第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积

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第7章 立体几何

第2节 空间几何体的表面积与体积

考点 柱、锥、台、球的表面积与体积

1．（2013辽宁，5分）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )

A.3172 B．210

C.132 D．310

解析：本题主要考查多面体、球等基本概念以及如何根据组合体中的位置关系进行准确计算，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力以及转化思想．如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ 522＋62＝132.

答案：C

2．（2013天津，5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2， 则正方体的棱长为________．

解析：本题主要考查球的体积、正方体与其外接球的关系，意在考查考生的空间想象能力．设正方体的棱长为x，其外接球的半径为R，则由球的体积为9π2，得43πR3＝9π2，解得R＝32.由2R＝3x，得x＝2R3＝3.

答案：3

3．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．

解析：本题主要考查球及其组合体的基本知识．如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AH∶HB＝1∶2，所以OH＝13R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由题意得πr2＝π，则r＝1，故R2＝1＋13R2，即R2＝98.由球的表面积公式，得S＝4πR2＝9π2.

答案：9π2

4．（2013江苏，5分）如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.

解析：本题考查多面体的体积，意在考查学生的化归能力及运算能力．

设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝13×14S·12h＝124Sh＝124V2，即V1∶V2＝1∶24.

答案：1∶24

5．（2013新课标全国Ⅰ,12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．

解：本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力．

(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.

因为CA＝CB，所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3.

又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.

6．(2013安徽,12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝6.

(1)证明：PC⊥BD；

(2)若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积．

解：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力． (1)证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.

因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.

由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC，又PC⊂平面PAC，因此BD⊥PC.

(2)因为E是PA的中点，所以VP-BCE＝VC-PEB＝12VC-PAB＝12VB-APC.

由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.

因为∠BAD＝60°，

所以PO＝AO＝3，AC＝23，BO＝1.又PA＝6，PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC，故S△APC＝12PO·AC＝3.

由(1)知，BO⊥平面APC，因此VP-BCE＝12VB-APC＝12·13·BO·S△APC＝12.

7．(2013福建,12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.

(1)当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；

(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；

(3)求三棱锥D-PBC的体积．

解：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．

法一：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.

由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，

在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.

又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD，

从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，

得PD＝43.

正视图如图所示：

(2)证明：取PB中点N，连接MN，CN.

在△PAB中，∵M是PA中点，

∴MN∥AB，MN＝12AB＝3.

∵又CD∥AB，CD＝3，

∴MN∥CD，MN＝CD，

∴四边形MNCD为平行四边形，

∴DM∥CN.

∵DM⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，

∴DM∥平面PBC.

(3)VD-PBC＝VP-DBC＝13S△DBC·PD，

又S△DBC＝6，PD＝43，所以VD-PBC＝83.

法二：(1)同法一．

(2)证明：取AB的中点E，连接ME，DE.

在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，

∴四边形BCDE为平行四边形，

∴DE∥BC.

∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

∴DE∥平面PBC.

∵在△PAB中，ME∥PB，

ME⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴ME∥平面PBC.∵DE∩ME＝E，

∴平面DME∥平面PBC.

∵DM⊂平面DME，

∴DM∥平面PBC.

(3)同法一．

8．(2013湖北,13分)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2＝d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1

(1)证明：中截面DEFG是梯形；

(2)在△ABC中，记BC＝a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估＝S中·h来估算．已知V＝13(d1＋d2＋d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．

解：本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．

(1)证明：依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，

所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2＝d1，B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1

由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN＝ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.

又M，N分别为AB，AC的中点，

则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，

即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线．

因此DE＝12(A1A2＋B1B2)＝12(d1＋d2)，FG＝12(A1A2＋C1C2)＝12(d1＋d3)，

而d1

(2)V估

由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN.

而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN.

由MN是△ABC的中位线，可得MN＝12BC＝12a，即为梯形DEFG的高，

因此S中＝S梯形DEFG＝12d1＋d22＋d1＋d32·a2＝a8(2d1＋d2＋d3)，

即V估＝S中·h＝ah8(2d1＋d2＋d3)．

又S＝12ah，所以V＝13(d1＋d2＋d3)S＝ah6(d1＋d2＋d3)．

于是V－V估＝ah6(d1＋d2＋d3)－ah8(2d1＋d2＋d3)＝ah24[(d2－d1)＋(d3－d1)]．

由d10，d3－d1>0，故V估

9．(2012新课标全国，5分)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为( )

A.6π B．43π

C．46π D．63π 解析：设球的半径为R，由球的截面性质得R＝22＋12＝3，所以球的体积V＝43πR3＝43π.

答案：B

10.（2012山东，4分）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．

解析：三棱锥A－DED1的体积等于三棱锥E－DD1A的体积，即VA－DED1＝VE－DD1A＝13×12×1×1×1＝16.

答案：16

11．（2012辽宁，5分）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA＝26，则△OAB的面积为________．

解析：把球O的内接四棱锥还原为长方体，则球O的直径为长方体的体对角线，则(2R)2＝(23)2＋(23)2＋(26)2，可得R2＝12.△OAB中，设AB边上的高为h，则h2＝R2－(3)2＝9，则h＝3，所以S△OAB＝12×23×3＝33.

答案：33

12．（2011新课标全国，5分）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．

解析：设球心为O1，半径为r1，圆锥底面圆圆心为O2，半径为r2，则有316×4πr21＝πr22，即r2＝32r1，所以O1O2＝r21－r22＝r12，

设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1、h2，则h1h2＝r1－r12r1＋r12＝13.

答案：13

13.（2012新课标全国，12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．

(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；

(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

解：(1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.