{高中试卷}高三数学一轮复习：不等式性质及解法练习题3[仅供参考]

ab -1高考数学试题分类汇编——不等式1.（上海理 15）若 a , b ∈ R ，且 ab > 0 ，则下列不等式中，恒成立的是A. a 2 + b 2 > 2abB. a + b ≥ 2 C ．D 1 + 1 > a b1 + 4 b + a ≥2 D ． a b 2. 已知 a ＞0，b ＞0，a+b=2，则 y= a b 的最小值是 7 A ． 2 B ．4 C ．92 D ．53、（江西理数）3.不等式> x - 2 x 的解集是（ ） A. (0，2) B. (-∞，0) C. (2，+ ∞) D.（- ∞，0）⋃ (0，+ ∞)x - 2【答案】 A 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. x 得 A 。

或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。

4、（2010 全国卷 1 文数）（10）设 a = log 3 2, b = ln 2, c = 5 2 则 < 0 ，解 （A ） a < b < c （B ） b < c < a x 2 - x - 6(C) c < a < b (D) c < b < a5、(全国卷 2）不等式 x -1＞0 的解集为（ ） （A ）{x x ＜- 2,或x ＞3} （C ） {x -2＜x ＜1，或x ＞3} （B ）{x x ＜- 2，或1＜x ＜3} （D ）{x -2＜x ＜1，或1＜x ＜3}【答案】C 【解析】利用 数轴穿根法解得-2＜x ＜1 或 x ＞3，故选 C⎧21- x , x ≤ 1 f (x ) = ⎨6.（辽宁）设函数 ⎩1 - log 2 x , x > 1，则满足 f (x ) ≤ 2 的 x 的取值范围是（A ）[-1 ，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+ ∞ ） （D ）[0，+ ∞ ）【答案】Dabx - 2 x6 ≤ x - y ≤ 9 ⎧3 ≤ 2x + y ≤ 9 ⎨ 7.（全国新课标）若变量 x ，y 满足约束条件⎩ ，则．【答案】-6 z = x + 2 y 的最小值是 8. 不等式 x +1 < 3 x的解为 。

第二章 《不等式》检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．设,,Ra b c ∈,且a b>,则（） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >2、设01a b <<<，则下列不等式成立的是A ．33a b >B ．11ab< C ．1b a >D ．lg 0b a -<() 3、若122=+y x ,则yx +的取值范围是（） A ．]2,0[ B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞4、设变量x , y满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为 （） A ．-7 B ．-4 C ．1D ．25、已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是A.14B.18C. 4D. 86．已知向量a ＝(1，)，b ＝(x －1,1)，则＋的最小值是( )A ．1 D ．2 7、已知向量，(),1x z -()2,y z +且a ⊥b ，若变量,x y 满足约束条件1325x y xx y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.48．如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是A ．25B ．5C ．4D ．19、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 m .10、已知01a <<，01x y <<≤，且·，那么xy 的取值范围是A ．(20a ⎤⎦，B ．(]0a ，C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．210a ⎛⎤⎥⎝⎦， 11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m 12．定义在,,f Mm n p，其中M 是ABC 内一点，m 、n 、p 分别是MBC、MCA、MAB的面积，已知中，()23,30AB AC BAC f N ⋅=∠==若1,,2x y ⎛⎫⎪⎝⎭，则14x y的最小值是 A.8 B.9 C.16 D.18二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若变量满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则的最大值为14、已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =.15、已知向量，其中x ，y 都是正实数，若，则y x t 2+=的最小值是.16、若21,x x 是函数)(2)(2R m mx x x f ∈-+=的两个零点，且21x x <，则12x x -的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分12分)已知a 是实数，试解关于x 的不等式：122---≥x a x x x⊿( ) ( )1 , ,2 , y b x a = - = b a ⊥18、(本小题满分10分)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为多少元？19．(本小题满分12分)某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时,它的燃料费是每小时96元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行. (1)求k 的值;(2)求该轮船航行100海里的总费用W (燃料费+航行运作费用)的最小值.20．(本小题满分12分)记c bx ax x f +-=2)(，若不等式0)(>x f 的解集为（1，3），试解关于t 的不等式)2()8|(|2t f t f +<+.21．(本小题满分12分) 、已知集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q（1）若φ≠Q P ，求实数a 的取值范围。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。

小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。

1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

高三数学不等式的性质试题答案及解析1.已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a【答案】D【解析】∵a<0，－1<b<0，∴ab2－a＝a(b2－1)>0，ab－ab2＝ab(1－b)>0.∴ab>ab2>a.也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－，则ab2＝－，ab＝1，从而ab>ab2>a.故应选D.2.已知－3<b<a<－1，－2<c<－1，则(a－b)c2的取值范围是________．【答案】(0,8)【解析】依题意0<a－b<2,1<c2<4，所以0<(a－b)c2<8.3.已知实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】若a<0，则b2<1<b，产生矛盾，所以a>0，则b2>1>b，解得b∈(－∞，－1)．4.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|【答案】C【解析】因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由，可得xy>xz，故选C.5. [2014·西安模拟]设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是()A．(0，)B．(－，)C．(0，π)D．(－，π)【答案】D【解析】由题设得0<2α<π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.6.(2014·十堰模拟)若不等式-a<x-1<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是________.【答案】a≥3【解析】设A={x|-a<x-1<a}={x|1-a<x<1+a},B={x|0<x<4},依题意知B⊆A,因此解得a≥3. 7.已知a>b>1，c<0，给出下列四个结论：①>；②a c<b c；③logb (a－c)>loga(b－c)；④b a－c>a b－c．其中所有正确结论的序号是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解析】a>b>1⇒，又c<0，故>，故①正确；由c<0知，y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，故a c<b c．故②正确．由已知得a－c>b－c>1．故logb (a－c)>logb(b－c)．由a>b>1得0<loga (b－c)<logb(b－c)，故logb (a－c)>loga(b－c)．故③正确．8.若P=+,Q=+(a≥0),则P、Q的大小关系是() A．P>Q B．P=QC．P<Q D．由a的取值确定【答案】C【解析】要证P<Q,只需证P2<Q2,即证2a+7+2<2a+7+2,只需证a2+7a<a2+7a+12,只需证0<12成立,∵0<12成立,∴P<Q成立.故选C.9.设a、b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.10.>1的一个充分不必要条件是()A．x>y B．x>y>0C．x<y D．y<x<0【答案】B【解析】若x>y>0时>1,但>1时>0,不一定有x>y>0.故选B.11.观察下列不等式：1＋>1，1＋＋…＋>，1＋＋…＋>2，1＋＋…＋>，…，照此规律，第6个不等式_________________．【答案】1＋＋…＋>【解析】观察不等式：1＋＋>1＝；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；……所以由此猜测第6个不等式为1＋＋…＋>.12.设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．【答案】27【解析】根据不等式的基本性质求解. 2∈[16,81]，∈，＝2·∈[2,27]，的最大值是27.13.已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③＞－；④a3＋b3＞2a2b.其中一定成立的不等式序号为________．【答案】①②③【解析】因为a＞b＞0⇒a2＞b2，故①正确；a＞b＞0⇒a＞b－1⇒2a＞2b－1，故②正确；因为a＞b＞0⇒ab＞b2＞0⇒＞b＞0，而()2－(－)2＝a－b－a－b＋2 ＝2(－b)＞0，所以③正确；因为当a＝3，b＝2时，a3＋b3＝35＜2a2b＝36，故④不正确．14.已知函数.（Ⅰ）若，使得不等式成立，求的取值范围；（Ⅱ）求使得等式成立的的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据=求出的最小值，从而求得得不等式成立的的取值范围．（Ⅱ）由=，可知当且仅当时有，从而成立.解不等式由此求得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由= 3分使得不等式成立的的取值范围是 5分（Ⅱ）由= 7分所以，当且仅当时取等 9分所以的取值范围是 10分【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．15.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．16.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．17.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则无意义，则A不正确；当时，，当时，，故B不正确；令，则，故C不正确；时，则，故D正确.【考点】不等式的运算.18.已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）最小值为3；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力.第一问，用基本不等式分别对和进行计算，利用不等式的可乘性，将两个式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将，，变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，须作差比较大小，只需证出差值小于0即可.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以．【考点】1.基本不等式；2.不等式的性质；3.作差比较大小.19.设函数（1）若的最小值为3，求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力以及计算能力.第一问，利用不等式的性质，得出的最小值，列出等式，解出的值；第二问，解含参绝对值不等式，用零点分段法去掉绝对值，由于已知中有和4的大小，所以直接解不等式即可，最后综合上述所得不等式的解集.试题解析：⑴因为因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求. 4分⑵不等式即不等式，①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式的解集为 10分【考点】1.不等式的性质；2.绝对值不等式的解法.20.集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是( )A．,B．,C．,D．,【答案】B【解析】从集合的定义，可三个不等式，也可得三个不等式，组合之后可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是不一定成立，也不一定成立，故A，C，D都不能选，只能选B．【考点】不等关系．21.已知且，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】只有当时，选项A，B正确；要使，必须，所以选项C错误；当时，，所以D正确，故选D．【考点】不等式的性质．22.已知x、y、z∈R,且，则的最小值为 .【答案】【解析】由柯西不等式，，因为.所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.【考点】柯西不等式23.若是任意实数，，则下列不等式成立的是( )A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】当时，，可排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ．【考点】不等式性质．24.若a，b R＋，a＋b＝1，则ab＋的最小值为 .【答案】【解析】由a，b R＋，a＋b＝1得 ab，a=b时取等号，ab＋=ab+=ab+=ab+=2+ab4+ab4+=，a=b时取等号.【考点】基本不等式的性质的应用.25.当时，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】取得，，故，故选Ｃ．【考点】比较大小．26.已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】不等式基本性质.27.设为正实数，满足，则的最小值是．【答案】3【解析】由已知得，∵，∴，即，两边同时平方得，.【考点】1、不等式的性质；2、基本不等式.28.已知正数满足则的取值范围是 .【答案】【解析】.由得：.所以，当时取等号.又当时，，所以.【考点】不等式的应用.29.已知函数（1）试求使等式成立的x的取值范围；（2）若关于x的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设=，利用零点分段法，将和写成分段函数的形式，然后观察=时自变量的取值范围即可；（2）这是不等式的有解问题，利用绝对值三角不等式求的最小值，.试题解析：（1）由=，又=，故使等式成立的x的取值范围为；（2）.【考点】1、零点分段法去绝对号；2、绝对值三角不等式；3、不等式有解问题.30.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处【答案】A【解析】设仓库到车站的距离是千米，那么有，，将，，分别代入两个式子，可得，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处.【考点】基本不等式及其应用31.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.选B.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.32.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.33.设为实数，若，则的最大值是。

高中数学不等式练习题及参考答案2023不等式是高中数学中重要的概念之一，也是很多考试中必考的内容。

为帮助大家复习巩固，本文整理了十道高中数学不等式练习题及参考答案，供大家练习参考。

1. 已知 $x>0$，求证：$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}>1$【参考答案】$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。

2. 解不等式 $\frac{2-x}{x+1}\geq 1$。

【参考答案】$\frac{2-x}{x+1}\geq 1$，移项得 $\frac{1-x}{x+1}\geq 0$，即$\frac{x-1}{x+1}\leq 0$。

因此，$x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。

3. 解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$。

【参考答案】$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$，移项得 $x^2-3x+2>4$。

解得 $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。

4. 已知 $a+b=1$，$a>0$，$b>0$，求证：$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。

【参考答案】By Jensen 不等式，$\frac{1}{2}(a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}) \geq\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(a+b))=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{ 2} =1$。

所以，$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。

高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（ ） A ．21ab a b << B ．21ab a b << C ．21ab a b << D ．21a b ab <<2．如果a bc c>，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．22ac bc >B ．a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc >3．如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（ ） A ．若a >b ，则11a b <B ．若a >b ，则22ac bc >C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．若a >b ，c >d ，则下列不等式中一定正确的是（ ） A ．a d b c +>+ B ．a d b c ->- C ．ad bc >D ．a b d c> 5．若,R a b ∈，下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22a b > B ．R c ∈，若a b >，则22ac bc > C ．若33a b ->-，则a b <D ．0a ≠，0b ≠，若a b >，则11a b <6．已知,a b R ∈且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]7．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b<B ．ac bc >C ．()20a b c -≥D ．b c ba c a+>+ 8．设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b <B ．b a a b> C ．11a b a>- D ．2ab b >9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．设0a b <<，给出下列四个结论：①a b ab +<；②23a b <；③22a b <；④a a b b <.其中正确的结论的序号为（ ） A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②③11．若向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最大的是（ ） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定12．已知0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．n 0()l a b ->B2C ．a b b a >D ．114a b+>二、填空题13．已知25,21a b a b ≤+≤-≤-≤，则3a b -的取值范围是___________.14．若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____． 15．已知12,03a b ≤≤≤≤，则2+a b 的取值范围为__________． 16．若23a -<<，12b <<，则2a b -的取值范围是____________．三、解答题17．比较（x －2）（x －4）与（x －1）（x －5）的大小关系．18．求解下列问题：(1)已知a ∈R ，比较()()37a a ++和()()46a a ++的大小； (2)已知0x y <<，比较1x与1y 的大小.19．（1）已知022a b <-<，123a b <+<，求a b +的取值范围； （2）已知x ，y ，z 都是正数，求证：222x y z xy xz yz ++≥++．20．对于四个正数m n p q 、、、，若满足mq np <，则称有序数对(),m n 是(),p q 的“下位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对()3,11是()2,7的“下位序列”吗？请简单说明理由；(2)设a b a d 、、、均为正数，且(),a b 是(),c d 的“下位序列”，试判断a c a c b d b d ++、、之间的大小关系．21．请选择适当的方法证明. (1)已知0a >，0b >，且ab ，证明：3322a b a b ab +>+；(2)已知x ∈R ，22a x =-，23b x =-+，证明：a ，b 中至少有一个不小于0.22．已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为A ，集合(2,3)B =． (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．23．求证下列问题：(1)已知a b c ，，均为正数，求证:bc ac aba b c++a b c ≥++. (2)已知0xy >，求证: 11x y>的充要条件是x y <.24．已知定义在R 的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3x f x g x +=． (1)求(),()f x g x ，并证明：22()()(2)f x g x f x +=；(2)若存在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式2(2)2()10f x ag x ++≤成立，求实数a 的取值范围。

基本不等式例1、若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；解：当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.例2、已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；解：∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．∴x ＋4x －2的最小值为6.变式、已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 解析：x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．答案：23例3、已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝）（yx 91+(x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16， 当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.例4、已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．解析：y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ×x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x3y，即x ＝3y 时等号成立，所以y x ＋1y 的最小值为23＋23.答案：23＋23例5、若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26(a －1)×6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.答案：27例6、已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4，故选B. 答案：B作业1：1、设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82解析：∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 2．下列结论正确的是（ ）A ．当0<x 2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245x x -+-的最小值是5 D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是92对于选项B ，当2x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但2x >，等号取不到，因此1x x+的最小值不是2，故B 错误； 对于选项C ，因为54x <，所以540x ->，则114254324554y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-⨯ ⎪--⎝⎭31=，当且仅当15454x x-=-，即1x =时取等号，故C 错误； 对于选项D ，因为0x >，0y >，则()141141419552222y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即24,33x y ==时，等号成立，故D 正确. 故选：D.3．已知0,0x y >>，若3xy =，则x y +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．D ．1由于0,0x y >>，3xy =，所以x y +≥=x y ==.所以x y +的最小值为 故选：C ．4．已知正实数x ，y 满足22x y xy +=.则x y +的最小值为（ ）A ．4B C D 32解：由22x y xy +=，得1112x y+=， 因为x ，y 为正实数，所以11133()()122222x y x y x y x y y x +=++=+++≥=，当且仅当2y x x y =，即21,22x y ==时取等号，所以x y +32， 故选：D5．若1()2f x x x =+-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ） A ．52 B ．3C ．72D ．4当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6、若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1解析：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a>0，∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C. 答案：C7．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A ．BC ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.8、已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析：由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6. 又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12. 答案：B9、已知x >0，则f (x )＝12x ＋3x 的最小值是：解：∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号， ∴f (x )的最小值为12.10、设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值是：解：∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32.∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92. 11、设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，则x ＋y 的最小值 ． 解析：方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x .∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8，∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )）（yx 28+ ＝8y x ＋2xy＋10≥2 8y x ·2x y ＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18. 答案：1812、已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.则1x ＋1y 的最小值为 ．解析：∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 答案：7＋2102013．若x y ∈R 、且满足32x y +=，则327x y +的最小值是____. 【答案】6 【解析】 【分析】本题首先可以根据基本不等式得出327x y +≥，然后代入32x y +=，即可得出结果. 【详解】332733x y x y +=+≥=，因为32x y +=，所以3276x y +≥=， 故答案为：6. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，主要考查通过基本不等式求和的最小值，考查幂的运算，考查计算能力，是简单题.14．已知0x >，0y >且32x y xy +=，不等式23x y+的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意得231x y+=，则232323x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪，再根据基本不等式即可求出最小值．【详解】解：，0x >，0y >且32x y xy +=，∴231x y+=，∴232323x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪231132y x x y =+++23232y x x y =++24≥+=， 当且仅当2332y xx y=即4,6x y ==时，等号成立， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查“1”的代换，属于基础题． 选：B15、设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为 8 ．解析：正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则＝+＝++4≥2+4＝8，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时等号成立；∴的最小值为8．故答案为：8． 答案：89、已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式2x ＋m ＋8x －1>0可化为2(x －1)＋8x －1>－m －2， 因为x >1，所以2(x －1)＋8x －1≥22（x －1）·8x －1＝8，当且仅当x ＝3时取等号．因为不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，所以－m －2<8.解得m >－10. 答案：(－10，＋∞)16．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264a a =，31a =，则2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a 的最小值为______， 【答案】8 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得42a =，由此可求得n a ，n S ，从而表示出2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a ，再根据基本不等式求解即可． 【详解】解：∵264a a =，且0n a >，∴42a =，∴公比432a q a ==， ∴43222n n n a --=⋅=，2222212124n n n S ----==--，∴()2222922422n n n n S a --⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=224242n n --=++48≥=， 当且仅当224222n n --==， 即3n =时等号成立，故答案为：8．17．设ABC中，()cos cos cos 0C A A B +=，内角A 、B 、C 对应的对边长分别为a 、b 、c .（1）求角B 的大小；（2）若2248a c +=，求ABC 面积S 的最大值，并求出S 取得最大值时b 的值. 解：（1）∵()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，∴()cos cos cos sin cos cos C A A B A B A B +=π2sin sin 03A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∵sin 0A >，0πB <<， ∴πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π3B =； （2）因a ，0c >，2248a c +=，2244a c ac +≥，故2ac ≤，于是，11sin 22222S ac B =≤⋅⋅=， ∴ABC 面积S且当S 取得最大值时，2ac =，2a c =，可得2a =，1c =，由余弦定理，2222cos 3b a c ac B =+-=，即得b =18．已知函数()|2||3|f x x x =++-.（1）解不等式()7≤f x ；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求1123a b+的最小值. （1）当2x <-时，237x x ---+≤，解得32x -≤<-；当23x -≤≤时，237x x +-+≤恒成立；当3x >时，237x x ++-≤，解得34x <≤.故所求不等式的解集为[3,4]-. （2）因为()|2||3|(2)(3)5f x x x x x =++-≥+--=，所以()f x 最小值为M =5，即235(0,0)a b a b +=>>，则1111113214()(23)(11)(22352352355b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=， 当且仅当5322b a ==时取等号， 故1123a b +的最小值为45.作业2：一、单选题1．已知,x y 都是正数,且211x y+=，则x y +的最小值等于（ ）A ．6B ．C ．3+D ．4+()212333y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥= ⎪⎝⎭,故选C. 2．设()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16由于()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，而()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，故4a ≤，也即a 的最大值为4. 故选B.3．已知1x >，1y >，且lg lg 4x y +=，则lg lg x y ⋅的最大值是( )A ．4B ．2C ．1D ．14因为1x >，1y >，所以lg 0x >，lg 0>y ；又lg lg 4x y +=，所以2lg lg lg lg 42+⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭x y x y ， 当且仅当lg lg 2==x y ，即100x y ==时，等号成立. 故选：A4．用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）A ．30B ．36C ．40D ．50设矩形的长为()x m ，则宽为100()m x ，设所用篱笆的长为()y m ，所以有10022y x x=+⋅，根据基本不等式可知：1002240y x x =+⋅≥=，（当且仅当10022x x =⋅时，等号成立，即10x =时，取等号）故本题选C.5、若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧ 1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.答案：C6．若实数a b 、满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）A ．18B ．C ．D ．6【答案】D【解析】【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】∵实数a b 、满足2a b +=，∴336a b +≥==，当且仅当33a b =即1a b ==时取等号，∴33a b +的最小值为6故选：D7．下列不等式恒成立的是（ ）A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确；C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确.8．已知0,0,22x y x y >>+=,则xy 的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．14【答案】A解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +y =2，∴xy =12（2x •y ）≤12（22x y +）2=12，当且仅当x =12，y =1时取等号， 故则xy 的最大值为12， 故选A9、(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322解析：选B 因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 答案：B10．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a b ab+的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．【答案】B【解析】 对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b 1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +，当且仅当228a b 2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即13 43a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9. 故选B.点睛，本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件11．若关于x 的方程()94340x xa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,8][0,)-∞-+∞ B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-【答案】D【解析】【分析】 可将9x 看成3x 的平方，等式两边同时除以3x ，可得均值不等式的基本形式，再根据不等式的最值求解即可【详解】由9(4)340x x a ++⋅+=，得443(4)0,(4)3433x x x xa a +++=∴-+=+≥（当且仅当32x =时等号成立），解得8a ≤- 故选D二、填空题12、已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________． 解：∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.答案：3＋2213．已知x <3，则f (x )＝4x －3＋x 的最大值是： 解：∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.14、已知0x >，0y >2x 与4y 的等比中项，则1x x y+的最小值为__________． 由题得2242,22,21x y x y x y +⋅=∴=∴+=.所以1x x y +=22111x y x y x x y x y ++=++≥+=+.当且仅当21,2x y -==时取等.所以1x x y+的最小值为.故答案为15、已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy ．所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2．当且仅当x ＝y ＝1时右边等号成立．所以x ＋y 的最大值为2．答案：216、已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－y y ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．答案：26－317、若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x ，x ∈(0,1)恒成立，∵x ∈(0,1)，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴a ≤2.答案：(－∞，2]四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知：2sin 6c a b C π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. （1）求B ；（2）若ABC ABC 的周长的最小值.（1）2sin 6c a b C π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 2sin cos cos sin 66b C C ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin cos C b C =-由正弦定理得：sin sin sin sin cos C A B C B C -=- ∵sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+∴①式可化为：sin cos sin sin C B C B C -= ∵(0,)C π∈∴sin 0C ≠cos 1B B += 即1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，(0,)B π∈ ∴66B ππ+=或56π∴0B =（舍）或23π（2）11sin 22S ac B ac ==∴4ac =∴4a c +≥=22222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a c =等号成立∴4l a b c =++≥+【点睛】本题考查了均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换112x y+=是解题的关键.19．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34120a a ⋅=，2522a a +=．（1）求通项n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且n n S b n c=+，求非零常数c ； （3）在（2）的条件下，求()*1()(36)n n b f n n n b +=∈+⋅N 的最大值． 【答案】（1）24n a n =+；（2）5c =；（3）149【解析】【分析】 （1）利用等差数列的通项公式，由253422a a a a +=+=，34120a a ⋅=，即可求得首项与公差，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由n a ，可求得n S ，从而得n b ，再利用{}n b 是等差数列由2132b b b =+，即可求得c 的值；（3）由（2）求得n b ，于是1()(36)n n b f n n b +=+⋅，利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】（1）由题知253422a a a a +=+=，34120a a ⋅=，所以，4312,10a a ==或4310,12a a ==所以公差2d =或2d =-，又因为0d >所以2d =，又310a =，因此16a =，所以24n a n =+.（2）由（1）知，21(1)52n n n S na d n n -=+=+， 所以25n n S n n b n c n c+==++，12361424,,123b b b c c c ===+++ 由{}n b 是等差数列得，2132b b b =+，即146242213c c c⨯=++++ 解得: 5c =，或0c(其中0c ≠舍去)， 此时255n n S n n b n n c n +===++，1(1)1n n b b n n +-=+-=，{}n b 是公差为1等差数列， 所以5c =.（3）由（2）知2+55n b n n n n ==+ 111()36(36)(36)(1)4937n n b n f n n b n n n n+∴===≤+⋅++++ 当且仅当36n n =，即6n =时取得等号，即()f n 的最大值为149. 20．已知x ∈R ，0y >，2x y xy +=.（1）若0x >，求证：1xy ≥；（2）若0x ≠，求2y x x+的最小值.【答案】（1）见解析（2）32【解析】【分析】（1）直接利用均值不等式计算得到答案.（2）变换得到112x y+=，故1112x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入不等式，整理化简利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）因为0x >，0y >，所以x y +≥2x y xy +=，得2xy ≥1≥，1xy ≥，当且仅当1x y ==时，等号成立.（2）由2x y xy +=得112x y+=. 2111223222222x x x y y y x x x x y x x y x x ⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪⎝⎭. 当且仅当22x y y x=，且0x <时，两个等号同时成立. 即当且仅当12x =-且14y =，2y x x +的最小值是32.。

2025年高考数学一轮复习-1.3-等式性质与不等式性质-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．若x <a <0，则一定成立的不等式是()A ．x 2<ax <0B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<0D ．x 2>a 2>ax2．若a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是()A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2C ．若a <b <0，则1a <1b D ．若a <b <0，则b a >ab3．若a >b >0，c <d <0，则一定有()A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c <b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是()A ．d >b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b5．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则P ＝ac ＋bd ，Q ＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)的大小关系为()A ．P ≥QB ．P >QC ．P <QD ．P ≤Q6．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1＋1＋1的值()A ．一定是正数B ．一定为负数C ．可能为0D ．正负不定7．已知a >0，b >0，c >0，若c a ＋b <a b ＋c <bc ＋a ，则有()A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室()A ．甲B ．乙C ．同时到达D ．无法判断二、填空题9．已知若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac 0.(填“>”“<”或“＝”)10．已知α，β满足1≤α＋β≤1，≤α＋2β≤3，则z ＝α＋3β的取值范围是．三、解答题11．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db ；③bc >ad .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．12．(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．(2)已知a >0，b >0，x >0，y >0且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b.13．(多选题)设a ，b 为正实数，则下列命题中为真命题的是()A ．若a 2－b 2＝1，则a －b <1；B ．若1b －1a ＝1，则a －b <1；C ．若|a －b |＝1，则|a －b |<1；D ．若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.14．某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2枝玫瑰所需费用为A 元，购买3枝康乃馨所需费用为B 元，则A ，B 的大小关系是()A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．A ，B 的大小关系不确定15．某公司有20名技术人员，计划开发A 、B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A 类127.5B 类136今制定计划欲使总产值最高，则A 类产品应生产件，最高产值为万元．16．若a >b >0，c <d <0，|b |>|c |.(1)求证：b ＋c >0；(2)求证：b ＋c (a －c )2<a ＋d(b －d )2；(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足b ＋c(a －c )2<所求a＋d (b－d)2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．式<2025年高考数学一轮复习-1.3-等式性质与不等式性质-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．若x <a <0，则一定成立的不等式是(B )A ．x 2<ax <0B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<0D ．x 2>a 2>ax解析：取x ＝－2，a ＝－1，则x 2＝4，a 2＝1，ax ＝2，∴x 2>ax ，可排除A ，显然C 不正确．又a 2＝1，∴ax >a 2.∴排除D ，故选B.2．若a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是(B )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2C ．若a <b <0，则1a <1b D ．若a <b <0，则b a >ab解析：∵a >b ，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故A 错．∵a <b <0，∴a 2>ab ，b 2<ab ，1a >1b ，a b >1，b a <1，即b a <ab ，∴B 正确，C ，D 错误．3．若a >b >0，c <d <0，则一定有(D )A.a c >bd B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c解析：方法一：∵c <d <0，∴－c >－d >0，∴1－d >1－c>0.又a >b >0，∴a －d >b －c，∴a d <bc .方法二：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2.则a c ＝－1，bd ＝－1，排除选项A ，B.又a d ＝－32，b c ＝－23，∴a d <bc，排除选项C.4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c <b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(A )A ．d >b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b解析：∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，∴a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .∴b <d .又a ＋c <b ，∴a <b .综上可得，d >b >a >c .5．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则P ＝ac ＋bd ，Q ＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)的大小关系为(D )A ．P ≥QB ．P >QC ．P <QD ．P ≤Q解析：P 2－Q 2＝(ac ＋bd )2－(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2－(a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2)＝－a 2d 2＋2abcd －b 2c 2＝－(ad －bc )2≤0，所以P 2≤Q 2，又Q ≥0，所以P ≤Q .6．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c 的值(B )A ．一定是正数B ．一定为负数C ．可能为0D ．正负不定解析：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝0，且a 2＋b 2＋c 2>0(由abc >0知abc 均不为0)．∴ab ＋bc ＋ac <0.∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc<0.7．已知a >0，b >0，c >0，若c a ＋b <a b ＋c <bc ＋a ，则有(A )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a解析：由c a ＋b <a b ＋c <b c ＋a 可得c a ＋b ＋1<a b ＋c ＋1<b c ＋a＋1，即a ＋b ＋c a ＋b <a ＋b ＋c b ＋c <a ＋b ＋c c ＋a .因为a >0，b >0，c >0，所以a ＋b >b ＋c >c ＋a .由a ＋b >b ＋c ，可得a >c .由b ＋c >c ＋a ，可得b >a .于是有c <a <b .8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室(B )A ．甲B ．乙C ．同时到达D ．无法判断解析：设寝室到教室的路程为s ，步行速度v 1，跑步速度v 2，则甲用时t 1＝12s v 1＋12s v 2，乙用时t 2＝2s v 1＋v 2，t 1－t 2＝s2v 1＋s2v 2－2sv 1＋v 2＝＝(v 1＋v 2)2－4v 1v 22v 1v 2(v 1＋v 2)·s ＝(v 1－v 2)2·s 2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，∴甲用时多．二、填空题9．已知若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac >0.(填“>”“<”或“＝”)解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )，∴b 2＝a 2＋c 2＋2ac .∴b 2－4ac ＝a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2.∵a >c ，∴(a －c )2>0，∴b 2－4ac >0.10．已知α，β1≤α＋β≤1，≤α＋2β≤3，则z ＝α＋3β的取值范围是{z |1≤z ≤7}．解析：设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β)＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β(λ，v ∈R )，＋v ＝1，＋2v ＝3，＝－1，＝2，所以α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．又－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，所以1≤α＋3β≤7.故z ＝α＋3β的取值范围是{z |1≤z ≤7}．三、解答题11．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db ；③bc >ad .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．解：答案不唯一．命题一：若ab >0，且c a >db ，则bc >ad .证明：因为c a >db ，且ab >0，所以c a ·ab >d b·ab ，即bc >ad .命题二：若ab >0，且bc >ad ，则c a >d b .证明：因为ab >0，所以1ab >0，又bc >ad ，所以bc ·1ab >ad ·1ab ，即c a >db.12．(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．(2)已知a >0，b >0，x >0，y >0且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b .解：(1)方法一：(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，因为x <y <0，所以xy >0，x －y <0所以－2xy (x －y )>0，所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．方法二：因为x <y <0，所以x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0.所以(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0，所以0<(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy <1，所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)证明：x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ).因为1a >1b 且a >0，b >0，所以b >a >0，又因为x >y >0，所以bx >ay >0，所以bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0，所以x x ＋a >yy ＋b .13．(多选题)设a ，b 为正实数，则下列命题中为真命题的是(AD )A ．若a 2－b 2＝1，则a －b <1；B ．若1b －1a ＝1，则a －b <1；C ．若|a －b |＝1，则|a －b |<1；D ．若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.解析：对于A ，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则1a ＋b ≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a －b <1成立．对于B ，取特殊值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1.对于C ，取特殊值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1.对于D ，∵|a 3－b 3|＝1，a >0，b >0，∴a ≠b ，不妨设a >b >0.∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b )(a －b )2，即a 3－b 3>(a －b )3>0，∴1＝|a 3－b 3|>(a －b )3>0，∴0<a －b <1，即|a －b |<1.因此正确．14．某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2枝玫瑰所需费用为A 元，购买3枝康乃馨所需费用为B 元，则A ，B 的大小关系是(A )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．A ，B 的大小关系不确定解析：设每枝玫瑰的价格为x 元，每枝康乃馨的价格为y 元，则由题意得x ＋y >8，x ＋5y <22，2x ＝A,3y ＝B ，整理得x ＝A 2，y ＝B3，将其代入不等式组得，＋B3>8，A ＋5B3<22，将A ＋B 3>8乘以－2与2A ＋53B <22相加，解得B <6，将B <6代入A >8－B3中，解得A >6，故A >B .15．某公司有20名技术人员，计划开发A 、B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A 类127.5B 类136今制定计划欲使总产值最高，则A 类产品应生产20件，最高产值为330万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x 3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以应开发A 类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．16．若a >b >0，c <d <0，|b |>|c |.(1)求证：b ＋c >0；(2)求证：b ＋c (a －c )2<a ＋d (b －d )2；(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足b ＋c (a －c )2<所求式<a ＋d (b －d )2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．解：(1)证明：因为|b |>|c |，且b >0，c <0，所以b >－c ，所以b ＋c >0.(2)证明：因为c <d <0，所以－c >－d >0.又a >b >0，所以由同向不等式的可加性可得a －c >b －d >0，所以(a －c )2>(b －d )2>0，所以0<1(a －c )2<1(b －d )2①.因为a >b ，d >c ，所以由同向不等式的可加性可得a ＋d >b ＋c ，所以a ＋d >b ＋c >0②.①②相乘得b ＋c (a －c )2<a ＋d(b －d )2.(3)因为a ＋d >b ＋c >0,0<1(a －c )2<1(b －d )2，所以b ＋c (a －c )2<b ＋c (b －d )2<a ＋d (b －d )2或b ＋c (a －c )2<a ＋d (a －c )2<a ＋d(b －d )2.(只要写出其中一个即可)。

高中不等式性质试题及答案试题：高中不等式性质试题及答案一、选择题1. 若a > 0，b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a + b > 0B. a + b < 0C. a + b ≥ 0D. a + b ≤ 02. 对于任意实数x，下列不等式恒成立的是（）A. x^2 ≥ 0B. x^2 ≤ 0C. x^3 ≥ 0D. x^3 ≤ 03. 若a > b > 0，c < d < 0，则下列不等式中正确的是（）A. ac > bdB. ac < bdC. ac ≥ bdD. ac ≤ bd二、填空题4. 若x > 0，y < 0，且|x| > |y|，则x + y _______ 0。

5. 若 a > b，c > d，则下列不等式成立的是：a + c _______ b + d。

三、解答题6. 已知a, b, c为正数，且a + b + c = 1，证明：1/a + 1/b + 1/c ≥ 9。

7. 证明：对于任意正整数n，有1^2 + 2^2 + ... + n^2 ≤ n(n + 1)(2n + 1)/6。

四、证明题8. 证明：对于任意实数x, y，若x^2 + y^2 ≥ 0，则x^2 ≥ 0且y^2 ≥ 0。

9. 证明：对于任意实数x，y，若x ≠ y，则x^2 + y^2 ≥ 2xy。

答案：一、选择题1. B2. A3. B二、填空题4. <5. >三、解答题6. 证明：由于a, b, c为正数，根据柯西不等式，我们有：(1/a + 1/b + 1/c)(a + b + c) ≥ (1 + 1 + 1)^2即1/a + 1/b + 1/c ≥ 9。

7. 证明：由数学归纳法可知，对于n=1,2,3...，不等式均成立。

具体证明过程略。

四、证明题8. 证明：由于(x - y)^2 ≥ 0，展开得到x^2 - 2xy + y^2 ≥ 0，移项可得x^2 ≥ 2xy - y^2。

－上学期高中学生学科素质训练高三数学同步测试（5）—《不等式》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋32a ，c －b ＝4－4a ＋2a ，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ）A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b2．设a 、b 为实数，且a ＋b ＝3，则b a22+的最小值为 （ ）A ．6B ．24C ．22D ．83．不等式211<-x 的解集为 （ ）A ．（21，1）∪（1，23） B ．（－∞，21）∪（23，+∞） C ．（－∞，1）∪（23，+∞）D ．（21，1）∪（23，+∞）4．设实数x, y 满足x + y=4, 则22222++-+y x y x 的最小值为 （ ）A ．2B ．4C ．22D ．85．已知实数x ，y 满足x +y －1=0，则x 2+y 2的最小值为 （ ） A ．21B ．2C ．2D ．22 6．对“a 、b 、c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为 （ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．若x ＞4，则函数xx y －＋＝－41（ ）A ．有最大值—6B ．有最小值6C ．有最大值—2D ．有最小值28．不等式2|2|+>+x xx x 的解集是（ ）A ．（－2，0）B ．]0,2(-C ．RD ．),0()2,(+∞--∞9．不等式)310)(31(<<-=x x x y 的最大值是 （ ）A ．2434 B ．121 C ．641 D ．721 10．设a 适合不等式a-11>1，若f (x )＝a x，g (x )＝ax 1,h (x )＝log a x ，且x >1，则 （ ）A ．h (x )<g(x )<f (x )B ．h (x )<f (x )<g(x )C ．f (x )<g(x )<h (x )D ．f (x )<h (x )<g(x )11．已知()x f 是定义在()3,3-上的奇函数，当30<<x 时，()x f 的图象如图所示，那么不等式()0cos <⋅x x f 的解集为（ ）A ．()⎪⎭⎫⎝⎛⋃⋃⎪⎭⎫⎝⎛--3,21,02,3ππB ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,21,01,2ππ C ．()()()3,11,01,3⋃⋃-- D ．()()3,11,02,3⋃⋃⎪⎭⎫⎝⎛--π 12．定义在R 上的函数y =f (x )，在（－∞，a ）上是增函数，且函数 y =f (x +a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a 且a x a x -<-21时，有 （ ）A ．f (2a －x 1)> f (2a －x 2)B ．f (2a －x 1)= f (2a －x 2)C ．f (2a －x 1)< f (2a －x 2)D ．－f (2a －x 1)< f(x 2－2a )二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．若不等式}213|{0342>-<<->+++x x x x x ax 或的解集为，则a = .14．已知集合A ＝｛(x ,y )｜13--x y ＝2,x 、y ∈R ｝，B ＝｛(x ,y )｜4x +ay ＝16,x 、y ∈R ｝，若A ∩B ＝φ，则实数a 的值为 . 15．已知两个正数x,y 满足x ＋y =4，则使不等式yx 41+≥m ，恒成立的实数m 的取值范围是 .16．已知a >b ，a ·b=1则ba b a -+22的最小值是 .三、解答题（本大题共6小题，共74分。

高考第一轮复习数学单元测试卷不等式说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、 若m<0，n>0，且m+n<0，则下列不等式中成立的是A 、-n<m<n<-mB 、-n<m<-m<nC 、m<-n<n<-mD 、m<-n<-m<n2、 已知bda c ab dc b a -<->，均为实数，且、、、0，则下列不等式中成立的是 db c a D d b c a C adbc B ad bc A <>><、、、、 3、 下列不等式中解集为实数集R 的是0)cos(sin 111004422><->>++x D x x C x B x x A 、、、、 4、，则，设00>>>>b a bd acC B AD dc Cd c B d c A 、、、不同于、、、<<>=>>005、 设，，，，222222)()()(0b a c z a c b y c b a x c b a ++=++=++=>>>则222z y x zx yz xy ，，，，，中最小的是22z D x C yzB xy A 、、、、6、 不等式a R x x a x a 恒成立，则实数对一切∈<--+-04)2(2)2(2的取值范围是 )2(]22(]22[)2(--∞---∞，、，、，、，、D C B A 7、 如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于-1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是)10()12()02()22(，、，、，、，、D C B A ---8、 如果x x sin 2log 3log 2121，那么ππ≥-的取值范围是]123()2321[]121()2121[]121[]2121[，，、，，，、，、 ----D C B A9、 函数)0(31632>+=x xx y 的最小值是431493233、、、、D C B A 10、在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2222b a ba +≤+③b a ba ab +≥+22，其中正确的个数是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、311、若不等式)210(0log 2，在<-x x a 内恒成立，则实数a 的取值范围是)21()121()1161()1()1161[，，、，、，、，、 D C B A ∞+ 12、设μμ，那么，，且、10)(4422++-⋅==+∈-y x y x y x R y x 的最值情况是A 、有最大值2，最小值2)22(2-B 、有最大值2，最小值0C 、有最大值10，最小值2)22(2- D 、最值不存在第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、不等式3332)21(22---<x x x 的解集为A ，不等式)26(log )9(log 31231x x --的解集为B ，不等式0102=++<++by ax B A b ax x ，那么直线的解集为 的斜率是_________。

高三数学不等式的性质试题1.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是()A．a>b B．a＝bC．a<b D．a，b的大小不确定【答案】C【解析】a＝－＝，b＝－＝，因为＋>＋，所以a<b，故选C.2. [2014·银川质检]当x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，由此可以推广为x＋≥n＋1，取值p等于 ()A．n n B．n2C．n D．n＋1【答案】A【解析】∵x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n的n次方，即p＝n n.3. [2014·西安模拟]设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是()A．(0，)B．(－，)C．(0，π)D．(－，π)【答案】D【解析】由题设得0<2α<π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.4.关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知是方程的根，于是有，且，因此不等式即为，化简得，解此不等式得，故选C.【考点】1.不等式解集与方程之间的关系；2.分式不等式的求解5.已知，则a,b,c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【答案】A【解析】，∴a＜b＜c．6.已知a=log23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c 【答案】B【解析】∵a=log23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故选B．7.若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。

word专题九、不等式 抓住4个高考重点重点1 不等式性质的应用 1.不等式性质的应用策略（1）应用不等式性质时必须弄清楚前提条件； （2）“不等式取倒数”的性质：11,0a b ab a b>>=>< 2.利用性质求数（式）的取值X 围的方法应用不等式的性质求多个变量线性组合的X 围问题时，由于变量间相互制约，在“取等号”的条件上会有所不同，故解此类问题要特别小心.一般来说，可采用整体换元或待定系数法解决. 3.比较实数大小的方法（1）作差比较法 （2）作商比较法[高考常考角度]角度1 下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要条件是（ A ）A. 1a b >+B. 1a b >-C. 22a b >D. 33a b >解析：选择项为条件，即寻找命题p 使p a b =>>且a b >推不出p ，逐项验证可选A角度2设实数,x y 满足2238,49,x xy y ≤≤≤≤则34x y的最大值是 解析：考查不等式的基本性质，等价转化思想。

由已知得22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy ∴=⋅∈，34x y的最大值是27.重点2 一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>的解法 2.分式不等式的解法 3.高次不等式的解法 4.含参数不等式的解法[高考常考角度]角度1不等式2210x x -->的解集是（ D ）A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞+∞D ．1(,)(1,)2-∞-+∞解析：21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-+∞,故选D 角度2已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的X 围是_____________.解析：本题以分段函数为载体，考查分段函数的单调性，以及一元二次不等式的解法由题意有21020x x ⎧->⎨<⎩或21220x xx ⎧->⎨≥⎩解得10x -<<或01x ≤<，综合得(1)x ∈- 角度3已知函数2()1,()43,xf x eg x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值X 围为（ B ）A ．[22+B ．(22C ．[1,3]D ．(1,3)解析：由题可知()11xf x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()(),f a g b =则()(1,1]g b ∈-，即2431b b -+->-，解得22b <<+角度4 若关于x 的不等式22(21)x ax -<的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值X 围是_____2549(,]916_____ 解析：原不等式可化为2(4)410a x x --+<①原不等式解集中的整数恰有3个，须有4004164(4)0a a a ->⎧=><<⎨-->⎩x <<又1142<<，所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以34<≤，解得2549916a <≤ 角度5已知函数32()1f x x ax x =+++，a R ∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间21()33--，内是减函数，求a 的取值X 围． 解：（Ⅰ）由32()1f x x ax x =+++ 得2()321f x x ax '=++224434(3)a a ∆=-⨯=-当a ≤≤0∆≤，有()0f x '≥， ()f x ∴在R 上递增当a <a >()0f x '=得 x =由()03a f x x --'>=><或3a x -+>由()033a a f x x --+'<=><<()f x ∴在(3a --∞，和()3a -+∞递增，在(33a a --，递减， （Ⅱ）若函数()f x 在区间21()33--，内是减函数，则有()0f x '≤在区间21()33--，恒成立只需22222()03()2()10333111()03()2()10333f a f a ⎧⎧-≤⨯-+⨯-+≤⎪⎪⎪⎪=>⎨⎨⎪⎪-≤⨯-+⨯-+≤⎪⎪⎩⎩7242a a a ⎧≥⎪=>=>≥⎨⎪≥⎩a ∴的取值X 围是[2,)+∞重点3 简单的线性规划问题1.正确作出二元一次不等式（组）表示的区域2.简单的线性规划问题的求解策略[高考常考角度]角度1 已知,,x y z 满足202305350y x x y x y -≤⎧⎪++>⎨⎪+-<⎩，则符合条件的整点可行解有___4___个.解：画出可行域，满足条件的可行域中的整数点为(1,1),(2,2),(0,0),(0,1)---角度2已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，则OA OM 的取值X 围是A. [1,0]-B. [0,1]C. [0,2]D. [1,2]-解析：画出可行域，OA OM z x y ==-+，可知z 在点(1,1)A 、(0,2)B 取分别取到最小值0、最大值2。

2024届全国高考数学一轮复习好题专项（不等式的性质及常见不等式解法）练习基础练习1．（2021ꞏ山西高三三模（理））已知全集U =R ，集合(){}20A x x x =-<，{}1B x x =≤，则下图阴影部分表示的集合是（ ）A ．[)1,0-B ．[)[)1,01,2-C ．()1,2D ．()0,12．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（文））已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．3．（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A．2m ≤B．2m ≥C．8m ≤-D．8m ≥-4．（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数ab c d ,,,，下列正确的结论为（ ） A．若,0a b c >≠，则ac bc >； B．若a b >，则22ac bc >； C．若a b >，则11a b <； D．若0a b <<，则b a a b<． 5．（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））下列结论正确的是（ ） A．若ac bc >，则a b > B．若88a b >，则a b > C．若a b >，0c <，则ac bc <<，则a b >6．（2020·山西省高三其他（理））已知集合，，则( )1|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭{|15}B x N x =∈-≤≤A B = {0,1,4,5}{0,1,3,4,5}{1,0,1,4,5}-{1,3,4,5}2{|20}A x x x =+->{1,0,1,2}B =-A． B．C．D．7．（2020·山东省高三二模）已知集合，，则（ ）A．B．C． D．8．（2021ꞏ宁夏石嘴山市ꞏ高三二模（理））已知a b >，下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．n 0()l a b -> C ．||||a b >D ．33a b >9．【多选题】（2021ꞏ湖北高三月考）已知a ，b 均为正数，且1a b -=，则（ ） A．a >B ．221->a bC ．411-≤a bD ．13a b+> 10．（2020·周口市中英文学校高二月考（文））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值.提升练习1．（2021ꞏ湖南高三二模）若相异两实数x ，y 满足222020x y y x ⎧+-=⎨+-=⎩，则332x xy y -+之值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．（2021ꞏ新疆高三其他模拟（理））若关于x 的不等式2cos 20x x mx n->--的解集为()2,3-，则mn =（ ） A ．5B ．5-C ．6D ．6-3．（2021ꞏ四川南充市ꞏ高三三模（文））已知()f x 是定义在R 上的以5为周期的偶函数，若()16f ->-，()3202124af a -=-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,11⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．21,(2,)11⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．21,211⎛⎫⎪⎝⎭4．（2021ꞏ河南商丘市ꞏ高三月考（文））已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()3f x a x =+{2}A B = A B R = (){1,2}R B C A =- (){|12}R B C A x x =-<< 11A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{}12B x x =-<A B = ()1,3-()1,1-()()1,00,1-U ()()1,01,3-有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4-∞-B ．()4++∞C ．0,4⎡-⎣D ．(0,4-5．（2021ꞏ湖南高三一模）已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为{}|34x x <<，则25c a b++的取值范围为________________． 6．（2021ꞏ四川攀枝花市ꞏ高三一模（理））定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2f x x x =-+，则当()1,2x ∈时，不等式()3016f x +≤的解为___________. 7．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围． 8．已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a ). (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围.9．（2019·河南省高三一模（理））已知函数()122f x x x =-++. （1）解不等式()4f x ≤； （2）若23()2f x m ≥-对任意x 恒成立，求实数m 的取值范围. 10．（2020ꞏ江苏苏州市ꞏ星海实验中学高一月考）已知12,x x 是函数()()210f x ax bx a =++>的两个零点，()min f x a =-，(){}|0P x f x =<.(1) 证明122x x -=；(2) 当且仅当a 在什么范围内时，函数()()()2g x f x x x P =+∈存在最小值； (3) 若()12,2x ∈-，求b 的取值范围.真题练习1．（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ）A．{4,1}- B．{1,5} C．{3,5}D．{1,3}2．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A．}{43x x -<< B．}{42x x -<<- C．}{22x x -<< D．}{23x x <<3．（上海高考真题（文））若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = .4．（2020·浙江省高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A．a <0B．a >0C．b <0D．b >05．（2018·全国高考真题（理））设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．6．（2019·全国高考真题（文））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.参考答案基础练习1．（2021ꞏ山西高三三模（理））已知全集U =R ，集合(){}20A x x x =-<，{}1B x x =≤，则下图阴影部分表示的集合是（ ）A ．[)1,0-B ．[)[)1,01,2-C ．()1,2D ．()0,1【答案】C 【答案解析】由图可知阴影部分表示的集合是集合A 与集合B 的补集的交集，所以求出集合A 和集合B 的补集，再求交集即可 【过程详解】解：由图可知阴影部分表示的集合是()R A B ð， 由()20x x -<，得02x <<，所以{}02A x x =<<，由1x ≤，得11x -≤≤，所以{}11B x x =-≤≤，所以{1R B x x =<-ð或}1x >， 所以(){}12R A B x x ⋂=<<ð， 故选：C2．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（文））已知集合，集合，则（ ）A． B．C．D．【答案】A1|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭{|15}B x N x =∈-≤≤A B = {0,1,4,5}{0,1,3,4,5}{1,0,1,4,5}-{1,3,4,5}【答案解析】 因为集合或， 集合， 所以. 故选：A3．（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A．2m ≤ B．2m ≥C．8m ≤-D．8m ≥-【答案】A 【答案解析】()()53532x x x x -+-≥---= ，∴根据题意可得2m ≤.故选：A4．（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数ab c d ,,,，下列正确的结论为（ ） A．若,0a b c >≠，则ac bc >； B．若a b >，则22ac bc >； C．若a b >，则11a b <； D．若0a b <<，则b a a b<． 【答案】D 【答案解析】A：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确； B：若0c =时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确； C：若3,0a b ==时，显然满足a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<， 因此0b a b aa b a b-<⇒<，所以本选项结论正确. 故选：D5．（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））下列结论正确的是（ ）{1|033x A x x x x -⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭}1x ≤{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=A B = {0,1,4,5}A．若ac bc >，则a b > B．若88a b >，则a b > C．若a b >，0c <，则ac bc <<，则a b >【答案】C 【答案解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满足，但a b <，B 选项错误； 对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确； 对于D<，则a b >，D 选项错误.故选：C. 6．（2020·山西省高三其他（理））已知集合，，则( )A． B．C． D．【答案】A 【答案解析】因为或，，所以，，， 故选：A7．（2020·山东省高三二模）已知集合，，则（ ） A． B．C． D．【答案】D 【答案解析】，，因此，. 故选：D.8．（2021ꞏ宁夏石嘴山市ꞏ高三二模（理））已知a b >，下列不等式一定成立的是（ ）2{|20}A x x x =+->{1,0,1,2}B =-{2}A B = A B R = (){1,2}R B C A =- (){|12}R B C A x x =-<< 2{|20}{|2A x x x x x =+->=<-1}x >{1,0,1,2}B =-{2}A B = A B R ≠ (){1,0,1}R C A B =- ()[2,1]{2}R C A B =- 11A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{}12B x x =-<A B = ()1,3-()1,1-()()1,00,1-U ()()1,01,3- ()()1110,01,x A x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=>=-∞⋃+∞⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}{}()122121,3B x x x x =-<=-<-<=-()()1,01,3A B =-A ．11a b< B ．n 0()l a b -> C ．||||a b >D ．33a b >【答案】D 【答案解析】利用特殊值法，可排除A 、B 、C ，利用函数3()f x x =单调性，可得判断D 正确. 【过程详解】当1a =，2b =-时，A 、C 均不成立；当1a =，0b =时，()ln ln10a b -==，B 不成立；由于函数3()f x x =在R 上单调递增，a b >，所以33a b >，故D 正确. 故选：D9．【多选题】（2021ꞏ湖北高三月考）已知a ，b 均为正数，且1a b -=，则（ ）A ．a >B ．221->a bC ．411-≤a bD ．13a b+> 【答案】BC 【答案解析】先根据a ，b 均为正数，且1a b -=，得到0,11b a b >=+>，A.利用基本不等式判断；B.由122222b b a b b +-==-，利用指数函数的单调性判断；C.利用“1”的代换转化结合基本不等式判断；D. 利用基本不等式判断. 【过程详解】因为a ，b 均为正数，且1a b -=， 所以0,11b a b >=+>，A.因为1a b =+≥10-+≥，)210≥，当1b =时，)210=，故错误；B.因为0,11b a b >=+> ，所以1222221b a b b b +--=>=，故正确；C. 因为()41414553b a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b =时，取等号，故正确；D. 因为11113a b b b +=++≥+=，当且仅当1b b =，即1b =时，取等号，故错误； 故选：BC10．（2020·周口市中英文学校高二月考（文））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值. 【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【答案解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3； 当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,无解； 当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－1<ax <5. 当a >0时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =无解； 当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符； 当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3.1．（2021ꞏ湖南高三二模）若相异两实数x ，y 满足222020x y y x ⎧+-=⎨+-=⎩，则332x xy y -+之值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D 【答案解析】根据已知条件求得11xy x y =-⎧⎨+=⎩，由此求得所求表达式的值.【过程详解】两式作差消元得：()()()101x y x y x y x y -+-=⇒+=≠，反代回去得：210x x --=，同理可得：210y y --=，由同构及韦达定理有：11xy x y =-⎧⎨+=⎩继而有：()()332222x xy y x y y x -+=-++-()2222226x y xy =+-+=++=.练提升故选：D2．（2021ꞏ新疆高三其他模拟（理））若关于x 的不等式2cos 20x x mx n->--的解集为()2,3-，则mn =（ ） A ．5 B ．5-C ．6D ．6-【答案】C 【答案解析】由[]cos 1,1x ∈-可得cos 20x -<，所以将问题转化为20x mx n --<的解集为()2,3-，利用根与系数的关系可得m ，n 的值，进而可得结果. 【过程详解】∵[]cos 1,1x ∈-，∴cos 20x -<， 而2cos 20x x mx n->--的解集为()2,3-， 即20x mx n --<的解集为()2,3-， ∴23m -+=，23n -⨯=-， ∴1m =，6n =， ∴6mn =. 故选：C.3．（2021ꞏ四川南充市ꞏ高三三模（文））已知()f x 是定义在R 上的以5为周期的偶函数，若()16f ->-，()3202124af a -=-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,11⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．21,(2,)11⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．21,211⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【答案解析】先利用函数的周期性和奇偶性可得3(2021)(54041)(1)(1)24af f f f a -=⨯+==-=-，从而将()16f ->-转化为3624aa ->--，进而可求出a 的取值范围【过程详解】解：因为()f x 是定义在R 上的以5为周期的偶函数， 所以(2021)(54041)(1)(1)f f f f =⨯+==-， 因为()3202124af a -=-，()16f ->-，所以3624a a ->--，整理得1121024a a ->-， 解得2111a <或2a >，所以实数a 的取值范围是21,(2,)11⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 故选：C4．（2021ꞏ河南商丘市ꞏ高三月考（文））已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()3f x a x =+有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A．(,4-∞- B．()4++∞C．0,4⎡-⎣D．(0,4-【答案】D 【答案解析】方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根，即直线(3)y a x =+与曲线()y f x =，作出函数图像，即转化为2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根，可得答案. 【过程详解】设(3)y a x =+，该直线恒过点()3,0-，方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根 如图作出函数()y f x =的图像，结合函数图象，则0a >，所以直线(3)y a x =+与曲线()22,2,0y x x x =--∈-有两个不同的公共点，所以2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根， 令()2(2)3g x x a x a =+++，实数a 满足()()()22120220203020a a a g a g a ⎧∆=+->⎪+⎪-<-<⎪⎨⎪=>⎪-=>⎪⎩，解得04a <<-， 所以实数a的取值范围是(0,4-. 故选：D .5．（2021ꞏ湖南高三一模）已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为{}|34x x <<，则25c a b++的取值范围为________________．【答案】)+∞ 【答案解析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把,b c 用a 表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论． 【过程详解】由不等式解集知0a <，由根与系数的关系知347,3412,bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩ 7,12b a c a ∴=-=，则225144552466c a a a b a a ++==-+≥=+--，当且仅当5246a a -=-，即12a =-时取等号．故答案为：)+∞．6．（2021ꞏ四川攀枝花市ꞏ高三一模（理））定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2f x x x =-+，则当()1,2x ∈时，不等式()3016f x +≤的解为___________. 【答案】57 44x ≤≤ 【答案解析】根据奇函数的性质及条件求得函数周期，从而求得()1,2x ∈时对应的函数答案解析式，然后解一元二次不等式即可. 【过程详解】()()1()(2)(1)()f x f x f x f x f x f x +=-=-⇒+=-+=，函数周期为2；当1,02x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时，22()()()f x f x x x x x =--=---=+， 则当3,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，22()(2)(2)(2)32f x f x x x x x =-=-+-=-+， 由()()1()()(1)f x f x f x f x f x +=-=-⇒=--知， 当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()(1)[(1)1]32f x f x x x x x =--=---+-=-+， 故()1,2x ∈时，2()32f x x x =-+ 则不等式()3016f x +≤即2332016x x -++≤，解得57 44x ≤≤， 故答案为：5744x ≤≤7．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围． 【答案】(1) 17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成立，解得122x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为32.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44⎛⎫-⎪⎝⎭ 8．已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a ). (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1. (2)a 的取值范围是(－∞，4).【答案解析】 (1)函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0， 即|x －1|＋|x －5|>a . 设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，由|x －1|＋|x －5|≥|x －1＋5－x |＝4，当a ＝2时，∵g (x )min ＝4，∴f (x )min ＝log 2(4－2)＝1. (2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4. ∵|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <g (x )min 时，f (x )的定义域为R . ∴a <4，即a 的取值范围是(－∞，4).9．（2019·河南省高三一模（理））已知函数()122f x x x =-++. （1）解不等式()4f x ≤； （2）若23()2f x m ≥-对任意x 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[1,1]-；（2）[2,2]- 【答案解析】（1）()31,211223,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，解12314x x ⎧≥⎪⎨⎪+≤⎩或12234x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或2314x x ≤-⎧⎨--≤⎩得11x -≤≤，所以解集为[]1,1-. （2）由（1）知()f x 在12x =时取得最小值52， 所以25322m ≥-，解之得22m -≤≤ 所以m 的取值范围是[]2,2-.10．（2020ꞏ江苏苏州市ꞏ星海实验中学高一月考）已知12,x x 是函数()()210f x ax bx a =++>的两个零点，()min f x a =-，(){}|0P x f x =<.(1) 证明122x x -=；(2) 当且仅当a 在什么范围内时，函数()()()2g x f x x x P =+∈存在最小值； (3) 若()12,2x ∈-，求b 的取值范围.【答案】（1）证明见答案解析（2）1a >（3）33(,)(,)44-∞-+∞ 【答案解析】(1)由二次函数的最小值可得2244b ac a -=，由求根公式可得结论；(2)由二次函数的对称轴结合图象可知在对称轴处取到最小值； (3）由2244b a a =+，可得18a >，从而得到b 的范围. 【过程详解】（1）由题意，244ac b a a-=-，即2244b a a -=，根据求根公式122,22b b a x a a-±-±==，所以122x x -=. (2)由()0f x <可得2222b a b ax a a---+<<， ()()22(2)1ax b g x f x x x =++=++ ，对称轴为22+=-b x a， 222222b a b b aa a a--+-+∴<-<， 11a a >-⎧∴⎨>⎩，即1a >. (3) 122,(2,2)2b ax a -±=∈-, 从而有2222,2222b a b aa a ---+-<<-<<， 所以132b a --<<或3 1.2b a --<< 从而有33,2ba--<<即||6,b a < 所以2236,b a < 因为2244b a a =+， 所以224436a a a +<， 解得18a >， 22119444()86416b a a ∴=+>+=，34b ∴<-或34b >所以b 的取值范围33(,)(,)44-∞-+∞ .1．（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A．{4,1}- B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}【答案】D 【答案解析】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.2．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A．}{43x x -<< B．}{42x x -<<- C．}{22x x -<< D．}{23x x <<【答案】C 【答案解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C．3．（2012·上海高考真题（文））若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = . 【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案解析】1,2A ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，(1,1)B =-，A∩B=1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.4．（2020·浙江省高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A．a <0 B．a >0 C．b <0 D．b >0【答案】C练真题【答案解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点 为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C5．（2018·全国高考真题（理））设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．【答案】（1）见答案解析 （2）5 【答案解析】（1）()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5． 6．（2019·全国高考真题（文））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞ 【答案解析】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意； 当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.。