下载文档原格式
描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
§14. 导 数知识要点导数的概念 导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数导数的运算导数的运算法则 函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值1. 导数（导函数的简称）的定义：设 x 0 是函数 y f (x) 定义域的一点，如果自变量x 在 x 0 处有增量 x ，则函数值 y 也引起相应的增量yf (x 0x) f (x 0 ) ；比值y f ( x 0 x) f ( x 0 ) 称为函数 y f ( x) 在点xxx 0 到 x 0x 之间的平均变化率； 如果极限 limy f (x 0x) f ( x 0 ) 存在，则称函数 yf (x) 在点 x 0xlimxx 0x 0处 可 导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做 yf ( x) 在 x 0 处 的 导 数 ， 记 作f ' (x 0 ) 或 y'|x x ， 即f '(x 0 ) =yf (x 0x)f (x 0 )limlimx .x 0 xx 0注：①x 是增量，我们也称为“改变量 ”，因为 x 可正，可负，但不为零 .②以知函数 yf ( x) 定义域为A ， y f ' (x ) 的定义域为B ，则 A 与 B 关系为 AB .2. 函数 y f ( x) 在点 x 0 处连续与点 x 0 处可导的关系：⑴函数 y f (x) 在点 x 0 处连续是 y f ( x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件 .可以证明，如果y f ( x) 在点 x 0 处可导，那么 y f ( x) 点 x 0 处连续 .事实上，令 x x 0x ，则 xx 0 相当于 x 0 .于是 lim f ( x)lim f ( x 0 x)lim [ f (xx 0 ) f (x 0 ) f (x 0 )]xx 0x 0x 0lim [ f (x 0x) f ( x 0 )xf ( x 0 )]f (x 0x) f ( x 0 )lim f ( x 0 )xlimxlimx 0xx 0x 0如果 y f (x) 点 x 0 处连续，那么 y f ( x) 在点 x 0 处可导，是不成立的 .例： f (x)| x |在点 x 0 0 处连续， 但在点 x 0y | x | ，当0 处不可导， 因为x x 0 时，y1 ，故 lim y不存在 . x x 0 x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数 .②可导的偶函数函数其导函数为奇函数 .3. 导数的几何意义：f '( x 0 ) 0 f (x 0 )f (x 0 ). ⑵x ＞ 0 时，y1；当 x ＜x函数y f (x) 在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f (x) 在点(x0 , f ( x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y f (x) 在点P ( x0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' (x 0 )，切线方程为y y0 f ' (x)( x x0 ).4.求导数的四则运算法则：(u v) 'u 'v 'y f1 ( x) f 2 ( x) ... f n ( x)y 'f1' ( x) f 2' (x) ... f n' ( x)(uv) 'vu 'v 'u(cv) ' c 'v cv'cv '（ c 为常数）''v ' u ( vu vu0 )v v 2注：① u, v 必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导 .例如：设 f ( x)2sin x 2 ，g( x)cos x2 ，则f ( x),g (x) 在x0 处均不可导，但它们和 f (x)g( x) x xsin x cos x 在x0 处均可导.5. 复合函数的求导法则： f x' (( x)) f ' (u)'(x)或y'x y 'u u 'x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y f (x) 在某个区间内可导，如果 f ' ( x) ＞0，则y f (x) 为增函数；如果 f ' ( x) ＜0，则y f ( x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数 y f (x) 在区间I内恒有f' (x) =0，则y f (x) 为常数 .注：① f (x)0 是 f（ x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2 x 3在( , )上并不是都有 f ( x) 0，有一个点例外即 x=0 时 f（ x） = 0 ，同样 f (x) 0是 f（ x）递减的充分非必要条件 .②一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f （ x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有 f (x) ＜ f ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 是函数 f (x) 的极大值，极小值同理）当函数 f (x) 在点x 0处连续时，①如果在 x 0附近的左侧f' (x) ＞0，右侧 f' (x) ＜0，那么f (x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f' (x) ＜0，右侧 f' (x) ＞0，那么f (x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是 f ' ( x) =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同） .注①：若点x0是可导函数f (x) 的极值点，则f'(x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数y f ( x)x3，x0 使f' ( x)=0，但x0 不是极值点.②例如：函数y f ( x)| x |，在点x0 处不可导，但点x 0 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I. C '0 （ C 为常数）(sin x) 'cos x(arcsin x) '121x(x n ) 'nx n 1（ n R ）(cos x) 'sin x(arccos x) '1x 21II. (ln x) '1(log a x) '1log a e(arctanx) '11 x x x2( e x ) ' e x(a x ) ' a x ln a( arc cot x) '11x2 III. 求导的常见方法：①常用结论： (ln | x |)'1.x②形如 y ( x a1 )( x a 2 )...( x a n ) 或 y( x a1 )( x a2 )...(x a n)两边同取自然对数，可转化求代数和形式.(x b1 )(x b2 )...(x b n )③无理函数或形如y x x这类函数，如y x x取自然对数之后可变形为ln y x ln x ，对两边求导可得y '1y 'y ln x y y 'x x ln x x x.ln x xy x导数知识点总结复习经典例题剖析考点一：求导公式。
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结高中数学人教版选修2-2导数及其应用学问点总结数学选修2-2导数及其应用学问点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的转变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxex xylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinx dxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特殊地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特殊地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特殊地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b 上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
函数与导数（一）函数的概念及其表示一、知识点x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：函数定义域的就是定义中的集合A ，但函数的值域不是定义中的集合B,而是集合B 的一个子集。
2．函数的三要素：定义域，对应关系，值域。
3.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)一个式子如果是幂的形式，且指数为零，那么它的底不能够等于零. (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.4.相同函数的判断方法：①对应关系相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)5．值域 ： 先考虑其定义域(1)观察法 (含绝对值，偶次根式，平方等可直接观察)：如1,1-=+=x y x y 。
（2）直接法（x 取有限个值的时候，可把所有函数值算出来）：如y=2x+1,{}3,2.1∈x （3）图像法：（凡是易画出图像的函数，都可用此法）如：422+-=x x y （[]3,0∈x ），双钩函数[])2,1(,2-∈+=x xx y(4)配方法：（适合于二次型函数）如：422+-=x x y ，245x x y -+= (5)分离常数法（主要适合于dcx b ax y ++=）如1121122132++=+++=++=x x x x x y （6）换元法;(适合于含无理根式的函数以及两个常见类型函数的复合函数)如[]，，可令∞+∈-=-+=01,142x t x x y 在换元后要给出新变量的范围。
教师： _____________ 学生： _________ 时间：_ 2016 _年_ _月______ 日_____________ 段第__________ 次课(2 )在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为当点P(x o , y o )不在y f (x)上时，求经过点 P 的 y f(x)到切线方程，再将 P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x 。
y y 。
f (x °)(x x 0)。
的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得y f (x)在点(x o ,f (X o ))处的切线平行与y 5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移 S 是时间t 的函数S(t)，则V 二、导数的运算1.常见函数的导数： S(t)表示瞬时速度， a v(t)表示瞬时加速度o(1)(3) (5) (7)(9) (11) (13) (kx (x) (x 3) C x)(a x) (e x )b) k (k, b 为常数)；(2) 0(C 为常数)；(4) (x 2)2x；3x 2；1 .2x ； a xlna(a 0,a1)；(sin x) cosx ； 2.函数的和、差、积、商的导数 (若f(1) [ f(x) g(x)] f (x) g (x)； (2) [Cf (x)] Cf (x) (C 为常数)； (3) [f(x)g(x)] f (x)g(x) f(x)g(x)； (4) [-^]2g (x)g (x)3.简单复合函数的导数： f (x)g(x) f (x)g (x) (g(x) 若 y f (u), u ax b ，则 y x三、导数的应用1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法： (6) (8) (12) (14) (x a)(10) 0) oy u 5，即 y x设函数(1)如果恒f (x)0，则函数y f(x)在区间0 ,则函数y f(x)在区间0 ,则函数y f(x)在区间(2) 如果恒f (x) (3) 如果恒f (x)y ua 1/ox( (lOg a x) (lnx) (cos x)均可导 a 为常数)；1x log a exlA 0,a 1)；)：sin x 。
导数及其应用基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。
可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。
即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。
