25) = ∫[25, 30] f(x) dx。

计算得，P(X > 25) = (30 - 25) / (30 - 12) = 5 / 18 ≈ 0.278。

3）顾客用餐时间在15分钟至25分钟之间的概率。

计算概率为P(15 ≤ X ≤ 25) = ∫[15, 25] f(x) dx。

计算得，P(15 ≤ X ≤ 25) = (25 - 15) / (30 - 12) = 10 / 18 ≈ 0.556。

题目2：

某电商平台上某商品的价格服从一个均匀分布，价格区间为200元至500元。现假设该商品价格的概率密度函数为f(x)，求以下几种情况的概率：

1）该商品的价格大于300元的概率。

2）该商品的价格在250元至400元间的概率。

解答：

1）该商品的价格大于300元的概率。

设商品价格为X，X的取值范围为200至500元。

由于均匀分布的概率密度函数为恒定值，即f(x) = 1 / (b - a)，其中a为最小值，b为最大值。

1. 若龙〜MO, 1),求(1)F(-2・32J<1・2)： (2)P(;r>2). 解:(1)尸(-2・ 32

2)二①(1・ 2)-①(-2・ 32)

=0(1. 2)-[1-①(2・ 32)1=0. 8849-(1-0. 9898)=0. 8747.

(2) P(x>2)=l-P(jr<2) =1-O (2) =1-0. 9772=0. 0228. •

2利用标准正态分布表，求标准正态总体

(1) 在 N(l,4)下，求 F(3) •

(2) 在 N ( u , o ')下，求 F ( 11 — o , u + o )；

3 — 1

解：(1 ) F(3) = e(—)= (1) =0. 8413

2

(2 ) F ( u + 0 ) =e(" + b_〃)=(p (1) =0. 8413

b

F ( u-0 ) =©("_b_“)= e (-1) = 1 一①(1) = 1 -0. 8413=0. 1587

b

F ( M-0 , U + o ) = F ( u 4- o ) - F ( n - 0 ) =o. 8413-0. 1587 = 0. 6826

3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为亠，求总体落入区 V2/r

间(-1.2, 0.2)之间的概率•[①(0.2) =0. 5793,①(1.2) =0. 8848]

解：正态分布的概率密度函数是于(朗=「^幺它是偶函数，

说明M=0,广(X)的最大值为所以。=1,这个正态分布就是标准正态分 J2/TCT

布•

P(-1.2

一 1

=0.5793 + 0.8848 一 1= 0.4642 • 4.某县农民年平均收入服从“二500元，o■二200元的正态分布•(1)求此县农民年平均收入 在500-520元间人数的百分比；(2)如果要使此县农民年平均收入在(“―d,“ + d)的 概率不少于 0.95,则 a 至少有多大？ [O (0.1) =0.5398, 0>

1 参考数据：若ξ～N（μ，σ2），P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．）

1.某省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（170.5，16）．现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5），第二组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5），图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；

（2）求这50名男生身高在177.5cm以上（177.5cm）的人数；

（3）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

2．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．

（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．

①利用该正态分布，求P（81＜z＜119）；

②记X表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX（用样本的分布区估计总体的分布）．附：≈19，≈18，

3.在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：

1求抽取的样本平均数x和样本方差2s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

2已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布2,（其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附：16112.7，若2,z，则0.6826z，220.9544z）

高考数学正态分布练习题

1. 正态分布的概念和性质

- 正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线。请解释正态分布的三个主要性质，并给出相应的数学表达式。

- 正态分布的均值、方差和标准差之间有何关系？请用数学公式表达这种关系。

2. 正态分布的标准化

- 给定一个正态分布的随机变量X，其均值为μ，标准差为σ，求X的标准化形式Z，并说明Z的均值和标准差。

- 如果一个随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，求其标准化后Z的分布，并解释Z的分布特性。

3. 正态分布的概率计算

- 已知随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 < X < 1)的值。

- 对于一个正态分布N(μ, σ^2)，如果已知P(X < a) = 0.75，求P(X > a)的值。

4. 正态分布的应用

- 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 2^2)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。

- 某学校学生的数学成绩服从正态分布N(70, 10^2)，求成绩在60到80分之间的学生所占的比例。

5. 正态分布与样本数据

- 一组样本数据服从正态分布，样本均值为80，样本标准差为10，求该样本数据落在70到90之间的概率。

- 已知一组样本数据服从正态分布，样本均值为100，样本标准差为15，求该样本数据落在85到115之间的概率。

6. 正态分布的参数估计

- 给定一组样本数据，如何利用样本均值和样本标准差来估计总体的正态分布参数？

- 如果样本数据的样本均值为85，样本标准差为5，求该样本数据对应的总体正态分布的95%置信区间。

7. 正态分布的假设检验

- 给定一个总体正态分布N(μ, σ^2)，如何利用样本数据进行假设检验，以判断总体均值μ是否等于某个给定值？

- 如果已知总体标准差σ，如何利用样本数据进行假设检验，以判断总体均值μ是否在某个区间内？