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余数周期问题一、考点、热点回顾1、在除法中，当被除数除以除数（除数不等于0）出现了余数（余数要比除数小），就称为有余数的除法。
在有余数的除法中，我们要记得：（1）被除数=商×除数＋余数（2）除数=（被除数－余数）÷商2、有余数除法的侧重点往往不是商，而是余数。
要通过余数寻找对应的顺序位置求解，这点与以往的解题思路有所不同。
解题过程中要注意余数比除数小。
同时，要知道余数的最大值（除数-1）和最小值（1）3、余数应用：在一些题目中，我们可以根据余数来寻找事物的排列规律，从而培养概括推理能力。
4、应用周期性规律时，首先要确定变化的周期是几，其中有些是属于常识性知识，如每周有7天，生肖由12种动物组成等，而有些变化周期要进行观察、判断。
二、经典例题例1．写出所有除以5所得的商和余数相同的数？解析：余数要比除数小，所以余数只能比5小，只能为1，2，3，4，再根据被除数=商×除数＋余数来求出被除数。
例2．找出下列图形排列的规律，根据规律推算出第16个图形是什么？（1）□△△□△△□△△□△△。
（2）☆○○△☆○○△☆○○△。
解析：（1）每□△△为一组，显然16÷3=5……1，根据余数的规律，可以判断出第16个图形是□；（2）每☆○○△为为一组，显然16÷4=4，说明第16个图形恰好是△。
例3．国庆节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序，一共挂了50只彩灯。
问：第50只彩灯是什么颜色？红色彩灯共有多少只？解析：我们可以把6只彩灯看做一组，那么50÷6=8……2，余数的2只是第9组的前两只，所以第50只彩灯是黄色。
红色彩灯有8+1=9只。
例4．有一列数：2，3，5；2，3，5；2，3，5；…？（1）第26个数是几？（2）这26个数的和是多少？解析：从这列数可以看出来2，3，5是一组，因此26个数可以组成26÷3=8……2；要求出这26个数的和，可以先求出一组数的和10。
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b
对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b
对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(modm)；
②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则
a≡c(modm)；
④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则
a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；
⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则
a×c≡b×d(modm)；
⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则
a×c≡b×c(modm×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或
M≡11-（X-Y）(mod11)；
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被
p整除，则ap-1≡1(modp)。
新学堂教育五年级奥数培训资料我学习我快乐我进步第2讲尾数和余数一、知识要点自然数的末位数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫作余数。
尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
二、精讲精练【例题1】〔1〕9×9×9××9〔51个9相乘〕积的个位数是几？〔2〕×××〔204个相乘〕×25×25×25××25〔1001个25〕的个位数字是几？练习1：〔1〕61×61×61××61〔2001个61相乘〕积的尾数是几？〔2〕〔31×36〕×〔31×36〕××〔31×36〕〔共50个〕积的尾数是几？（3〕××××〔2002个〕×××××〔2002个〕积的尾数是多少？1新学堂教育五年级奥数培训资料我学我快我步【例2】3×3×3×⋯⋯3〔2006个3相乘〕+4×4×4×⋯⋯4〔2007个4相乘〕的尾数是几？2：〔1〕5×5×5×⋯⋯5〔2000个5相乘〕+6×6×6×⋯⋯6〔2001个6相乘〕+7×7×7×⋯⋯7〔2002个7相乘〕的尾数是几？〔2〕52×52×52×⋯⋯52〔33个52相乘〕-32×32×32×⋯⋯32〔29个32相乘〕的尾数是几？【例3】444⋯⋯4〔100个4〕÷6，当商是整数，余数是几？3：当商是整数，余数各是几？〔1〕666⋯⋯6〔50个6〕÷4〔2〕888⋯⋯8〔80个8〕÷7〔3〕444⋯⋯4〔1000个4〕÷74〔4〕111⋯⋯1〔1000个1〕÷5【例4】有一列数，前两个数是3与4，从第3个数开始，每一个数都是前面两个数的和。
第8讲余数与周期说说内容1.解决周期问题时，需要通过判断余数的情况来解决问题。
2找到数字排列的规律，可以推算出一些较复杂数的计算结果的个位数。
.例1有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？50个2连乘的积的个位数是几？例2 100个“12”接连在一起，这个数除以13的余数是几？4444…44（100个4）÷3，当商是整数时，余数是几？例3有一个1111位的数，各位数字都是1，这个数除以6余数是几？商的末位数字是几？1111…11（100个4）÷7，当商是整数时，余数是几？练习1、小华数左手的手指，大拇指为1，食指为2，中指为3，无名指为4，小拇指为5，然后换方向再数，小拇指为6，无名指为7，中指为8，食指为9，大拇指为10，再次换方向数，大拇指为11，……这样数到55，停在哪个手指上。
（）A、大拇指B、食指C、无名指D、小拇指2、我国农历用鼠牛虎兔龙马羊蛇猴鸡狗猪这12种动物顺序轮流代表各年的年号。
如果1985年是牛年，那么2005年是什么年。
（）A、蛇B、鸡C、猴D、狗3、2004年9月1日是星期三，这一年的12月24日是星期______。
4、昨天是9日，今天是星期三，29日是星期______。
5、有一列数5、4、3、2、1、5、4、3、2、1……第26个数是______，这26个数的和是_____。
6、把一副扑克牌依次发给A、B、C、D四个人，那么最后一张扑克牌应发给______。
7、有21枚硬币，按一枚1角，两枚5角和三枚一元的顺序摆放，那么最后一枚硬币是______，这些硬币总共有______角。
8、爸爸和儿子玩数数游戏，爸爸伸出左手告诉儿子游戏规则是：大拇指为1，食指为2，中指为3，无名指为4，小拇指为5，然后换方向再数，无名指为6，中指为7，食指为8，大拇指为9，食指为10，中指为11，……如下图所示，这样数到80，问应该停在哪个手指上？大拇指食指中指无名指小拇指1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 1317 16 15 14……………………8、有一排黑白旗子按下图排列，一共有109面旗，这排旗子的最后一面旗是黑色的，那么一共有多少面黑色的旗子？第45面旗子是什么颜色的？第61面旗子是什么颜色的？前50面旗子中共有多少个黑色的旗子，多少个白色的旗子？………………。
有趣余数之性质与周期一、基本概念余数：我们在做除法运算的时候，被除数不能被除数整除，有剩余，这个剩余部分的数我们把它叫做余数。
被除数÷除数=商…余数注：当余数大于0时也可称为不完全商被除数=除数⨯商+余数除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数二、余数的性质余数的几个重要性质：性质1：在带余除式中，余数总是比除数小。
性质2：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。
性质3：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数。
三、余数与周期常考题型：1.图形中的周期问题；2.数列中的周期问题；3.年月日中的周期问题。
做题是需要注意几点：1.观察：数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。
2.确定：每几个数循环一次，周期长度是多少。
3.分析：每个循环节是按什么次序排列的。
4.注意：解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。
例如：余数为3，就找循环节里面的第3个状态。
【例1】1111111除以6，余数是几？1000个1【例2】某年的10月里有5个星期六，4个星期日。
问：这年的10月1日是星期几？【例3】电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。
现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里。
一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里。
问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？例3图【例4】甲、乙、丙3人从2001年1月1日开始工作，甲每工作3天就休息1天；乙每工作5天就休息2天；丙每工作7天休息3天，那么在2001年的所有365天里，有天是3人同时休息的。
〖答案〗【例1】 1【例2】星期四【例3】 77【例4】 11天。
华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
小学奥数数论内容中，余数相关问题是最成体系的，也是各类竞赛考试中的重点．⑴同余性质是解决同余问题的重要依据,复习简单同余问题，学会灵活运用同余性质解决同余问题. ⑵熟练掌握余数定理在多位数除法以及高次冥末尾数字求解中的基本运用.⑶能用凑同余的办法解决一个数除以多个数，得不同余数的问题，学会使用中国剩余定理．带余除法：一般地，如果a 是整数，b 是整数()0b ≠，那么一定有另外两个整数q 和r ，0r b ≤<，使得a b q r =⨯+．当0r =时，我们称a 能被b 整除．当0r ≠时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(亦简称为商)．用带余数除式又可以表示为a b q r ÷= ,0r b ≤<．同余式：若两个整数a ，b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a ，b 对于模m 同余，用“同余式”表示为()mod a b m ≡意味着(我们假设a b ≥)a b mk -=，k 是整数，即()|m a b -．若两个数a ，b 除以同一个数c 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被c 整除．余数定理：①两数的和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和．实例：7321÷= ，5312÷= ，这样()753+÷的余数就等于()123+÷的余数．②两数的差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差．实例：8322÷= ，4311÷= ，这样()843-÷的余数就等于()213-÷的余数．③两数的积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积．实例：7321÷= ，5312÷= ，这样()753⨯÷的余数就等于()123⨯÷的余数． 第 6讲数论(二)【例 1】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【分析】 (70110160)50290++-=，503162÷= ，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058152÷= ，5250>，所以除数不是58．7029212÷= ，11029323÷= ，16029515÷= ，12231550++=，所以除数是29．【例 2】 一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？【分析】 设两位数ab (a 表示十位数字，b 表示个位数字)1091ab a b a a b a b a b+==++++ 由于余数不会超过除数a b +的值，所以我们对a b +的值从最大值18开始往小进行尝试搜索：当18a b +=，此时余数为9． 当17a b +=，则两位数为89、98，余数为4、13．当16a b +=，则两位数为97、88、79，余数为1、8、15．则余数最大的为15，因为接下来，除数最大为15，这样余数中最大的也只可能为14，所以余数最大的是15．【例 1】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数和a 的值. ［分析］ 将这些数转化被该自然数除后余数为2a 的数：()42952848-⨯=，791、50021000⨯=，这些数被这个自然数除所得的余数都是2a ，同余. 将这三个数相减，得到84879157-=、1000848152-=，所求的自然数一定是57和152的公约数，而()57,15219=，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，6a =时成立,所以这个自然数是19，6a =.［拓展］已知60，154，200被某自然数除所得余数分别是1a -，2a ，31a -，求该自然数的值． ［分析］ 自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a ，2a ，3a ．自然数2613721=与154同余，611549394⨯=与201同余，所以除数是3567和9193的公约数，运用辗转相除法可得到该除数为29．经过检验成立．［拓展］甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？［分析］ 设这个数为M ，则11603M A r ÷=22939M A r ÷=33393M A r ÷=122r r =,232r r =,要消去余数1r ,2r ,3r ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4． 这样我们可以得到下面的式子：11603M A r ÷=()22939222M A r ⨯÷=()33393424M A r ⨯÷=这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被M 整除．93926031275⨯-=，3934603969⨯-=，()1275,30651317==⨯．603，939，393这三个数有公约数3．51317÷=．则A 等于17．【例 2】 一个自然数减去它的各位数字之和得到的差值，称为“好数”．例如，根据()757757738-++=是“好数”．在四位数20□○的方框中填入某个恰当的数字后，可以使得无论圆圈内填入09 中的哪个数字，该四位数都不是“好数”，那么在方框中应填写数字__________．【分析】 注意到所有“好数”都是9的倍数，但9的倍数不一定都是好数．200x 对应的“好数”是20021998x x --=；201x 对应的“好数”是201212007x x ---=；202x 对应的“好数”是202222016x x ---=；…… …… ……209x 对应的“好数”是209292079x x ---=；210x 对应的“好数”是210212097x x ---=；即在20□○中“好数”只能是2007、2016、2025、2034、2043、2052、2061、2070、2079、2097． 所以，如果在20□○的“□”内填入8，则不管“○”填入什么数都不能是“好数”．【例 3】 (南京市“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛)现有糖果254粒，饼干210块和桔子186个．某幼儿园大班人数超过40．每人分得一样多的糖果，一样多的饼干，也分得一样多的桔子．余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1:3:2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个．【分析】 法一：设大班共有a 名小朋友．由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:3:2，所以余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而254186210+-一定是a 的倍数，即2541862102301230102325+-==⨯=⨯=⨯⨯是a 的倍数．同样，225418632223142327⨯-==⨯=⨯⨯也一定是a 的倍数．所以，a 只能是232⨯的因数．但40a >，所以46a =．此时25446524=⨯+，21046372=⨯+，18646348=⨯+．故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个．法二：如果糖果有25461524⨯=粒，饼干有2102420⨯=块，橘子有1863558⨯=个，那么余下的糖果、饼干、橘子的个数相等，所以1524、420、558这三个数的相互之差是大班人数的倍数，152********-=，558420138-=，()1104,138138=，所以幼儿园大班人数是138的大于40的约数，即138、69、46，经过检验，其中只有46满足条件．每人分得糖果5粒、饼干3块、橘子3块．【例 4】 试求105253168⨯的末两位数．【分析】 分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数．首先考虑4，253除以4余数是1，所以25310除以4的余数仍是1；168是4的倍数，它的5次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的余数也是0．再考虑25，253除以25余3，则只需看310除以25的余数，又310=27×27×27×3，则310除以25的余数为2×2×2×3=24；168除以25余18，则只需看51832432418=⨯⨯除以25的余数，可知余数为18；又2418432⨯=除以25的余数为7，所以原式除以25的余数即为7．两位数中，能被4整除，除以25余7的数只有32，则原式的末两位即为32．［拓展］试求20082007的末两位数.［分析］200720007=+，所以20082007的末两位数与20087的末两位数相同． ()()100450220082100425027749492401====，2401被100除余1所以5022401被100除得的余数等于5021，所以20082007的末两位数是01.［拓展］求89143除以7的余数．［分析］ 法一：∵()1433mod7≡(143被7除余3)∴()89891433mod7≡(89143被7除所得余数与893被7除所得余数相等)而63729=，()7291mod7≡∴()8966655143333335mod7≡⨯⨯⨯⨯≡≡个． 89于是余数以6为周期变化．所以335mod7≡≡．【例 5】1234200512342005+++++ 除以10所得的余数为多少？ 【分析】 求结果除以10的余数即求其个位数．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把每个加数的个位数按20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的数字应该是一样的．首先计算123420123420+++++ 的个位数字，为4．2005个加数中有100组另5个数，100组的个位数是4100400⨯=的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523++++=的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．【例 6】 求{10031203308L 个除以19的余数． 【分析】 法一：{{{10161003101312033081266406332=-L L L 个个个 {{101310132063326332=⨯-L L 个个 {1013196332=⨯L 个 所以{10031203308L 个除以19的余数为0． 法二：首先计算120308被19除所得余数为0，120330812030810228=⨯+，228也是19的倍数，所以1203308也是19的倍数．12033308120330810228=⨯+，所以1203308也是19的倍数．以此递推可得到{10031203308L 个也是19的倍数．［拓展］(2008年奥数网杯)已知20082008200820082008a = 个，问：a 除以13所得余数是______.［分析］2008除以13余6，10000除以13余3， 注意到200820082008100002008=⨯+；20082008200820082008100002008=⨯+；2008200820082008200820082008100002008=⨯+；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余6361311⨯+-=，200820082008除以13余1136390⨯+-=，即200820082008是13的倍数，而2008除以3余1，所以20082008200820082008a = 个除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.【例 7】 对任意的自然数n ，证明2903803464261n n n n A =--+能被1897整除．【分析】18977271=⨯，7与271互质，因为29035(mod 7)≡，8035(mod7)≡，4642(mod 7)≡，2612(mod7)≡，所以，290380346426155220(mod7)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被7整除．又因为2903193(mod 271)≡，803261(mod 271)≡，464193(mod 271)≡，所以29038034642611932611932610(mod271)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被271整除． 因为7与271互质，所以A 能被1897整除．【例 8】 在下表中填入自然数，要求第一行中所填入的自然数从左到右依次是31，32，33， ，第中填入的自然数从左到右依次是13，23，33， ，第三行中填入的自然数是同一列当中第一行、7【分析】 第一行的数被7除所得余数依次是1，1，6，1，6，6，0，……，以7为周期．第二行的数被7除所得的余数依次是3，2，6，4，5，1……，以6为周期．第三行的自然数如果除以7余1，那么对应第一行、第二行的自然数被7除，只有0+1和6+2两种情况，其中第一种情况下，对应的列数能被7和6整除，所以在第42列才能出现该情况，第二种情况下，对应的列数被7除余3，5，6，被6除余2，符合条件的最小列数是20．“物不知数问题”一般解题步骤：①凑“多”相同，即把余数处理成相同 条件：余数与除数的和相同②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同 条件：除数与余数的差相同③先考虑上面两种，如果都不行，可使用逐步满足法或使用“中国剩余定理” ．④逐步满足法：先满足条件一，得N ，再用“M N =+已满足除数公倍数”来满足下一个条件．《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思就是，有一些物品，如果3个3个的数，最后剩2个；如果5个5个的数，最后剩3个；如果7个7个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”， 西方数学家把它称为“中国剩余定理”．到现在，这个问题已成为世界数学史上闻名的问题．到了明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知．用现在的话来说就是：一个数用3除，除得的余数乘70；用5除，除得的余数乘21；用7除，除得的余数乘15．最后把这些乘积加起来再减去105的倍数，就知道这个数是多少．《孙子算经》中这个问题的算法是：702213152233⨯+⨯+⨯=；23310510523--=；所以这些物品最少有23个．得出问题中的系数70、21、15，实际上是非常巧妙的构造过程,这三个数满足以下条件70是5和7的公倍数，且被3除余1；21是3和7的公倍数，且被5除余1；15是3和5的公倍数，且被7除余1．在这样的条件下，任意一个系数乘以对应余数所得的积，被对应除数除后所得的余数恰好等于对应余 数，且该积仍然能被其他两个除数整除，因此三个积相加并不相互影响各自被对应除数除后所得的余数． 即702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数．【例 9】 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】 法一：仔细分析可以发现321527⨯+=+=，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，[]3,5,11165=，所以这个数最小是1657172+=．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，在7的基础上加上3，5，11的最小公倍数，得到172即为所求的数．［铺垫］一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为＿＿＿＿． ［分析］ 根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是53718+=+=，这样我们可以把余数都处理成8，所以[]5,7,9315=，所以这个数最小为3158323+=．［铺垫］一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？［分析］ 根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11813103-=-=，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以[]11,13143=，所以这个数是1433140-=．【例10】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为＿＿＿＿．【分析】 法一：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以可以使用普遍适用的“中国剩余定理”，步骤如下：分别找出除以7余7的公倍数，除以3余2的5、7的公倍数，分别是：60、63、35可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数．所以答案为：158-105=53．法二：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合前两个条件的最小自然数，用3不断加2，当2被加上两个3时得到8，检验符合前两个条件，再用3和5的最小公倍数不断加8，当8被加上3个15，得到53，检验符合三个条件．法三：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，用7不断加4，当4被加上两个7时得到18，检验符合后两个条件，再用7和5的最小公倍数不断加18，当18被加上1个35，得到53，检验符合三个条件．【例11】有连续的三个自然数a、1a+，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最a+、2小的数至少是多少？【分析】法一：由1a+是7的倍数，得到a被7除余5，运用中国a+是8的倍数，得到a被8除余7，由2剩余定理求a：(⨯+⨯=495是满足各个余数条件的最小441728854527值，所以a至少是495．法二：a、1a++也分别是9、a++、27a+、18a+、2a+恰好分别是9、8、7的倍数，那么9a+的最小值是987504⨯⨯=，即a至少是495．8、7的倍数，即9a+是9、8、7的倍数，9【例12】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：【分析】将33210×5=1050被11除余5，由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，又3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以2678-1155×2=368是符合条件的最小值．［拓展］一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最小数．［分析］本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，符合条件的最小偶数是368，只要将368加上3×5×7×11就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368+3×5×7×11=1523．1． 有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？【分析】 由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25，所以63+90+130-25=258能被这个自然数整除.258=2×3×43，显然当除数为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6，3×(6-1)=15，所以均不能满足条件.当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满足.那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足. 显然这3个余数中最大的为20．2． ()200831312008+被13除所得的余数是多少？【分析】31被13除所得的余数为5，31n 当n 取1，2，3， 时31n 被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12， 所以200831被13除余1．2008被13除所得的余数是6，6n 当n 取1，2，3， 时，6n 被13除所得的余数分别是6，10，8，9，2，12，7，3，5，4，11，1，6， 所以316被13除所得的余数等于76被13除所得的余数，即7，所以()200831312008+被13除所得的余数是178+=．3． 一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是___________．【分析】 这个数加上11后能被7、8、9整除．7、8、9的最小公倍数是789504⨯⨯=，所以除以7,8,9后分别余3、5、7的数最小为50411-．504分别除以7、8、9所得的商之和是897879191⨯+⨯+⨯=，则50411-分别除以7、8、9所得的商之和是19123185-⨯=．7581851913=+⨯，所以这个数为5041150432005-+⨯=．4． 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数．【分析】 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”．[]5,6228-=，即28适合前两个条件．分析[]285,6x +⨯中能满足“除以7余1”的x 的值．可得到4x =是满足条件的最小值，所以，适合条件的最小的自然数是28304148+⨯=．5． 将一些水果装盘（少于100）个，如果7个7个装盘则剩下2个不能装，如果11个11个装盘则剩下6个不能装盘，如果13个13个装盘，那么还剩下7个不能装盘，那么这些水果有多少个？【分析】 11×13的倍数：143、286、429，……其中被7除余2的有429；7×13的倍数：91，182，……除以11余6的有182；7×11的倍数：77，154，……除以13余7的有462．1824624291073++=，由于水果数少于100，所以水果数有1073100172-=个．选绿色包装——减少垃圾灾难每人每年丢掉的垃圾重量超过人体平均重量的五六倍．北京年产垃圾430万吨，日产垃圾1.2万吨，人均每天扔出垃圾约1千克，相当于每年堆起两座景山．我国目前垃圾的产生量是1989年的4倍,其中很大一部分是过度包装造成的．不少商品特别是化妆品、保健品的包装费用已占到成本的30%—50%．过度包装不仅造成了巨大的浪费，也加重了消费者的经济负担，同时还增加了垃圾量，污染了环境．我们选购产品的时候还是以使用价值为主，尽量避免选购过度包装的产品，减少垃圾的制造量．拒子入门子发是战国时期楚国的一位将军．一次，他带兵与秦国作战，前线断了粮草，他派人向楚王告急．使者顺便去看望子发的老母．老人问使者：“兵士都好吗?”使者回答：“还有点儿豆子，只能一粒一粒分着吃．”“你们将军呢?”母亲问．使者回答道：“将军每餐都能吃到肉和米饭，身体很好．”子发得胜归来，母亲紧闭大门不让他进家门，并派人去告诉子发：“你让士兵饿着肚子打仗，自己却有吃有喝，这样做将军，打了胜仗也不是你的功劳．”母亲又说：“越王勾践伐吴的时候，有人献给他一罐酒，越王让人把酒倒在江的上游，叫士兵们一起饮下游的水．虽然大家没尝到酒味，却鼓舞了全军的士气，提高了战斗力．现在你却只顾自己不顾士兵，你不是我的儿子，你不要进我的门．”子发听了母亲的批评，向母亲认了错，决心改正，才得以进家门．俗话说：“子不教，父之过．”子女成长的好坏，长辈有着极大的责任．父母为了使孩子成长成参天大树，就必须在我们心中植下博爱之心，有了博爱之心，才有施爱于他人的可能．多以有时候，责备也蕴涵着父母对子女深沉的爱．。
二年级奥数教程第17讲:有趣的余数在除法中，当被除数除以除数(除数不等于0)出现了余数(余数要比除数小)，就称为有余数的除法．在有余数的除法中，我们知道：(1)被除数=除数×商+余数；(2)除数=(被除数一余数)÷商．在解题时，我们常常要注意到：余数一定比除数小；在除法算式中，余数个数的多少、余数的大小是随着祓除数和除数的不同而不同的．例1、下面的算式是一个有余数的除法，问：被除数最大是几?最小是几? ，口÷8= 9……口解从算式中可知，除数是8，商是9，根据余数比除数小，余数只能是1，2，…，7，再根据“被除数= 除数×商+余数”，所以，被除数最大是8×9+7=79被除数最小是：8×9+1=73随堂练习1下面的有余数的除法算式中，被除数最大是几?最小是几? ，(1) 口÷7=8……口；(2) □÷10=9……□．例2、下面的算式是一个有余数的除法，要使除数最小，被除数是儿?口÷口=1 8……28．解因为除数比余数大，而余数是28，所以除数最小是29，于是，被除数是29×18 +28=550．随堂练习2 下面的算式是一个有余数的除法，要使除数最小，被除数是几?口÷口=8……18．例3、写出所有除以5所得的商和余数相同的数．解除数是5，余数要比除数小，因此余数只能为1，2，3，4，再根据“被除数=除数×商+余数”来求出被除数．5×1+1=6， 5×2 +2=12，5×3+3=18．5×4+4=24．所以符合要求的数为6，12，18，24．例4、节日里街上挂起彩灯，从第一盏灯开始，按照红、黄、蓝、绿各一盏的顺序依次重复排下去．问：(1)第50盏灯是什么颜色?(2)这50盏灯里红灯有几盏?解因为彩灯的排列顺序为红、黄、蓝、绿各一盏依次重复排下去，也就是说把4盏灯作为一个周期，所以根据这一规律可先算出50盏灯里有几个周期：50÷4=12 (2)(1)以上算式表示50盏灯共有12个周期，余2表示多2盏灯，即从下一个周期起，从红灯开始数起的第二盏灯为黄灯，所以第50盏灯的颜色是黄颜色；(2)因为每个周期里有l盏红灯，这50盏灯里共有12个周期，就有12盏红灯，再加上多出来的2盏灯里有l盏灯是红灯，所以这50盏灯里红灯一共有13盏．说明许多事物的变化都是有周期性的，掌握事物变化的周期，就能灵活运用周期变化规律解决实际问题．在用有余数的除法去解决周期性问题时，把握两个关键：(1)要明确以几个数为一个周期；(2)余数是表示为新一轮周期开始的第几个数，如余数为3，则表示新一轮周期开始后的第3个数．随堂练习3 根据下面图形的规律推算出第16个图形是什么?(1)口△△口△△口△△口△△…(2)☆○○△☆○○△☆○○△…例5、 2007年的6月1日儿童节是星期五，那么，39天后是星期几?解一个星期是7天，“六一”儿童节是星期五，以这天为这周的开始，后面几天分别为星期六、星期日、星期一、星期二、星期三和星期四，将这样的7天作为一组，39天里有39÷7=5(组)……4(天)，这4天是第三个星期的前四天，分别是星期五、星期六、星期日、星期一．所以39天后是星期一．随堂练习4 2007年1月1日是星期一，那么小明这年生日2月28日是星期几?例6、有一列数：2，3，5；2，3，5；2，3，5；…．问：(1)第26个数是几?(2)这26个数的和是几?解 (1)从这列数中可以看出，2，3，5为一组，因此26个数可以组成26÷3=8(组)……2(个)，所以，第26个数为3．(2)要求这26个数的和，可以先求出一组3个数的和，如2+3+5=10，26个数中有这样的8组再加上第9组的前2个数2和3，所以26个数的和为10×8+2+3=85．随堂练习5 有一列数：2，4，1；2，4，1；2，4，1；…．问：第25个数是几?这25个数的和是多少?例7、三个字母“A、B、C”和六个文字“数学奥林匹克”分别依次循环出现，一个字母和一个文字对应一组，见下表：(1)第51组、第89组分别是什么?(2)用(A，林)表示1000年，那么2004年对应哪一组?解如果按上面组合的方法一个个地排列出来，显然很费时．考虑到每组都是由一个字母和一个文字组成的．而且字母是每3个为一组，文字是每6个为一组，因此可以用除法运算的余数来求解．(1)因为51÷3=17，51÷6=8……3，所以第51组字母为C，文字为奥；89÷3=29……2，89÷6=14……5，所以第89组字母为B，文字为匹．(2)用(A，林)表示1000年，那么1002年对应的是(C，克)，2004年比1002年多1002年，1002÷3=334，1002÷6=167，余数都为0，所以对应的也应是(C，克)．练习题1、填空(1) □÷7=6……3，□=（）；(2)51÷△=6……3，△=( )；(3)18÷☆=☆……2，☆= ( )；(4)◇÷△=4……5，△最小是( )，◇是( )；(5)○÷8=3……□，□最大是( )，○是( )；。
【小学二年级奥数讲义】巧用余数（二）【析】我已学了有余数的除法，都知道，在有余数的除法里，余数要比除数小。
利用余数，能够解决多风趣的，就看你会不会奇妙地用余数了。
解答，第一要把重复出的部分作一，再想数里有几个的一，假如除后有余数，那么余数是几，某个物体（或数字）就是一中的第几个，进而解出所求，如果除后没有余数，明某个（或数字）是一中的最后一个。
【例 1】一串珠子，按下摆列，第25 是什么珠子？第36 是什么珠子？思路航：串珠子的摆列是有律的，即按“”不停的重复出，每 6 珠子一，先算出25珠子形成几：25÷6＝ 4⋯⋯1，商是 4，表示有 4 ，余数是1，表示第25 是第 5 的第 1 珠子，即“”，36÷6＝6，表示36珠子正好排完 6 ，第 36 珠子就是“”。
解： 25÷6＝4（）⋯⋯1（）36÷6＝6（）答：第 25 珠子是，第36珠子是。
11.有一上很整地写着一排字：喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼⋯⋯第 38 个字是什么字？2.有一列数：4 3 2 4 3 2 4 3 2 4⋯⋯（1）列数的第 29 个数是几？（2）列数的第 31 个数是几？3.计算出第 20 个形是什么？第42 个形又是什么？☆△△ □□○☆△△ □□○⋯⋯【例 2】日里街上挂起彩灯，从第一灯开始，依据、黄、、各一的序挨次重复排下去，（1）第 50 灯是什么色？（ 2） 50 灯里灯有几？思路航：因彩灯的摆列序、黄、、各一挨次重复排下去，也就是把 4 灯作一个周期，因此根据一律能先算出50 灯里有几个周期：50÷4＝ 12⋯⋯2（1）以上算式表示 50 灯共有 12 个周期，余 2 表示多 2 灯，即从下一个周期起，从灯开始数起的第二灯黄灯，因此第 50 灯的色是黄色。
（ 2）因每个周期里有1灯， 50 灯里有12 个周期，就有 12 灯，再加上多出来的 2 灯里有 1 是灯，因此50灯的灯一共有 13，即 12+1＝ 13（）。
