(精品)不等关系与不等式

第29讲 │ 要点探究
(1)＞ (2)＞ [解答] (1)解法一： (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)， ∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． 解法二：∵x<y<0， ∴x－y<0，x2>y2，x＋y<0，xy>0. ∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0， (x2＋y2)(x－y) x2＋y2 ∴0< 2 2 ＝ 2 2 <1， (x －y )(x＋y) x ＋y ＋2xy ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
2 x3 x ＋ － [解析] 设 4 ＝(xy2)m( y )n＝xm 2ny2m n，由此得 m＋2n＝3, y
第29讲 │ 不等关系与不等式
第29讲
不等关系与不等式
第29讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．两个实数大小的比较原理 (1)差值比较原理：设 a、b∈R，则 a＞b⇔a－b＞0， a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔________. a－b＜0 a a (2)商值比较原理： 设 a、 b∈R＋， 则b＞1⇔a＞b， b＝1⇔ a a＝b，b＜1⇔______. a＜b
第29讲 │ 要点探究
1 设 a∈R，且 a≠0，试比较 a 与a的大小． 1 (a－1)(a＋1) [解答] 由 a－a＝ . a 1 当 a＝± 1 时，a＝a； 1 当－1<a<0 或 a>1 时，a>a； 1 当 a<－1 或 0<a<1 时，a<a.

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4.夕阳将下，余晖照映湖面，金光璀 璨，不 可名状 。一是 苏州光 福的石 壁，也 是太湖 的一角 ，更见 得静止 处，已 不是空 阔浩渺 的光景 。而即 小见大 ，可以 使人有 更多的 推想.
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5.桃花源里景美人美，没有纷争。虽 然看似 一个似 有似无 ，亦真 亦幻的 所在， 但它是 陶渊明 心灵酿 出的一 杯美酒 ，是他 留给后 世美好 的向往.
人教A版 高二数学 必修五 第三章：3.1《不等关系与不等式》
下面进一步用不等式或不等式组 来解决生活中的不等关系问题：
例1、某种杂志原以每本2.5元的价格 销售，可以售出8万本.据市场调查， 若单价每提高0.1元销售量就可能相 应减少2000本.若把提价后杂志的定 价设为x元，怎样用不等式表示销售 的总收入仍不低于20万元呢？
人教A版 高二数学 必修五 第三章：3.1《不等关系与不等式》
人教A版 高二数学 必修五 第三章：3.1《不等关系与不等式》
练习 1.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0
人教A版 高二数学 必修五 第三章：3.1《不等关系与不等式》
人教A版 高二数学 必修五 第三章：3.1《不等关系与不等式》
如果a－b是正数，则a>b；如果a>b， 则a－b为正数；
如果a－b是负数，则a<b；如果a<b， 则a－b为负数；
如果a－b等于零，则a=b；如果a=b， 则a－b等于零.
0.1
人教A版 高二数学 必修五 第三章：3.1《不等关系与不等式》

500x 600y 4000
y 3x
x≥0,y≥0 上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话， 用不等式组表示为：
数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求， 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
数学应用
问题1：设点A与平面α的距离为d, B为平面α上任意一点，则
d与线段AB的关系？
A
d≤|AB|
d

B
数学应用
问题2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售 量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元呢？
∴
(a b) (b c) 0
ac 0
∴
ac
由定理1，定理2可以表示为如果
c b且b a
那么
ca
不等式的性质
性质3.如果
a b，那么 a c b c
不等式的可加性
(即a b a c b c)
证明： ∵
∴
(a c) (b c) a b 0
证明:ac-bc=( a-b )c 因为 a >b 所以 a-b>0, 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得 当c>0时,(a-b)c>0, 即 ac>bc 当c<0 时,(a-b)c<0, 即 ac<bc
不等式的性质
性质5： 如果
a b 且 c d ，那么
ac bd
不等式的同向可加性

4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
作业 ：
必修5第75页 习题3.1 A组4、5； B组1、3
a b 0 n a n b (n N *, n 2)
(可乘方性、可开方性)
课堂练习
1. 若a、b、c R，a b，则下列不等式成
立的是
（C ）
A. 1 1 ab
C. a b c2 1 c2 1
B. a2 b2 D. a | c | b | c |
课堂练习
2. 若、 满足 ，则 的
a - b < 0 <=> a < b
比较两实数大小的方法 —作差比较法：
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的Байду номын сангаасa-b 的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．
性质1: (对称性) a b b a
性质2 : (传递性)
a b
b
c
a
3x y
x
N
*
y N *
必修5 第74页
a+b ≥0 h4
新课讲授
2.文字语言与数学符号间的转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
大于等于 ≥
不少于
≥
小于等于 ≤
不多于
≤
三、不等式基本原理
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
b c
例5 :已知x 0,求证 1+x 1 x 2
例６:（比较大小）