2021高考数学考前微专题28双曲线(学生版)

第14讲 巧用圆锥曲线系方程解题应用曲线系方程解题,即引入适当的参数先设出符合部分条件的曲线系方程,,然后根据题中的其他条件,通过推理,运算求出曲线系方程中的参数值,从而实现问题的解决.运用曲线系方程往往可以回避联立解方程组、求交点坐标等带来的麻烦,既减少了计算量,又体现了参数变化、整体处理、待定系数法等重要的数学思想方法.当然,由于曲线系方程的多样化、所给问题条件的隐蔽性,应用曲线系方程解题虽然减少了运算量,但对技巧的要求颇高,在高中数学竞赛中运用较为广泛,本讲对各类圆雉曲线系方程进行归纳总结. 圆锥曲线系方程:(1)共顶点圆锥曲线系方程222:1(x y a λλ+=为参数). (2)共渐近线双曲线系方程2222:(x y a b λλ-=为参数,0)λ≠.(3)共焦点圆锥曲线系方程:2221(x y c c λλ+=+为焦半径,λ为参数). 当0λ>时,表示共焦点椭圆系;当一20c λ<<时,表示共焦点双曲线系;当2c λ<-时,无轨迹.(4)共离心率圆锥曲线系方程222:(x y a bλλ±=为参数,0λ>). (5)过两圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系:若2211111122222222:0,:0c A x C y D x E y F c A x C y D x E y F ⎧++++=⎨++++=⎩是有4个交点的二次曲线,则2211:c A x C y + ()22111222220D x E y F A x C y D x E y F λ++++++++=是过12,c c 的交点的圆雉曲线系,其中不包括2(c λ为参数).(6)过两条直线与圆锥曲线4个交点的圆锥曲线系: 若11112222:0,:0l a x b y c l a x b y c ++=⎛++=⎝与圆锥曲线22:0c Ax Cy Dx Ey F ++++=有4个交点,则方程()()221112220Ax Cy Dx Ey F a x b y c a x b y c λ+++++++++=为过4个交点的圆锥曲线系方程.典型例题【例1】(1)求渐近线方程为340x y ±=,焦点为椭圆221105x y +=的一对顶点的双曲线的方程；(2)求与双曲线221164x y -=有共同的渐近线,且与直线5680x y --=相切的标准双曲线方程.【分析】当已知双曲线的渐近线方程为1(x ya b±=或y mx =±)时,可设双曲线的方程为2222x y a bλ-=或)222m x y λ-=(其中λ为不等于零的待定常数),以简化运算过程,这里方程(2222x y a b λλ-=∈R 且0λ≠)称之为与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线系,为解题带来方便.【解析】(1)依题意,可设双曲线的方程为22(169x y λλ-=±是正实数),当双曲线的焦点为椭圆的长轴的顶点,即)与()时,由222c a b =+,可得210169,5λλλ=+=,∴双曲线的方程为225513218x y -=;当双曲线的焦点为椭圆的短轴的顶点,即(与(0,时,双曲线的方程为(22169x y λλ-=-是正实数),即2211,5916,9165y x λλλλλ-=∴=+=. ∴双曲线的方程为2255 1.916y x -= (2)【解法1】(利用共渐近线双曲线系方程结合判别式法)设所求双曲线的方程为()220164x y λλ-=≠, 此双曲线与直线5680x y --=相切,且显然其渐近线都不平行于直线5680.x y --=∴由方程组221645680x y x y λ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩消去x ,得2462540y y λ-+-=,其判别式Δ=()2(6)442540λ--⨯⨯-=,解得14λ=. 故所求双曲线的标准方程为2211644x y -=,即2214x y -=. 【解法2】(利用共渐近线双曲线系方程结合待定系数法)设所有双曲线的方程为()220164x y λλ-=≠,即()224160x y λλ-=≠, 设其与直线5680x y --=相切的切点为()00,x y , 则切线方程为004160,x x y y λ--=∴有0000568.10,3416x y x y λλλ==∴==.代人双曲线方程中并化简得214,0,4λλλλ=≠∴=又,故所求双曲线的标准方程 为2214x y -=. 【解法3】(利用共渐近线双曲线系方程结合双曲线参数方程解)设所求双曲线方程为()2210164x y λλλ-=≠,双曲线上一点M的坐标为θ,)θ,以此点为切点的双曲线的切线方程为1164x yθθλλ⋅⋅-=,化简得sec 2tan x y θθ⋅-⋅=它和直线568x y -=重合,sec 2tan 56θθ∴==即22sec tan 2594θθλ-==-,由等 比定理得22sec tan 2594θθλ-=-,即11,1644λλ==,代人原双曲线方程得2214x y -=,此 即为所求.【例2】讨论方程221259x y k k+=--所表示的曲线. 【分析】观察方程可以发现其中心在原点,是有心曲线,对称轴为坐标轴,若2590k k ->->,则方程表示椭圆系,()()225916,4;c k k c =---==若250,90,k k ->⎧⎨-<⎩方程表示则曲线系,()()225916,4c k k c =-+-==.所有的曲线焦点相同,因此,原方程表示中心在原点,对称轴为坐标轴,有相同焦点的圆锥曲线系.【解析】由所给方程知25k ≠且9k ≠,原方程可化为()()()()22925259k x k y k k -+-=--它表示中心在原点,对称轴为两坐标轴的有心圆锥曲线系. (1)当9k <时,它的曲线是椭圆.()()22225916,c a b k k =-=---=∴焦点为()4,0-和()4,0.(2)当925k <<时,它的曲线是双曲线.()()22225916,c a b k k =+=-+-=∴焦点为()4,0-和()4,0.(3)当25k >时,250,90k k <-<一,方程无实数解,故方程无轨迹.因此,原方程表示的是具有同一中心,相同对称轴、相同焦点的有心圆锥曲线系.【例3】已知圆22(1)9x y -+=和双曲线221x y -=,求通过它们的4个交点和点()0,2M 的二次曲线方程.【分析】构造过圆与双曲线4个交点的圆锥曲线系,而圆锥曲线系过点(0M ,2),可待定参数的值,从而大大减少运算量.【解析】圆方程和双曲线方程可分别写成2222280,10x y x x y +--=--=,将其中第二个方 程乘以任意实数λ,然后与第一个方程相加,得()()22222810x y x x y λ+--+--= 圆和双曲线的任一交点的坐标同时满足圆方程和双曲线的方程,因而使式左边两个括号里面代数式的值同时为0,所以这些交点都在①式表示的二次曲线上.将点M 的坐标()0,2代入(1)式,得4450,.5λλ--=∴=-将所得λ值代入(1)式,得()()2222428105xy x x y +-----= 化简得22910360x y x +--=,即22(5) 1.61619x y -+=所得的曲线是一个椭圆,它的中心是点()5,0,焦点在x 轴上,3(如图23-所示)．【例4】一条圆锥曲线过点17,22⎛⎫-⎪⎝⎭,切直线250x y -+=于点()1,3,切直线52200x y +-=于点()4,0,求它的方程.【分析】由于圆锥曲线的形态不清楚,无法直接求解,只能通过圆锥曲线系来解,如何列出符合条件的圆锥曲线系是关键.【解析】过点()()1,3,4,0的直线方甶为40x y +-=,①由于()()1,3,4,0都是切点,直线(1)可以看作是两条重合的直线(退化了的曲线),于是所求方程可写成()()2255220(4)0x y x y x y λ-++-++-=.②再由曲线过点17,22⎛⎫-⎪⎝⎭,代人(2)式,解得254λ=.故所求方程为22451891800x xy y x ++-=.【例5】(1)(蝴蝶定理)过圆AB 弦的中点M ,任意作两弦CD 和,EF CF 和ED 交弦AB 于,P Q ,求证:PM QM =;(2)AB 是圆Γ的一条定弦,O 为AB 上的定点,过点O 作圆Γ的两条弦CD 和EF ,弦CF 和OA 交于点I ,弦DE 与OB 交于点.J求证:11OA OB-=∣∣ 11OI OJ - 【分析】运用曲线系方程证明蝴蝶定理及其推广比用平面几何知识证明要简便许多. 【证明】(1)如图24-所示,以M 为原点,AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设圆方程为222()()x y b r b r +-=<设直线,CD EF 的方程分别为12,y k x y k x ==.将它们合并为()()120y k x y k x --=,于是过点,,C D E F 、的曲线系方程为()()22212()0x y b r y k x y k x λ+--+--=令0y =,得()2221210k k x b λγ++-=,即过点,,,C D E F 的曲线系与AB 交于点,P Q 的横坐标是方程()2221210k k x b λγ++-=的两个根.由韦达定理得0P Q x x +=,即M 是PQ 的中点,故PM QM =(2)如图25-所示,以O 为原点,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,设圆Γ的方程为220x y dx ey f ++++=:120,:0.CD EF l x t y l x t y -=-=则直线,CD EF 合成的二次曲线方程为)()12(0x t y x t y --= 从而,经过,,,C D E F 这4点的曲线系方程为()()2212x y dx ey f x t y x t y λ+++++--=0∴存在λ,使得(1)为直线CF DE 、合成的二次曲线.在①中,令0y =,则1,J x x 是方程()210x dx f λ+++=的两个根.由韦达定理得11,11s J d fx x x x λλ+=-⋅=++. 1111110,0,0,.I J I J J J x x d x x f OI OJ x x x x f+≠∴-=-=-=- 在(1)中,令0,0y λ==,则,A B x x 是方侱20x dx f ++=的两个根. 由韦达定理得,,0,0,0A B A B A B x x d x x f x x f +=-⋅=≠又,1111.1111.A B A B A B x x dOA OB x x x x fOA OB OI OJ+∴-=-=-=--=-故【例6】已知任意二次曲线,S AB 是曲线S 的弦,O 是AB 的中点,过点O 任意作弦CD 、EF ,过点,,,C D E F 另作一条任意二次曲线t ,如果曲线t 与直线AB 交于点P 、Q ,求证:.OP OQ =【分析】上例介绍了平面几何蝴蝶定理的证明和应用,本例是平面几何蝴蝶定理的推广,从圆一步飞跃到任意的二次曲线,联结圆上4点的两直线CF 和DE 也直接换成一般的二次曲线,从蝴蝶定理的特殊图形里看到一般的二次曲线系,升级换代、一次到位,不是拾级而上,而是直上高楼,美景无限.观察如图26-所示图形,里面是否隐藏着一只飞舞的蝴蝶?【证明】如图()26a -所示,取直线AB 为y 轴,O 为原点,AB 方向为y 轴的正方向建立直角坐标系.设OA OB a ==,则点A 的坐标为()0,a -,点B 的坐标为()0,a . 二次曲线S 通过点()()0,,0,A a B a -,∴在曲线S 的方程中,当0x =时,应有22y a =.因而二次曲线S 的方程形如：2220Ax Bxy y Dx a +++-=又：弦,CD EF 者通过原点O ,且与直线AB 相交(因而都不是y 轴).∴可设它们的方程分别为12,.y k x y k x ==这一对直线CD 和FE 合在一起,可以看成一条退化二次曲线u . 其方程为()()120y k x y k x --=.(2)曲线(1)和(2)相交于点,,C D E F 、,利用曲线系知识,通过,,,C D E F 的二次曲线 系的方程为()()()222120Ax Bxy y Dx a y k x y k x λ+++-+--=,(3) 若曲线(3)中的一条二次曲线t 交y 轴于点()10,P y 和点()20,Q y , 则在(3)式中以0x =代人,得()2210y a λ+-=,(4)1y 和2y 应该是所得二次方程(4)的两个实数根,由二次方程根与系数的关系,得12120,y y y y +=∴=-,即OP OQ =.【例7】(1)4条直线1234:3150,:60,:50,:0l x y l kx y l x y l y +-=--=+==围成一个四边形,问k 取何值时,该四边形有一个外接圆,并求出外接圆的方程;（2)已知椭圆221:9236270C x y x y +--+=与双曲线222:4250C x y y -+-=有4个交点,求证:此4个交点共圆,并求出此圆的中心坐标.【分析】第(1)问,用直线方程交,点构成的二次其线系方程求解;第(2)问,用过两圆锥曲线交点的二次曲线系方程求解或证明.【解析】（1）设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为()()()315560x y x y kx y y λ+-++--⋅=()()()22815157560x k xy y x y λλλ+++--+--=即22151,4151590.780k x y x y k λλ-=⎧=-⋅∴+--=⎨+=⎩解得由∣所求圆的方程为(2)【证明】设过1C 和2C 交点的曲线系方程为()22229236274250x y x y x y y λ+--++-+-=(不包括)2C ,即()()()2214923622750.x y x y λλλλ++----+-=显然,当149λλ+=-,即85λ=时,曲线系方程表示一个过1C 和2C 交点的圆. 将85λ=代人曲线系方程化简得:22373710164950x y x y +--+=, 即椭圆与双曲线的4个交点共圆。

微专题—热学之气体的等温、等压、等容变化图象习题选编一、单项选择题1．如图所示，一定质量的理想气体从状态A 变化到状态B ，再到状态C ，最后变化到状态A ，完成循环。

下列说法正确的是（ ）A ．状态A 到状态B 是等温变化B ．状态A 时所有分子的速率都比状态C 时的小C ．状态A 到状态B ，气体对外界做功为0012p V D ．整个循环过程，气体从外界吸收的热量是0012p V2．一定质量的理想气体，从状态M 开始，经状态N 、Q 回到原状态M ，其p-V 图象如图所示，其中QM 平行于横轴，NQ 平行于纵轴．则（ ）A ．M →N 过程气体温度不变B ．N →Q 过程气体对外做功C ．N →Q 过程气体内能减小D ．Q →M 过程气体放出热量3．如图所示，a 、b 、c 、d 表示一定质量的理想气体状态变化过程中的四个状态，图中ad 平行于横坐标轴，ab 的延长线过原点，以下说法正确的是（ ）A ．从状态d 到c ，气体不吸热也不放热B ．从状态c 到b ，气体吸热C ．从状态d 到a ，气体对外做功D ．从状态b 到a ，气体吸热4．如图所示是一定质量的理想气体从状态A 经B 至C 的p —1V图线，则在此过程中( )A ．气体的内能改变B ．气体的体积增大C ．气体向外界放热D ．气体对外界做功5．一定质量的理想气体分别在T 1、T 2温度下发生等温变化，相应的两条等温线如图所示，T 2对应的图线上有A 、B 两点，表示气体的两个状态．则（ ）A ．温度为T 1时气体分子的平均动能比T 2时大B ．A 到B 的过程中，气体内能增加C ．A 到B 的过程中，单位体积内的气体分子数增多D ．A 到B 的过程中，气体分子单位时间内对器壁单位面积上的碰撞次数减少6．如图所示，一定质量的理想气体，从状态A 经绝热过程A B →，等容过程B C →，等温过程C A →，又回到状态A ，则（ ）AA ．AB →过程气体体积增大，内能减小 B ．BC →过程内能增加，可能外界对气体做了功 C ．气体在B 状态的温度高于在A 状态的温度D ．C A →为等温变化，内能不变，所以此过程气体既不吸热也不放热→→→的状态变化过程，AB的延长线过O点，7．如图所示，一定质量的理想气体，经过图线A B C ACA与纵轴平行。

微专题01 平面向量秒杀总结结论1极化恒等式．1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b++-=+,,AB a AD b==证明：不妨设CA a b DB a b=+=-则，，()22222C2AC A a b a a b b==+=+⋅+（1）()222222DB DB a b a a b b==-=-⋅+（2）（1）（2）两式相加得：()()22222222AC DB a b AB AD+=+=+2．极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式（1）平行四边形模式：2214a b AC DB⎡⎤⋅=-⎣⎦几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。

（2）三角形模式：2214a b AM DB⋅=-（M为BD的中点）结论2矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等。

已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：2222OA OC OB OD+=+。

【证明】（坐标法）设,AB a AD b==，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，则(,0),(0,),(,)B a D bC a b，设(,)O x y，则AB CM222222()[()()]OA OC x y x a y b +=++-+- 222222[()][()]OB OD x a y x y b +=-+++- 2222OA OC OB OD ∴+=+结论3 三点共线的充要条件设OA 、OB 、OP 是三个不共线向量，则A 、B 、P 共线⇔存在R λ∈使(1)OP OA OB λλ=-+． 特别地，当P 为线段AB 的中点时，1122OP OA OB =+。

结论4 等和线 【基本定理】（一） 平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。

椭圆：[(x 3 2) 3 2]2 9[(y 2) 2]2 36 即(x 3 2)2 9( y 2)2 6 2(x 3 2) 18 2( y 2) 0 将(*)代入构造齐次化
k切
-
b2 a2
y0 x0
k切
b2 a2
y0 x0
p k切 y0
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
k AB
b2 a2
y0 x0
x2 a2
y2 b2
1 k AB
-
b2 a2
y0 x0
y2
2 px( p
0)
k AB
p y0
试题背景
倾角互补，面积最大
在这个定角模型中，还有一个重要结论： SPAB 有最大值.
y kx x2
y 2
m 2 1
(1 2k 2 )x 2 4kmx 2(m 2 1) 0，由韦达定理得 :
4km
2(m 2 1)
x1 x2 1 2k 2 , x1 x2 1 2k 2 ,
由题设k AP
k AQ
0
y1 1 x1 2
y2 x2
1 2
0
kx1 m 1 kx2 m 1 0,
n，
直线PQ：m( x 2) m( y 1) 1，
kPQ 1
法七：极限思想法：（无限逼近）
已知PA和QA斜率和为0， 求(1)求直线l的斜率；
A'
将点 A(2,1) 代入双曲线方程得， C : x2 y2 1 2
试题背景
倾角互补，连线定角
当点P( x0 , y0 )( y0 0)在曲线C上，过点P作两条斜率互为相反数 的直线， 这两条直线与曲线 C的两个交点分别为 A, B，则直线AB的斜率为定值.