不等式基本不等式对勾函数判别式解法

不等式

不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。

第一节基本不等式

1.

证明：当,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。

2.基本不等式的变形（包括2个方面）

①若,

若,

若,(上述3个不等式，考虑如何证明？)

注：上述的不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。

②（注意：不等式的右边是）

例题1.已知

解：，∴；

求有两种方法，其一是配式，，∴；另一种方法是，由,∵∴。

例题2.已知,求证：。

证明：由基本不等式得：，∴

而条件是,即对于不等式等号成立，即。

注：本题把等号成立的条件，作为求证的目标，比较新颖。

例题3.已知

解：,这里

,.

注：解答本题的关键是，如何运用好，两次使用了基本不等式，但不矛盾。

例题4.求的最大值。

解：函数的定义域为,可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。但由于两式平方和为常数3，故应用基本不等式的变形公式简单些。

∵2

，当且仅当→时成立，故。

例题5.已知,则的最小值为（）。

解：当且仅当等号成立，的最小值为16.

注：这里要求2元表达式的的最值，不能直接整体应用基本不等式（即不能直接整体消去a、b）而且也没有给出条件等式（即不可能代入消元）,因此，对局部用基本不等式的变形公式进行处理。

例题6.若二次函数的值域为[0,+∞),则的最小值为（）。

解：由题意得则，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以的最小值为。

注：本题也可用消元法，由消去a或c，比较麻烦。

例题7.已知a,b,c>0,且

例题8.已知a,b,c>0,且的最大值为（）。

解：

,当且仅当等号成立，∴所求的最大值为。

例题9.已知函数的定义域是[a,b],其中，(1)求的最小值；

(2)若,求证：.

解：(1)由基本不等式的变形公式可得，∴,上面各式等号成立的条件都是：时取得（虽然两次使用了基本不等式，但x的取值不矛盾），∴。

(2)设时，由(1)的结论可得：,同理②由②得：

.

上面两次用到基本不等式，等号成立的条件都是s=2时取得，∴(2)得证。

例题10.已知两条直线和图象从左至右相交于A,B,与函数图象从左至右相交于C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为（）。

解：在同一坐标系中作出,图象，令

,∴

,故由,当且仅当，即取等号，故(。

注：本题经过巧妙的”伪装”,将基本不等式融入到函数中，将文字语言转化为符号语言，实现基本不等式模型的构建，对学生的运算能力和思维水平提出了很高要求，具有较好的区分度。

例题11.若平面向量满足，则的最小值是（）。

解：由，两边平方，得4，由基本不等式得：4(当且仅当)。设θ为夹角(),则当时，(当且仅当)，因此。

注：本题将基本不等式与向量相结合，通过将向量的模平方，借助基本不等式和斜率数量积的性质，建立关于的不等式。此题视角独特，构思精心。

例题12.函数图像上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是（）。

解：如图，设函数图像上两相邻点中最高点为A,最低点为B且过A点平行与x轴的直线与过B点垂直于x轴的直线相交于C,则，即，故。

注：本题将基本不等式渗透到三角函数中，关键是运用三角函数的周期、振幅，合理表示出相邻的最低点与最高点的距离。此题情景新颖，自然贴切，这种不拘题型约束的命题方式是高考的一大亮点。

例题13.设是等比数列，公比，的前n项和，记。记为数列的最大项，则().

解：由题意，

，此时。

注：本题将基本不等式嵌入数列解题中，运用数列的基本量及性质将条件转化为关于n的代数式，通过换元后转化为基本不等式模型。

例题14.一个四面体的一条长为x，其余所有棱长均为1，则此四面体体积V的最大值是（）。

解：由题意得：(当且仅当等号成立)，故的最大值是。

注：本题把基本不等式与立体几何的相关知识进行交汇，如果学生对空间图形有较深刻的认识，可以准确建立V(x)的函数关系式以后求解，使问题的综合性进一步加强，充分体现出数学试题的多变性。

例题15.平面直角坐标系xoy中，已知点A(0，1),B点在直线上，M点满足点M的轨迹为切线C,

(1) 求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在得P处的切线，求O点到l的距离的最小值。

解：(1)所以l的斜率为故l的方程为则O点到l的距离,又∴，∴O点到l的距离的最小值为2.

第二节“对勾”函数的图象、性质及应用

“对勾”函数与基本不等式有着密切的联系，其图像如右图，当x>0时,

;当x<0时，(同时,也是函数增减区间的分

点)。以上在不少的例题中已经运用了这个结论。事实上，函数还有一个很重要的代数性质在变量代换中经常使用。

例题1.（2013年江苏卷13题）在平面直角坐标系xOy中，设点A(a,a),P是函数图像上的动点，若点P,A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为（）。

解：点A(a,a)是直线上的动点，点P,A之间的最短距离为，即以A为圆心，半径的动圆与函数图像相切时求a的值。依题意可画出草图，

点A在直线上运动时，凭直觉认为，动圆都会与函数的图像相切于点C(1,1)，因此不难求出a的两个值为-1或3；而这个答案是错的。事实上，当a>0时，两图像的切点位置是与动圆半径大小有关的(如图)，只有半径较小时，才可能相切于C。→

→,令,则①式可化为：

∴,解得.

注：解答本题有两个问题需要注意，一是用数形结合的方法解题时，直觉有可能是错误的；二是解析式与的可代换关系，这样的关系还存在于sinx±cosx与sinx?cosx;等。

如果将“对勾”函数变形为：(a,b∈R),研究其图像、性质对解题是很有必要的。

(1)(a>0,b>0)此函数是由叠加而成，通过分析两个简单函数的图像特征，画出其叠加函数的图像，是数学能力的一种体现。由图像可知:①关于原点对称；

②时，函数存在极小值点A();时，函数存在极大值点B();

③递减区间为：(),),递增区间为：(),();（②③两条性质可通过导数证明）

④存在两条渐近线：(渐近线在通过作图解题时，起作用)。

(2) 其余的三种情况的图像如下：

其性质由同学们自己小结，在此不在赘述。

例题2.若函数的值域是[],则函数的值域是（）。

解：设,则,只要画出函数的图像可知：.

注：本题看似简单，但取不同的表达式时，情况可能变得很复杂。

例题3.设定义在(0,+∞)上的函数(a>0)求的最小值。

解1.（基本不等式法）∵,∴当且仅当

时等号成立，∴.

解2.（判别式法）设，则有,显然,解得(舍去)，∵，故应将代入①得：

即,因此。

（注：当主元x有范围使用判别式法时，都应将所求最值回代，检验x的解是否在给定的范围内）

解3.（求导数法）由题意,∵有;有.故当时，函数时，函数，因此。

变式1：设定义在(0,+∞)上的函数(a>0)求的最小值。

变式2：设定义在(0,π)上的函数(a>0)求的最小值。

变式3：设定义在[0,+∞)上的函数(a>0)求的最小值。

变式4：设函数(a>0)求的最小值。

变式5：设定义在(1,+∞)上的函数(a>0,a≠1)求的最值。

注：以上5个变式，若以填空题的形式解答，可使用变量代换，用“对勾”函数的图象直接得到答案；若

以解答题的形式解答，应使用求导数的方法证明。

变式6：讨论函数(a>0,c>0,n取正整数)。

解：,当n为奇数时，函数是奇函数，只要讨论

;当n为偶数时，函数是偶函数，只要讨论

。

例题4.求函数,的最值。

解：由于函数的分子分母的次数都是2，因此采用“配式法”降低分子的次数；令,则再令,

∴.

注：求型如函数的最值(值域)，可通过换元法()转化为函数，只要讨论的极值即可；当所求函数的分子分母的次数相同时（如本题）应采用“配式法”降低分子的次数，转化成的形式。

例题5.,若对不等式10在上恒成立，求b的取值范围。

解：∵∴函数上单调递减，在上单调递增，则上的最大值为.由∵,不等式10在上恒成立,∴有即解得.

注：①将不等式恒成立问题转化为最值问题，是常见的转化形式。

②变换主元，把看成关于a的一次函数,不等式10恒成立(分两步进行)，∴10恒成立，∵在上单调递减∴10,解得：.

练习1.若关于x的方程至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数a的取值范围是().

[]

练习2.若,则函数的最大值是（）。

练习3.若最小值(4)

第三节判别式法解题

利用一元二次方程的判别式求某些函数的值域或极值的方法，称为判别式法。判别式法的使用通常是对含有参数的二次方程。

例题1.求函数。

解：由判别式可知分母，两边同乘以得：

,将此式看成是x的方程，必有实数解，

∴Δ=解得：，即函数

例题2.求函数。

解：当时分母虽然为0，但分子x+4≠0，∴变形后仍然可得到关于x的二次方程，将函数的两边同乘得：,此方程x显然有实数解，∴Δ=,解得：，∵二次项系数y≠0，∴函数为

注：在使用判别式法求分式函数的值域时，应注意两点：一是分式的表达式不能约分，二是变形后，二次项系数为0的y在求得的y的范围内，要代入方程验证。

例题3.求函数

解：,∵由函数的定义域知，∴①∵，∴①式的值域为;再将代入①式,得到的须删除,∴函数

注：函数的表达式中的分式，可约分时应先约分，再求值域，最后删除定义域中不存在点所对应的函数值。

例题4.设为实数，且首项为公差为d的等差数列｛｝的前n项和为，满足，求公差d的取值范围。

解：∵,将其代入并化简得：

此式可看成是关于的二次方程，∴Δ=，解得：。

注：①由于方程(*)中的，∴Δ是方程有解的充要条件，因此不必要再对结果进行检验了。

②本题也可以求的取值范围，方法相同。

例题5.,,试问实数为何值时，取得最大值？

解1：利用基本不等式（略）。

解2：设代入题设等式并整理得：∴Δ=，解得：或。由知,∴由令，代入(*)式，可解得满足题设条件，所以.

注：把式看成关于a的二次方程，Δ是方程在有解的必要条件(不是充要条件)，因此需要通过检验说明最值的取得是合理的。

变式：已知实数满足,则b的取值范围是（）。

例题6.如图建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。