不等关系与不等式》教学设计

《不等关系与不等式》教案【教学目标】1．掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法，理解不等关系的传递性，能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小2．通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力3．通过问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动。

通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。

通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度【重点难点】重点：比较实数大小的方法．难点：1.比较实数大小方法中的代数变形；2.比较实数大小方法的实际应用【教学方法】体验法、合作讨论法【教学过程】(一)创设情境泰山旺季门票原价为180元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案)优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠；优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元.为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？教师：5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。

合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸）（学生思考演算并请学生回答结果）由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题，这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题）继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？若设人数为n ，记采用方案A 的费用为)(n f ，采用方案B 的费用为)(n g ，则36144)(+=n n f ，n n g 150)(=接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考）对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系： 60)()()()(<⇒>-⇔>n n g n f n g n f 60)()()()(=⇒=-⇔=n n g n f n g n f 60)()()()(>⇒<-⇔<n n g n f n g n f 所以 当62<<n 时，选择方案B;当 6=n 时，选择两种方案都一样； 当 6>n 时，选择方案A. 这样我们的问题就解决了。

不等关系与不等式教学设计与教学反思不等关系与不等式教学设计与教学反思一、教学目标1、通过具体情境，感受在现实世界与日常生活中存在着大量的数量关系；了解不等式（组）的实际背景，了解不等式的一些基本性质。

2、从具体事例出发，通过列不等式，训练学生的分析判断和逻辑推理能力，给出不等式的性质，并对一些性质给予证明。

3、通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切关系以及对人类历史发展的作用，激发学生学习数学的兴趣与信心。

二、教学方法从一些具体事例出发，通过列不等式引入不等关系，进而给出不等式的性质及其应用。

三、教学重难点重点：不等式的性质难点：不等式性质的应用四、课时安排1课时五、教学过程1、导入新课现实世界和日常生活中既有相等关系又有大量的不等关系。

我们知道的两点之间线段最短，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等。

人们还经常用长与短、大与小、轻与重等描述某种客观事物在数量或质量上存在的不等关系。

2、讲授新课问题1：某天的天气预报报道，最高气温15℃，最低气温7℃。

问题2：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是40v。

问题3：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5℅，蛋白质的含量p应不少于2.3℅，写成不等式组就是2.5%2.3%fp问题4：如图，用两根长度均为l的绳子，分别围成一个正方形和圆。

在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为：2()4l。

所围成的圆的面积可以表示为：2()2l。

(1)如果要使正方形的面积不小于225cm，那么绳长l应满足怎样的条件？2()254l(2)如果要使圆面积不小于2100cm，则绳长l应满足怎样的条件？2()1002l【设计意图：由生活中的不等关系到数学中的不等关系，然后抽象出不等式概念，便于学生理解】不等式的概念根据等式的一些基本性质可以研究等式，那我们要根据不等式研究不等关系，就需要对不等式的性质有必要的了解。

2.1第1课时不等关系与不等式1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的大小比较3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．初试身手1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T 不超过40吨，用不等式表示为()A．T<40B．T>40C．T≤40 D．T≥40【答案】C【解析】限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为()A．v≤120 km/h且d≥10 mB．v≤120 km/h或d≥10 mC．v≤120 km/hD．d≥10 m【答案】A【解析】v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．【答案】4.5t <28 000【解析】由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000.4．设M ＝a 2，N ＝－a －1，则M ，N 的大小关系为________．【答案】M ＞N【解析】M －N ＝a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34＞0，∴M ＞N .【例1】 ，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．[解] 设复兴号列车速度为v 1，民航飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.v 1，v 2的关系：2v 1＋100≤v 2，v 1，v 3的关系：v 1＞3v 3.规律方法在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示.另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一.跟踪训练1．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式(组)表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎫15－x 2(m)． 因此菜园面积S ＝x ·⎝⎛⎭⎫15－x 2， 依题意有S ≥216，即x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216.【例2】 [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)．∵x ≤1，∴x －1≤0，而3x 2＋1＞0，∴(3x 2＋1)(x －1)≤0，∴3x 3≤3x 2－x ＋1.规律方法作差法比较两个实数大小的基本步骤跟踪训练2．比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小．[解] (2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34. ∵⎝⎛⎭⎫x ＋122≥0，∴⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34＞0. ∴(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＞0，∴2x 2＋5x ＋3＞x 2＋4x ＋2. 类型3 不等关系的实际应用【例3】 其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．规律方法解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．跟踪训练3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？[解]设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a＝0.2a(1.25－x)，当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙．因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．课堂小结1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.当堂检测1．思考辨析(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()(3)若a>b，则ac>bc一定成立．()[提示](1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与c的符号有关．【答案】(1)√(2)√(3)×2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是()A．a－b＞0B．a－b＜0C．a－b≥0 D．a－b≤0【答案】C3．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．【答案】>【解析】因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．[解]由题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.。

初中不等关系的简写教案教学目标：1. 让学生了解不等关系的概念和特点。

2. 培养学生解决实际问题的能力，感受数学与生活的联系。

3. 引导学生掌握不等式的基本性质和解决方法。

教学重点：1. 理解不等关系的概念。

2. 掌握不等式的基本性质。

教学难点：1. 不等式的解法。

教学准备：1. 教科书。

2. 课件或黑板。

3. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入不等关系的概念，通过举例说明生活中存在的不等关系，如身高、体重、温度等。

2. 引导学生认识到不等关系是现实生活中的普遍现象，数学可以用来描述和解决这些问题。

二、探究不等关系（15分钟）1. 让学生通过小组合作，探讨不等关系的特点和表达方式。

2. 引导学生发现不等关系可以用不等号（如>、<、≥、≤）来表示。

3. 举例讲解不等式的基本性质，如交换不等号两侧的数的位置，不等号的方向不变。

三、解决实际问题（15分钟）1. 让学生运用不等关系解决实际问题，如判断身高、体重是否符合要求。

2. 引导学生运用不等式表示实际问题中的不等关系，并求解不等式的解集。

四、不等式的解法（15分钟）1. 讲解不等式的解法，如加减法、乘除法、倒数法等。

2. 让学生通过练习题，巩固不等式的解法。

五、总结与评价（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结不等关系的概念和特点。

2. 评价学生在解决问题和解决不等式方面的表现。

教学反思：本节课通过引入实际生活中的不等关系，让学生感受数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣。

在探究不等关系的过程中，学生通过小组合作，主动发现和总结不等关系的特点和表达方式，培养了学生的抽象思维能力。

在解决实际问题和不等式的解法环节，学生通过练习题，巩固了所学知识，提高了解决问题的能力。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。

不等式适用年级七年级所需时间（说明：课内共用2课时，课外用1课时）主题单元学习概述本主题单元中首先以实际问题为例，结合问题中的不等关系，引出不等式及其解集的概念，然后类比等式性质，通过观察、对比、归纳得出不等式的三个性质，并运用它们解简单的不等式。

不等式的性质是解不等式的重要依据，因此本单元的重点是不等式的性质。

解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制，有了这样明确的目标，再加上对于不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然的产生，教学中可以类比方程、等式的性质等来讨论不等式、不等式的性质等。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1．了解不等式的意义，理解什么是不等式，能依题意准确迅速地列学习活动设计活动1问题1：你能猜想下列不等式的解集吗？x+3＞6 2x＜4 2x+3＞7问题2：你还记得等式有哪些性质吗？活动2教师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题：1、天平被调整到什么状态？2、给不平衡的天平两边同时加人相同质量的砝码，天平会有什么变化？3、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？4、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？（通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。

）活动31、用“＞”或“＜”填空．（1）－1 < 3 －1＋2 3＋2 －1－3 3－3(2) 5 >3 5＋a 3+a 5－a 3－a(3) 6 > 2 6×5 2×5 6×（－5）2×（－5）(4) －2 < 3（－2）×6 3×6 （－2）×（－6）3×（一6）（5）－4 ＞－6 （－4）÷2（－6）÷2 （－4）十（－2）（－6）十（－2）2、从以上练习中，你发现了什么？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流．3、让学生充分发表“发现”，师生共同归纳。

人教版新课标普通高中◎数学⑤必修第三章不等式概述不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容.建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.根据课程标准，在本章中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的内在联系.1．内容与课程学习目标本章主要学习描述不等关系的数学方法，一元二次不等式的解法及其应用，线性规划问题，基本不等式及其应用等，通过学习，要使学生达到以下目标：（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（3）从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单最大（小）值问题.2．教学要求（1）基本要求①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值；会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研究含有不等关系的实际问题.②理解并掌握不等式的基本性质；了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.③理解一元二次不等式的概念；通过图象，理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系.④理解并掌握解一元二次不等式的过程；会求一元二次不等式解集；掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想，会设计求解的过程.⑤了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程；理解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的解集的概念；了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的概念及实线、虚线边界的含义；会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定的不等式（组）表示的平面区域.1教师备课系统──多媒体教案2 ⑥了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念；掌握简单的二元线性规划问题的解法.⑦了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算术平均数，几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值.（2）发展要求①体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用.②会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决.（3）说明①不等式的有关内容将在选修4-5中作进一步讨论.②淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用.③突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形.3. 教学内容及课时安排建议3.1不等式与不等关系（约2课时）3.2一元二次不等式及其解法（约2课时）3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（约2课时）3.3.2简单的线性规划问题（约2课时）3.4基本不等式：2ba ab +≤（约2课时）人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修33.1 不等关系与不等式教案 A第1课时教学目标一、知识与技能通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质.二、过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.三、情感、态度与价值观通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯. 教学重点和难点教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系；并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系.教学关键：将实际问题的不等关系转化为数学中不等式问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法.教法与学法导航教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法.学习方法：从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材.学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境，导入新课在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边，等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中，我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、主题探究，合作交流1. 用不等式表示不等关系引例1：限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是40v .教师备课系统──多媒体教案4引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示.3.2,5.20000≥≥p f问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤. 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥. 问题3：某钢铁厂要把长度为4 000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍. 怎样写出满足所有上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4 000mm ；（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5006004000300.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，， 三、拓展创新，应用提高1. 试举几个现实生活中与不等式有关的例子.2. 教材第74页的练习 第1、2题.四、小结用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.五、课堂作业教材第75页习题 3.1A 组 第4、5题.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修5第2课时教学目标一、知识与技能掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式.二、过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.三、情感、态度与价值观通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.教学重点和难点教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式.教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式.教学关键：学生会用不等式的性质证明简单的不等式和比较两个数的大小.教学突破方法：通过问题解决情景的设置、投影错例展示的方式，解决学生对不等式的理解.教法与学法导航教学方法：采用探究法，遵循从具体到抽象的原则.学习方法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的基本性质，设计较典型的问题，总结解题的规律.教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材.学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境，导入新课关于不等式的几个基本事实0;0;0.a b a b a b a b a b a b >⇔->⎧⎪=⇔-=⎨<⇔-<⎪⎩在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质，请同学们回忆初中不等式的的基本性质.1. 不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变，即若a b a c b c >⇒±>±；2. 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，即若,0a b c ac bc >>⇒>；3. 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即若,0a b c ac bc ><⇒<.二、主题探究，合作交流1. 不等式的基本性质教师备课系统──多媒体教案6 师：同学们能证明以上不等式的基本性质吗？证明：（1）()()0a cbc a b+-+=->，∴a c b c+>+；（2）()()0>-=---bacbca，∴cbca->-．实际上，我们还有,a b b c a c>>⇒>.（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．）根据两个正数的和仍是正数，得（a－b）＋（b－c）＞0，即a－c＞0，∴a＞c．于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）abba<⇔>；（2）,a b b c a c>>⇒>；（3）a b a c b c>⇒+>+；（4）,0a b c ac bc>>⇒>；,0a b c ac bc><⇒<.例1已知0,0,a b c>><求证c ca b>.证明：因为0a b>>，所以ab>0,1ab>.于是11a bab ab⨯>⨯，即11b a>.由c<0 ，得c ca b>.例2比较（a＋3）（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）.根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）2. 探索研究思考：利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（5）dbcadcba+>+⇒>>,；（6）bdacdcba>⇒>>>>0,0；人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修7（7）)2,(0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n ；（8）)2,(0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n .证明：（5）∵ a ＞b ， ∴ a ＋c ＞b +c ． ①∵ c ＞d ， ∴ b ＋c ＞b ＋d ． ②由①②得 a ＋c ＞b ＋d ．（6）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,.（7）同学们自己证明.（8）反证法）假设n n b a ≤，则：a b a b <⇒<=⇒=这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．三、知识巩固，练习提高例3 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小.解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=.∵0≠x ， ∴02>x . 从而22)1(+x >124++x x .例4 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则ba －c 与ab －d 的大小关系为________．解析：b a －c －ab －d ＝b 2－bd －a 2＋ac (a －c )(b －d )＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac)(a －c )(b －d ).因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以a －c ＞0，b －d ＞0，b －a ＜0，又－c ＞－d ＞0，则有－ac ＞－bd ，即ac ＜bd ，则bd －ac ＞0，所以（b ＋a ）（b －a ）－（bd －ac ）＜0，所以b a －c －a b －d ＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac )(a －c )(b －d )＜0，即b a －c ＜ab －d ..教师备课系统──多媒体教案8 答案：ba－c＜ab－d.课堂练习：教材第74页的练习第3题.四、小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论.五、课堂作业教材第75页习题3.1 A组第2、3题；B组第1题.教案 B第1课时教学目标1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣.教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质.教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小.教学过程一、导入新课章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.二、提出问题1.回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与不等式的异同，怎样利用人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 9不等式研究及表示不等关系？2. 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，你能举出一些实际例子吗？三、应用示例例1 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则40901000,5,6,N ,x y x y x y *+≤⎧⎪≥⎨≥⎪∈⎩，，即. 49100,5,6,N .x y x y x y *+≤⎧⎪≥⎨≥⎪∈⎩， 例2．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．四、小结上面的例子表明，我们可以用不等式（组）来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用（<>≤≥≠、、、、）表示不等关系. 老师进一步画龙点睛，指出不等式是研究不等关系的重要数学工具．五、练习教材第74页 练习第 1、2题．六、提出新问题怎样比较两个实数的大小？七、作业教材第75页习题3.1 A 组第4、5题； B 组第1、2题．第2课时教学目标1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，教师备课系统──多媒体教案10及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣. 教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质. 教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小. 教学过程一、提出问题不等式是研究不等关系的重要数学工具，我们都了解哪些不等式的性质呢？1.请学生回答等式有哪些性质？2.不等式有哪些基本性质？这些性质都有何作用？二、探究不等式的性质性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）.证：∵b a >，∴0>-b a ，由正数的相反数是负数.0)(<--b a ，0<-a b ，a b <.性质2：如果b a >，c b >，那么c a >（传递性）.证：∵b a >，c b >，∴0>-b a ，0>-c b .∵两个正数的和仍是正数，∴+-)(b a 0)(>-c b .∵0>-c a ，∴c a >.由对称性，性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <.性质3：如果b a >，那么c b c a +>+（加法单调性）反之亦然.证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ，∴c b c a +>+.从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(.性质4：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+（相加法则）.证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>. 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->-（相减法则）.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 11证：∵d c < ∴d c ->-；d b c a d c ba ->-⇒⎩⎨⎧->->.或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---.d c ba <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0.性质5：如果b a >且0>c ，那么bc ac >.如果b a >且0<c ，那么bc ac <（乘法单调性）.证：c b a bc ac )(-=-.∵b a >，∴0>-b a .根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a ，即：bc ac >；0<c 时0)(<-c b a ，即：bc ac <.性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）.证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,.推论：如果0>>b a 且d c <<0，那么d bc a>（相除法则）.证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a dcd bc a >.性质7：如果0>>b a , 那么n n b a > (N 1)n n ∈>且.性质8：如果0>>b a ，那么n n b a > (N 1)n n ∈>且.证：（反证法）假设n n b a ≤，则：a b a b <=这都与b a >矛盾， ∴nn b a >.三、应用实例例1 比较大小教师备课系统──多媒体教案12 ①已知0>>ba，0<c求证：bcac>；解：∵0a b>>，∴ab>0,1ab>.∴11a bab ab⨯>⨯，即11b a>.∵c<0 ，∴c ca b>.②231-和10.解：∵23231+=-，∵02524562)10()23(22<-=-=-+.∴231-<10.例2 比较)5)(3(-+aa与)4)(2(-+aa的大小.解：（取差）)5)(3(-+aa-)4)(2(-+aa7)82()152(22<-=-----=aaaa.∴)5)(3(-+aa<)4)(2(-+aa.例3 已知x≠0, 比较22)1(+x与124++xx的大小.解：（取差）22)1(+x-)1(24++xx22424112xxxxx=---++=.∵0≠x，∴02>x.从而22)1(+x>124++xx.小结：比较大小的步骤：“作差－变形－定号－结论”.例4 已知2,x>比较311x x+与266x+的大小．人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 13解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+- 2(3)(32)(3)x x x x =-+-+-=(3)(2)(1)x x x --------------------（*）（1）当3x >时，（*）式0>，所以 311x x +>266x +；（2）当3x =时，（*）式0=，所以 311x x +=266x +；（3）当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<266x +. 说明：实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．四、课堂练习1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->-. 证明：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->-. 2．||||,0b a ab >>， 比较a 1与b 1的大小. 解：a 1-b 1aba b -=， 当0,0>>b a 时，∵||||b a >即b a >，0<-a b ，0>ab ， ∴0<-ab a b ，∴a 1<b1. 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <，0>-a b ，0>ab ， ∴0>-ab a b ，∴a 1>b1. 3．若0,>b a ， 求证：a b ab >⇔>1. 解：01>-=-aa b a b . ∵0>a ， ∴0>-a b ，∴b a <.0>-⇒>a b a b .∵0>a ，∴01>-=-a b a a b ， ∴1>a b .教师备课系统──多媒体教案14 五、课堂小结1.不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式;2.如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法.六、布置作业教材第75页习题3.1 A组第2、3题；B组第2、3题.。

《不等式与不等关系》第1课时教学设计授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。

【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：40v ≤引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。