小学奥数数论讲义 第十九讲 数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用强化篇

千里之行，始于足下。

202X年学校奥数学问点梳理数论202X年学校奥数学问点梳理数论数论是数学中的一个重要分支，争辩整数的性质与关系。

在学校奥数竞赛中，数论经常是一个重要的考点。

下面是202X年学校奥数的数论学问点梳理。

1. 基本概念- 整数：正整数、负整数和零的总称。

- 偶数与奇数：能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。

- 素数与合数：除了1和自身外，没有其他因数的整数称为素数，否则称为合数。

- 因数与倍数：假如a能够整除b，那么称a是b的因数，b是a的倍数。

2. 最大公约数与最小公倍数- 最大公约数（GCD）：两个数公有的最大因数称为最大公约数。

- 最小公倍数（LCM）：两个数公有的最小倍数称为最小公倍数。

3. 质因数分解- 质因数：一个整数假如除了1和它本身外没有其他因数，那么它是一个质数，否则它是合数。

将一个合数分解成质因数的乘积的形式，称为质因数分解。

- 质因数分解算法：从最小的质数2开头，依次推断是否为这个数的因数，假如是，则除以这个数，连续推断剩下的数是否能被这个质数整除，直到无法整除为止。

第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

4. 奇数数列与偶数数列- 一个数列中，从第一个数开头，每个数都比前一个数大2，这个数列称为奇数数列- 一个数列中，从第一个数开头，每个数都比前一个数大2，这个数列称为偶数数列5. 数组与数列- 数组是有序数的集合。

- 数列是数按肯定挨次排列起来的表现形式。

6. 公式与规律- 两个偶数的和是偶数，两个奇数的和是偶数，一个偶数和一个奇数的和是奇数。

- 奇数个奇数的积是奇数，偶数个奇数的积是偶数。

- 一组数的和与这组数里全部的数的奇偶性有关。

- 奇数个奇数的和与这组奇数的个数的奇偶性有关，偶数个奇数的和与全部奇数的奇偶性有关。

- 相邻两个数之间的差是固定的。

7. 排列组合- 排列：从n个不同元素中取r个元素（r≤n）按肯定的挨次排成一列，叫做从n个不同元素中取r个元素的一个排列。

五年级数学奥数精品讲义1-34讲(总87页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录第一讲消去问题（一）第二讲消去问题（二）第三讲一般应用题第四讲盈亏问题（一）第五讲盈亏问题（二）第六讲流水问题第七讲等差数列第八讲找规律能力测试（一）第九讲加法原理第十讲乘法法原理第十一讲周期问题（一）第十二讲周期问题（二）第十三讲巧算（一）第十四讲巧算（二）第十五讲数阵问题（一）第十六讲数阵问题（二）能力测试（二）第十七讲平面图形的计算（一）第十八讲平面图形的计算（二）第十九讲列方程解应用题（一）第二十讲列方程解应用题（二）第二十一讲行程问题（一）第二十二讲行程问题（二）第二十三讲行程问题（三）第二十四讲行程问题（四）能力测试（三）第二十五讲平均数问题（一）第二十六讲平均数问题（二）第二十七讲长方体和正方体（一）第二十八讲长方体和正方体（二）第二十九讲数的整除特征第三十讲奇偶性问题第三十一讲最大公约数和最小公倍数第三十二讲分解质因数（一）第三十三讲分解质因数（二）第三十四讲牛顿问题能力测试（四）2第一讲消去问题（一）在有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知数的数量。

我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。

这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法”。

例题与方法在学习例题前，我们先进行一些基本数量关系的练习，为用消去法解题作好准备。

(1)买1个皮球和1个足球共用去40元，买同样的5个皮球和5个足球一共用去多少元？(2)3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千克？（3）6行桃树和6行梨树一共120棵，照这样子计算8行桃树和8行梨树一共有多少棵？（4）学校买了4个水瓶和25个茶杯，一共用去172元，每个水瓶18元，每个茶杯多少元？例1学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个差杯，共用去118元。

六年级奥数竞赛班
1．不定方程(组)
2．数论计数
3．数论最值
4．数论行程
解方程9648015a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩(其中a 、b 、c 均为自然数 )
两个四位数ACCC 和CCCB
满足，
25ACCC CCCB =请问A ×B ×C 之值是什么？
如图，三条圆形跑道，每条跑道的长都是1千米，A 、B 、C 三位运动员同时从交点O 出发，
分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时
43千米，每小时65千米，每小时89
千米。

问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？
方程、计数、最值、行程等
问题中的数论综合（上）
(★★)
(★★★)
(★★★)
2001个连续的自然数之和为a×b×c×d，若a、b、c、d都是质数，则a＋b＋c＋d的最小值是多少？
有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和。

例如：30就能满足上面的要求，因为30＝9＋10＋11；30＝6＋7＋8＋9；30＝4＋5＋6＋7＋8。

请你在700至1000之间找出所有满足上述要求的数。

(★★★★) (★★★★★)。

第一专题：计算专题共34讲【强化篇17讲竞赛篇17讲】一、计算竞赛篇共17讲竞赛1-加减法巧算之凑整与组合思想之竞赛篇(第1讲)竞赛2-乘除法巧算之提取公因式与组合思想之竞赛篇(第2讲)竞赛3-四则混合巧算只综合技巧之竞赛篇(第3讲)竞赛4-定义新运算之速算与巧算之竞赛篇(第4讲)竞赛5-数列求和与公式技巧之竞赛篇(第5讲)竞赛6-多位计算与归纳思想之竞赛篇(第6讲)竞赛7-小数计算与换元思想之竞赛篇(第7讲)竞赛8-数表计算与代数公式应用之竞赛篇(第8讲)竞赛9-循环小数互化与错位相减技巧之竞赛篇(第9讲)竞赛10-分数(繁分数)计算综合与比例转化之竞赛篇(第10讲)竞赛11-比较与估算综合技巧之竞赛篇(第11讲)竞赛12-分数计算之拆分、裂项与通项归纳之竞赛篇(第12讲)竞赛13-分数计算之换元与缩放之竞赛篇(第13讲)竞赛14-定义新运算之复杂运算与抽象运算之竞赛篇(第14讲)竞赛15-四大杯赛中的计算综合思想之竞赛篇(第15讲)竞赛16-计算综合之复杂分数裂项计算综合之复杂整数裂项之竞赛篇(第16讲) 竞赛17-计算综合之复杂公式与复杂换元计算之竞赛篇(第17讲)二、计算强化篇共17讲第一讲加减法巧算之凑整与组合思想(第18讲)第二讲乘除法巧算之提取公因式与组合思想(第19讲)第三讲四则混合巧算只综合技巧(第20讲)第四讲定义新运算之速算与巧算(第21讲)第五讲数列求和与公式技巧(第22讲)第六讲多位计算与归纳思想(第23讲)第七讲小数计算与换元思想(第24讲)第八讲数表计算与代数公式应用(第25讲)第九讲循环小数互化与错位相减技巧(第26讲)第十讲分数(繁分数)计算综合与比例转化(第27讲)第十一讲比较与估算综合技巧(第28讲)第十二讲分数计算之拆分、裂项与通项归纳(第29讲)第十三讲分数计算之换元与缩放(第30讲)第十四讲定义新运算之复杂运算与抽象运算(第31讲)第十五讲四大杯赛中的计算综合思想(第32讲)第十六讲计算综合之复杂分数裂项与整数裂项(第33讲)第十七讲计算综合之复杂公式与复杂换元计算(第34讲)第二专题数论专题计算专题共38讲【强化篇19讲竞赛篇19讲】一、数论竞赛篇第一讲奇偶数的性质与应用之竞赛篇(第35讲)第二讲有趣余数之性质与周期之竞赛篇(第36讲)第三讲整数分拆之分类与计数之竞赛篇(第37讲)第四讲整数分拆之最值与应用之竞赛篇(第38讲)第五讲数的整除之性质与求法之竞赛篇(第39讲)第六讲数的整除之代数思想与运用之竞赛篇(第40讲)第七讲数的整除之四大判断法综合运用之竞赛篇(第41讲)第八讲质数、合数与两大约数定理之竞赛篇(第42讲)第九讲因数与倍数之最大公因数与最小公倍数之竞赛篇(第43讲)第十讲因数与倍数之综合应用之竞赛(第44讲)第十一讲完全平方数之竞赛篇(第45讲)第十二讲带余除法之竞赛篇(第46讲)第十三讲同余问题之竞赛篇(第47讲)第十四讲中国剩余定理之竞赛篇(第48讲)第十五讲进制与位值原理之竞赛篇(第49讲)第十六讲四大杯赛的数论综合思想之竞赛篇(第50讲)第十七讲数论综合之整除相关问题之竞赛篇(第51讲)第十八讲数论综合之余数相关问题之竞赛篇(第52讲)第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用之竞赛篇(第53讲) 二、数论强化篇第一讲奇偶数的性质与应用(第54讲)第二讲有趣余数之性质与周期(第55讲)第三讲整数分拆之分类与计数(第56讲)第四讲整数分拆之最值与应用(第57讲)第五讲数的整除之性质与求法(第58讲)第六讲数的整除之代数思想与运用(第59讲)第七讲数的整除之四大判断法综合运用(第60讲)第八讲质数、合数与两大约数定理(第61讲)第九讲因数与倍数之最大公因数与最小公倍数(第62讲)第十讲因数与倍数之综合应用(第63讲)第十一讲完全平方数(第64讲)第十二讲带余除法(第65讲)第十三讲同余问题(第66讲)第十四讲中国剩余定理(第67讲)第十五讲进制与位值原理(第68讲)第十六讲四大杯赛中的数论综合思想(第69讲)第十七讲数论综合之整除相关问题(第70讲)第十八讲数论综合之余数相关问题(第71讲)第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用之竞赛篇(第72讲) 第三专题行程专题计算专题共30讲【强化篇15讲竞赛篇15讲】一、行程竞赛篇第一讲基础行程之竞赛篇(第73讲)第二讲简单相遇、追及之竞赛篇(第74讲)第三讲复杂相遇、追及之竞赛篇(第75讲)第四讲猎狗追兔之竞赛篇(第76讲)第五讲火车过桥之竞赛篇(第77讲)第六讲多次相遇之竞赛篇(第78讲)第七讲多人行程之竞赛篇(第79讲)第八讲流水行船之竞赛篇(第80讲)第九讲简单环形之竞赛篇(第81讲) 第十讲复杂环形之竞赛篇(第82讲) 第十一讲接送问题之竞赛篇(第83讲) 第十二讲间隔发车之竞赛篇(第84讲) 第十三讲电梯问题之竞赛篇(第85讲) 第十四讲变速变道之竞赛篇(第86讲) 第十五讲综合行程之竞赛篇(第87讲) 二、行程强化篇第一讲基础行程(第88讲)第二讲简单相遇、追及(第89讲)第三讲复杂相遇、追及(第90讲)第四讲猎狗追兔(第91讲)第五讲火车过桥(第92讲)第六讲多次相遇(第93讲)第七讲多次行程(第94讲)第八讲流水行船(第95讲)第九讲简单环形(第96讲)第十讲复杂环形(第97讲)第十一讲接送问题(第98讲)第十二讲间隔发车(第99讲)第十三讲电梯问题(第100讲)第十四讲变速变道(第101讲)第十五讲综合行程(第102讲)第四专题应用题专题共16讲一应用题1和差倍问题(第103讲)盈亏问题(第104讲)二应用题2还原问题(第105讲)鸡兔同笼(第106讲)三应用题3年龄问题(第107讲)周期问题(第108讲)四应用题4平均数问题(第109讲)统筹与规划问题(第110讲)五应用题5分数百分数问题(第111讲)牛吃草(第112讲)六应用题6比和比例(第113讲)工程问题(第114讲)七应用题7经济问题(第115讲)浓度问题(第116讲)八应用题8方程解复杂应用题(第117讲)应用题综合(第118讲)第五专题：几何专题计算专题共4讲【5级2讲6级2讲】一、几何专题能力进阶五级：五大模型及常用思维与方法第一讲五大模型(第119讲)第二讲常用思维与方法(第120讲)二、几何专题能力进阶六级：曲线型与立体几何第一讲曲线型(第121讲)第二讲立体几何(第122讲)。

目录第一章数与计算…………………………………………第一讲估值问题……………………………………第二章趣题与智巧…………………………………………第一讲算式谜…………………………………………第三章实践与应用（一）………………………………第一讲行程问题（一）………………………………第二讲行程问题（二）………………………………第三讲行程问题（三）………………………………第四讲行程问题（四）………………………………第四章数论与整除…………………………………………第一讲数字趣题…………………………………………第二讲分解质因数（一）………………………………第三讲分解质因数（二）………………………………第四讲最大公因数………………………………第五讲最小公倍数（一）………………………………第六讲最小公倍数（二）………………………………第五章实践与应用（二）………………………………第一讲盈亏问题……………………………………第二讲假设法解题……………………………………第三讲作图法解题……………………………………第四讲火车行程问题………………………………第五讲杂题…………………………………………第六章组合与推理……………………………………第一讲包含与排除………………………………第二讲置换问题……………………………………第三讲简单列举……………………………………第四讲最大最小问题………………………………第五讲推理问题……………………………………第一章数与计算第一讲估值问题【专题导引】在日常生活中，某些量往往只需要作一个大致的估计，如对某厂下一年生产的总产值的估计就只能是一个大概数。

很难也没有必要精确到几元几角几分。

估算就是对一些量的粗略运算，不仅现在，就是今后科学技术相当发达了，这类计算仍然十分必要。

如果我们的计算结果与粗略估计大相径庭，就说明我们的计算过程必然有错。

估算常采用的方法是：1、省略尾数取近似值；2、用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围进行估算。

第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用强化
【例1】
一个圆的周长为60厘米，三个点把这个圆圈分成三等分，3只甲虫A、B、C按顺时针方向分别在这三个点上，它们同时按逆时针方向沿着圆圈爬行，A的速度为每秒5厘米，B的速度为每秒1.5厘米，C 的速度为每秒2.5厘米。

问3只甲虫爬出多长时间后第一次到达同一位置。

【例2】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【例3】
在下面的□中填入数字，使等式成立(注：每个□内只允许填0，1，2，…，9中的一个数字，允许重复)□□×□＋□=101，那么满足以上要求的等式可以填出______个。

【例4】各位数字均不大于5，且能被99整除的4位数，共有多少个？。

小学六年级奥数基础知识——数论编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（小学六年级奥数基础知识——数论）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为小学六年级奥数基础知识——数论的全部内容。

行程问题基本行程问题平均速度火车过桥流水行船接送问题电梯行程数论问题奇偶分析数的整除约数倍数进位制余数问题完全平方数几何问题小学几何五大模型勾股定理与弦图巧求周长立体图形的体积计数问题加法原理乘法原理容斥原理排列组合枚举法归纳法应用题鸡兔同笼问题年龄问题盈亏问题牛吃草问题工程问题浓度问题计算问题分数列项与整数列项繁分数的计算数学计算公式换元法找规律其他数阵图与数字谜操作与策略抽屉原理逻辑推理不定方程染色问题小学六年级奥数基础知识——数论一一质数和合数（1）一个数除了1和它本身,不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

（2）自然数除0和1外,按约数的个数分为质数和合数两类.任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

（3)最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数,其他质数都为奇数；最小的合数是4。

(4)质数是一个数,是含有两个约数的自然数。

互质是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５）,可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数.（５)如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（６）１００以内的质数有２５个:２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７．注意：两个质数中差为1的只有3—2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。

一、拆分的基础知识 整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。

二、拆分基本方法1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘积最大”原则。

2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大应将数列拆分成：a =2+3+4+…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则：⑴当多0时，将a 拆成a =2+3+4+…+ (n -1) +n ；⑵当多1时，将a 拆成a =3+4+5+…+ (n -1) +( n -1)；⑶当多2，3，…，n －1中的数时，就将该数从2，3，…，n －1，n 中删除，其余数即为所拆之数。

例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？2+3+4+5+6+7+8=35比30大5，故将5去掉30被拆成2+3+4+6+7+8【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。

【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。

整数分拆之最值与应用【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。

【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？【巩固】有长方形和正方形三块地。

它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。

这三块中哪一块地最大？面积是多少？【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？这个最大的乘积是多少？【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。