(完整版)高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案学生,推荐文档

描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为(　)
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。

第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。

§14. 导 数知识要点导数的概念 导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数导数的运算导数的运算法则 函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值1. 导数（导函数的简称）的定义：设 x 0 是函数 y f (x) 定义域的一点，如果自变量x 在 x 0 处有增量 x ，则函数值 y 也引起相应的增量yf (x 0x) f (x 0 ) ；比值y f ( x 0 x) f ( x 0 ) 称为函数 y f ( x) 在点xxx 0 到 x 0x 之间的平均变化率； 如果极限 limy f (x 0x) f ( x 0 ) 存在，则称函数 yf (x) 在点 x 0xlimxx 0x 0处 可 导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做 yf ( x) 在 x 0 处 的 导 数 ， 记 作f ' (x 0 ) 或 y'|x x ， 即f '(x 0 ) =yf (x 0x)f (x 0 )limlimx .x 0 xx 0注：①x 是增量，我们也称为“改变量 ”，因为 x 可正，可负，但不为零 .②以知函数 yf ( x) 定义域为A ， y f ' (x ) 的定义域为B ，则 A 与 B 关系为 AB .2. 函数 y f ( x) 在点 x 0 处连续与点 x 0 处可导的关系：⑴函数 y f (x) 在点 x 0 处连续是 y f ( x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件 .可以证明，如果y f ( x) 在点 x 0 处可导，那么 y f ( x) 点 x 0 处连续 .事实上，令 x x 0x ，则 xx 0 相当于 x 0 .于是 lim f ( x)lim f ( x 0 x)lim [ f (xx 0 ) f (x 0 ) f (x 0 )]xx 0x 0x 0lim [ f (x 0x) f ( x 0 )xf ( x 0 )]f (x 0x) f ( x 0 )lim f ( x 0 )xlimxlimx 0xx 0x 0如果 y f (x) 点 x 0 处连续，那么 y f ( x) 在点 x 0 处可导，是不成立的 .例： f (x)| x |在点 x 0 0 处连续， 但在点 x 0y | x | ，当0 处不可导， 因为x x 0 时，y1 ，故 lim y不存在 . x x 0 x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数 .②可导的偶函数函数其导函数为奇函数 .3. 导数的几何意义：f '( x 0 ) 0 f (x 0 )f (x 0 ). ⑵x ＞ 0 时，y1；当 x ＜x函数y f (x) 在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f (x) 在点(x0 , f ( x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y f (x) 在点P ( x0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' (x 0 )，切线方程为y y0 f ' (x)( x x0 ).4.求导数的四则运算法则：(u v) 'u 'v 'y f1 ( x) f 2 ( x) ... f n ( x)y 'f1' ( x) f 2' (x) ... f n' ( x)(uv) 'vu 'v 'u(cv) ' c 'v cv'cv '（ c 为常数）''v ' u ( vu vu0 )v v 2注：① u, v 必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导 .例如：设 f ( x)2sin x 2 ，g( x)cos x2 ，则f ( x),g (x) 在x0 处均不可导，但它们和 f (x)g( x) x xsin x cos x 在x0 处均可导.5. 复合函数的求导法则： f x' (( x)) f ' (u)'(x)或y'x y 'u u 'x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y f (x) 在某个区间内可导，如果 f ' ( x) ＞0，则y f (x) 为增函数；如果 f ' ( x) ＜0，则y f ( x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数 y f (x) 在区间I内恒有f' (x) =0，则y f (x) 为常数 .注：① f (x)0 是 f（ x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2 x 3在( , )上并不是都有 f ( x) 0，有一个点例外即 x=0 时 f（ x） = 0 ，同样 f (x) 0是 f（ x）递减的充分非必要条件 .②一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f （ x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有 f (x) ＜ f ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 是函数 f (x) 的极大值，极小值同理）当函数 f (x) 在点x 0处连续时，①如果在 x 0附近的左侧f' (x) ＞0，右侧 f' (x) ＜0，那么f (x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f' (x) ＜0，右侧 f' (x) ＞0，那么f (x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是 f ' ( x) =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同） .注①：若点x0是可导函数f (x) 的极值点，则f'(x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数y f ( x)x3，x0 使f' ( x)=0，但x0 不是极值点.②例如：函数y f ( x)| x |，在点x0 处不可导，但点x 0 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I. C '0 （ C 为常数）(sin x) 'cos x(arcsin x) '121x(x n ) 'nx n 1（ n R ）(cos x) 'sin x(arccos x) '1x 21II. (ln x) '1(log a x) '1log a e(arctanx) '11 x x x2( e x ) ' e x(a x ) ' a x ln a( arc cot x) '11x2 III. 求导的常见方法：①常用结论： (ln | x |)'1.x②形如 y ( x a1 )( x a 2 )...( x a n ) 或 y( x a1 )( x a2 )...(x a n)两边同取自然对数，可转化求代数和形式.(x b1 )(x b2 )...(x b n )③无理函数或形如y x x这类函数，如y x x取自然对数之后可变形为ln y x ln x ，对两边求导可得y '1y 'y ln x y y 'x x ln x x x.ln x xy x导数知识点总结复习经典例题剖析考点一：求导公式。

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结高中数学人教版选修2-2导数及其应用学问点总结数学选修2-2导数及其应用学问点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的转变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxex xylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinx dxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特殊地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特殊地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特殊地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b 上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

函数与导数（一）函数的概念及其表示一、知识点x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：函数定义域的就是定义中的集合A ，但函数的值域不是定义中的集合B,而是集合B 的一个子集。

2．函数的三要素：定义域，对应关系，值域。

3.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)一个式子如果是幂的形式，且指数为零，那么它的底不能够等于零. (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.4.相同函数的判断方法：①对应关系相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)5．值域 ： 先考虑其定义域(1)观察法 (含绝对值，偶次根式，平方等可直接观察)：如1,1-=+=x y x y 。

（2）直接法（x 取有限个值的时候，可把所有函数值算出来）：如y=2x+1,{}3,2.1∈x （3）图像法：（凡是易画出图像的函数，都可用此法）如：422+-=x x y （[]3,0∈x ），双钩函数[])2,1(,2-∈+=x xx y(4)配方法：（适合于二次型函数）如：422+-=x x y ，245x x y -+= (5)分离常数法（主要适合于dcx b ax y ++=）如1121122132++=+++=++=x x x x x y （6）换元法;(适合于含无理根式的函数以及两个常见类型函数的复合函数)如[]，，可令∞+∈-=-+=01,142x t x x y 在换元后要给出新变量的范围。

教师： _____________ 学生： _________ 时间：_ 2016 _年_ _月______ 日_____________ 段第__________ 次课(2 )在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为当点P(x o , y o )不在y f (x)上时，求经过点 P 的 y f(x)到切线方程，再将 P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x 。

y y 。

f (x °)(x x 0)。

的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得y f (x)在点(x o ,f (X o ))处的切线平行与y 5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移 S 是时间t 的函数S(t)，则V 二、导数的运算1.常见函数的导数： S(t)表示瞬时速度， a v(t)表示瞬时加速度o(1)(3) (5) (7)(9) (11) (13) (kx (x) (x 3) C x)(a x) (e x )b) k (k, b 为常数)；(2) 0(C 为常数)；(4) (x 2)2x；3x 2；1 .2x ； a xlna(a 0,a1)；(sin x) cosx ； 2.函数的和、差、积、商的导数 (若f(1) [ f(x) g(x)] f (x) g (x)； (2) [Cf (x)] Cf (x) (C 为常数)； (3) [f(x)g(x)] f (x)g(x) f(x)g(x)； (4) [-^]2g (x)g (x)3.简单复合函数的导数： f (x)g(x) f (x)g (x) (g(x) 若 y f (u), u ax b ，则 y x三、导数的应用1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法： (6) (8) (12) (14) (x a)(10) 0) oy u 5，即 y x设函数(1)如果恒f (x)0，则函数y f(x)在区间0 ,则函数y f(x)在区间0 ,则函数y f(x)在区间(2) 如果恒f (x) (3) 如果恒f (x)y ua 1/ox( (lOg a x) (lnx) (cos x)均可导 a 为常数)；1x log a exlA 0,a 1)；)：sin x 。

导数及其应用基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。

高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。

学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。

当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为ΔyΔx＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则ΔyΔx＝________，表示函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率.1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1答 案2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.如何理解Δx ，Δy 的含义Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．2．求平均变化率的步骤求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，π2]上的平均变化率为sin π2－sin0π2－0＝2π.在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.典例剖析题型一求函数的平均变化率例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求t＝0到t＝1的平均速度．分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔSΔt就可以得到平均速度．解(1)由于v＝St＝3t－t2t＝3－t.∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1∴v＝ΔSΔt＝21＝2.∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝( )A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3答案D题型二平均变化率的快慢比较例2 求正弦函数y＝sin x在0到π6之间及π3到π2之间的平均变化率．并比较大小．分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．解设y＝sin x在0到π6之间的变化率为k1，则k 1＝sinπ6－sin0π6－0＝3π.y ＝sin x 在π3到π2之间的平均变化率为k 2，则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝32－3π.∵k 1－k 2＝3π－32－3π＝33－1π>0，∴k 1>k 2.答：函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且3π>32－3π.变式训练2 试比较余弦函数y ＝cos x 在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的大小．解 设函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率是k 1，则k 1＝cos π3－cos0π3－0＝－32π.函数y ＝cos x 在π3到π2之间的平均变化率是k 2，则k 2＝cosπ2－cos π3π2－π3＝－3π.∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝32π>0，∴k 1>k 2.∴函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π2之间的平均变化率．题型三 平均变化率的应用例3 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→ΔsΔt解 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt ](Δt >0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．解 质点在[2,2＋Δt ]上的平均速度为v －＝s 2＋Δt －s 2Δt＝[2＋Δt 2＋1]－22＋1Δt＝4Δt ＋Δt2Δt＝4＋Δt .又v －≤5，∴4＋Δt ≤5. ∴Δt ≤1，又Δt >0，∴Δt 的取值范围为(0,1]. § 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念自学引导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数f (x )在某一点x 0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.课前热身1.瞬时速度．设物体的运动方程为S ＝S (t )，如果一个物体在时刻t 0时位于S (t 0)，在时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的________，即v ＝S t 0＋Δt －S t 0Δt.当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻t 0的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻t 0的速度，当Δt →0时，这个平均速度的极限v ＝lim Δt →0ΔS Δt ＝lim Δt →0S t 0＋Δt －S t 0Δt就是物体在时刻t 0的速度即为________． 2．导数的概念．设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，这个常数A 就是函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.用符号语言表达为f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝________1.平均速度 瞬时速度 答 案2.lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量ΔS ＝S (t ＋Δt )－S (t )；(2)求平均速度v ＝ΔS Δt；(3)求极限limΔt→0ΔSΔt＝limΔt→0S t ＋Δt－S tΔt；(4)若极限存在，则瞬时速度v＝limΔt→0ΔS Δt.2．导数还可以如下定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.3．对导数概念的理解(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：①limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；②limΔx→0ΔyΔx不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．(3)Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值也可取负值，但不可以为0.(4)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x)＝limx→x0f x－f xx－x与定义中的f′(x0)＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx意义相同．4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率：ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx；(3)取极限，得导数：f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.典例剖析题型一物体运动的瞬时速度例1 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．分析先求出Δs，再用定义求ΔsΔt，当Δt→0时的极限值．解∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t＋Δt)2－(v0t0－12gt2)＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12g·Δt.∴当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0.故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.规律技巧瞬时速度v是平均速度v在Δt→0时的极限.因此，v＝limΔt→0v＝limΔt→0ΔsΔt.变式训练1 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝5t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度。

《导数及其应用》知识点总结一、导数的定义与运算1.导数的定义：导数表示函数在其中一点上的变化率，定义为函数在该点处的极限值。

设函数y=f(x)，则函数f(x)在点x=a处的导数记为f'(a)，可以表示为以下三种形式：（1）f'(a) = lim(x→a) [f(a)-f(x)] / (a-x)（2）f'(a) = lim(h→0) [f(a+h)-f(a)] / h（3）f'(a) = dy / dx，_(x=a)2.导数的运算法则：（1）和差法则：(u±v)'=u'±v'（2）数乘法则：(ku)' = ku'（3）乘法法则：(uv)' = u'v+uv'（4）商法则：(u/v)' = (u'v-uv') / v²（5）复合函数求导法则：(f[g(x)])'=f'(g(x))*g'(x)二、导数的几何意义1.切线与法线：函数在其中一点处的导数就是函数在该点处的切线的斜率，切线方程为y-f(a)=f'(a)(x-a)。

函数在其中一点处的导数的倒数就是函数在该点处的法线的斜率，法线方程为y-f(a)=-(1/f'(a))(x-a)。

2.函数的单调性与极值：若函数在一段区间上的导数大于0，则函数在该区间上单调递增；若函数在一段区间上的导数小于0，则函数在该区间上单调递减。

函数在一个点处的导数为0，则该点为函数的驻点；函数在驻点上的导数为正，则该点为函数的极小值点；函数在驻点上的导数为负，则该点为函数的极大值点。

三、导数的应用1.函数的极值与最值：（1）求函数的极值点：将函数的导数等于0的解作为候选点，再通过计算二阶导数或进行导数的符号表来判断是否为极值点。

（2）求函数的最值：将函数的极值点和函数在定义域的两端计算的值进行比较，得出最大值或最小值。

导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。

第三章导数及其应用高考导航知识网络3.1 导数的概念与运算典例精析题型一 导数的概念【例1】 已知函数f (x )＝2ln 3x ＋8x ， 求0Δlim→x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值.【解析】由导数的定义知：0Δlim→x f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－20Δlim →x f (1－2Δx )－f (1)－2Δx ＝－2f ′(1)＝－20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx →0时， 平均变化率ΔyΔx 的极限.【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可以近似地表示为f (t )＝t 2100，则在时刻t ＝10 min 的降雨强度为( ) A.15 mm/minB.14 mm/min C.12mm/minD.1 mm/min 【解析】选A. 题型二 求导函数【例2】 求下列函数的导数. (1)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (2)y ＝(x 2－2x ＋3)e 2x ； (3)y ＝3x 1－x. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则. (1)y ′＝1x ＋1＋x2(x ＋1＋x 2)′＝1x ＋1＋x 2(1＋x 1＋x 2)＝11＋x 2.(2)y ′＝(2x －2)e 2x ＋2(x 2－2x ＋3)e 2x＝2(x 2－x ＋2)e 2x . (3)y ′＝13(x 1－x 32)-1－x ＋x (1－x )2＝13(x 1－x 32)-1(1－x )2 ＝13x 32- (1－x ) 34-【变式训练2】如下图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝；0Δlim→x f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(用数字作答).【解析】f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2， 由导数定义0Δlim→x f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1).当0≤x ≤2时，f (x )＝4－2x ，f ′(x )＝－2，f ′(1)＝－2. 题型三 利用导数求切线的斜率【例3】 已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ， 直线l ：y ＝kx ，且l 与C 切于点P (x 0，y 0) (x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.【解析】由l 过原点，知k ＝y 0x 0 (x 0≠0)，又点P (x 0，y 0) 在曲线C 上，y 0＝x 30－3x 20＋2x 0， 所以y 0x 0＝x 2－3x 0＋2. 而y ′＝3x 2－6x ＋2，k ＝3x 20－6x 0＋2. 又 k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝x 20－3x 0＋2，其中x 0≠0， 解得x 0＝32.所以y 0＝－38，所以k ＝y 0x 0＝－14，所以直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38).【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.【变式训练3】若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程. 【解析】设切点为P (x 0，y 0)，则由 y ′＝3x 2－3得切线的斜率为k ＝3x 20－3.所以函数y ＝x 3－3x ＋4在P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(3x 20－3)(x －x 0). 又切线经过点(－2,2)，得2－y 0＝(3x 20－3)(－2－x 0)，① 而切点在曲线上，得y 0＝x 30－3x 0＋4， ② 由①②解得x 0＝1或x 0＝－2. 则切线方程为y ＝2 或 9x －y ＋20＝0.总结提高1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数通常有以下两种求法： (1) 导数的定义，即求0Δlim→x ΔyΔx ＝0Δlim →x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的值；(2)先求导函数f ′(x )，再将x ＝x 0的值代入，即得f ′(x 0)的值. 2.求y ＝f (x )的导函数的几种方法： (1)利用常见函数的导数公式； (2)利用四则运算的导数公式； (3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)，就是函数y ＝f (x )的曲线在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率.3.2 导数的应用(一)典例精析题型一 求函数f (x )的单调区间【例1】已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间. 【解析】函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)的定义域是(1，＋∞). f ′(x )＝2x －a －ax －1＝2x (x －a ＋22)x －1，①若a ≤0，则a ＋22≤1，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤0时，f (x )的增区间为(1，＋∞).②若a ＞0，则a ＋22＞1，故当x ∈(1，a ＋22]时，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1≤0；当x ∈[a ＋22，＋∞)时，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1≥0，所以a ＞0时，f (x )的减区间为(1，a ＋22]，f (x )的增区间为[a ＋22，＋∞).【点拨】在定义域x ＞1下，为了判定f ′(x )符号，必须讨论实数a ＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围. 【解析】因为f ′(x )＝2x ＋1x －a ，f (x )在(0,1)上是增函数，所以2x ＋1x －a ≥0在(0,1)上恒成立，即a ≤2x ＋1x恒成立.又2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时，取等号).所以a ≤22，故a 的取值范围为(－∞，22].【点拨】当f (x )在区间(a ，b )上是增函数时⇒f ′(x )≥0在(a ，b )上恒成立；同样，当函数f (x )在区间(a ，b )上为减函数时⇒f ′(x )≤0在(a ，b )上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.题型二 求函数的极值【例2】已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 【解析】(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . 因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0，即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根.由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-② ,13① ,032ac ab又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)得f (x )＝12x 3－32x ，所以当f ′(x )＝32x 2－32＞0时，有x ＜－1或x ＞1；当f ′(x )＝32x 2－32＜0时，有－1＜x ＜1.所以函数f (x )＝12x 3－32x 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数.所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f (x )来讲， f (x )在点x ＝x 0处取极值的必要条件是f ′(x )＝0.但是， 当x 0满足f ′(x 0)＝0时， f (x )在点x ＝x 0处却未必取得极值，只有在x 0的两侧f (x )的导数异号时，x 0才是f (x )的极值点.并且如果f ′(x )在x 0两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x )的极大值点，f (x 0)是极大值；如果f ′(x )在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x )的极小值点，f (x 0)是极小值.【变式训练2】定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，(x －32)f ′(x )＜0，若x 1＜x 2，且x 1＋x 2＞3，则有( )A.f (x 1)＜f (x 2)B.f (x 1)＞f (x 2)C.f (x 1)＝f (x 2)D.不确定【解析】由f (3－x )＝f (x )可得f [3－(x ＋32)]＝f (x ＋32)，即f (32－x )＝f (x ＋32)，所以函数f (x )的图象关于x ＝32对称.又因为(x －32)f ′(x )＜0，所以当x ＞32时，函数f (x )单调递减，当x ＜32时，函数f (x )单调递增.当x 1＋x 22＝32时，f (x 1)＝f (x 2)，因为x 1＋x 2＞3，所以x 1＋x 22＞32，相当于x 1，x 2的中点向右偏离对称轴，所以f (x 1)＞f (x 2).故选B.题型三 求函数的最值【例3】 求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解析】f ′(x )＝11＋x －12x ，令11＋x －12x ＝0，化简为x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2或x 2＝1，其中x 1＝－2舍去.又由f ′(x )＝11＋x －12x ＞0，且x ∈[0,2]，得知函数f (x )的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数f (x )的单调递减区间是(1,2)，所以f (1)＝ln 2－14为函数f (x )的极大值.又因为f (0)＝0，f (2)＝ln 3－1＞0，f (1)＞f (2)，所以，f (0)＝0为函数f (x )在[0,2]上的最小值，f (1)＝ln 2－14为函数f (x )在[0,2]上的最大值.【点拨】求函数f (x )在某闭区间[a ，b ]上的最值，首先需求函数f (x )在开区间(a ，b )内的极值，然后，将f (x )的各个极值与f (x )在闭区间上的端点的函数值f (a )、f (b )比较，才能得出函数f (x )在[a ，b ]上的最值.【变式训练3】(2008江苏)f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝. 【解析】若x ＝0，则无论a 为何值，f (x )≥0恒成立. 当x ∈(0,1]时，f (x )≥0可以化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，x ∈(0，12)时，g ′(x )＞0，x ∈(12，1]时，g ′(x )＜0.因此g (x )max ＝g (12)＝4，所以a ≥4.当x ∈[－1,0)时，f (x )≥0可以化为 a ≤3x 2－1x 3，此时g ′(x )＝3(1－2x )x 4＞0， g (x )min ＝g (－1)＝4，所以a ≤4. 综上可知，a ＝4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是： (1)确定函数f (x )的定义域D ； (2)求导数f ′(x )；(3)根据f ′(x )＞0，且x ∈D ，求得函数f (x )的单调递增区间；根据f ′(x )＜0，且x ∈D ，求得函数f (x )的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是： (1)求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)判断f ′(x )在方程根左右的值的符号，确定f (x )在这个根处取极大值还是取极小值. 3.求函数最值的步骤是：先求f (x )在(a ，b )内的极值；再将f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.3 导数的应用(二)典例精析题型一 利用导数证明不等式 【例1】已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的值域； (2)求证：x ＞1时，f (x )＜23x 3.【解析】(1)由已知f ′(x )＝x ＋1x，当x ∈[1，e]时，f ′(x )＞0，因此f (x )在 [1，e]上为增函数. 故f (x )max ＝f (e)＝e 22＋1，f (x )min ＝f (1)＝12，因而f (x )在区间[1，e]上的值域为[12，e 22＋1].(2)证明：令F (x )＝f (x )－23x 3＝－23x 3＋12x 2＋ln x ，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x ，因为x ＞1，所以F ′(x )＜0， 故F (x )在(1，＋∞)上为减函数. 又F (1)＝－16＜0，故x ＞1时，F (x )＜0恒成立， 即f (x )＜23x 3.【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x ＞0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＞0，则x ＜0时( )A.f ′(x )＞0，g ′(x )＞0B.f ′(x )＞0，g ′(x )＜0C.f ′(x )＜0，g ′(x )＞0D.f ′(x )＜0，g ′(x )＜0 【解析】选B. 题型二 优化问题【例2】 (2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解析】(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝m x－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256(m x －1)＋mx (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知f ′(x )＝－256m x 2＋12mx 21 ＝m2x2(x 23－512).令f ′(x )＝0，得x 23＝512.所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增函数.所以f (x )在x ＝64处取得最小值.此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r ，高为h ， 则由已知可得4(4r ＋2h )＝9.6，所以2r ＋h ＝1.2. S ＝2.4πr －3πr 2，h ＝1.2－2r ＞0，所以r ＜0.6. 所以S ＝2.4πr －3πr 2(0＜r ＜0.6). 令f (r )＝2.4πr －3πr 2，则f ′(r )＝2.4π－6πr . 令f ′(r )＝0得r ＝0.4.所以当0＜r ＜0.4，f ′(r )＞0； 当0.4＜r ＜0.6，f ′(r )＜0.所以r ＝0.4时S 最大，S max ＝1.51. 题型三 导数与函数零点问题【例3】 设函数f (x )＝13x 3－mx 2＋(m 2－4)x ，x ∈R .(1)当m ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)已知函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)当m ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2＋5x ，f ′(x )＝x 2－6x ＋5.因为f (2)＝23，f ′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，则所求的切线方程为y －23＝－3(x －2)，即9x ＋3y －20＝0.(2)f ′(x )＝x 2－2mx ＋(m 2－4). 令f ′(x )＝0，得x ＝m －2或x ＝m ＋2.当x ∈(－∞，m －2)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，m －2)上是增函数； 当x ∈(m －2，m ＋2)时，f ′(x )＜0，f (x )在(m －2，m ＋2)上是减函数； 当x ∈(m ＋2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(m ＋2，＋∞)上是增函数.因为函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且f (x )＝13x [x 2－3mx ＋3(m 2－4)]，所以⎩⎨⎧≠->--.0)4(3,0)4(12)3(222m m m 解得m ∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4). 当m ∈(－4，－2)时，m －2＜m ＋2＜0，所以α＜m －2＜β＜m ＋2＜0.此时f (α)＝0，f (1)＞f (0)＝0，与题意不合，故舍去. 当m ∈(－2,2)时，m －2＜0＜m ＋2， 所以α＜m －2＜0＜m ＋2＜β.因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立， 所以α＜1＜β.所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值.因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值， 所以m ＋2＝1，即m ＝－1. 当m ∈(2,4)时，0＜m －2＜m ＋2， 所以0＜m －2＜α＜m ＋2＜β.因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立， 所以α＜1＜β.所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值.因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值， 所以m ＋2＝1，即m ＝－1(舍去). 综上可知，m 的取值范围是{－1}.【变式训练3】已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＞0时，F (x )的递增区间为(1a ，＋∞)，递减区间为(0，1a)； 当a ≤0时，F (x )的递减区间为(0，＋∞). (2)[12ln 2，1e). 总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.3.4 定积分与微积分基本定理典例精析题型一 求常见函数的定积分 【例1】 计算下列定积分的值. (1)⎰21(x －1)5d x ；(2)⎰2π(x ＋sin x )d x .【解析】(1)因为[16(x －1)6]′＝(x －1)5， 所以⎰21 (x －1)5d x ＝6)1(61-x 12＝16. (2)因为(x 22－cos x )′＝x ＋sin x ， 所以⎰2π0(x ＋sin x )d x ＝)cos 2(2x x -12π＝π28＋1. 【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f (x )是偶函数时，则⎰-a a f (x )d x ＝2⎰a 0f (x )d x ； ②若f (x )是奇函数时，则⎰-a a f (x )d x ＝0. 【变式训练1】求⎰-55(3x 3＋4sin x )d x . 【解析】⎰-55(3x 3＋4sin x )d x 表示直线x ＝－5，x ＝5，y ＝0和曲线y ＝3x 3＋4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.又f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x ).所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数，所以⎰-50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎰05(3x 3＋4sin x )d x ， 所以⎰-55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎰-50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎰05(3x 3＋4sin x )d x ＝0. 题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图，由⎩⎨⎧-==,4,22x y x y 得交点A (2,2)，B (8，－4)，则S ＝⎰02[2x －(－2x )]d x ＋⎰28[4－x －(－2x )]d x＝0223324x ＋28)32224(232x x x +-＝163＋383＝18. 方法二：S ＝⎰-42[(4－y )－y 22]d y ＝42)61214(32---y y y ＝18. 【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为x ＝φ(y )的形式，同时，积分上、下限必须对应y 的取值.【变式训练2】设k 是一个正整数，(1＋x k )k 的展开式中x 3的系数为116，则函数y ＝x 2与y ＝kx －3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.【解析】T r ＋1＝C r k (x k )r ，令r ＝3，得x 3的系数为C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4.由⎩⎨⎧-==34,2x y x y 得函数y ＝x 2与y ＝4x －3的图象的交点的横坐标分别为1,3.所以阴影部分的面积为S ＝⎰13(4x －3－x 2)d x ＝(2x 2－3x －13)313x ＝43. 题型三 定积分在物理中的应用【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时阻力所做的功.【解析】(1)当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )≤0，所以前2秒内所走过的路程为s ＝⎰01v (t )d t ＋⎰12(－v (t ))d t ＝⎰01(1－t 2)d t ＋⎰12(t 2－1)d t=01)31(3t t -＋12)31(3t t -＝2.2秒末所在的位置为x 1＝x 0＋⎰02v (t )d t ＝1＋⎰02(1－t 2)d t ＝13. 所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x 1＝13. (2) 物体的速度为v ＝(bt 3)′＝3bt 2.媒质阻力F 阻＝kv 2＝k (3bt 2)2＝9kb 2t 4，其中k 为比例常数，且k ＞0.当x ＝0时，t ＝0；当x ＝a 时，t ＝t 1＝(a b)31， 又d s ＝v d t ，故阻力所做的功为W 阻＝⎰阻F d s ＝⎰01t kv 2·v d t ＝k ⎰01t v 3d t ＝ k ⎰01t (3bt 2)3d t ＝277kb 3t 71 ＝ 277k 3a 7b 2. 【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v (t )＝⎰a ba (t )d t ，s (t )＝⎰ab v (t )d t 和W ＝⎰a b F (x )d x 这三个公式.【变式训练3】定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F [1，log 2(x 2－4x ＋9)]的图象为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B (n ，t )(n ＞0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与线段OA ，OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.【解析】因为F (x ，y )＝(1＋x )y ，所以f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))＝)94log(22+-x x ＝x 2－4x ＋9，故A (0,9)，又过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B (n ，t )(n ＞0)，f ′(x )＝2x －4. 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=,42,942n nt n n t 解得B (3,6)， 所以S ＝⎰03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝(x 33－3x 2＋9x )03=9. 总结提高1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.3.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（4）计算定积分，写出答案.。

第三章 导数及其应用3.1.2 导数的概念(要求熟悉)1.函数)(x f 在0x x =处的导数：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率称为)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()()(00000'lim lim 。

3.1.3导数的几何意义（要求掌握）1.导数的几何意义：函数)(x f 在0x x =处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率， 即k xx f x x f x f x =∆-∆+=→∆)()()(0000'lim ； 2.求切线方程的步骤：（注：已知点),(00y x 在已知曲线上）①求导函数)('x f ；②求切线的斜率)(0'x f ；③代入直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-，并整理。

3.求切点坐标的步骤：①设切点坐标),(00y x ；②求导函数)('x f ；③求切线的斜率)(0'x f ；④由斜率间的关系列出关于0x 的方程，解方程求0x ；⑤点),(00y x 在曲线)(x f 上，将),(00y x 代入求0y ，得切点坐标。

3.2导数的计算（要求掌握）1. 基本初等函数的导数公式：①0'=C ；②1)'(-=a a axx ；③x x cos )'(sin =；④x x sin )'(cos -=； ⑤)0(ln )('>=a a a a x x ；⑥x x e e =')(；⑦)1,0(ln 1)(log '≠>=a a a x x a 且；⑧xx 1)(ln '=. 2.导数运算法则：①)()()]()(['''x g x f x g x f ±=± ；②)()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f +=； ③2''')]([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f -=；④)()]([''x cf x cf = 3.3.1函数的单调性与导数（1）在区间],[b a 内，)('x f >0,⇔f (x )为单调递增；)('x f <0,⇔f (x )为单调递减。

导数知识点归纳及应用●知识点归纳 一、相关概念 1．导数的概念函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x 0 处有增量 x ，那么函数 y 相应地有 y x增量 y =f （ x 0 + x ）－f （x 0 ），比值 叫做函数 y=f （x ）在 x 0 到 x 0 + xf ( x 0x) xf ( x 0 )。

如果当y = xy 有x之间的平均变化率， 即 0 时， x极限，我们就说函数 y=f(x) 在点 x 0 处可导， 并把这个极限叫做 f （x ） 在点 x 0 处的导数，记作 f ’（ x 0 ）或 y ’|x。

x 0y xf ( x 0x) xf ( x 0 ) 即 f （x 0 ）= lim。

= lim x 0x 0说明：y xy x（ 1）函数 f （ x ）在点 x 0 处可导， 是指 0 时，有极限。

如果x不存在极限，就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。

（ 2） x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量， x 0 时，而 y 是函数值的改 变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数 y=f （ x ）在点 x 0 处的导数的步骤： ① 求函数的增量 y =f （ x 0 + x ）－ f （x 0 ）； y xf (x 0x)f (x 0 )；x② 求平均变化率 = y x③ 取极限，得导数 f ’(x 0 )= lim。

x 0 例： 设 f(x)= x|x|,则 f ′( 0)=.f ( 0 x) xf (0)f ( x) x| x | xx[ 解析 ] ： ∵ ∴lim | x 0x | 0lim x 0limx 0limx 0f ′( 0)=02．导数的几何意义函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ， f （ x 0 ））处的切线的斜率。

也就是说，曲线 y=f （ x ）在点 p （ x 0 ， f（ x 0 ））处的切线的斜率是 f ’（ x 0 ）。

完整版)高中数学导数知识点归纳总结导数的定义：对于函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}其中，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的增量。

函数的连续性和可导性的关系：如果函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必然连续。

但是，反过来并不成立，即函数在某点处连续并不一定可导。

导数的几何意义：函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线在该点处的切线的斜率。

因此，切线方程为：y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)其中，$y_0=f(x_0)$表示曲线在点$(x_0,y_0)$处的纵坐标。

导数的四则运算法则：对于任意可导函数f(x)和g(x)，有以下四则运算法则：1.$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$3.$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4.$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$其中，除法的分母$g(x)$不能为0.导数的应用：导数可以用来求函数的单调性、极值和最值。

函数单调递增的条件是导数大于0，函数单调递减的条件是导数小于0.函数在极值点处的导数为0，但反之不一定成立。

函数的最值可以通过求导数来确定。

注①：若点x是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立。

对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。