宝鸡市2013年(一)检数学(理)21题解法探讨

1 宝鸡市2013年（一）检数学（理）21题解法探讨

---兼谈数列不等式的证明

一、问题提出

2013年宝鸡市第一次教学质量检测试题，题目形式新颖，特别是理科第21题，对导数部分进行了比较全面地考察，是一道既注重考察基础知识，基本方法，又注重考察数学思想方法，同时具有一定区分度的好题，原题如下：

已知：函数xaxaxxfln2)(2()aR。

（1）讨论函数)(xfy的单调区间。

（2）设2ln42)(2bxxxg，当1a时，若对任意的],1[,21exx（e为自然对数的底数），)()(21xgxf，求实数b的取值范围；

（3）求证：114131211)1ln(nnnn)(*Nn

二、问题解决

题目的第三问是难点，虽然分值只有3分，但是本题的精彩之处。试题提供的标准答案中，利用函数的导数证明数列不等式，解法新颖，标准答案如下：

求证：114131211)1ln(nnnn)(*Nn

证明：当12a时，11()ln22fxxxx ，

由（1）知()fx在[1,)上单调递增，

当1x时，()(1)fxf，即11+ln22xxx32，1ln23xxx

取1kxk（kN），则1121ln2()311kkkkkkkk

分别取1,2,3,,kn时有

221ln112，321ln223 ，421ln334，„，121ln1nnnn

相加得234121212121lnlnlnln()()()()1231223341nnnn

∴2341ln()123nn1111122341nn

即114131211)1ln(nnnn.

2 小结：在题目的证明过程中，给参数a赋值为12，接着讨论函数)(xf的单调性，再利用函数的单调性得出一个“不等式模型”，最后利用综合法完成了证明。解法中妙就妙在21a,但是，往往越“妙”的地方，恰恰是人们难以想到或不能想到的地方，这也是教师给学生讲评的时候难以自圆其说的原因，对于第3问的证法，我们有必要再进行探讨。

三、解法探讨

分析一：观察不等式两边都是关于正整数n的表达式，其中右边可以“看成”是一个数列na的前n项和nS，同样地，左边也可以“看成”是另一个数列nb的前n项和nT，要证明nnTS，只要证明nnba，因为“nnba”是“nnTS”)(Nn的一个充分条件，且看下面的证明方法：

证明一、原不等式nnnn141312111)1ln(，

记nSn14131211,1)1ln(nnnTn它们分别为数列na和nb的前n项和， 当1n时，11212ln1ba；则当2n，nSSannn11，

nnnnnnTTbnnn11ln)1ln(1)1(11lnnnnn，

∴原不等式成立的一个充分条件是：“当2n时，nnba”，下面证明“当2n时，nnba”n1)1(11lnnnnn)1(11nnnnn1ln112nnnn1ln，

令nnt1（1t），则不等式为tttln312（1t）0ln312ttt，

构造函数3ln12)(xxxxF,),1(x,

∵)('xF22)21)(1(2112xxxxx0,

∴3ln12)(xxxxF在），（1上为增函数，又0)1(F，∴0)(xF，

∴0ln312ttt，∴当2n时，112nnnn1ln成立，

∴当2n时，nnba，

3 综上所述：nnnn141312111)1ln()(*Nn，

分析二、上面在证明时对不等式进行了等价转化，原不等式转化为

nnnn141312111)1ln()(*Nn，其实原不等式也可以转化为

1114131212)1ln(nnn，利用证明一也可以证明。

证明二、（等价转化法）原不等式1114131212)1ln(nnn

记nS1114131212nn，nT)1ln(n它们分别为数列na和nb的前n项和，当1n时，2321211Sa2ln1b；

当2n，1121nnSSannn，nnTTbnnnln)1ln(1，

即证明当2n时，112nnnn1ln成立，

以下证明方法同证明一，这里从略。

分析三、对原不等式进行等价转化，可以转化为1114131212)1ln(nnn

0)1ln(1114131212nnn，于是我们整体考虑，把不等式的左边可以看成是一个关于n的函数，利用函数的单调性来证明，证明如下。

证明三、（单调性）原不等式1114131212)1ln(nnn

0)1ln(1114131212nnn，

构造函数)(nF)1ln(11141312111nnn，则)1(nF)2ln(2111141312111nnnn，

)1ln()2ln(2112)()1(nnnnnFnF12ln2112nnnn)111ln(2112nnn

令11nx，则210x，

4 构造函数)1ln(12)(xxxxxG，210x，

∵0)1()32(11)1(12)(22'xxxxxxG，

∴)1ln(12)(xxxxxG在210x上是增函数，

又0)0(G，∴()0Gx，∴对于正整数n，0)()1(nFnF，∴)()1(nFnF，即)(nF为关于正整数n的增函数，

又)1(F2ln211102ln23，∴0)(nF，

∴0)1ln(1114131212nnn，

∴原不等式成立。

分析四：原不等式)1ln(1114131212nnn，这是一个与正整数n有关的不等式，我们的有一个熟悉的想法就是“数学归纳法”，关键要弄清楚“当)1(kkn时和当1kn时，)(kf与)1(kf之间的关系，从证法二我们可以发现1121nnSSannn，所以)1(kf2112)(kkkf，下面用数学归纳法证明如下：

证明四：（数学归纳法）

原不等式)1ln(1114131212nnn；

（1）当1n时，左边=232122ln右边；∴当1n时，不等式成立；

（2）假设当)1(kkn时，不等式成立，即)1ln(1114131212kkk

当1kn时，211114131212kkk21121114131212kkkk

2112)1ln(kkk，

即证明：当1kn时，)2ln(2112)1ln(kkkk成立，以下证明同方法三，略。

四、解题感悟

5 反思上面的证明方法,它们都是围绕同一个不等式112nnnn1ln)(Nn进行证明的。采用的证明方法都是构造函数，然后利用导数进行证明。其实，对不等式112nnnn1ln还可以加强为：1n1ln(1)n

∵112nn1111nnn111nnn1n，

∴只要证明1n1ln(1)n，则不等式112nnnn1ln成立。

下面证明1n1ln(1)n)(Nn

令1tn，则不等式为)1ln(tt0)1ln(tt；

构造函数)1ln()(xxxG，(0,1]x，于是01111)('xxxxG，

∴)(xG在(0,1]上是增函数，又0)0(G，∴0)(xG，

即ln(1)0xx ，∴ln(1)xx

∴对任意的正整数n，不等式1n1ln(1)n成立，

从而对任意的正整数n，不等式112nnnn1ln成立。

有了上面的证法，前面的这几种证法都可以这样证明了。

继续观察不等式：1n1ln(1)n，我们还可以从中抽象出一

个不等式：)0( )1ln(xxx，其实这个不等式

的几何背景就是函数()fxx与()=ln(1+)gxx在同一坐标

系内的图像所反映的函数值大小关系（如图），如果直接利

用这一不等式，前面的证明方法还可以优化，读者不妨自

己可尝试以下，这里不再赘述。

2013年1月18日