正态分布详解[1]讲义

正态分布一、课堂目标1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．2．理解正态分布和标准正态分布的概念．3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和原则求随机变量在某一范围内的概率．4．掌握正态分布的实际应用问题．二、知识讲解现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.1. 正态曲线知识精讲（1）正态曲线的概念如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数和为参数）．显然，对于任意的称，，它的图象在轴的上方．我们称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的性质①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值（最大值）；④曲线与轴之间的面积为；⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图所示；⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．经典例题1.关于正态曲线的性质：①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；④越大，曲线越“高瘦”；越小，曲线越“矮胖”．A.①②B.②③C.③④D.①③其中正确的是（）．巩固练习A.B.C.D.2.如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（）．2. 正态分布知识精讲（1）正态分布的概念若随机变量的概率分布密度函数为：，（其中实数和为参数），则称随机变量服从正态分布，记为．正态分布完全由参数和确定，其中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．注意：若，则．若，如下图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而为区域的面积．（2）原则若，则对于任何实数，为下图阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围概率越大．特别有，①，②，③．由知，正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有．，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．经典例题3.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．4.设随机变量，则服从的总体分布可记为 ．巩固练习A.B.C.D.5.随机变量服从正态分布，且，则（ ）．A.B.C.D.6.设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为（ ）．，，，，经典例题（1）（2）7.已知随机变量，且正态分布密度函数在上是增函数，在上为减函数，．求参数，的值．求．A.人B.人 C.人D.人8.某校高三年级的名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩服从正态分布，则该年级学生数学成绩在分以上的学生人数大约为（ ）．（附数据：，）巩固复习A. B.C.D.9.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则果实直径在内的概率为（）．附：若 ，则，．10.某市高二名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为，标准差为，成绩服从正态分布，则成绩在的人数为．参考数据：，，．经典例题11.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即新型冠状病毒．年月日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能（1）（2）成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示．频率组距成绩分由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中，分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求．（精确到）附：①，；②，则，；③，．12.年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．（1）12（2）频率组距竞赛成绩（分）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过分的学生数（结果四舍五入到整数）．若从所有参赛学生中(参赛学生数大于)随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．附：若随机变量服从正态分布，则，，．巩固练习（1）（2）13.从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：质量指标值频率组距求这件产品质量指标的样本平均数 和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．12由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数 ，近似为样本方差．利用该正态分布，求．已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值的定价为元；若为次品（质量指标值，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元．若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求．附：．若，则，．（1）12（2）14.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望．一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．试说明上述监控生产过程方法的合理性．下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：附：若随机变量服从正态分布，则，，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．3. 标准正态分布知识精讲若随机变量，则当，时，称随机变量服从标准正态分布，简称标准正态分布．标准正态分布的密度函数为，，其相应的密度曲线称为标准正态曲线．如图所示：由于标准正态总体在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，相应于的值是指总体取值小于的概率，即，如图左边的部分所示．由于标准正态曲线关于轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值的值，因此，如果，那么由下图根据面积相等知．知识点睛一般的正态分布均可以化成标准正态分布来进行研究．事实上，可以证明，对任一正态分布来说，取值小于的概率．所以，可以利用公式可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．经典例题15.随机变量服从标准正态分布，如果，则．巩固练习16.设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知，则在内取值的概率为．A.B.C.D.17.已知随机变量，记，则下列结论不正确的是（）．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测18.已知随机变量服从正态分布，且，则．A.B.C.D.19.设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（ ）．，，，，A. B.C.D.20.某小区有户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在度以上的居民户数约为（ ）．（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）21.11频率组距质量指标值（1）（2）从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．①利用该正态分布，求；②某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求．附：．若～，则，．。

正态分布知识点总结ppt一、概念1. 正态分布，又称高斯分布，是一种连续概率分布2. 具有单峰对称的特点3. 由于其形状近似于钟形，因此也被称为钟形曲线二、特征1. 均值μ：描述分布的中心位置2. 标准差σ：描述数据点相对于均值的离散程度3. 标准差越大，曲线扁平度越高4. 标准差越小，曲线陡峭度越高5. 正态分布的均值、众数和中位数都相等三、标准正态分布1. 当均值μ=0，标准差σ=1时的正态分布2. 应用范围更广，便于做概率计算3. 可通过Z变换，将任意正态分布转化为标准正态分布四、性质1. 概率密度函数：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))2. 总体均值、中位数、众数相等3. 68-95-99.7法则：在正态分布下，大约68%的数据落在均值±1个标准差内，大约95%的数据落在均值±2个标准差内，大约99.7%的数据落在均值±3个标准差内五、应用1. 统计学：用于研究样本数据的分布规律2. 自然科学：许多自然现象的分布都符合正态分布，如身高、体重等3. 工程学：用于分析质量控制、可靠性分析等六、假设检验1. 基于正态分布的概率性质，可对样本数据进行假设检验2. 通过计算样本均值和标准差，判断总体参数是否满足要求七、实际案例1. 身高分布：研究人群的身高分布规律，制定人体工程学标准2. 质量控制：监控产品的质量符合正态分布，及时发现异常情况3. 信用评分：应用正态分布评估个人信用等级八、常见问题1. 如何判断一组数据是否符合正态分布？- 绘制直方图或概率图查看数据分布形状- 进行正态性检验，如Shapiro-Wilk检验、K-S检验等2. 如果数据不符合正态分布，影响有哪些？- 在统计分析中应当选择非参数检验方法- 在数据建模和预测中需要考虑非线性因素的影响九、总结正态分布是统计学中的基础概率分布，具有广泛的应用价值。

《正态分布》讲义在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布，它在自然科学、社会科学、工程技术等众多领域都有着广泛的应用。

下面，让我们一起来深入了解正态分布。

一、什么是正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是一种连续型概率分布。

它的概率密度函数呈现出一种独特的“钟形”曲线，具有对称性。

从数学表达式上看，正态分布的概率密度函数为：＼ f(x) ＝＼frac{1}｛＼sigma ＼sqrt{2\pi}｝ e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＼其中，＼（＼mu\）是均值，决定了曲线的位置；＼（＼sigma\）是标准差，决定了曲线的“胖瘦”程度。

二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线以均值\（＼mu\）为对称轴，左右两侧对称。

这意味着在均值两侧相同距离处，出现观测值的概率相等。

2、集中性大部分数据集中在均值附近，离均值越远，数据出现的概率越小。

3、均值和中位数、众数相等这三个统计量在正态分布中是重合的，反映了数据的中心趋势。

4、标准差的作用标准差\（＼sigma\）越大，曲线越“胖”，数据的分散程度越大；标准差越小，曲线越“瘦”，数据越集中。

三、正态分布的产生原因为什么在现实世界中会有如此多的现象符合正态分布呢？1、大量独立随机因素的综合作用许多自然和社会现象受到众多微小、相互独立的随机因素的影响。

例如，人的身高受到遗传、营养、环境等多种因素的影响，当这些因素的数量足够多且相互独立时，最终的结果往往呈现正态分布。

2、中心极限定理根据中心极限定理，当从一个总体中抽取大量独立同分布的随机样本，并计算其均值时，这些均值的分布将近似于正态分布。

四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，通过对产品质量特征的测量，如果其符合正态分布，可以设定合理的控制界限，来监控生产过程是否处于稳定状态。

2、考试成绩评估考试成绩通常近似服从正态分布。

教师可以根据正态分布来确定合理的分数段，评估学生的学习情况。

正态分布一正态曲线及其性质1．我们称f(x)＝()2221e2xμσσ--π，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．2．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4．正态曲线的特点：(1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．(2)定值性：曲线与x轴之间的面积为1.(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π.(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．(6)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.(7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．二利用正态分布的性质求概率正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3.三正态分布的应用解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．考点一 正态分布的特征【例1】(1)(2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末(理))若随机变量()23,X N σ，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3(2)(2021·黄石市有色第一中学高二期末)设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】(1)A(2)B【解析】(1)由于随机变量()23,X N σ，则()()15P X P X <=>， 因此，()()()()151********.20.6P X P X P X P X ≤≤=-<->=->=-⨯=.故选：A.(2)∵随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，∵P(ξ＜a ﹣5)=P(ξ＞a+1)，∴x=a ﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a ﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故选:B ．【练1】(2021·江苏常州市·高三期末)设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<≤=( )附：若()2,N ξμσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈.A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.3413【答案】B 【解析】函数()22f x x x ξ=+-没有零点，∴二次方程220x x ξ+-=无实根，44()0ξ∴∆=--<，1ξ∴<-， 又()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，(1)0.5P ξ∴<-=，由正态曲线的对称性知：1μ=-，()1,1N ξ∴-，1,1μσ∴=-=，2,0,23,21μσμσμσμσ∴-=-+=-=-+=，(20)0.6826P ξ∴-<<=，(31)0.9544P ξ-<<=，[][]11(01)(31)(20)0.95440.68260.135922P P P ξξξ∴<≤=-<<--<<=-=， 故选：B.考点二 正态分布的实际应用【例2】(2021·安徽池州市)2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z 服从正态分布()2,N μσ.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记X 表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于3μσ-的数量.(1)求()1P X ≥的概率；(2)求X 的数学期望()E X ；(3)一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z 小于3μσ-的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附：若随机变量()2,Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=，()330.9974P Z μσμσ-<≤+=，100.99870.9871≈.【答案】(1)0.0129；(2)0.013；(3)这种监控生产过程的方法合理.【解析】(1)抽取口罩中过滤率在(]3,3μσμσ-+内的概率()330.9974P Z μσμσ-<≤+=，所以()10.997430.00132P Z μσ-≤-==， 所以()310.00130.9987P Z μσ>-=-=，故()()1011010.998710.98710.0129P X P X ≥=-==-=-=(2)由题意可知()~10,0.0013X B ，所以()100.00130.013E X =⨯=.(3)如果按照正常状态生产，由(1)中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于3μσ-的概率()10.997430.00132P Z μσ-≤-==，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于3μσ-的概率()0.11029P X ≥=，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.【练2】(2020·全国高三专题练习)标准的医用外科口罩分三层，外层有防水作用，可防止飞来进入口罩里面，中间层有过滤作用，对于直径小于5微米的颗粒阻隔率必须大于90%，近口鼻的内层可以吸湿，根据国家质量监督检验标准，过滤率是重要的参考标准，为了监控某条口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个口罩，并检验过滤率.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率z 服从正态分布()2,N μσ.(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的10个口罩中过滤率小于3μσ-的数量，求()1P X ≥及X 的数学期望；(2)下面是检验员在一天内抽取的10个口罩的过滤率： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.9376 0.9121 0.9424 0.9572 0.9518 0.9058 0.9216 0.9171 0.9635 0.9268经计算得：10110.933510i i x x ===∑，()102110.018910i i s x x ==-≈∑(其中i x 为抽取的第i 个口罩的过滤率)用样本平均数x 作为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计值，利用该正态分布，求().09524P z ≥(精确到0.001)(附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则①() 0.6826P X μμσσ-<<+=；②()220.9544P X μσμσ-<<+=；③()330.9974P X μσμσ-<<+=；另：100.99870.9871≈)【答案】(1)()0.11029P X ≥=，()0.013E X =；(2)0.1587.【解析】(1)已知检验率服从正态分布()2,N μσ，则事件()10.997430.00132P X μσ-<-== 当生产状态正常时，重复不放回的取10个口罩属于独立重复事件，10n =，0.0013p =，故有：().1000013003.1E X np ==⨯=，而()()()100010101101110.99870.0129P X P X C p p ≥=-==--=-=. (2)由题意知：由平均数近似估计μ，则有()()10.68260.95240.15872P z P z x s -≥=≥+==. 考点三 正态分布与其他知识的综合运用【例3】(2021·内蒙古赤峰市)疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试(百分制)活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．(1)为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布()2,N μσ(μ和2σ分别为样本平均数和方差)，则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．(参考数据：21014.5≈)规定：若()220.9544P X μσμσ-<<+>，()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”． (2)学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是34，获得100元的概率是14．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望．【答案】(1)该校的疫情防控是有效的，理由见解析；(2)分布列见解析，87.5.【解析】(1)据该校的疫情防控是有效的，理由如下： 21014.5≈，265214.536μσ∴-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=， 365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，()72210.9650.9544200P X μσμσ∴-<<+=-=>， 学生的得分都在[]30,100间，()3310.9974P X μσμσ∴-<<+=>． ∴学生得分近似满足正态分布()65,210N 的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；(2)设这名同学获得的奖金为Y ，则Y 的可能值为50、100、150、200，()6395010420P Y ==⨯=，()2614331001041048P Y ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭， ()124313*********P Y C ==⨯⨯⨯=，()241120010440P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 故Y 的分布列为： Y 50 100 150 200 P 920 38 320 140()93315010015020087.52082040E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【练3】(2021·江西南昌市)2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)、9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100)，例如：10点04分，记作时刻64.(Ⅰ)估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(Ⅱ)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列；(Ⅲ)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T 服从正态分布()2~,N μσ，其中μ可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，2σ用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).附：若随机变量T 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P T μσμσ-<≤+=，(33)0.9973P T μσμσ-<≤+=.【答案】(Ⅰ)10:04；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)819.【解析】(Ⅰ)这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：(300.005500.015700.020900.010)2064⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，即10∶04(Ⅱ)由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数，即(0.0050.015)20104+⨯⨯=，所以X 的可能的取值为0，1，2，3，4.所以()464101014C P X C ===，()31644108121C C P X C ===，()2264410327C C P X C ===， ()136********C C P X C ===，()4441014210C P X C ===. 所以X 的分布列为： X0 1 2 3 4 P 114 821 37 435 1210 (Ⅲ)由(1)得64μ=，22222(3064)0.1(5064)0.3(7064)0.4(9064)0.2324σ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=车辆 所以18σ=，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数，由()2~64,18T N ，得()(22)(641864218)0.818622P T P T P T μσμσμσμσ-<≤+-<≤+-≤≤+⨯=+=，所以估计在在9:46~10:40之间通过的车辆数为10000.8186819⨯≈.课后练习1.（2020高二上·天津期末）在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布(100,σ2)(σ>0)，若ξ在(85,115)内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（）A.0.25B.0.1C.0.125D.0.5【答案】C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】由题意得，区间(85,115)关于μ=100对称，=0.125，所以P(ξ≥115)=1−P(85<ξ<115)2即该生成绩高于115的概率为0.125．故答案为：C．【分析】根据题意由正态分布表曲线的对称性即可得出该生成绩高于115的概率。

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考点一：正态分布 (2)题型一、正态分布综合题型 (3)课后综合巩固练习 (5)考点一：正态分布(1)概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． (2)正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． 重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．(1)q p =-．题型一、正态分布综合题型1．（2016•绵阳模拟）设随机变量(,1)N ξμ-，若不等式20x -对任意实数x 都成立，且1()2P a ξ>=，则μ的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．（2016•抚州模拟）设随机变量2~(,)N ξμσ，对非负数常数k ，则(||)P k ξμσ-的值是( ) A ．只与k 有关B ．只与μ有关C ．只与σ有关D ．只与μ和σ有关3．（2019春•邢台期末）现对某次大型联考的1.2万份成绩进行分析，该成绩ξ服从正态分布2(520,)N σ，已知(470570)0.8P ξ=，则成绩高于570的学生人数约为( ) A ．1200B ．2400C ．3000D ．15004．（2019春•河南期末）某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布(1N ，23)，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间(4,7)内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)μσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，(22)95.45%)(P μσξμσ-<<+= )A ．31.74%B ．27.18%C ．13.59%D ．4.56%5．（2019春•顺德区期末）某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70．经计算得101153.710i i x x ===∑，9.9s == 生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%．（Ⅰ）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；（Ⅱ）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？附：若2~(,)X N μσ，(0.6827)P X μσμσ-<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<+≈课后综合巩固练习1．（2019春•上高县校级月考）已知两个正态分布密度函数22()2()(2i i x i ix e x R μσϕπσ--=∈，1i =，2)的图象如图所示，则( )A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ>，12σσ>C ．12μμ<，12σσ>D ．12μμ>，12σσ>2．（2019春•南昌期末）某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X 服从正态分布(75,121)N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人．（参考数据()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544)P X μσμσ-<<+= A ．261B ．341C ．477D ．6833．（2019春•许昌期末）某次高二数学联考测试中，学生的成绩X 服从正态分布(100，2)(0)σσ>，若X 在(85,115)内的概率为0.75，任意选取一名学生，则该生数学成绩高于115的概率为 ．4．（2019春•五华区校级月考）某工厂抽取了一台设备A 在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）计算该样本的平均值x ，方差2s ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均值，2σ近似为样本方差2s ．任取一个产品，记其质量指标值为X ．若||X μσ-，则认为该产品为一等品；||2X σμσ<-，则认为该产品为二等品；若||2X μσ->，则认为该产品为不合格品．已知设备A 正常状态下每天生产这种产品1000个．()i 用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3%？()ii 某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备A 换得生产相同产品的改进设备B ．经测试，设备B 正常状态下每天生产产品1200个，生产的产品为一等品的概率是70%，二等品的概率是26%，不合格品的概率是4%．若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备B ？参考数据：①()0.6826P X μσμσ-<+=；②(22)0.9544P X μσμσ-<+=；③(33)0.9974P X μσμσ-<+=12.2≈．5．（2019春•龙岩期末）《福建省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、18%、22%、22%、18%、7%、3%，选考科目成绩计人考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71.80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩ξ基本服从正态分布(70,169)N ． （1）求化学原始成绩在区间(57,96)的人数；（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[71，90]的人数，求事件2X ”的概率（附：若随机变量2~(,)N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=、(33)0997)P μσξμσ-<<+=。

正态分布【题集】1. 正态曲线A.（1）（2）（3）B.（1）（3）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）（3）（4）1.关于正态曲线的性质有下列叙述:（1）曲线关于直线对称，这条曲线在轴的上方;（2）曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数;（3）曲线在处处于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低;（4）曲线的对称位置由确定，曲线的形状由确定，越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”.其中正确的是（ ）．【答案】B【解析】根据正态曲线的性质:当时，正态曲线在轴上方，只有当时，正态曲线才关于轴对称，所以不正确.【标注】【知识点】正态分布xyOA.B.C.D.2.已知三个正态分布密度函数（，）的图象如图所示，则（）．，，，，【答案】D【解析】因为正态曲线关于直线对称，所以可得．又因为的值反映的是这组数据的集中情况，其值越小图象越瘦长，越大图象越矮胖，所以可得，故选．【标注】【知识点】正态分布A. B. C. D.3.以下关于正态分布密度曲线说法中正确的个数是（）．①曲线都在轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴相交；②曲线关于直线对称；③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状；④曲线与轴之间的面积为．【答案】C【标注】【知识点】正态分布2. 正态分布A.与B.与C.与D.与4.设有一正态总体，它的概率密度组成函数，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( ).【答案】B【解析】∵，∴，.【标注】【知识点】正态分布，A. B. C. D.5.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）．【答案】B【解析】因为服从正态分布，且，易知，对称轴为，所以．故选．【标注】【知识点】正态分布A. B. C. D.6.已知随机变量服从正态分布，若，则的值等于（）．【答案】D【解析】，∴．故选．【标注】【知识点】正态分布A. B. C. D.7.已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布．若，则（）．【答案】A【解析】∵随机变量服从二项分布，∴，∵，∵随机变量服从正态分布，∴对称轴是，和关于对称轴对称，∴，故选．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布A.B.C.D.8.已知某批零件的长度误差（单位：）服从正态分布，若，，现从中随机抽取一件，其长度误差落在区间内的概率（ ）．【答案】A【解析】已知某批零件的长度误差服从正态分布，正态曲线，大致如图，∵，，由对称性可得．故选．【标注】【知识点】正态分布9.已知正态分布的密度曲线是，．给出以下四个命题：①对任意，成立．②如果随机变量服从，且，那么是上的增函数．③如果随机变量服从，那么的期望是，标准差是．④随机变量服从，则，，．其中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）【答案】①②④【解析】如果随机变量，∴，，即，故③错，故填①②④．【标注】【知识点】正态分布10.设，若，求．【答案】．【解析】由题意知，，∴正态密度曲线关于对称，又，∴，又，∴，∴．【标注】【知识点】正态分布【素养】数据分析【素养】数学运算（1）（2）11.设随机变量，若．求的值．求．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由知密度函数关于直线对称，又，∴，∴．．【标注】【知识点】正态分布原则12.已知随机变量服从正态分布，则（）．参考数据：，，A. B. C. D.【答案】B【解析】∵随机变量服从正态分布，∴图象关于对称，期望为，方差为，∴，∴，选．【标注】【知识点】正态分布A.上午生产情况正常，下午生产情况异常B.上午生产情况异常，下午生产情况正常C.上午、下午生产情况均正常D.上午、下午生产情况均异常13.某厂生产的零件外径，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为，，则可认为（）．【答案】A【解析】∵，∴，，，而，.故选．【标注】【知识点】正态分布A. B. C. D.14.已知某批零件的长度误差服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）．【答案】B【解析】由题意可知，，则有：，，，，，故选．【标注】【知识点】正态分布15.若在一次数学考试中，某班学生的分数为，且，满分为分，这个班的学生共有人，求这个班在这次数学考试中及格（不小于分）的人数和分以上（不包括分）的人数．【答案】；．【解析】∵，∴，，∴，∴的概率为，∴的概率为，及格人数为，分以上人数为．【标注】【知识点】正态分布正态分布的实际应用（1）（2）16.为了了解某年龄段人群的午休睡眠质量，随机抽取了名该年龄段的人作为被调查者，统计了他们的午休睡眠时间，得到如图所示的频率分布直方图．频率组距睡眠时间分钟求这名被调查者的午休平均睡眠时间．（同一组中数据用该组区间中点作代表）由直方图可以认为被调查者的午休睡眠时间服从正态分布，其中，分别取被调查者的平均午休睡眠时间和方差，那么这名被调查者中午休睡眠时间低于分钟（3）（含）的人数估计有多少？如果用这名被调查者的午休睡眠情况来估计某市该年龄段所有人的午休睡眠情况，现从全市所有该年龄段人中随机抽取人，记午休睡眠时间不超过分钟（含）的人数为，求．（精确到）附：①，．②，则；；．【答案】（1）（2）（3）．人．．【解析】（1）（2）（3）．服从正态分布，，，，，，（人）．∴这名被调查者中午休睡眠时间低于分钟（含）的人数估计有人．，随机变量的取值为，，，，，，服从二项分布，，∴．【标注】【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量的数学期望；正态分布；n次独立重复试验与二项分布（1）（2）17.某精密仪器生产车间每天生产个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布（单位：微米），且相互独立．若零件的长度满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望．小张某天恰好从个零件中检查出个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】（1）（2），．为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件；证明见解析．【解析】（1）（2）由正态分布得出，，∴，所以不合格零件的概率为，，∴，则．由题可知不合格率为，若不检查，损失的期望为，若检查，成本为，，当充分大时，，所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望3. 标准正态分布18.若随机变量，则．【答案】【解析】由正态分布曲线的对称性知．【标注】【知识点】正态分布19.随机变量服从正态分布，如果，则．【答案】【解析】∵，∴，．．【标注】【知识点】正态分布【素养】数学运算【素养】数据分析A.B.C.D.20.设随机变量服从正态分布，则下列结论不正确的是（）．（）（）（）（）【答案】C【解析】∵，∴正确；∵，∴正确，不正确；∵，∴，∴正确．故选：．【标注】【知识点】正态分布21.世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格的大型综合性运动会，每四年举办一届，会期至天，比赛设个大项，参赛规模约多个国家余人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被誉为“军人奥运会”．根据各方达成的共识，军运会于年月日至日在武汉举行，赛期天，共设置射击、游泳、田径、篮球等个大项、个小项．其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目．现对某国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图．（1）（2）（3）分数频率组距估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩近似地服从正态分布，经计算第（）问中样本标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求射击成绩得分恰在到的概率；[参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，]．某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知骰子出现任意点数的概率都是，方格图上标有第格，第格，第格，，第格．遥控车开始在第格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是，，，，点，遥控车向前移动一格（从到），若抛掷出正面向上的点数是点，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移动到第格（胜利大本营）或第格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移动到第格的概率为，试证明是等比数列，并求，以及根据的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力．【答案】（1）（2）（3）．．证明见解析；；有吸引力．【解析】（1）（2）（3）．因为，所以．遥控车开始在第格为必然事件，，第一次掷骰子，正面向上不出现点，遥控车移动到第格，其概率为，即；遥控车移到第格格的情况是下列两种，而且也只有两种：①遥控车先到第格，抛掷出正面向上的点数为点，其概率为，②遥控车先到第格，抛掷骰子正面向上不出现点，其概率为，故，，故时，是首项为，公比为的等比数列，故，，，．故这种游戏方案参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力．【标注】【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；正态分布；相互独立事件的概率乘法公式；数列的实际应用。

成都市2022届高二下期新课讲义（九）《正态分布》新课讲义思维导图正态总体在三个特殊区间内取值的概率值若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974. 上述结果可用图表示如下：3σ原则：由P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997知，正态变量X 在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率为0.3%.于是若X ～N (μ，σ2)，则正态变量X 的取值几乎都在距x ＝μ三倍标准差之内，即在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，这就是正态分布的3σ原则. 典型例题一、正态曲线的定义与性质例1.将一条正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的正态曲线C 2，下列说法中不正确的是 A .曲线C 2仍然是正态曲线 B .曲线C 1和曲线C 2的最高点的纵坐标相等C .以曲线C 2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的期望大2图D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2变式.关于正态曲线性质的叙述: 其中正确的是.①曲线关于直线x=μ对称，整条曲线在x轴上方; ②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数;③曲线在x=μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低;④曲线的对称位置由μ确定;曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”.变式.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A.μ1<μ2，σ1<σ2B.μ1<μ2，σ1>σ2C.μ1>μ2，σ1<σ2D.μ1>μ2，σ1>σ2二、计算服从正态分布的随机变量的概率例2.求正态总体N(1，4)在(－∞，3)内取值的概率.变式.设X~N(1，22)，试求:(1)P(－1<X≤3);(2)P(3<X≤5);(3)P(X≥5).变式.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2三、正态分布的应用例3.设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.变式.(16杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率.课后训练2（正态分布）： 可能使用的结论：若2(,)XN μσ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P1.（15湖南理）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.47722．(17双流)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N （﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A ．1193 B ．1359 C ．3413 D ．27183.设随机变量X ～N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1).(1)求c 的值；(2)求P (－4<x <8).4.（15山东理）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%5.（12全国理15）某个部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布()21000,50N ，且各个部件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .6. (17宜宾)若随机变量ξ服从正态分布)1(2σ，N ，且8.0)2(=<ξP ，则)10(<<ξP 的值为__________．7.已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.84，则P (X ≤0)＝________.8.（17乐山三诊）已知三个正态分布密度函数()()ii x iex σμπσϕ21221--=（R x ∈,3,2,1=i ）的图象如图所示，则A.321321,σσσμμμ>==<B.321321,σσσμμμ=<<=C.321321,σσσμμμ<==>D.321321,σσσμμμ<==<9、甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布),(),,(222211δμδμN N ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数99.12=δB. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小C. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均左右D. 甲类水果的平均质量kg 4.01=μ10.（14全国Ⅰ）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .附：150≈12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.甲0.80.41.99乙xy O11.（17新课标Ⅰ理）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=，0.0080.09≈．12. 质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中a 的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为21S ，22S ，试比较21S ，22S 的大小（只要求写出答案）；（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z 服从正态分布),(2σμN ．其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差22S ，设X 表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求X 的数学期望．注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得9.1175.1422≈=S②若Z ),(~2σμN ，则6826.0)(=+<<-σμσμZ P ，9544.0)22(=+<<-σμσμZ P ．。