500 x 600 y 4000
不等关系为不等式组：
3x y
x0 y0
【提升总结】 1. 将实际的不等关系写成对应的不等 式时，应注意实际问题中关键性的文字语 言与数学符号间的正确转换.
文字语言 大于 小于 大于等于 数学符号 文字语言 数学符号 ≤ ≥
＞
＜
至多
至少 不少于 不多于
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成
500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式呢?
解:设截得500mm的钢管数x根,截得600mm的钢管y根，则
如果a>b,c<0,那么ac<bc. 如果a>b,c=0,那么ac=bc.
注意：不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变； 不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反.
思考：证明不等式的下列性质： 性质5
如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
(同向可加性)
注：同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.
证明：
(开方法则)
注意:当不等式两边都是正数时，不等式两 边同时开方所得的不等式和原不等式同向. 以上这些关于不等式的事实和性质是解决 不等式问题的基本依据.
三.不等式的基本性质：
性质1 性质2
a b, b c a c
abba
使用时注意弄 清每条性质的 条件和结论.
性质3
性质4
性质5 性质6 性质7 性质8
如果a>b,b>c,那么a>c.即 (传递性)
a b, b c a c
注意：同向不等式才能传递.
性质3 如果a>b,那么a+c>b+c.
变式： 移项法则
a b c a c b
注：不等式中任何一项可以改变符号后移到不等 号的另一边. 性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc.
a c b d a b c d 0
乘性)
a c b d (同向且正可 性质6 如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.
注：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不 等式同向. a b 0, c d 0,
证明：
1.若a b, 则ac bc .
2 2
例题选讲 题型一、利用不等式的性质判断命题真假 例1.判断题:
×
× n n 3.若a b, 则a b (n N , n 2) ×
1 1 5.若a b, 则 a b 1 1 6.若a b 0, 则 a b
烟台一中
邵江云
现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系．如两点之间线 段最短，三角形两边之和大于第三边，等 等．
A A
B
B
C
实际生活中:
长短
轻重
一.用不等式表示不等关系 请看下面现实生活的例子: 1.右图是限速40 km/h的路标， 指示司机在前方路段行驶时， 应使汽车的速度v不超过40 km/h，
比较 x y 1与2 x y 1的大小
2 2
研探新知： 思考：等式有一些基本性质,如“等式两边加（减 ）同一个数（或 式子），结果仍相等”。不等式 是否也有类似的性质呢？ 三.不等式的基本性质： 性质1 性质2 如果a>b,那么b<a;如果a<b,那么b>a.即
abba
(对称性)
如果a>b,那么a+c>b+c. 如果a>b,c>0,那么ac>bc. 如果a>b,c<0,那么ac<bc. 如果a>b,c=0,那么ac=bc. 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd. n n 如果a>b>0,那么 a b (n∈N,n≥2) 如果a>b>0,那么 n a n b, (n∈N,n≥2)
40
v≤40 写成不等式就是：___________.
2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪
的含量f应不少于2.5％ ，蛋白质的含量p应
不少于≥2.3%
请看下面数学中的问题: 问题1 设点A与平面α 的距离为d，B为平面 α 上的任意一点，则d ≤ |AB|
≥ ≤
≥ ≤
小于等于
2. 当问题中同时满足几个不等关系时， 应当用不等式组来表示它们之间的关系。 3. 当问题中涉及两个变量时，则选用 两个未知数x,y来表示对应的变量，并抽象 概括出二元不等式（组）。
4. 实际应用中注意所设未知数本身的 实际意义
关于实数a,b大小的比较，有以下的事实：
a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b
a - b < 0 <=> a < b
比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b 的符号
二. 比较两实数大小的方法
—作差比较法： a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
这是我们研究不 等关系的出发点
a - b < 0 <=> a < b
比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b的符号 比较两个代数式的大小，实际上也是比较它们的值的 大小，而这也归结为判断它们的差的符号．
（填“≤”，“≥”） A
d
B Ｏ B
B
. 2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售 问题 ，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每 提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等 式表示销售的总收入仍不低于20万元？
分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为： x 2.5 0.2 x 万元. 8 0.1 那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可 以表示为不等式：
ac bc 0, bc bd 0, ac bd 由两个可推广到多个
性质7 如果a>b>0,那么 a n bn (n∈N,n≥１) (乘方法则)
注意:当不等式两边都是正数时，不等式两边同时乘 方所得的不等式和原不等式同向.
性质8 如果a>b>0,那么
n
a n b (n∈N,n≥2)
