平行四边形
平行四边形
两对边平行的简单四边形
平行四边形是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形[1]，在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。其相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。
中文名平行四边形
外文名Parallelogram
特点对边平行且相等、容易变形
类别平面图形
性质1两组对边分别相等
性质2两组对角分别相等
性质3对角线互相平分
性质4两组对边分别互相平行
内角和360°
边数4条
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图形定义 平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形[1]。
1.平行四边形属于平面图形。
2.平行四边形属于四边形。
3.平行四边形属于中心对称图形。
基本性质
矩形 （矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。 （简述为“平行四边形的邻角互补”）
（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）
（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）
（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）
（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）
（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.
（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。
18.1.1平行四边形的性质（第2课时）
教学任务分析
教学目标
知识与技能 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
过程与方法 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题
情感态度价值观 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力
重点 平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用
难点 综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
教学过程设计
时间 问题与情景 师生行为 设计意图
3 活动1：引入
我们学过平行四边形有哪些性质?
平行四边形的两组对边分别平行.
平行四边形的两组对角分别相等
平行四边形的两组对边分别相等
通过回忆并再现旧知识的产生过程，让学生积累学习知识的方法，为新课做准备。
4 活动2：
探究平行四边形对角线的情况
四边形ABCD是平行四边形，则相等的线段有那些？请把它们写出来
细心观察，鼓励学生应用多种方式探索平行四边形的性质，可用三角板量一量，也可采用其他的方法。 初步尝试，体验产生悬念，造成认知冲突，激发学生探索的欲望。
采用动手操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现、验证了所要学习的内容，解决了重点突破了难点．
活动3：对角线定理的证明
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
引导学生证明猜想，体B A
C D
O
18 求证: OA=OC,OB=OD
证明∵AD∥BC(平行四边形的定义)
∴∠1=∠2, ∠3=∠4
又∵AD=BC(平行四边形的对边相等).
∴⊿AOD≌⊿COB（ASA）
∴OA=OC,OB=OD.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）
或在 ABCD中，
OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）
或AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO
若学生不能进行很好的叙述，可提示学生采用仿照性质定理1的方法进行叙述 会证明思路的分析方法和把四边形问题转化为三角形问题的基本想法。
1
平行四边形的性质和判定
基础知识点
知识点1 平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作“□ABCD”。
知识点2 平行四边形的性质：
边：对边平行且相等。
角：对角相等，邻角互补。
对角线：对角线互相平分。
知识点3 平行四边形的判定：
边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。、
知识点4 两条平行线的距离。
知识点5 三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。
性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
典型例题
例1、如图，EF，是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CEAF．猜想：BE与DF有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明。
A
B C D
A
B C D
E
F
2
【变式练习】已知，在□ABCD中，点E、F分别在AD、CB的延长线上，且∠1=∠2，DF交AB于G，BE交CD于H。求证：EH=FG。
例2、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。求证：四边形AECF是平行四边形。
例3、▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，线DC于点F
（1）求证：CE=CF；
（2）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，求∠BDG．
【变式练习】
1、如图,在ABCD中，AE=CF，M、N分别ED、FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．
A G
F B C D H E
2
1
ABFCMDNE
3
平行四边形的性质与判定
平行四边形
性质： （1）：平行四边形对边相等；
（2）：平行四边形对边平行；
（3）：平行四边形对角相等；
（4）：平行四边形对角线互相平分；
（5）：平行四边形邻角互补。
（6）：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
5对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
性质：①矩形的四个角都是直角；
②矩形的对角线相等 .
③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，30°所对的直角边等于斜边的一半。
注意：矩形具有平行四边形的一切性质 . 既是轴对称图形，也是中心对称图形,
判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形 .
菱形
定义：在一个平面内一组邻边相等的平行四边形是菱形
性质：
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角，
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形, 菱形的面积等于其对角线乘积的一半。
判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四边相等的四边形是菱形
3、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
正方形
定义： 在有一个角是直角且邻边相等的平行四边形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形。 ABCDODBCAOABCD
