奥数讲义-第4讲数论、行程-希望杯学生版
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考点一 数论
【例 1】 ⑴(第17届希望杯2试)200622mm(m是正整数)的末位数字为 ．
⑵(第15届希望杯2试)如果n是一个正整数，2n的个位数字是6，且2(1)n的个位数字是9，那么2(1)n的个位数字是 ．
⑶(第18届希望杯2试)已知7641808xyz，其中x，y，z代表非0数字．那么222xyz ．
⑷(第19届希望杯2试)
一个2000位整数的最高位数字是3．这个数中任意相邻的两个数位的数字可看作一个两位数，这个两位数可被17整除，或被23整除．则这个整数的最后六个数位的数字依次是 或 ．
【例 2】 (第11届华罗庚金杯初赛)有一串数：1，22，33，44，……，20042004，20052005，20062006.大明从左往右依次计算前面1003个数的末位数字之和，并且记为a，小光计算余下的1003个数的末位数字之和，并且记为b，求ab的值.
【例 3】 ⑴(第19届希望杯2试)
将1，2，3，4，…，12，13这13个整数分为两组.使得一组中所有数的和比另一组中所有数的第4讲
数论、 行程
和大10，这样的分组方法( )
A. 只有一种 B. 恰有两种 C. 多于三种 D. 不存在
⑵(第17届希望杯2试)已知a、b、c都是整数，mabbcac，那么m为 ．(奇数、偶数)
⑶(第14届希望杯1试)已知p、q都是质数，以x为未知数的方程597pxq的根是1，则401014pq的值是 ．
【例 4】 (第4届希望杯2试)你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由．
【例 5】 (第18届希望杯2试)
a、b、c都是质数，且满足99abcabc，则111111abbcca ．
【例 6】 (第8届希望杯2试)已知一个七位自然数62427xy是99的倍数(其中x、y是阿拉伯数字)，试求950241xy之值，简写出求解过程．
【例 7】 (第14届希望杯2试)正整数m和n有大于1的最大公约数，且满足3371mn，则mn
【例 8】 (第17届希望杯2试)
⑴证明：奇数的平方被8除余1．
⑵请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．
【例 9】 (第17届希望杯1试)将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9按任意顺序写成一排，其中相邻的3个数字组成一个三位数，共七个三位数，对这七个三位数求和，则数字19的每一种排列对应一个和(如将数字19写成1，3，4，2，7，5，8，9，6，可组成134，342，427，275，758，589，896这七个三位数，它们的和是3421)．所求得的和中，最大的数是 ，最小的数是 ．
考点二 行程
【例10】 ⑴小林每天下午5点放学时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家．有一天学校提前一个小时放学，小林自己步行回家，在途中遇到开车来接他的爸爸，结果比平时早20分钟到家，则小林步行__________分钟遇到来接他的爸爸．
⑵(第19届希望杯培训试题)某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返航到C码头，共航行9小时，已知船在静水中每小时航行7.5千米，水流速度是每小时2.5千米，若A、C两码头相距15千米，求A与B的距离.
【例11】 (第18届希望杯2试)小明和哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次，现在，他们从同一起点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：
⑴哥哥速度是小明速度的多少倍？
⑵哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？
【例12】 (第9届希望杯2试)某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分时甲加快速度，在第18分时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙匀速跑完全程所用的时间是______分.
【例13】 (19届希望杯2试)甲、乙、丙三人同时出发，其中，丙骑车从B镇去A镇，而甲、乙都从A镇去B镇(甲开汽车以每小时24千米的速度缓慢行进，乙以每小时4千米的速度步行).当丙与甲相遇在途中的D镇时，又骑车返回B镇，甲则调头去接乙，那么，当甲接到乙时，丙已往回走完DB这段路程的 ；甲接到乙后(乙乘上甲车)，以每小时88千米的速度前往B镇，结果三人同时到达B镇，那么，丙骑车的速度是每小时 千米.
