(完整版)正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

正态分布高中练习题及讲解1. 题目一：某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 16)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。

2. 题目二：假设某大学新生的数学成绩服从正态分布N(70, 25)，求数学成绩超过80分的学生所占的比例。

3. 题目三：某市居民的身高数据服从正态分布N(170, 10)，如果随机选择一名居民，求其身高超过180cm的概率。

4. 题目四：某公司员工的工作时间服从正态分布N(8, 2)，计算工作时间超过9小时的员工所占的比例。

5. 题目五：某品牌手机的电池寿命服从正态分布N(300, 50)，求电池寿命超过350小时的概率。

讲解：正态分布是统计学中最常见的分布之一，其图形呈钟形，对称于均值。

正态分布的数学表达式为N(μ, σ²)，其中μ是均值，σ²是方差。

正态分布的特点是：- 均值μ决定了分布的中心位置。

- 方差σ²决定了分布的宽度，方差越大，分布越宽，反之亦然。

- 68%的数据位于距均值一个标准差(σ)的范围内。

- 95%的数据位于距均值两个标准差的范围内。

- 99.7%的数据位于距均值三个标准差的范围内。

要解决上述题目，我们可以使用正态分布的性质和Z分数来计算概率。

解题步骤：1. 将数据转换为Z分数，Z = (X - μ) / σ。

2. 查找Z分数对应的概率，通常可以使用标准正态分布表或计算器。

例如，对于题目一，我们首先计算48和52对应的Z分数：- Z1 = (48 - 50) / 4 = -0.5- Z2 = (52 - 50) / 4 = 0.5然后，查找Z分数表或使用计算器得到Z1和Z2对应的概率，最后计算两者之差。

对于题目二至题目五，解题步骤类似，只需将题目中的数据代入相应的公式中计算即可。

通过这些练习，学生可以更好地理解正态分布的概念，掌握如何使用Z 分数来解决实际问题。

同时，这些练习也有助于提高学生的计算能力和逻辑思维能力。

正态分布练习题1正态分布1.1正态函数及曲线特点1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。

若P (ξ>C +1)=P (ξ<C −1)，则C =3.2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π，则总体的均值和方差分别为0和16。

1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)P 1=P (µ−σ<X ≤µ+σ)=0.6826;P 2=P (µ−2σ<X ≤µ+2σ)=0.9544;P 3=P (µ−3σ<X ≤µ+3σ)=0.9974.类型1:(µ,µ+nσ]型,(n =1,2,3):P (µ<X ≤µ+nσ)=12P n ,(n =1,2,3);如：P (µ<X ≤µ+2σ)=12P 2=12×0.9544=0.4772.类似也可求解(µ−nσ,µ]型,(n =1,2,3).类型2:(µ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):P (µ±nσ<X <+∞)=12×[1∓P n ],(n =0,1,2,3);如：P (µ−2σ<X <+∞)=12×[1+P 2]=12×[1+0.9544]=0.9772.类似也可求解(−∞,µ±nσ)型,(n =0,1,2,3).类型3:(µ+kσ,µ+tσ)型,−3≤k <t ≤3:case 1:kt ≤0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P M +P m ],M =max {|k |,|t |},m =min {|k |,|t |}.总结,以上各类型需要与正态曲线的图形有机结合在一起,把概率问题转化为对应区间上图形的面积问题.1练习:1.若X N(µ,1)，求P(µ−3<X≤µ−2)=0.0215.2.若X N(5,1)，求P(6<X≤7)=0.1359.3.若X N(1,1)，求P(3<X≤4)=0.0215.4.若X N(0,1)，求P(−3<X<−∞)=0.9987.1.3应用问题1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。

4321-1-4-22421专题：正态分布例：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为A ．n=4，p=0.6B ．n=6,p=0.4C ．n=8，p=0.3D ．n=24，p=0.1 答案：B 。

解析：()4.2==np XE ，()44.1)1(=-=p np X V 。

（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。

A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）A 32B 16C 8D 20答案：B 。

解析:数学成绩是X —N(80,102)， 80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。

答案：8.5。

解析：设两数之积为X ，X 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1∴E(X)=8.5.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，则1μ 2μ，1σ 2σ（填大于，小于）答案：＜，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

【课内练习】1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。

A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。

解析：由标准正态分布的定义知。

2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小答案： C 。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

正态分布的例题讲解假设我们有一个数据集，包含了一组学生的数学考试成绩。

我们想要分析这些成绩的分布情况，以了解大多数学生的表现。

正态分布是一种常见的概率分布，也被称为高斯分布。

在正态分布中，大部分数据集中在平均值附近，呈现钟形曲线状。

现在，让我们来看看如何使用正态分布来分析这些数学考试成绩。

首先，我们可以计算出这些成绩的平均值和标准差。

平均值代表了整个数据集的中心位置，而标准差则衡量了数据的离散程度。

假设我们的数据集如下（仅列出部分数据）：85, 90, 92, 78, 80, 88, 91, 89, 87, 75, 82, 84, 86, 78, 91, 92通过计算，我们可以得到平均值μ≈85.9和标准差σ≈5.2。

这意味着大部分成绩集中在85.9附近，并且成绩的变化相对较小。

接下来，我们可以绘制正态分布曲线图，以更直观地了解成绩的分布情况。

对于这个例子，我们绘制的正态分布曲线如下图所示：(图中是一个钟形曲线，中间为最高点，左右两边逐渐下降，呈对称形状)该曲线呈现出钟形曲线状，中间最高点对应着成绩最多的学生群体。

左右两端的较低部分则表示了相对较少的学生获得极高或极低的成绩。

我们还可以使用正态分布的性质来进行一些预测。

例如，根据正态分布的规律，大约68%的学生的成绩将在μ±1σ（即80.7到91.1之间）区间内。

通过正态分布的分析，我们能够更加全面地了解学生的成绩分布情况，并且可以进行一些有关预测或决策的操作。

总结起来，正态分布是一种常见的概率分布，可以用于解释大多数现实世界中的分布情况。

通过计算平均值和标准差，我们可以了解数据集的中心位置和离散程度。

绘制正态分布曲线图可以更直观地呈现数据的分布情况。

利用正态分布的性质，我们可以进行一些预测和决策。

1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。

高二数学正态分布试题答案及解析1.随机变量服从正态分布，已知，则=（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.6【答案】D【解析】随机变量服从正态分布，图象关于对称，，所以.【考点】正态分布的应用.2.如果随机变量，且，则＝．【答案】0.1【解析】所以，那么，故应填0.1.【考点】正态分布.3.设X～N(0,1)．①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③已知P(－1＜X＜1)＝0.6826，则P(X＜－1)＝0.1587；④已知P(－2＜X＜2)＝0.9544，则P(X＜2)＝0.9772；⑤已知P(－3＜X＜3)＝0.9974，则P(X＜3)＝0.9987.其中正确的有________(只填序号)．【答案】①②③④⑤【解析】正态曲线关于y轴对称，故①②正确．对于③，P(X＜－1)＝(1－P(|X|＜1))，＝(1－0.6826)＝0.1587，故③正确；对于④，P(X＜2)＝(1－P(|X|＜2))＋P(|X|＜2)＝(1－0.9544)＋0.9544＝0.9772；故④正确，同理⑤正确．4.若一批白炽灯共有10000只，其光通量X服从正态分布，其正态分布密度函数是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．(1)(203,215)；(2)(191,227)．【答案】(1) 6826 (2) 9974【解析】解：由于X的正态分布密度函数为f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，∴μ＝209，σ＝6.∴μ－σ＝209－6＝203，μ＋σ＝209＋6＝215.μ－3σ＝209－6×3＝209－18＝191，μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18＝227.因此光通量X的取值在区间(203,215)，(191,227)内的概率应分别是0.6826和0.9974.(1)于是光通量X在(203,215)范围内的灯泡个数大约是10000×0.6826＝6826.(2)光通量在(191,227)范围内的灯泡个数大约是10000×0.9974＝9974.5.已知随机变量服从正态分布，且，则= .【答案】0.3【解析】随机变量ξ服从正态分布，∴曲线关于x=2对称，∴P（ξ＜0）=P（ξ＞4）=1－0.8=0.2，∴=0.5－0.2=0.3，故答案为0.3.【考点】正态分布点评：简单题，随机变量ξ服从正态分布，得到曲线关于x=2对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于4的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．6.设随机变量服从正态分布，，则【答案】【解析】.7.设随机变量服从二项分布，且；【答案】3.2【解析】解：因为随机变量服从二项分布，则8.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为；【答案】0.8【解析】由题意知在内取值的概率为0.4,则在内取值的概率也为0.4,所以在内取值的概率为0.8.9.设随机变量服从正态分布，则。

1．下列函数是正态密度函数的是(μ、σ(σ>0)都是实数)( ) A ．f(x)＝12πσe（x －μ）22σ2B ．f(x)＝2π2πe －x 22C ．f(x)＝12 2πe －x －σ4D ．f(x)＝－12πe x22答案 B解析 A 中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C 中的函数无对称轴，D 中的函数图像在x 轴下方，所以选B.2．(2019·甘肃河西五市联考)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>2)＝p ，即P(－2<ξ<0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C.12－p D ．1－2p答案 C解析 由对称性知P(ξ≤－2)＝p ，所以P(－2<ξ<0)＝1－2p 2＝12－p.3．(2019·海南海口期末)已知随机变量X 服从正态分布N(a ，4)，且P(X>1)＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)＝( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8 答案 B解析 随机变量X 服从正态分布N(a ，4)，所以曲线关于x ＝a 对称，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a ＝1，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3，故选B.4．(2019·山东济南期末)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(0，σ2)，若ξ在(－∞，－1)内取值的概率为0.1，则在(0，1)内取值的概率为( ) A ．0.8 B ．0.4 C ．0.2 D ．0.1 答案 B解析 ∵ξ服从正态分布N(0，σ2)，∴曲线的对称轴是直线x ＝0.∵P(ξ<－1)＝0.1，∴P (ξ>1)＝0.1，∴ξ在(0，1)内取值的概率为0.5－0.1＝0.4，故选B.5．(2019·福建永春一中、培元中学、季延中学、石光中学第一次联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布N(100，a 2)(a>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800答案 A解析 由题意得，P(X ≤90)＝P(X ≥110)＝110，所以P(90≤X ≤110)＝1－2×110＝45，所以P(100≤X ≤110)＝25，所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为1 000×25＝400.6．(2019·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5 kg 属于正常，则这1 000名青年职员中体重属于正常的人数约是( )A ．683B ．841C ．341D ．667答案 A解析 ∵P(58.5<X<62.5)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，∴体重正常的人数约为1 000×0.683＝683人．7．(2019·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( ) A ．0.3% B ．0.23% C ．1.5% D ．0.15% 答案 D解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92，140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%2＝0.15%.故选D.8．如果随机变量X ～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，则P(0<X<1)等于( ) A ．0.210 B ．0.003 C ．0.681 D ．0.021 5 答案 D解析 X ～N(3，12)，因为0<X<1，所以P(0<X<1)＝0.997 4－0.954 42＝0.021 5.9．(2019·皖南十校联考)在某市2017年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( ) A ．1 500 B ．1 700 C ．4 500 D ．8 000答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N(98，100)，所以P(X ≥108)＝12[1－P(88<X<108)]＝12[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.158 7×9450≈1 500名，故选A.10．吉林大学的某系的大一(2)班共有55人，其中男生22人，女生33人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，女生抽取a 人．若随机变量ξ服从正态分布N(a ，σ2)，且P(ξ<2)＝0.3，则P(3<ξ<4)的值为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.6 答案 A解析 用分层抽样，女生应抽取人数为33×555＝3，所以a ＝3.所以ξ服从正态分布N(3，σ2)，该正态曲线关于直线x ＝3对称． 即P(ξ<2)＝0.3，所以P(ξ>4)＝0.3.方法一：所以P(3<ξ<4)＝12P (2<ξ<4)＝12(1－2×0.3)＝0.2.故选A.方法二：所以P(3<ξ<4)＝P(ξ>3)－P(ξ>4)＝0.5－0.3＝0.2.故选A.11．(2018·吉林一中)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.158 7，则σ＝________． 答案 2解析 ∵P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，∴P (ξ≥μ＋σ)＝12×(1－0.682 7)＝0.158 7，∵ξ～N(1，σ2)，P (ξ≥1＋σ)＝0.158 7＝P(ξ≥3)，∴1＋σ＝3，即σ＝2.12.如图所示，随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________． 答案 0.7解析 由题意可知，正态分布的图像关于直线x ＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P (0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P (ξ<2)＝0.7.13．(2019·广东江门模拟)已知随机变量ξ～N(1，4)，且P(ξ<3)＝0.84，则P(－1<ξ<1)＝________． 答案 0.34解析 P(－1<ξ<1)＝P(1<ξ<3)＝P(ξ<3)－12＝0.84－0.5＝0.34.14．(2019·云南高三统考)某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N(90，σ2)．若分数在(70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________． 答案 150解析 记考试成绩为ξ，则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称．因为P(70<ξ≤110)＝0.7，所以P(ξ≤70)＝P(ξ>110)＝12×(1－0.7)＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 000×0.15＝150.15．(2019·武汉四月调研)某市高中某学科竞赛中，某区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4 000名考生的平均成绩x －(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)认为考生竞赛成绩z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x －和考生成绩的方差s 2，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001) 附：①s 2＝204.75，204.75＝14.31；②若z ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<z<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<z<μ＋2σ)＝0.954 4； ③0.841 34≈0.501.答案 (1)70.5 (2)634 (3)0.499 解析 (1)由题意知：中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)， ∴这4 000名考生的平均成绩x －为70.5分．(2)由题知z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝x －＝70.5，σ2＝204.75，σ＝14.31， ∴z 服从正态分布N(μ，σ2)，即N(70.5，14.312)． 而P(μ－σ<x<μ＋σ)＝P(56.19<z<84.81)＝0.682 6，∴P(z ≥84.81)＝1－0.682 62＝0.158 7.∴竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.158 7×4 000＝634.8≈634. (3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1－0.158 7＝0.841 3. 而ξ～B(4，0.841 3)，∴P (ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C 44×0.841 34≈1－0.501＝0.499.16．(2019·广东汕头期末)为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率)： ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≥0.682 6； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≥0.954 4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≥0.997 4.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级． (2)将直径小于等于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品．①从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望E(Y)； ②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望E(Z)． 答案 (1)丙级 (2)①325 ②325解析 (1)依题意，μ－σ＝62.8，μ＋σ＝67.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6，∴由题表可知P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝80100＝0.80>0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝94100＝0.94<0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝98100＝0.98<0.997 4，∴该设备M 的性能等级为丙．(2)由题表知直径小于或等于μ－2σ的零件有2件，大于μ＋2σ的零件有4件，共计6件． ①从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的频率为6100＝350，依题意Y ～B(2，350)，故E(Y)＝2×350＝325.②从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的所有可能取值为0，1，2.P(Z ＝0)＝C 60C 942C 1002＝1 4571 650，P(Z ＝1)＝C 61C 941C 1002＝1881 650，P(Z ＝2)＝C 62C 940C 1002＝51 650，∴E(Z)＝0×1 4571 650＋1×1881 650＋2×51 650＝1981 650＝325.。

高二数学正态分布试题答案及解析1.设随机变量X服从正态分布N（3，4），若P（X＜2a+3）=P（X＞a﹣2），则a的值为（）.A．B．3C．5D．【答案】A.【解析】因为随机变量X服从正态分布N（3，4），且P（X＜2a+3）=P（X＞a﹣2），所以与关于对称，即，所以，即.【考点】正态分布.2.设随机变量X服从正态分布N（0,1），P（X>1）＝p，则P（－1<X<0）等于A．p B．1－p C．1－2p D．－p【答案】D【解析】由于随机变量X服从正态分布N（0,1）,图象关于对称，，因此.【考点】正态分布的应用.3.设随机变量服从正态分布,若,则( ).A．3B．C．5D．【答案】D【解析】由题意，得与关于对称，则，所以.【考点】正态分布的对称性.4.已知随机变量X服从正态分布N(3．1)，且=0．6826，则p（X>4）=（）A．0．1588B．0．1587C．0．1586D．0．1585【答案】B【解析】正态分布曲线关于对称，因为,故选B．【考点】正态分布5.均值为2，方差为2π的正态分布的概率密度函数为________．【答案】f(x)＝【解析】在密度函数f(x)＝中，μ＝2，σ＝，故f(x)＝.6.已知X～N(0,1)，则P(－1＜X＜2)＝________.【答案】0.818 5【解析】∵P(－1＜X＜1)＝0.682 6，P(－2＜X＜2)＝0.954 4，∴P(1＜X＜2)＝ (0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.∴P(－1＜X＜2)＝0.682 6＋0.135 9＝0.818 5.7.设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________．【答案】2【解析】∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是＝2，∴c＝2.8.已知X～N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝________.【答案】0.1【解析】∵P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(X＞2)＝(1－2×0.4)＝0.1.9.已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．【答案】0.2【解析】由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x＝0.2时，正态曲线f(x)达到最高点．10.如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是________．【答案】0＜σ1＜σ2＝1＜σ3【解析】由已知得＝，∴σ2＝1.由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以0＜σ1＜σ2＝1＜σ3.11.已知随机变量服从正态分布，且，则= .【答案】0.3【解析】随机变量ξ服从正态分布，∴曲线关于x=2对称，∴P（ξ＜0）=P（ξ＞4）=1－0.8=0.2，∴=0.5－0.2=0.3，故答案为0.3.【考点】正态分布点评：简单题，随机变量ξ服从正态分布，得到曲线关于x=2对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于4的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．12.已知随机变量X服从正态分布，且=0.6826，则=（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585【答案】B【解析】因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，又因为=0.6826，所以【考点】本小题主要考查正态分布的概率求解.点评：求解正态分布的概率问题，关键是利用正态曲线的图象.13.某市对10000名中学生的数学成绩（满分100分）进行抽样统计，发现他们近似服从正态分布N～（70，102），若90分以上者有230人，则这10000名学生中分数在50分到90分之间的人数约有（）A．7140人B．230人C．9540人D．4770人【答案】C【解析】解：因为利用正态分布的对称性可知，某市对10000名中学生的数学成绩（满分100分）进行抽样统计，发现他们近似服从正态分布N～（70，102），因为90分以上者有230人，则这10000名学生中分数在50分到90分之间的人数约有10000-460=9540人，选C14.设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(>1)= ，则P(-1<<0)=（）。

专题：正态分布例：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为A ．n=4，p=0.6B ．n=6,p=0.4C ．n=8，p=0.3D ．n=24，p=0.1 答案：B 。

解析：()4.2==np XE ，()44.1)1(=-=p np X V 。

（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。

A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）A 32B 16C 8D 20 答案：B 。

解析:数学成绩是X —N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。

答案：8.5。

解析：设两数之积为X ，X 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1∴E(X)=8.5.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，则1μ 2μ，1σ 2σ（填大于，小于）答案：＜，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

【课内练习】1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。

A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。

解析：由标准正态分布的定义知。

2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小答案： C 。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么()∑=-ni i x x n 121是指A ．σB ．μC ．2σD ．2μ（ ） 答案：C 。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高中数学正态分布知识点+练习地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容正态分布高考要求例题精讲（一）知识内容1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．⑶重要结论：①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．（二）典例分析：已知随机变量服从正态分布，则（）A．B．C．D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为．对于标准正态分布的概率密度函数，下列说法不正确的是（）A．为偶函数 B．最大值为C．在时是单调减函数，在时是单调增函数 D．关于对称已知随机变量服从正态分布，，则（）A． B． C． D．某种零件的尺寸服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件约占总数的．已知，若，则（）A． B． C． D．无法计算设随机变量服从正态分布，若，则．设，且，则的值是（用表示）．设随机变量服从正态分布，，则下列结论正确的个数是．⑴⑵⑶⑷如果随机变量，求的值．正态变量，为常数，，若，求的值．下列函数是正态分布密度函数的是（）A． B． C． D．若正态分布密度函数，下列判断正确的是（）A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但没最小值C．有最大值，但没最大值 D．无最大值和最小值设的概率密度函数为，则下列结论错误的是（）A．B．C．的渐近线是 D．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（）A．该市这次考试的数学平均成绩为分B．分数在120分以上的人数与分数在分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在分以下的人数相同D．该市这次考试的数学标准差为灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：），已知，要使灯泡的平均寿命为的概率为，则灯泡的最低使用寿命应控制在小时以上．一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为小时、标准差为小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于小时的概率是多少？某班有名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为，标准差为，理论上说在分到分的人数是．已知连续型随机变量的概率密度函数，⑴求常数的值；⑵求．已知连续型随机变量的概率密度函数，求的值及．设随机变量具有概率密度，求的值及．美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离的密度函数为，若炸弹落在目标40米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．设，且总体密度曲线的函数表达式为：，．⑴求；⑵求及的值．某校高中二年级期末考试的物理成绩服从正态分布．⑴若参加考试的学生有人，学生甲得分为分，求学生甲的物理成绩排名；⑵若及格（分及其以上）的学生有人，求第名的物理成绩．已知标准正态分布表．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．已知成绩在分以上（含分）的学生有名．⑴试问此次参赛学生总数约为多少人？⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？附：标准正态分布表．。

1.若x〜N(0,1), 求(I) P<x<; (2) P(x>2).解：⑴ P<x<=-=-[1- ]==.(2)Rx>2)=1- P(x<2)=1- (2)==.亍2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在 N(1,4)下，求F(3).2 ,(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6)3 1解：(1) F (3) = (— -)= Q( 1)=2(2)F(y+b)= ( ------- ) =0( 1)=F(y—b) )=0(—1 )=1 —①(1)=1— =F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为1=，求总体落入区间(一，)之间的概率 40() =, 0()=]解：正态分布的概率密度函数是f(x) (x )22 2,x)，它是偶函数,1说明”。

，f(x)的最大值为f()=石，所以c= 1,这个正态分布就是标准正态分布+4.某县农民年平均收入服从 =500 入在500：520元间人数的百分比；内的概率不少于，则a至少有多大？元，(2)[O=200元的正态分布.(1)求此县农民年平均收如果要使此县农民年平均收入在( a, a )()=,0()=]解：设表示此县农民年平均收入, ~N(500,2002).P(500 520) (520 500200 ) P( a) 500 500( )(0.1) (0) 0.5398 0.5 0.0398 ( 2 )200a a0.95,查表知: —1.962003921设随机变量(3,1), 若沪以："昭:-.松”则P(2<X<4)=(B)l C. l-2p【答案】C 因为垃3；厂□恳飞签Cf：所以 P(2<X<4)=——「二 T"；：：；：一丄匸,选 C.2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为X,则X 的数学期望为（ ）［答案］C［解析］由条件知 3B （n, P ）,np= 4 np 1 — p = 2A. 100B . 200C. 300D . 400［答案］B［解析］记“不发芽的种子数为 了 , 则 严 B(1 000,,所以 E( 3= 1 000X = 100,而 X=2 3 故 E(X)= E(2 3 = 2E( 3 = 200,故选 B.3.设随机变量3的分布列如下:其中a, b, c 成等差数列，若 E （ 3 = 3则D （3 =（3B.- 1 ［答案］D［解析］由条件a, b, c 成等差数列知，2b= a + c, 由分布列的性质知 a+ b+ c= 1,又1 111 1E(3 = — a+ c= 3,解得 a=6, b = 3, c= 3,「. D(3 =—1 —1 2+10 —1 2+11 —-3 丁 3 0 3 丁 2 13 4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到 白球个数的数学期望值为 7，则口袋中白球的个数为（)A . 3 B . 4C. 5D. 2［答案］A［解析］设白球x 个，则黑球7 — x 个，取出的2个球中所含白球个数为 3贝U 3取值0,1,2 , C 7-x? 7— x 6— x P( =0)= "CTT =42 x - 7— x x 7— xP( 3= 1) = C 2~ 21 ,C x 2x x — 1P(3= 2)=尹,...7-x 6-x + 1 X x7^ 4221+ 2X 红二16427'二 x= 3.5.小明每次射击的命中率都为 p ，他连续射击 n 次，各次是否命中相互独立，已知命 中次数3的期望值为4,方差为2,则 p( 31)=(解之得，p = 2, n = 8,1 1 1••• P （ = o ）= C80x 2 °x 18= 2 8, 1 1 1 P （ = 1）= C81x 2 1x 2 7= 2 5， • p（>1）= 1 — P （ = o ）- P （ = 1）1 8— 1 5= 2472 2 256.A . d < d= d, 01= d2> d3 B. d > d=d, o=d < o C. d= d <d, d 1< o= 03 D. d < d= d, o= o < 03 ［答案］D［解析］正态分布密度函数$2（x ）和g （x ）的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故d= d ，又屉（X ）的对称轴的横坐标值比也（X ）的对称轴的横坐标值大，故有 d < d=d .又d 越大，曲线越“矮胖”，0越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函 数咖（X ）和$2（x ）的图象一样"瘦高”，艇（X ）明显"矮胖”，从而可知01= d < 03.6①命题"卫匚小:；：：.-I ； ”的否定是:"二丫匚―常.T 二卄”； ②若:■: ■;,则叮:■-;：•?的最大值为 4;③ 定义在R 上的奇函数满足c ,则的值为0;④ 已知随机变量 服从正态分布 ，则:Sr - ” ；■. i> ;其中真命题的序号是 _________ （请把所有真命题的序号都填上 ）.【答案】①③④ ①命题"讥■匕迂:”的否定是：“ mm j ” ;所以① 正确•② 若；：—.芒*、二加―：:、:,则題:牡=谄幕“专,即 '.心* ―二.•杠.所以L.-- —:—厂,即（./ - . JI - ■ ■ I. " /■:,解得b '.4 ,则 L- I ■' 的最小值为 4；*2*所以②错误.③定义在 R 上的奇函数满足...m,：；； - -：d ,贝U= 且 2」；C ：,即函数的周期是4.所以「；学二门.•： == 3 ;所5已知三个正态分布密度函数 则（） 机X）= 2n 厂x — d 22^（x € R ,i= 1,2,3）的图象如图所以③正确.④已知随机变量服从正态分布空匕二、—匸:匚,则■■■■..- 旷「,_丨所以i：」，；所以④正确，所以真命题的序号是①③④.7、在区间| 上任取两数 m和n,则关于x的方程f - :?有两不相等实根的概率为___________ .【答案】由题意知]■- ...? ■要使方程/ m - 1 - u有两不相等4实根,则、：； I ,即::訂 gu二::'：:；-::.作出对应的可行域,如图直线厂--f11 ，拦：,当身I 时，；；，「，：-,所以—1I | 1< J -',所以方程于--m、- J有两不相等实根的概率为j_ ―■ 2 2=】2S 22X n ]8、下列命题：(2)不等式.v-；-i|-!- - ；■ |>农恒成立,则；(3)随机变量X服从正态分布 N(1,2),贝U 厂吒门=逍.即、/■；：:2 |(4)已知a.b e R\2a + b =1,则一■—>吕.其中正确命题的序号为_________________ .a b【答案】⑵(3) ⑴ 「丄扛二1口工；=1n2 ,所以(1)错误.(2)不等式X| - | ..:的最小值为4,所以要使不等式|> 成立，则，所以(2) 正确.(3) 正确.(4) | ' 」「 I ' ' ,所以⑷错误，所以正a b a b a b - a b确的为3).2已知某篮球运动员2012年度参加了 40场比赛，现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员 5 场中的得分如图所示，则该样本的方差为B. 25C. 23D. 18【答案】D 样本的平均数为 23,所以样本方差为: ?T - .：?<■-： ■:- f 2?- / U' - i < - / | .；■,选 D•3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在'>.|n 内的【答案】C 样本数据在之外的频率为匸「匸心 J 7 I g :: c ■■-所以样本数据在 内的频率为［『珀龙二二:疥，所以样本数据在的频数为038x200=^76,选 C.【答案】【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为^x-x^ = (~x 2-~x的概率为,选B.5从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为,所以由几何概型公式可得点P恰好取自阴影部分频数为OABC 中4.【答案】25从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有C55 10种.则3个数能构成等差数列的有，1,2,3;2,3, 4;3,4,5;1,3,5;有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为4 2 10 5。

正态分布题目与解析正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一。

它以钟形曲线的形式呈现，因此又被称为钟形曲线分布。

正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，适用于大多数随机变量，是许多统计分析和推断的重要基础。

下面给出一个正态分布的题目以及其解析：题目：某城市每天发生的交通事故数量服从正态分布，均值为8，标准差为2。

计算出每天发生交通事故数量在6到10之间的概率是多少？解析：根据题目中给出的信息，我们知道交通事故数量的均值μ = 8，标准差σ = 2。

我们需要计算出交通事故数量在6到10之间的概率。

首先，我们需要将题目中给出的数值标准化为标准正态分布的形式。

标准化的公式为：Z = (X - μ) / σ，其中 Z 为标准化后的值，X 为原始值。

将上述公式代入题目中的数值，我们可以计算得到：Z1 = (6 - 8) / 2 = -1Z2 = (10 - 8) / 2 = 1然后，我们需要查找标准正态分布表格或使用统计软件来查找概率密度函数。

根据标准正态分布表格，我们可以找到对应于 Z1 和 Z2 的概率值。

在标准正态分布表格中，Z1 对应的概率值为 0.1587，Z2 对应的概率值为 0.8413。

最后，我们需要计算出交通事故数量在6到10之间的概率。

根据正态分布的性质，我们可以使用 Z2 对应的概率值减去 Z1 对应的概率值，即 0.8413 - 0.1587 = 0.6826。

因此，每天发生交通事故数量在6到10之间的概率为 0.6826，或者可以表示为 68.26%。

这道题目可以帮助我们理解正态分布的性质和计算方法。

通过标准化数据，我们可以使用标准正态分布表格或统计软件来计算出概率值。

了解正态分布的概率性质对于数据分析和统计推断非常重要。

12.7 正态分布一、选择题1．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585解析 通过正态分布对称性及已知条件得P(X ＞4)＝1－P 2≤X≤42＝1－0.68262＝0.1587，故选B .答案 B2. 设随机变量ξ服从正态分布 ),1(2σN ，则函数2()2f x x x ξ=++不存在零点的概率为( ) A.41 B. 31 C.21 D.32 解析 函数2()2f x x x ξ=++不存在零点,则440,1,ξξ∆=-<>因为2~(1,)N ξσ，所以1,μ=()11.2P ξ>=答案 C3．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|＜σ)等于( )． A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B ．Φ(1)－Φ(－1) C ．Φ⎝⎛⎭⎪⎫1－μσ D ．2Φ(μ＋σ) 解析 由题意得，P (|ξ－μ|＜σ)＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|ξ－μσ|＜1＝Φ(1)－Φ(－1)． 答案 B4．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 解析 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝σ2＝4， ∴D (η)＝1. 答案 B5．标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为( )．A ．0.998 7B ．0.997 4C ．0.944D ．0.841 3 解析 标准正态分布N (0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率P ＝0.997 4. 答案 B6．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi e －x －μi 22σ2i(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D7．在正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )．A ．0.097B ．0.046C ．0.03D ．0.0026 解析 ∵μ＝0，σ＝13∴P (X ＜1或x ＞1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案 D 二、填空题8. 随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，已知P (ξ＜0)＝0.3，则P (ξ＜2)＝________.答案 0.79．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．解析由题意知，P(ξ＞110)＝1－2P90≤ξ≤1002＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.答案1010．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．解析∵X服从正态分布(1，σ2)，∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.∴X在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8答案0.811．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号是________．答案①②③12．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．解析P(9.8<X<10.2)＝P(10－0.2<X<10＋0.2)＝0.954 4.答案0.954 4三、解答题13．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．解析由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6知，此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6，又由于P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.14．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其概率密度函数是φμ，σ(x)＝162πe－x－209272，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．(1)209－6～209＋6；(2)209－18～209＋18.解析由于X的概率密度函数为φμ，σ(x)＝162πe－x－209272，x∈(－∞，＋∞)，∴μ＝209，σ＝6.∴μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6.μ－3σ＝209－6×3＝209－18，μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18.因此光通量X的取值在区间(209－6,209＋6)，(209－18,209＋18)内的概率应分别是0.682 6和0.997 4.(1)于是光通量X在209－6 ～209＋6范围内的灯泡个数大约是10 000×0.682 6＝ 6 826.(2)光通量在209－18～209＋18范围内的灯泡个数大约是10 000×0.997 4＝9 974.15．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．解析(1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.∴P(80＜ξ≤120)＝P(100－20＜ξ≤100＋20)＝0.954 4，即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954 4.(2)P(90＜ξ≤110)＝P(100－10＜ξ≤100＋10)＝0.682 6，∴P(ξ＞110)＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，∴P(ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683(人)．16．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解析设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P(X＞90)＝12[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x.则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.∴x0＝60＋2×10＝80(分)．。

7.5 正态分布（精讲）考点一 正态分布的特征【例1】（1）（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））若随机变量()23,X N σ，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3（2）（2021·黄石市有色第一中学高二期末）设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】（1）A(2）B 【解析】（1）由于随机变量()23,XN σ，则()()15P X P X <=>，因此，()()()()151********.20.6P X P X P X P X ≤≤=-<->=->=-⨯=.故选：A. （2）∵随机变量ξ服从正态分布N （4，3），∵P （ξ＜a ﹣5）=P （ξ＞a+1），∴x=a ﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a ﹣5+a+1=8， ∴2a=12，∴a=6，故选:B ． 【一隅三反】1．（2021·湖北宜昌市）某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ占近似服从正态分布()295,N σ，且(9195)0.25P ξ<≤=．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ） A ．100 B ．125C ．150D ．175【答案】D【解析】由题意，成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，则正态分布曲线的对称轴为95X =， 又由(9195)0.25P ξ<≤=，根据正态分布曲线的对称性，可得()()1199[12(9195)]120.250.2522P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-⨯=， 所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为7000.25175⨯=人， 故选：D.2．（2021·山东青岛市）某种芯片的良品率X 服从正态分布()20.95,0.01N ，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=.A ．52.28B ．65.87C ．50.13D ．131.74【答案】B 【解析】因为()20.95,0.01XN ，得出0.95μ=，0.96μσ+=，所以()()0.950.5P X P X μ≤=≤=，()()0.950.96P X P X μμσ<≤=<≤+()110.68260.341322P X μσμσ=-<≤+=⨯=； ()()()110.96110.68260.158722P X P X μσμσ>=--<≤+=⨯-=⎡⎤⎣⎦， 所以()01000.34132000.158765.87E X =+⨯+⨯=（元） 故选：B3．（2021·江西景德镇市）某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X 服从正态分布()82,16N ，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（ ）〖参考数据〗：()0.683P X μσμσ-<≤+=，()220.954P X μσμσ-<≤+=，()330.997P X μσμσ-<≤+=A ．2300B ．3170C ．3415D ．460【答案】A【解析】依题意知，82,4μδ==所以()74900.954P x <≤= 则()()19010.9540.0232P x ≥=-⨯=，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为 1000000.0232300⨯=故选：A考点二 正态分布的实际应用【例2】（2021·安徽池州市）2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z 服从正态分布()2,N μσ.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记X 表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于3μσ-的数量.（1）求()1P X ≥的概率； （2）求X 的数学期望()E X ；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z 小于3μσ-的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？ 附：若随机变量()2,Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=，()330.9974P Z μσμσ-<≤+=，100.99870.9871≈.【答案】（1）0.0129；（2）0.013；（3）这种监控生产过程的方法合理.【解析】（1）抽取口罩中过滤率在(]3,3μσμσ-+内的概率()330.9974P Z μσμσ-<≤+=， 所以()10.997430.00132P Z μσ-≤-==， 所以()310.00130.9987P Z μσ>-=-=，故()()1011010.998710.98710.0129P X P X ≥=-==-=-=（2）由题意可知()~10,0.0013X B ，所以()100.00130.013E X =⨯=.（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于3μσ-的概率()10.997430.00132P Z μσ-≤-==，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于3μσ-的概率()0.11029P X ≥=，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理. 【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm )，其频率分布直方图如图所示.（1）求该植物样本高度的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）假设该植物的高度Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数2,x σ近似为样本方差2s ，利用该正态分布求(64.596)P Z .10.5≈.若()2~,Z Nμσ，则()68.3%,(22)95.4%P Z P Z μσμσμσμσ-+≈-+≈.【答案】（1）75x =，2110s =；（2）81.85%.【解析】（1）由题意可得平均数550.1650.2750.35850.3950.0575x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222222(5575)0.1(6575)0.2(7575)0.35(8575)0.3(9575)0.05110s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（2）由（1）知，~(75,110)Z N ，从而11(64.575)(7510.57510.5)68.3%34.15%22P Z P Z =⨯-+≈⨯=11(7596)(75210.575210.5)95.4%47.7%22P Z P Z =⨯-⨯+⨯≈⨯=所以(64.596)(64.575)(7596)34.15%47.7%81.85%P Z P Z P Z =+<≈+=.2．（2020·全国高二单元测试）某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm )．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N (μ，σ2)．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；（2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 10.12 9.97 10.01 9.95 10.02 9.98 9.21 10.03 10.04 9.99 9.98 9.97 10.01 9.97 10.03 10.11经计算得16119.9616==≈∑i i x x，0.20==≈s ，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2，…，16.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．参考数据：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜x ＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997416≈0.9592，0.05.≈【答案】（1）0.0408；0.0416；（2）需要对当天的生产过程进行检查；10.01；0.05. 【解析】(1)∵抽取的一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997 4， ∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6， 故X ～B (16,0.0026)．P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408； X 的数学期望为E (X )＝16×0.0026＝0.0416.(2)9.96x ≈，s ≈0.20，得9.96μ≈，0.20σ≈.∵样本数据可以看到有一个零件的尺寸在()()3,39.36,10.56μσμσ-+=之外，∴需要对当天的生产过程进行检查．剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.21之后， 剩下数据的平均数()1169.969.2110.0115⨯-=，可得μ的估计值为10.01. ∵162221160.20169.961587.8656ii x==⨯+⨯=∑，剔除()9.36,10.56之外的数据9.21之后， 剩下数据的方差为()2211587.8656-9.21-1510.010.002715⨯≈， ∴σ0.05.3．（2020·全国高二专题练习）现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X 均近似服从正态分布()250,16N ．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为43,54． （1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记Y 为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量Y 的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值． （参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.683,(22)0.954,(33)0.997P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-+≈-+≈-+≈）【答案】（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元. 【解析】（1）设各阶段猪的数量分别为123,,n n n ， ∵猪的体重X 近似服从正态分布2(50,16)N ，0.9970.954(218)(50316502 16) 0.02152P X P X -∴<=-⨯<-⨯≈=，1100000.0215215n ∴=⨯=（头）；(1882)(5021650216)0.954P X P X <=-⨯<+⨯≈2100000.9549540n ∴=⨯=（头）；0.9970.954(8298)(5021650316) 0.02152P X P X -=+⨯+⨯≈=，3100000.0215215n ∴=⨯=（头）∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头． （2）随机变量Y 的所有可能取值为900，300，300-．43341137111(900),(300),(300)5455454205420P Y P Y P Y ==⨯===⨯+⨯==-=⨯=，Y ∴的分布列为371()90030030063052020E Y ∴=⨯+⨯-⨯=（元），由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为630215135450⨯=（元）．考点三 正态分布与其他知识的综合运用【例3】（2021·内蒙古赤峰市）疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布()2,N μσ（μ和2σ分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．14.5≈）规定：若()220.9544P X μσμσ-<<+>，()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”． （2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是34，获得100元的概率是14．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望．【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5. 【解析】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：21014.5≈，265214.536μσ∴-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=，365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，()72210.9650.9544200P X μσμσ∴-<<+=-=>， 学生的得分都在[]30,100间，()3310.9974P X μσμσ∴-<<+=>．∴学生得分近似满足正态分布()65,210N 的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；（2）设这名同学获得的奖金为Y ，则Y 的可能值为50、100、150、200，()6395010420P Y ==⨯=，()2614331001041048P Y ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭， ()124313*********P Y C ==⨯⨯⨯=，()241120010440P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 故Y 的分布列为：()5010015020087.52082040E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【一隅三反】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在[4,20]内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ服从正态分布()2,N μσ，其中，μ为（1）中求得的平均数标准差σ的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数(14,18)ξ∈的人数(结果四舍五入保留整数).（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望.附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈.【答案】（1）12；（2）47；（3）分布列答案见解析，数学期望：216. 【解析】（1）依题意得0.0150.0170.0890.5811x =⨯+⨯+⨯+⨯ 0.22130.06150.03170.011911.6812+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.（2）因为()2~12,2N ξ，所以(1418)(1221232)P P ξξ<<=+<<+⨯，1[(618)(1014)]0.15732P P ξξ=<<-<<≈ 所以走路步数(14,18)ξ∈的总人数为3000.157347⨯≈.（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1.由题意知X 的可能取值为0，100，200，300，400.2(0)0.020.0004P X ===；12(100)0.020.880.0352P X C ==⨯⨯=； 122(200)0.020.10.880.7784P X C ==⨯⨯+=；12(300)0.10.880.176P X C ==⨯⨯=；2(400)0.10.01P X ===.所以X 的分布列为()00.00041000.03522000.77843000.1764000.01216E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2．（2021·长沙市·湖南师大附中高二期末）国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区．（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x ；（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(),27.04N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨），估计该市A 类社区中“超标”社区的个数；（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：若X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈；()220.9544P X μσμσ-<≤+≈；()330.9974P X μσμσ-<≤+≈．【答案】（1）22.76吨；（2）51个；（3）分布列见解析，52. 【解析】（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则 145176209231226829632422.7650x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨. （2）据题意，22.8μ=，227.04σ=，即 5.2σ=，则()()10.6826280.15872P X P X μσ->=>+==. 因为3200.158750.78451⨯=≈，估计该市A 类社区中“超标”社区约51个.（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在[)27.5,30.5内的“超标”社区也有4个，则X 的可能取值为1，2，3，4.()1444581114C C P X C ===，()234458327C C P X C ===，()324458337C C P X C ===，()4144581414C C P X C ===. 则X 的分布列为：所以()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.。