第二章波动力学基础
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第二章波动力学基础
§2.1波函数的统计解释
按照德布罗意的观念，和每个粒子相联系的，都有一个波。怎么理解粒子性和波动性之NJ的联系，这是 量子力学首先碰到的一个根本问题。b5E2RGbCAP
能否认为波由粒子所组成?答案是否定的。因为粒子束的单缝或双缝等实验表明，若减小入射粒子流的强度，让粒子近似地一个一个地从粒子源射出，实验发现，虽则开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍会出现衍射花样。这说明，粒子的衍射现象与是否有其他粒子无关。如果波由粒子组成，波的干涉、衍射等现象必然依赖于粒子间的相互作用。这和上述实验结果矛盾。实际上，单个粒子也有波动性。p1EanqFDPw
那么，能否认为粒子由波所组成.比方，是否可以认为粒子就是波包?答案也是否定的。以自由粒子为例。对于自由粒子，由于不受外力场的作用，粒子的能量E和动量P均为常矢量。按德布罗意关系(1.4.1>和(1.4. 2>式，和自由粒子相联系的波的频率。，波矢k均为常数及常矢量。因此和自由粒子相联系的波是平面波。即
<2.1.1）DXDiTa9E3d
其振幅A与坐标无关。因此它充满全空间。若认为自由粒子由波组成，则一个自由粒子将占据整个空间，这当然是不合理的。而且，自由粒子的德布罗意波的相速度是k的函数，按§1.4，必然存在色散。如果把自由粒子看成是个物质波包，即使在真空中，也会因为存在色散而使粒子自动解体。这当然与实际情况不符。RTCrpUDGiT
在历史上，对波粒二象性和波函数的解释，一直是有争议的。即使到现代，也仍然有不同观点。而且持不同观点的人有些还是量子力学的奠基人之一。但被物理学家们普遍接受的波函数的解释是玻恩(M. Barn>提出的统计解释。他认为，粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个粒子在许多次相同实验中显示的统计结果。感光底片在r处的强度，与打在该点的粒子数成正比，也和波函数在该点的振幅的绝对值的平方成正比。波函数所刻划的实际上是粒子在某时刻在空间的几率分布。事实上，通常波动性总是指某种物理量在空间的分布呈周期性变化，并且由于波的相干叠加，而出现干涉和衍射等现象。而在玻恩的统计解释中，他保留了波的最重要的特性一一相干叠加，不过，他把“某种物理量”改为“粒子出现的几率”。玻恩提出的波函数统计解释是:波函数在某一时刻在空间中某一点的强度，即其振幅绝对值的平方和在这一点中找到粒子的几率成正比，和粒子相联系的波是概率波。5PCzVD7HxA
按照波函数的统计解释，有：
(1>由于给出在t时刻，粒子出现在r处的概率密度，因此原则上我们可由统计平均值公式
<2.1.2）
求出描述体系状态的力学量f(r>的平均值。在这种意义下，一般认为，φ(r,t>描述了微观粒子的运动状态，即量子态。然而应该指出，在量子力学中对量子态的描述和经典力学中对状态的描述有根本不同。在经典力学中描述状态靠给定一些力学量，如广义动量，广义坐标等等，在热力学中描述体系的宏观状态靠给出一些宏观量，如压强、温度、体积以及状态方程。但在量子力学中，描述粒子的量子态靠给定波函数沪，但砂本身不是力学变量，也不具有任何经典物理学中物理量的意义。由幼所给定的只是在它所描述的量子态中，测量某力学量的平均值或者这个力学量的各种可能值和出现这些可能值的相应的几率。至于这种描述是否完备以及在这种描述的背后是否还隐藏着某些更深刻的东西，或者某些“隐变数”，这是争论极多的问题。有兴趣的读者可参阅本书的第十二章。jLBHrnAILg
(2>由于粒子在某一时刻在空间中某点出现的几率应该单值，因此，除个别孤立奇点外，波函数P(r,t>应该是。的单值、有界和连续函数。xHAQX74J0X
{3}在非相对论量子力学中，若仅限于波函数的统计解释，则因统计解释中只涉及波函数的振幅，因此存在下述不确定性:LDAYtRyKfE
(i>常数因子的不确定性。若C为常数，则扒r,t>和C},(r,t>描述同一个物理状态。因为它们的相对几率相同:Zzz6ZB2Ltk
φ和Cφ表示同一个概率波。通常，C由总的概率为1的归一条件决定。
(ii>相角的不确定性。由于φ(r,t>与φ(r,t>eiα(α为实常数>的模相同，因此α不定。这说明，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理概念。dvzfvkwMI1
(4>对于许多物理态，由于粒子总要在全空间中出现，是必然事件。粒子在全空间中出现的几率为la因此一般应要求，波函数φ(r,t>应该是平方可积函数，是可归一化的，即rqyn14ZNXI
(2.1.3>
但应该指出，并非所有波函数均可用(2.1.3>式的方式归一化。例如平面波(2.1.1>式，就不是平方可积函数。对于这一类在无穷远处φ不趋于零的波函数，其归一化问题我们将另行讨论。EmxvxOtOco
(5>容易将波函数统计解释推广到多粒子体系。设体系由N个粒子组成。φ(r1,r2，…,rN,t>是描述这个体系状态的波函数，则SixE2yXPq5 表示在t时刻第一个粒子出现在,第二个粒子出现在，第N个粒子出现在的几率。相应的归一化条件是:
(2.1.4>
(6>显然，描述粒子微观运动的波函数不仅可用坐标r、时间t为自变量，也可以用其他变量，比如用动量p为自变量。以p、t为独立变量的波函数C(p,t>，它的物理意义是表示在，t时刻，粒子的动量在的几率，相应的归一化条件是6ewMyirQFL
(2.1.5>
C(p,t>为动量几率分布函数。对于描述粒子的微观状态,C(p,t>起着和φ(r,t>相同的作用。于是自然会问,C(p,t>和φ(r }t>之间的关系是什么?我们将在下一节中回答这个问题。kavU42VRUs
§2. 2态叠加原理
量子力学对粒子运动状态的描述与经典力学完全不同。在经典力学中，粒子的坐标和动量有完全确定的数值，并且一旦给定某一时刻粒子的坐标和动量，则不但在该时刻粒子的状态完全确定，而且原则上还可以通过求解牛顿方程确定以后任何时刻的坐标和动量，从而确定以后任何时刻粒子的状态。但在量子力学里，粒子的运动状态用波函数描述。在某一量子态中测量坐标和动量，一般地，坐标和动量不同时具有确定值。以平面波为例，平面波的动量p有完全确一定的数值，但它的振幅与空间坐标无关，粒子在空间各点出现的几率密度相等。换句话说，粒子的位置坐标是完全不确定的。一般说来，在量子力学中，除非必ψ(r,t>是平面波，否则在以ψ(r, t>描述的粒子的量子态中测量动量p，将无确定值。因此，在任一量子态ψ(r,t>中测量动量，由于每一个确定的动量都对应一个确定的单色平面波，故而实际上等于是将ψ(r,t>按对应于各种动量的平面波展开，将ψ(r,t>视为由各种单色平面波叠加而成的波。从数学上看，相当于对φ
(2.2.1>
在傅里叶展式中，每个分波都是单色平面波，都有确定动量。在物理上，傅里叶展开相当于作频谱分析。(2.2.1>式中的展开系C(p,t>，表示用各种相应的平面波叠加出ψ(r,t>时，各种平面彼的几率幅，或者说，在ψ(r,t>中，出现动量为p,能量为E的单色平面波的几率是。M2ub6vSTnP
在量子力学中，既可以用ψ(r,t>描述粒子的量子态，也可以用C(p,t>描述粒子的量子态。因为按量子力学，给出在t时刻，在r处粒子出现的几率密度。由这个几率密度，原则上可以算出在以ψ(r,t>描述的态中的各种可观#11量的平均值。同样，给出在t时刻，动量为p的几率密度。利用C(p,t>，原则上也可算出在同一量子态中的各种可观测量的平均值。所不同的只是ψ(r,t>是量子态在以r为自变量，在坐标空间中的表示，而C(p,t>是量子态在以p为自变量，在动量空间中的表示。它们是同一个量子态在两个不同表象中的不同表示。这两种表示是完全等价的。关于表象理论，以及关于上述的坐标空间及动量空间的严格意义，我们将在第四章中作深入的探讨。0YujCfmUCw
利用复变函数论中的巴塞瓦等式，不难证明
(2.2.2> 亦即如果(P(r,t>是已经归一化的波函数，则C(p,t>也是归一化波函数。
傅里叶展开是将波展开为无限多个单色平面波后带权重C(p,t>的线性叠加。在量子力学中，在波函数统计解释的意义下，我们将权重c(p,t>解释为在O(r,t>中出现动量为p的平面波的几率幅。这里应该特别强调，这种叠加是线性的。而且这种叠加的“统计解释”直接与测量联系起来:在波f数州。，，>中测量动量，测得动量的数值为P的几率是{c(p,t>}2eUts8ZQVRd
自然，几率波的蚕加不一定非要由无穷多个波叠加而成。盈加的波的数目可以是有限的，也可以不满足傅里叶积分展开或傅里叶级数展开所必须满足的各种数学条件。在量子力学中，作为基本假定，引入一个非常根本的关于描述量子态的几率波叠加的态叠加原理:sQsAEJkW5T
如果必，，沪:，…，汽是体系可能的状态，则它们的线性叠加所得出的波函数
(2-2. 3> 也是体系的一个可能状态。当体系处在护态时，出现必，的几率是
{C,}丫汐Ci }Ef出现Y'2的几率是4C2!丫菩lcx(2，“·…余类推·
在C2甲2. 3>式中，n可以是有限的，也可以是无限的.这个原理称为
态叠加原理。
现在对态叠加原理进行一些讨论:
(1>态叠加原理是一个和测量联系非常密切的原理。在原理的叙述中，所谓“当体系处在必态时，出现沪，的概率是，!“…”这句话的确切的意思是:设体系处在必，态时，测量某力学量A得出的准确值为a,当系统处 A得出的准确值为a:，一，则当体系处在由必.，功:，…等态线性叠加而成的状态沪时，测量力学量A，所得到值既可能是a，，也可能是a:，一，出现a，值的几率是，C,，丫艺一C。，’，出现值的几率是IC2}丫乙一c。}E余类推。也就是说，测量力学量A得出的是一些可能值a，a:，…。但这些可能值的相对概率，或者说，各个可能的状态功>，必:，一的相对权重，是完全确定的。(2-2-3>式中的叠加系数，给出了它们之间的相对权重。GMsIasNXkA
(2>在(2.2.3>式中出现的叠加，是波函数，或者说，是概率幅的叠加，而不是概率的叠加。因而它必然出现干涉、衍射等现象。仍以双缝衍射为例。设通过第一个缝的波函数为必、，第二个缝的波函数为沪:，同时开启两个缝后的波函数沪是沪，和沪:的线性叠加TIrRGchYzg
(2.2.4>
在(2-2-4>式中出现干涉项C厂几叮必:十口Cg沪，叮。
(3>这里还要指出，在量子力学中，对于几率波而言，波的干涉是描述粒子运动状态的几率波自身的干涉，而不是不同粒子之间的干涉。为说明这个问题，讨论一个一束偏振光通过检偏片的例子。设光的偏振方向与晶袖的夹角为a。根据光学中的马吕斯定律，若入射光的强度为I。，则通过检偏片后的光强I是7EqZcWLZNX
