2015-2016学年高中数学 第一章 导数及其应用 5.3 定积分的概念课件 新人教B版选修2-2

B.lni→m∞∑ i＝n1f(ξi)·b－n a
n
C.lni→m∞∑ i＝1f(ξi)ξi
n
D.lni→m∞∑ i＝1f(ξi)(ξi－ξi－1)
解析：由定积分的概念可知答案为 B.
答案：B
题型二 定积分几何意义的应用
利用定积分的几何意义求下列各式的值．
(1)
1
x3dx；
-1
(2)
2
4－x2dx；
-2
(3) 2(1＋x)dx. 1
【思路探索】 利用定积分的几何意义求解．
【解】 (1)∵y＝x3 在[－1,1]上为奇函数，图象关于坐标原
点对称，由在 x 轴上方和下方面积相等的两部分组成，即1 x3dx -1
＝0.
(2)∵y＝ 4－x2表示的曲线是圆心在原点，半径为 2 的半圆，
由定积分的几何意义知2
是极限的一种记号．
(1)当函数 f(x)≥0 时，定积分bf(x)dx 在几何上表示由直线 x a
＝a，x＝b(a＜b)，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积． (2)当函数 f(x)≤0 时，曲边梯形位于 x 轴的下方，此时bf(x)dx
a
等于曲边梯形面积 S 的相反数，即bf(x)dx＝－S. a
a
a
a
b[f(x)－g(x)]dx＝bf(x)dx－bg(x)dx＝1，
a
a
a
两式相加，得bf(x)dx＝2， a
两式相减，得bg(x)dx＝1. a
(2)b[3－2f(x)]dx＝b3dx－2bf(x)dx
a
a
a
＝3(b－a)－2×1＝3b－3a－2.
[名 师 点 拨]
定积分的性质为我们求定积分提供了方便，可以把复杂的被

解析 由定积分(jīfēn)的概念可知，
1234
ʃ2－1(－2)dx 中的被积函数为 y＝－2，
由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)dx 等于由直线 x＝－1，x＝2，y＝0，
y＝－2 所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)dx＝－2×3＝－6.
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解析(jiě xī)
1 234
(1)ʃ203x3dx；
解 ʃ203x3dx＝3ʃ20x3dx＝3(ʃ10x3dx＋ʃ21x3dx)
＝3×(14＋145)＝12； (2)ʃ416x2dx；
解 ʃ416x2dx＝6ʃ41x2dx＝6(ʃ21x2dx＋ʃ42x2dx)
＝6×(73＋536)＝126；
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解析(jiě xī)
分 ʃbaf(x)dx表示由 直线(zhíxiàn)x＝a，x＝b，y＝0和曲线y所＝围f(x成) 的曲边梯形的
面积(miàn jī).这就是定积ʃba分f(x)dx
的几何意义.
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答案(dá
知识点三 定积分(jīfēn)的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃbaf(x)dx＝ʃcaf(x)dx＋ʃbcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？

①ʃ10x3dx＝
i＝1
ni33·1n；②ʃ10x3dx＝lni→m∞i＝n 1
i－n313·1n；③ʃ10x3dx＝lni→m∞i＝n 1
i3 1 n3·n.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 ②③成立.
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解析(jiě xī)
2.关于定积分 a＝ʃ2－1(－2)dx 的叙述正确的是( C ) A.被积函数(hánshù)为y＝2，a＝6 B.被积函数(hánshù)为y＝－2，a＝6 C.被积函数(hánshù)为y＝－2，a＝－6 D.被积函数(hánshù)为y＝2，a＝－6

定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分.微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分最重要的思想就是用"微元"与”无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想,‘无限细分'就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用.定义：设函数f(x)在［a,b]上有界，在[a,b ］中任意插入若干个分点 a=X0〈X1〈...〈Xn —1<Xn=b 把区间[a ，b ］分成n 个小区间 [X0，X1]，..。

[Xn —1，Xn]。

在每个小区间[Xi —1，Xi ］上任取一点ξi(Xi -1≤ξi≤Xi ），作函数值f(ξi ）与小区间长度的乘积f(ξi ）△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对［a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法,只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f （x)在区间[a ，b]上的定积分， 记作: ()dx x f a b⎰即： ()()ini ia bx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x ）作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b ，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.在[a ，b]上任取子区间[x ，x+dx ］，在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F （x ）在区间［a,b ］上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a 〈b ），求电场力所做的功。

(2)bf(x)dx、b |f(x)|dx与|b f(x)dx|的几何意义是不同的，绝不能等
a
a
a
同看待，由于被积函数f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是说它的
图象可以在x轴上方，也可以在x轴下方，还可以在x轴的上下两侧，
所以 b f(x)dx表示由x轴、函数f(x)的曲线及直线x＝a，x＝b之间各部 a
之间的各部分面积的代数和，在x轴上方的取正号，在x轴下方的取负
号．
如图，b f(x)dx＝A1－A2＋A3－A4(A1，A2，A3，A4表示各阴影部 a
分的面积)．
知识点三 定积分的性质
1.bkf(x)dx＝kbf(x)dx(k为常数)；
a
a
2.b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±bf2(x)dx；
a
a
a
3.bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx，其中a＜c＜b.
a
a
c
2 新视点·名师博客 1.定积分可以是面积，定积分可以是体积，定积分可以是功，定 积分可以是路程，定积分也可以是压力，定积分还有很多的实际意 义． 本部分内容常见的思维误区是：
(1)对定积分的几何意义理解不清导致错误．当函数f(x)在区间
Δx＝3n(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替、求和： 令ξi＝xi＝3ni(i＝1,2，…，n)，于是有和式：
i∑＝n1f(ξi)Δx＝∑ i＝n1 3ni2·3n ＝2n73 ∑i＝n1i2＝2n73 ·16n(n＋1)(2n＋1)
＝921＋1n2＋1n， (3)取极限：
bf(x)dx≤M(b－a)．
a
证明：因为m≤f(x)≤M，
由拓展二得bmdx≤bf(x)dx≤bMdx，