必修三问题研究变式练习题2

7．1.2 弧度制及其与角度制的换算

[课程目标] 1.了解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．

2．熟记特殊角的弧度数．

[填一填]

1．度量角的单位制

(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制，规定周角的1360为1度的角．其中60分等于1度，60秒等于1分．

(2)弧度制：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1_rad.

2．角度制与弧度制的换算

3．特殊角的弧度数

4.弧度制下的公式

如图所示，l、r、α分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数．

(1)弧度数公式：α＝lr；

(2)弧长公式：l＝αr；

(3)扇形面积公式：S＝12lr＝12αr2.

[答一答]

比较弧度制与角度制的异同．

提示：(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的制度，角度制是以“度”为单位来度量角的制度．

(2)1弧度等于长度为半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1°等于圆的1360所对的圆心角的大小．

(3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值．

(4)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数．如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度(°)为单位表示角时，度(°)就不能省去．

(5)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．

(6)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法．弧度制与角度制相比有一定的优点．其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是10进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便．

(7)角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应.

分段函数之等高线问题研究

苏大附中 仇卓然

引言：在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，因分段函数中可以同时容纳多种函数模型，等高线问题是其中一类比较重要题型，从而使得分段函数又成为函数中的难点，分段函数既可以以填空小题的形式出现，也可以融合在解答题的解题过程中，利用函数的图象探究分段函数的性质是解决此类问题的核心方法.

一、温故知新---初始等高问题

1.(苏教版必修1 P87第11题)如图，已知函数，，，的图象分别是曲线,试判断的大小关系，并用“<”连接起来．

2．(苏教版必修1P113第14题)已知函数，若存在互不相等的实数使，求的值．

二、问题导思—-再研同类问题

问题1:已知直线与函数和函数的图像分别交于𝐴，𝐵两

点，则两点之间的距离是_____________.

问题2:已知函数是定义在上且周期为3的函数，当时，

．若函数在区间上有10个零点（互不

相同），则实数的取值范围是______________.

【变式1】已知函数,若关于的方程恰有四个互不相等的实数根则的值是___________. ()logafxx()logbgxx()logcmxx()log,dnxx1234,,,CCCC0,1,,,,abcd()lgfxx,ab()()fafbabym()2xfx()32xgx,AB()fxR(0,3)x21()22fxxx()()gxfxa[3,4]a()11fxx()fxm1234,,,xxxx1234xxxO y

x C3

C2 C4

C1 【变式2】（2020南通一模）已知函数，若关于的方程

有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是______.

【变3】已知函数,如果存在实数，其中，使得，则的取值范围是_____________.

【变式4】 （2020扬州一模）已知函数,如果存在实数，其

中，使得，则取值范围是______________.

1

P18 问题研究 我们的生态足迹有多大

【资料1 什么是生态足迹资料】

1.生态足迹的值越大，资源消耗量就越大，生态足迹和资源消耗量呈正相关的关系。

2. 生态足迹越大，对环境的影响越大，对生态的破坏就越严重，如果超出了自然环境可以承受的范围和程度，就会损害自然环境的服务功能。

【资料2全球生态足迹现状】

1.全球生态足迹的变化特点：从1960年开始，呈稳定的上升趋势，在1970年生态足迹等于1个地球数量，在1970年之后生态足迹超出了地球的承载力，处于生态赤字之中。

2. 选择不同的生活方式，对生态足迹的变化影响是不同的。如果按照目前的资源消耗水平，到2030年需要2个地球；若碳排放减少30%，到2030年大约需要1.5个地球。

P54 问题研究 如何“藏粮于地”

【资料1】

1.“藏粮于地”与“藏粮于仓”的狼食储备强调的重点有何差別？

从粮食生产、储存过程来看，需注意以下三点区别。一是储备对象不同。“藏粮于仓”强调耕地实际生产出来的粮食产量， “藏粮于地”强调耕地所具备的粮食生产能力。二是投入环节不同。“藏粮于地”与“藏粮于仓”均需要投入，“藏粮于仓”的投人在粮食生产、仓储建设和仓储维护环节， “藏粮于地”的投入主要在改善耕地质量环节。三是附加效益不同。“藏粮于仓”的粮食储备制度产生了巨大的库存压力和仓储财政负担，并产生大量陈化粮，造成粮食浪费。 "藏粮于地”重点在于耕地生产能力的维持，可以在粮食供给充足的年份改种经济作物、提高农民经济收益，也可以通过休耕、轮作等方式缓解生态压力，在粮食短缺情况下，调整种植结构、恢复粮食生产。

2.从决定粮食总产量的因素来看，在已划定18亿亩耕地红线的前提下， “藏根于地”的关键是什么？

“藏粮于地”的关键是提升耕地质量。逻辑分析过程分为三步：一是粮食产量是耕地面积和单位面积产量的乘积，划定18亿亩耕地红线意味着耕地面积是基本确定的，粮食总产量的提高主要依赖单位面积产量的提高；二是影响单位面积产量的因素，可以进一步分解为耕地质量因素和农业生产投入因素；三是“藏粮于地”不是实际的粮食生产、不需要农业机械、化肥等生产投人，只与耕地资源有关。因此，提升耕地质量是“藏粮于地”的关键。

初中数学变式训练研究报告

数学变式是初中数学的一个重要知识点，也是学习数学的必修内容。数学变式是数学中常见的数学语言，用于表达一些数学概念和规律，以及解决实际问题。在初中阶段，数学变式的学习主要包括公式的变形、方程的解法、函数的推导等。本篇文章将围绕初中数学变式的训练进行研究，探讨初中数学变式训练的方法和技巧。

一、数学变式的定义及作用

数学变式是由一个或多个数学符号按照一定的规则组成的式子。数学变式的作用主要包括以下几个方面：

1.用于表达数学概念和规律。数学变式是数学语言中常见的表达方式，可以用于描述数学概念和规律，如圆的面积公式、勾股定理等。

2.用于解决实际问题。数学变式可以应用于解决实际问题，如计算机网络中的数据传输速率等。

3.用于推导定理和证明定理。数学变式可以用于推导定理和证明定理，如勾股定理的证明等。

二、初中数学变式的训练方法

1.公式的变形。公式的变形是初中数学变式训练的一个重要内容。公式的变形可以通过移项、合并同类项、分离变量等方法进行，可以提高学生对公式的理解和掌握。

2.方程的解法。方程的解法是初中数学变式训练的另一个重要内容。方程的解法包括代数法、图形法、因式分解法等。通过方程的解法训练，可以提高学生对方程的理解和解题能力。

3.函数的推导。函数的推导也是初中数学变式训练的一个重要内容。函数的推导包括函数的定义、函数的性质等。通过函数的推导训练，可以提高学生对函数的理解和掌握。

三、初中数学变式训练的技巧

1.理解数学符号的含义。数学符号是数学变式中重要的组成部分，学生应该掌握数学符号的含义和用法，以便正确地理解和使用数学变式。

2.掌握变式的规律。数学变式中常常存在一些规律，学生应该掌握这些规律，以便更好地理解和使用数学变式。

3.多练习。数学变式的训练需要通过大量的练习来掌握。学生应该多进行数学变式的练习，以提高自己的计算能力和解题能力。

4.注重思维方法。数学变式的训练需要注重思维方法，学生应该通过思维方法的训练，提高自己的思维能力和逻辑思维能力。