高中数学导数及其应用一、知识网络
二、高考考点
1、导数定义的认知与应用；
2、求导公式与运算法则的运用；
3、导数的几何意义；
4、导数在研究函数单调性上的应用；
5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；
6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点
（一）导数
1、导数的概念
（1）导数的定义
（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比
，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即
。
（Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即
。
认知：
（Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。
（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③求极限
上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。
（2）导数的几何意义：
函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。
（3）函数的可导与连续的关系
函数的可导与连续既有联系又有区别：
（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；
若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。
事实上，若函数在点处可导，则有此时，
记 ,则有即在点处连续。
（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。
反例：在点处连续，但在点处无导数。
事实上，在点处的增量
当时，，；当时，，
由此可知，不存在，故在点处不可导。
2、求导公式与求导运算法则
（1）基本函数的导数（求导公式）
公式1 常数的导数：（c为常数），即常数的导数等于0。公式2 幂函数的导数：。
公式3 正弦函数的导数：。
公式4 余弦函数的导数：
公式5 对数函数的导数：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）
公式6 指数函数的导数：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）。
（2）可导函数四则运算的求导法则
设为可导函数，则有
法则1 ；
法则2 ；
法则3 。
3、复合函数的导数
（1）复合函数的求导法则
设，复合成以x为自变量的函数，则复合函数
对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u对自变量x的导数，
即。
引申：设，复合成函数，则有
（2）认知
（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：
；
（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路
①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；
②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；
③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。
1、函数的单调性
（1）导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若
为减函数；若在某个区间内恒有，则在这一区间上为常函数。
（2）利用导数求函数单调性的步骤
（Ⅰ）确定函数的定义域；
（Ⅱ）求导数；
（Ⅲ）令，解出相应的x的范围
当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数。
（3）强调与认知
（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x 的取值范围为B，则应用；
（Ⅱ）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。
举例：
（1）是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，。
（2）在点x=0处连续，点x=0处不可导，但在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。
（1）函数的极值的定义
设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；
如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。
极大值与极小值统称极值
认知：由函数的极值定义可知：
（Ⅰ）函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；
（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；
（Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，极小值点交替出现。
（2）函数的极值的判定
设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是
（Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；
（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；
注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数的导数研究中悟出这一点。
（3）探求函数极值的步骤：
（Ⅰ）求导数；
（Ⅱ）求方程的实根及不存在的点；
