奥数讲义数论专题：3 质数与合数

质数、合数与两大约数定理1．质数、合数⑴除了2其余的质数都是奇数；⑵除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9；⑶如何判断一个数是否是质数？⑷常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。

2．数字拆分—分解质因式相关名词：质因数、互质数、分解质因数例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。

210=2⨯3⨯5⨯7可知这三个数是5、6和7。

分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。

3．约数个数定理唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积例如：12=2⨯2⨯3=22⨯3约数个数定理：约数个数：(2+1)⨯(1+1)=6所有约数的和：(20+21+22)⨯(30+31)【例 1】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？【巩固1】(2004年希望杯第二届五年级一试第8题，5分)a，b，c，d都是质数，并且a+b=33，b+c=44，c+d=66，那么cd=。

【巩固2】7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g。

已知它们的和是偶数，那么d是多少？【例 2】(2008年101中学考题)将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质数是，如要求最大的质数尽可能的大，那么此时这个最大的质数为。

【巩固】(2010年迎春杯六年级初试试题)用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是。

【例 3】下图为一个长方体，它的正面和上面的面积之和为209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？例3图【巩固】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？【例 4】数160的约数个数是多少？它们的积呢？【巩固】筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？【例 5】求在1到100中，恰好有10个约数的所有自然数。

学生课程讲义只有1和本身两个因数的数称为质数，又叫素数。

除了0和1以外所有的自然数分为两类：一类是质数，如：2,3,5,7……；一类是合数，如：4,6,8,9……。

在自然数中质数与合数都是有无穷多个，在小学阶段，质数就是我们学习的重要内容之一，如：分节质因数，互质数，求最大公因数，最小公倍数等都对质数有所应用。

同时质数在中小学课内外的数学学习中也扮演着重要的角色。

【例1】七个连续的质数，从大到小排列为：a,b,c,d,e,f,g,已知他们的和是偶数，那么c=( )。

随堂练习1设有三个不相同的质数，它们的和是40，这三个质数是（）。

【例2】是否存在两个质数，它们的和等于11 (1)（20个1）随堂练习2在3141,31415,314159,3141592,31415926, 31415927这六个数中，有且仅有一个质数，它是（）【例3】将37拆成若干个不同的质数的和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的最小乘积是多少？随堂练习3一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于2000，那么这两个质数的和是（）。

【例4】用0-9这十个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是（）。

随堂练习4正方体纸盒的每个面上都写着一个自然数，并且相对两个面所写的两数之和都相等，若18对面所写的是质数a；14对面所写的是质数b，35对面所写的是质数c，试求a+b+c的值。

【例5】三个质数倒数和是那么这三个质数和是（）。

随堂练习5三个质数倒数和是这三个质数和是（）。

——梦想从这里起飞【例6】已知三个合数A，B,C两两互质，且A×B×C=1001×28×11，那么A+B+C的最小值为（）。

随堂练习6已知三个合数A,B,C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值是（）练习题：1.两个质数的和是2001，这两个质数的乘积是（）。

第三讲质数与合数问题引入一、问题引入一、前面我们说过,我们可以将正整数分成相互对立的两类,第二讲中我们已经介绍了奇数与偶数,第三讲里我们将介绍质数与合数。

第二讲中介绍奇数与偶数时，我们用了对立与转换的思想，从两个方面介绍了奇数与偶数的应用。

对于质数和合数，在奥数题目中很少用质数与偶数的对立性来证明某个结论不可能，也很少涉及到质数与偶数的相互转化。

与质数和合数相关的题目主要是质数与合数的筛法、应用质数的性质进行巧算、分解质因数及确定因数个数等。

学好质数与合数，既需要我们熟练掌握质数合数基本的特点和性质，又需要我们能够灵活应用。

下面就让我们来详细学习一下质数与合数吧！知识总结二、二、知识总结1、质数与合数的定义与筛选方法一个正整数出了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫素数）。

一个正整数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要注意的是，1既不是质数也不是合数。

根据定义，我们可以判定一个数是否为质数：对于一个数A，如果能找到一个小于A的数b，使得b能够整除A，那么A就不是质数；如果比A小的正整数（除1以外）都不能整除A，那么A就为质数。

根据定义得到的筛选质数的方法，计算量很大，我们需要从2试到A-1，对于很大的A，这个筛选质数的方法很不方便。

那么有没有简化的筛法呢？经过观察我们可以发现：我们无需寻找合数的b，因为存在合数的b能整除A，那么b 的质因数也能整除A，我们只需要在质数中寻找b，如果不存在质数的b，那么肯定不存在合数的b；我们寻找的范围无需是2到A-1，因为如果b整除A得c，那么c也能整除A，如果b比较大，那么c一定比较小。

因此，我们可以简化筛法：对于A，我们可以先找一个大于且接近Ａ的平方数K2，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除A，如果没有能够除尽的，那么A为质数。

例如对于149，我们找到大于且接近149的平方数169=132，再列出不大于13的质数，有2、3、5、7、11、13，149不能被这些质数整除，所以149时质数。

一、质数与合数（五上）1、质数与合数的概念质数：除了1和它本身外，没有其他因数的数．合数：除了1和它本身，还有其他因数的数．质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数．分解质因数：把一个合数写成若干质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数．互质数：除了1以外没有其他公因数的两个数叫做互质数．2、质数的特点（1）100以内的质数（25个）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97（2）质数的特点A ．有且只有一个偶质数；B ．除了2和5，其余质数的末尾只能是1、3、7、9；C ．质数中仅有一个数是2、3、5、7、……的倍数．3、质数的应用（1）平方判断法：判断m 是否为质数，首先寻找到不大于m 的最大平方数，然后用1至n 中的所有质数依次去除m ，如果都不能整除，则m 是质数；否则其为合数．（2）分解质因数的常见方法：短除法，分拆相乘（3）平方数性质：分解质因数后，质因数的个数为偶数个；约数个数为奇数个；约数不是成对出现的；个位数字为0、1、4、5、6、9．一、 质数合数1、下面是主试委员会这第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；第3讲 质数与合数 四升五 暑期知识点课堂例题杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．将诗中56个字，从第一行左边第一个字逐字编为1~56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的汉字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．_______________________________________________________________2、设x是正数，x<>表示不超过x的质数的个数，如 5.13<>=，即不超过5.1的质数有3个，那么<<>+<>+<>×<>×<>>的值是__________．19934183、（1）如果两个不同的质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出．（2）如果两个不同的质数相加等于25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出．（3）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出．4、已知P,Q都是质数，并且11932003×=（）．P Q×−×=，则P QA．1919B．679C．655D．3985、有些三位数，它的各位数字的乘积是质数，这样的三位数最大的为A，最小的为B．则A B−=__________．二、分解质因数6、请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660．7、请把下面的数分解质因数：（1）999；（2）10101．8、甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数的和是（）．A．57B．60C．63D．699、三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数．则这三个数是___________________．10、三个连续自然数的乘积等于39270．这三个连续自然数的和等于多少？11、自然数a乘以2376，正好是自然数b的平方．求a的最小值．12、360与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是__________．三、末尾0的问题13、如图，把13，12，15，25，20这5个数依次排列．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个0？14、算式62417514095×××的计算结果的末尾有多少个连续的0？15、算式123100计算结果的末尾有__________个连续的0．××××1、一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．2、三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？3、（龙校五年级春季）若两个质数的差是95，那么它们的积是多少？4、请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660．5、大明的钱数比二明多9元，两人的钱数都是整数元，且他们钱数的积是580，两人的钱数之和是________元．（改自2012年7月29日真题）6、（2009年101中分班）四个连续奇数的乘积是229425，那么这4个奇数的和是（ ）随堂练习A ．86B ．88C ．90D ．927、（2010年四中入学）从1到30这30个连续自然数连乘积的末尾共有________个连续的数码0．1、（2013年首师附入学）若a 是质数，b 是合数，那么下面一定是合数的是（ ）．A ．2a b ++B ．()2a b +×C ．()2a b +÷D ．()2a b −÷2、自然数49，87，101，103，121中，有__________个质数．3、（2013年101中分班）有一个质数是两位数，这两位上的数字相差6，则这个两位数的质数是．4、（1）两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？课后作业5、三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积最大是__________．6、三个连续自然数的乘积为336，则这三个数的和为__________．7、（2013年首师附入学）大明的钱数比二明多9元，两人的钱数都是整数元，且他们钱数的积是580，两人的钱数之和是________元．××□要使这个连乘积的最后3个数字都是0，方框最小应该填（）8、5560A．10B．20C．30D．259、算式12335的计算结果的末尾有__________个连续的0．××××10、（2011年首师附入学）如12345120……的积的××××××××××＝，积的尾部有一个零，计算1234540尾部有___________个连续的零．。

五秋第3讲质数与合数一、教学目标一、质数与合数①质数：除了能被1和它本身整除，而不能被其它数整除的数叫质数。

②合数：除了能被1和它本身整除，还能被其它数整除的数叫合数。

③特殊：1既不是质数也不是合数。

④最小的合数是4，最小的质数是2，且2是惟一的偶质数。

二、质数与合数判别方法试除法：用所有比它小的质数从小到大依次去除一个数，如果能够整除，那么这个数一定是合数。

如果不能整除，那么这个数一定是质数（适用于较小质数的判别）。

三、100以内质数表（共25个）四、分解质因数把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（例如：72 ＝2×2×2×3×3二、例题精选【例1】判断下列数哪些是质数，哪些是合数：101，181，111，113，119，123【巩固1】判断下列数哪些是质数，哪些是合数：131，139，143，181，193，201【例2】三个相邻的自然数的乘积是3360，这三个自然数分别是多少？【巩固2】如果一个长方形的面积是1122平方厘米，且长比宽只多了1厘米，你能求出这个长方形的长与宽吗？【例3】把21、30、65、126、143、169、275这七个数分成两组，使两组内数的乘积相等。

【巩固3】把6、13、18、20、27、65这六个数分成两组，使两组内数的乘积相等。

【例4】要使975×935×972×（）的乘积的最后四位数字为0，在括号里最小可以填数字是多少？⨯⨯⨯积的末尾有多少个零？【巩固4】4892538435【例5】一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值和这个平方数。

【例6】10500的因数有多少个？四、回家作业【作业1】把下列各数分解质因数：360 10145865【作业2】五个相邻的自然数之积是55440，求这五个相邻的自然数。

【作业3】要使135×115×35×（）的乘积的最后三位数字为0，在括号里最小可以填数字是多少？【作业4】自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，求a的最小值以及b。

《质数和合数》讲义一、引入在数学的奇妙世界里，质数和合数是两个非常重要的概念。

它们就像是数学大厦中的基石，支撑着数学的发展和应用。

那么，什么是质数和合数呢？让我们一起来探索吧。

二、质数的定义与特点质数，又称为素数，是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。

比如说，2、3、5、7、11 等都是质数。

质数具有一些独特的特点：1、质数只有两个正因数，即 1 和它本身。

2、质数在整数中的分布是不规则的，没有明显的规律可循。

为了判断一个数是否为质数，我们通常可以用试除法。

从 2 开始，依次用小于这个数的整数去除，如果都不能整除，那么这个数就是质数。

三、合数的定义与特点与质数相对的是合数。

合数是指一个大于 1 的整数，除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。

例如，4、6、8、9、10 等都是合数。

合数的特点包括：1、合数至少有三个因数。

2、合数可以分解成两个或多个质数的乘积。

四、1 既不是质数也不是合数1 是一个比较特殊的数，它既不符合质数的定义，因为它只有一个因数；也不符合合数的定义，因为它不能被其他数整除（除了它自己）。

所以，1 既不是质数也不是合数。

五、质数和合数的性质1、任何一个大于 1 的自然数要么是质数，要么是合数。

2、质数和合数的个数是无限的。

3、最小的质数是 2，最小的合数是 4。

六、质数和合数的应用质数和合数在数学和实际生活中都有广泛的应用。

在密码学中，质数的性质被用于加密和解密信息。

因为质数的因数分解比较困难，所以基于质数的算法可以提供较高的安全性。

在数论研究中，质数和合数的性质是重要的研究对象，对于推动数学的发展有着重要的意义。

在实际生活中，比如在分配物品、安排工作等方面，我们也会用到质数和合数的概念来进行合理的规划和安排。

七、如何找出一定范围内的质数和合数当我们需要找出一定范围内的质数和合数时，可以通过以下方法：首先，列出这个范围内的所有数。

质数与合数例1：判断269，437两个数是合数还是质数。

分析与解：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K2，再写出K以内的所有质数。

如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合数。

因为269＜172=289。

17以内质数有2，3，5，7，11，13。

根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。

经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。

因为437＜212=441。

21以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。

容易判断437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19试除437，得到437÷19=23，所以437是合数。

对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例2的方法的优越性。

判别269，用2～268中所有的数试除，要除267个数；用2～268中的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。

527 275 373 393 573 537例2 判断数1111112111111是质数还是合数？分析与解：按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。

根据整数的意义，这个13位数可以写成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111×（1000000+1）=1111111×1000001。

由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合数。

这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。

例3判定298+1和298+3是质数还是合数？分析与解：这道题要判别的数很大，不能直接用例1、例2的方法。

学科培优数学“质数、合数、分解质因数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及,并且多以判断题考察。

质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式,但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。

质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。

在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识,在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

分解质因数法是一个数论重点方法,本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

知识梳理一、质数与合数的基本概念1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数,这个数就称为一个质数,也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数,这个数就称为一个合数3.质因数：如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1. 0和1既不是质数也不是合数,因此,我们可以说,自然数可以分成三部分,即,0和1,质数,合数。

2. 最小的质数是2,最小的合数是4。

3. 常用的100以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,8 9,97其中2是唯一的偶数,5是唯一个位上数字是5的数,其余的数字个位只为1,3,7,94. 部分特殊数的分解：=⨯1000173137=⨯=⨯⨯1111141271=⨯100171113111337=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯200733223=⨯⨯⨯1998233337199535719=⨯⨯⨯+==⨯⨯10101371337 2008222251=⨯⨯⨯200720084015511735. 质数的判定方法判断一个数是否是质数,可以采用“连续小质数试除法”。

例如：判断251是否是质数,可以从最小的质数2开始依次除251,直到所得的商比除数小为止,可以断定251是质数。

251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6, (251)17=14…13,此时除数17＞商14,由此说明251是质数。

《质数和合数》讲义一、引入在数学的奇妙世界里，数字就像一群小精灵，各自有着独特的特点和规律。

今天，咱们要来探索一下数字家族中的两个重要成员——质数和合数。

想象一下，数字们在一个大派对上，质数和合数也在其中。

那到底什么是质数，什么又是合数呢？二、质数的定义与特点质数，就像是数字世界里的“独行侠”，它们只能被 1 和自身整除，没有其他的因数。

比如说，2 就是一个质数，因为它只能被 1 和 2 整除；再比如 3，也只能被 1 和 3 整除；还有 5、7、11 等等，都是质数家族的成员。

质数有一个非常重要的特点，那就是它们的因数只有两个，一个是1，另一个就是它自己。

为了判断一个数是不是质数，咱们就得一个个地去试试看它能不能被其他数整除。

比如说，要判断 13 是不是质数，咱们就从 2 开始，一直试到 12，发现都不能整除 13，那 13 就是一个质数。

三、合数的定义与特点合数呢，则是数字世界里的“社交达人”，它们除了能被 1 和自身整除外，还能被其他数整除，所以合数的因数至少有三个。

举个例子，4 就是一个合数，因为它不仅能被 1 和 4 整除，还能被2 整除；6 也是合数，它能被 1、2、3、6 整除。

咱们可以这样想，合数就是由几个质数相乘得到的。

比如 12 这个合数，可以写成 2×2×3。

四、区分质数和合数那怎么来区分一个数到底是质数还是合数呢？首先，咱们可以先看看这个数是不是大于 1。

如果小于等于 1，那就既不是质数也不是合数。

然后，从 2 开始，依次判断这个数能不能被比它小的数整除。

如果只能被 1 和它本身整除，那就是质数；如果还能被其他数整除，那就是合数。

比如说，判断 17 是质数还是合数，从 2 开始试，发现 2 到 16 都不能整除 17，所以 17 是质数。

再看 20，它能被 2、4、5、10 整除，所以 20 是合数。

五、质数和合数的应用在日常生活和数学研究中，质数和合数都有很多重要的应用呢。