考研数学一模拟题(二)
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要
求,把所选项前的字母填在题后的括号中。 (1)()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数,对任何0b a >>,记()b
a
M xf x dx =
?
,
01[()()]2b
a N
b f x dx a f x dx =+??,则必有( )
(A )M N ≥;(B )M N ≤;(C )M N =;(D )2M N =;
(2)设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,在(,0)(0,)-∞+∞内可导,函数()y y x =的图像为
则其导数的图像为( )
(A) (B)
(C) (D)
(3)设有下列命题: ①若
21
21
()n n n u
u ∞
-=+∑收敛,则1
n n u ∞=∑收敛; ②若1
n n u ∞=∑收敛,则10001
n n u ∞
+=∑收敛;
③若1
lim
1n n n
u u +→∞>,则1n n u ∞=∑发散; ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛,则1n n u ∞=∑,1n n v ∞
=∑收敛 正确的是( )
(A )①②(B )②③(C )③④(D )①④
(4)设220ln(1)()
lim 2x x ax bx x
→+-+=,则( ) (A )51,2a b ==-
;(B )0,2a b ==-;(C )5
0,2
a b ==-;(D )1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵,齐次线性方程组(I )0Ax =有非零解,则非齐次线性方程组(II )T
A x b =,对任何12(,,
)T n b b b b =
(A )不可能有唯一解; (B )必有无穷多解;
(C )无解; (D )可能有唯一解,也可能有无穷多解
(6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵,则行列式1020
T
A B -??
-?
???
的值为 (A )1
(2)n
A B
--; (B )2T
A
B -; (
C )12A B --; (
D )1
2(2)n A B --
(7)总体~(2,4)X N ,12,,,n X X X 为来自X 的样本,X 为样本均值,则( )
(A )22
11()~(1)1n i i X X n n χ=---∑; (B )221
1(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑; (C )22
12()~()2n
i i X n χ=-∑; (D )221
()~()2n i i X X n χ=-∑; (8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2
(,)N μσ,若概率1
()2
P aX bY μ-<=
则( ) (A )11,22a b ==;(B )11,22a b ==-;(C )11,22a b =-=;(D )11
,22
a b =-=-;
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。把答案填在题中的横线上。 (9)
函数ln(u x =+
在点(1,0,1)P 处沿曲面222231x y z ++=在点(0,1,0)处且平面的法矢
量方向(指向y 轴正向)的方向导数为 。 (10) 方程
3
01()()3
x
x f x t dt x f t dt -=+?
?满足(0)0f =的特解为 。
(11) 222223()x y z dv a b c Ω
++=??? 。其中Ω为222
1x y z ++≤。
(12)246
1
0(1)1!2!3!
x x x x dx -
+-+=? 。
(13)设A 是三阶矩阵,已知0,20,30A E A E A E +=+=+=,B 与A 相似,则B 的相似对角形为 。
(14) 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取的两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为 。
三、解答题15~23小题,共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15) (本题满分10分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式
22222430u u u x x y y ???++=????。确定,a b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20u
ξη
?=??。 (16) (本题满分10分)(I )求幂级数
1
(1)
n
n n x ∞
=-∑的收敛域及其在收敛域内的和函数;
(II )将所求得的和函数展开成(1)x +的幂级数。
(17) (本题满分10分)设()f x 在[0,)+∞连续,且
1
1()2f x dx <-?
,()
lim 0x f x x
→+∞=。证明:至少
0,ξ?∈(+∞),使得()f ξξ+=0。
(18) (本题满分10分)设点(,,)M ξηζ事椭圆面222
2221,(0,0,0)x y z a b c a b c
++=>>>在第一卦限
上的点。
(I )求曲面在该点处的切平面方程;
(II )设∑是切平面被三坐标平面夹在第一卦限的部分,问,,ξηζ取何值时,曲面面积
(cos cos cos )x y z dS αβγ∑
++??最小。其中cos ,cos ,cos αβγ是切平面的方向余弦(0)2π
γ<<。 (19) (本题满分10分)设()0()0
x f x e x x g x x
ax b x ?--
=??+≥?
,其中()f x 在0x =处二阶可导,且
(0)(0)1f f '==。
(I )a 、b 为何值时()g x 在0x =处连续? (II )a 、b 为何值时()g x 在0x =处可导?
(20) (本题满分11分)设A 是实矩阵。证明:(I )0T
A Ax =与0Ax =是同解方程组;(II )秩()T
A A =
秩()A
(21)(本题满分11分)设A 为三阶方阵,123,,ααα为三维线性无关列向量组,且有123A ααα=+,
213A ααα=+,312A ααα=+。求
(I )求A 的全部特征值。 (II )A 是否可以对角化?
(22)(本题满分11分)设两随机变量(,)X Y 在区域D 上均匀分布,其中{(,):1}D x y x y =+≤,又设U X Y =+,V X Y =-,试求: (I )U 与V 的概率密度()U f u 与()V f v ;
(II )U 与V 的协方差cov(,)U V 和相关系数UV ρ
(23)(本题满分11分)设总体X 的概率密度函数为/1(,),()2x f x e x λ
λλ
-=
-∞<<+∞,
其中λ>0。12,,,n X X X 是总体X 的一个容量为n 的样本。
(I )求参数λ的矩估计量;
(II )求参数λ的最大似然估计量;
(III )说明由最大似然估计法所得λ的估计量是否为无偏估计量。
考研数学一模拟题(二)参考答案
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。 (1) A 解:设0
()(),0x
F x x
f t dt x =>?
,则
()()()()()b
a
b a
b f x dx a f x dx F b F a F x dx '+=-=???
[()()][()()()]b x b x
a
a
f t dt xf x dx xf x tf t dt xf x dx '=+=-+????
[()()]2()b b
a
a
xf x xf x dx xf x dx ≤-=??
所以,0
01()[()()]2b
b
a a
M xf x dx b f x dx a f x dx N =≥+=?
??
(2)B
解:由于函数可导(除0x =)且取得两个极值,故函数有两个驻点,即导函数图像与x 轴有且仅有
两个交点,故A ,C 不正确。又由函数图像,极大值应小于极小值点,故D 不正确。 (3)B 解:因级数
1000
1
n n u
∞
+=∑是
1
n
n u
∞
=∑删除前1000项而得,故当
1
n
n u
∞
=∑收敛时,去掉有限项依然收敛,因此
1000
1
n n u
∞
+=∑收敛,
若1
lim
1n n n
u u +→∞>,则存在正整数N ,使得n N ≥是,n u 不变号。若0n u >,有正项级数的比值判别法
知
n
n N
u
∞
=∑发散。同理可知,如果0n u <,则正项级数
()n
n N
u ∞=-∑发散,因此n
n N
u
∞
=∑发散。故②③正确,
选B (4)A
解:2200ln(1)()1/(1)(2)
lim lim 22x x x ax bx x a bx x x
→→+-++-+==,因0lim 0x x →=,则 0
lim1/(1)(2)0x x a bx →+-+=,故1a =。而
22200ln(1)()ln(1)lim lim 2x x x x bx x x b x x →→+-++-=+=,故122
b +=-,所以52b =- 【也可以用泰勒公式计算】 (5)A
解:0Ax =有非零解,充要条件是()r A n <,由此即可找到答案。 (6)D
解:1020
T
A B -??-?
???=11
20
2202T
T A A B B --??-=--??-??=12(2)n
A B -- (7)C
解:由于2
~(2,2)i X N ,所以
2
~(0,1)2
i X N - 故2
22~(1)2i X χ-?? ???,2
212~()2n
i i X n χ=-?? ??
?∑
(8)B
因为aX bY -服从正态分布,股根据题设1
()2
P aX bY μ-<=
知, ()()()()E aX bY aE X bE Y a b μμ-=-=-=,从而有1a b -=,显然只有(B )满足要求。
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。把答案填在题中的横线上。 (9)应填0。
解:切平面在点(0,1,0)处指向y 轴正向的法向量为{0,2,0}n =,其方向余弦为
0{cos ,cos cos }{0,1,0}n
n a n
βγ=,=
=,于是 (1,0,1)(1,0,1)(1,0,1)
(1,0,1)cos cos cos u u u u
n x y z αβγ????=++=0????
(10)应填()2(1)2x
f x x e =+- 解:令x t u -=,原方程变为3
001()()()3
x
x
x x
f u du uf u du x f t dt -=+?
??
方程两边对x 求导得2
()()x
f u du x f x =+?
再两边对x 求导得()2()f x x f x '=+,即
2dy
y x dx
-=- [(2)]2(1)dx dx
y e x e dx C x C -??=-+=++?
由(0)0y =得2C =-,故()2(1)2x
y f x x e ==+- (11)应填
222
4111()15a b c π++ 2222222222222232231()()3x y z x y z x y z x y z dv dv a b c a b c Ω
Ω++++++++=++=?????? 2222231111
()()3x y z dv a b c Ω
=++++??? 2142220
001111()sin 3d d r dr a b c π
πθ??=++???
2224111()15a b c
π=++ (12)应填1
1(1)2
e --
解:因2
246
22223
()()(1)[1]1!2!3!
1!2!3!
x x x x x x x x x xe -----
+-+=++++
=
故 原式2
221
1
1210
00
111
(1)222x x x xe
dx e dx e e ----=
==-=-?
?
(13)应填123-??
?
- ? ?-??
【形式不唯一,只要是对角线上为-1,-2,-3就对】 解:由0,20,30A E A E A E +=+=+=,知A 的特征值为11231,2,3λλλ=-=-=-,相似矩阵具有相同的特征值,所以B 的特征值也为11231,2,3λλλ=-=-=-,故B 相似的标准形为
123-??
?
- ? ?-??
(14)应填0.2
解:设A :“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”,B :“所取的两件都是不合格品” 因为2
2
6102()1()1(/)3P A P A C C =-=-=,22
4102()/)15
P B C C == 所以()()1
()()()5
P AB P B P B A P A P A =
==
三、解答题15~23小题,共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15) (本题满分10分)解:2222222
,2u u u u u u u
x x ξηξξηη???????=+=++????????, 2222
22222,2u u u u u u u a b a ab b y y ξηξξηη
???????=+=++????????, 222222()u u u u
a a
b b x y ξξηη
????=+++?????? 将以上各式代入原等式,得
2222
222(341)[64()2](341)0u u u a a ab a b b b ξξηη
???+++++++++=????,
由题意,令
2
2
3410,
3410,
a a
b b ?++=??++=??且64()20ab a b +++≠ 故1,1,31,1,
3a a b b =-??=-????
=-??=-??或 (16) (本题满分10分)解:(I )由于lim
11
n n
n →∞
=+,所以11x -<,即02x <<, 当0x =和2x =时幂级数变为
1(1)
n
n n ∞
=-∑及1
n n ∞
=∑,均发散,故原级数的收敛域为(0,2)
设111
1
()(1)
(1)(1)(1)()n
n n n s x n x x n x x s x ∞
∞
-===
-=--=-∑∑
则
11
1
11
()(1)1(1)2x
n n x x s x dx x x x
∞
=--=-=
=---∑?
,
所以12
11()2(2)x s x x x '
-??== ?--??,则21()(2)x s x x -=- (II )211111(2)23(1)31(1)/3x x x x '''?
?????===
? ? ?---+-+??????
111111()(1)333
n n n n n x n x ∞∞-+=='+??==+ ???∑∑ 所以11
1111()(1)(1)[(1)2](1)33n n n n n n n n s x x x x x ∞
∞
--++===-+=+-+∑∑
1
1111(1)2(1)33
n n n n n n n n x x ∞
∞-++===+-+∑∑
(17) (本题满分10分)证明:作函数()()F x f x x =+,有
1
11
1
()[()]()02
F x dx f x x dx f x dx =+=+
??。 所以由积分中值定理,存在[0,1]a ∈, 使
1
()(10)()0,F x dx F a =-
即()0F a <。
又()()
lim
lim 11x x F x f x x x →+∞→+∞=+=,所以,由极限的保号性,存在b a >,
使()0F b b
>,即()0F b >。
因此,由介值定理,至少存在一个,(0,)a b ξ∈()?+∞,使()0F ξ=,即()f ξξ+=0。
(18) (本题满分10分)解:(I )设222
222(,,)1x y z F x y z a b c
=++-
则222
222,,x y z
x y z
F F F a b c '''=
==, 所以,曲面在点(,,)M ξηζ处的切平面方程为
2
2
2
()()()0x y z a
b
c
ξ
η
ζ
ξηζ-+-+-=,即2
2
2
1x y z
a b c ξηζ++=。
(II )设Ω为切平面与三坐标平面所围立体,123,,,∑∑∑∑为其外表面,1:0x ∑=的后侧,2:0y ∑=的左侧,3:0z ∑=的下侧,则
123222(cos cos cos )()
32x y z dS
xdydz ydzdx zdxdy
xdydz ydzdx zdxdy a b c dv αβγξηζ∑
∑
∑+∑+∑+∑
Ω
++=++∑=
++-==
??????
???为切平面的上侧
显然ξηζ最大时,此积分值最小。 设2
2
2
(,,)1x y z
G a
b
c
ξηζξηζξηζλ=+(
+
+
-)
则22
22222020
20
1
G a G b G c x y z
a
b c ξξξλξηζληξζλζξηξηζ?'
=+=???'=+=???'=+=???++=?
解得:33a c ξηζ?=????=???=??? 因为问题本身有最大值,且函数只有一个驻点,故驻点处的函数值即为它的最大值,因
此
,,ξηζ=
==时,曲面积分值最小 (19) (本题满分10分)解:(I )000()()1
lim ()lim lim 11
x x x x x f x e x f x e g x x ---
→→→'----===- 00
lim ()lim()x x g x ax b b +
+
→→=+= 若要()g x 在0x =处连续,必须0
lim ()lim ()(0)x x g x g x g -+
→→==,即1b b =-=
故1b =-,a 为任意实数时,()g x 在0x =处连续。
(II )若要()g x 在0x =处可导,则必须()g x 在0x =处连续(1b =-),且(0)(0)g g -
+''= 所以200()(0)()(1)(0)lim lim x x x g x g f x e x x
g x x
--
-→→-----'== 200000()()1()(0)1lim lim lim 221()(0)11lim lim [(0)1]22
x x x x x x x
x x f x e f x e f x f e x x x
f x f e f x x ---
--
→→→→→'''----+===''??--''=-=-???? 0
1(1)
(0)lim x ax g a x
+
+
→---'==
所以1
[(0)1]2
a f ''=-,1
b =-时,()g x 在0x =处可导
(20) (本题满分11分)证明:若0x 是0Ax =的解,显然0x 是0T
A Ax =的解;反之,设0x 是0
T
A Ax =的解,则000T T x A Ax =。即00()0T
Ax Ax =,从而
2
00000(,)()0T Ax Ax Ax Ax Ax ===,于是00Ax =,即0x 是0Ax =的解。0T A Ax =与0Ax =是
同解方程组
(II )既然0T
A Ax =与0Ax =是同解方程组,两者的解空间维数相同,从而推知秩()T
A A =秩()A
(21) (本题满分11分)
解:(I )由已知得,123123()2()A αααααα++=++,2121()()A αααα-=--,
3131()()A αααα-=--,
又因为123,,ααα线性无关,所以1230ααα++≠,210αα-≠,310αα-≠ 所以1-,2是A 的特征值,123ααα++,21αα-,31αα-是相对应的特征向量。
又由123,,ααα线性无关,得123ααα++,21αα-,31αα-也线性无关,所以1-是矩阵A 的二重特征值,即A 得全部特征值为1-,2
(II )由123,,ααα线性无关,可以证明123ααα++,21αα-,31αα-也线性无关,即A 有三个线性无关的特征向量,所以,矩阵A 可相似对角化。 (22)(本题满分11分)
解:区域D 实际是以(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)--为顶点的正方形区域,D 的面积为2,(,)X Y 的联合
概率密度为1
(,)(,)2
x y D f x y ?∈?
=???其他
;有了(,)f x y 就可以求概率密度()U f u 与()V f v ,特别可利用
(,)f x y 的对称性。
(I )U X Y =+,(){}{}(,)U x y u
F u P U u P X Y u f x y dxdy +≤=≤=+≤=??
当1u <-时,()0U F u =; 当11u -≤≤时,11
()22U x y u
u F u dxdy +≤+==??; 当1u >时,()1U F u =。
1
11()()2
U U u f u F u ?-≤≤?
'==???其他
,~[1,1]U U -。
U X Y =-,(){}{}(,)V x y v
F v P V v P X Y v f x y dxdy -≤=≤=-≤=
??
当1v <-时,()0V F v =; 当11v -≤≤时,11
()22V x y v
v F v dxdy -≤+==??; 当1v >时,()1V F v =。
1
11()()2
V V v f v F v ?-≤≤?
'==???其他
,~[1,1]V U -。
(II )cov(,)()()()U V E UV E U E V =-。显然()()0E U E V ==。
2222()(()())()()()0E UV E X Y X Y E X Y E X E Y =+-=-=-=
所以cov(,)0,0UV U V ρ===
(23)(本题满分11分) 解:(I )11()02x
E X x e dx λμλ
-+∞
-∞
==
=?
; 22222011()2222x
x
E X x e dx x e dx λλμλλλ
--
+∞
+∞
-∞
====?
?
所以22211??2n i i X n μλ===∑,得2?λ=(II )1
12ln (,,,,)ln 2n
i
i n X
L X X X n λλλ
==--
∑
2
1
ln 10n
i i d L n X d λλλ
==-+=∑
,得1
1?n
i i X n λ==∑
(III )011()222x
x
E X x e dx x e dx λλ
λλλ
--+∞
+∞-∞
==
==?
?
所以11111
()()n n
i i i i E X E X n n n n λλ=====∑∑
因此1
1?n i i X n λ==∑是λ的无偏估计量
2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数三) 一、 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。 (1)()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数,对任何0b a >>,记()b a M xf x dx =?, 01 [()()]2b a N b f x dx a f x dx =+??,则必有( ) (A )M N ≥;(B )M N ≤;(C )M N =;(D )2M N =; (2)设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导,函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为( ) (A) (B)
(C) (D) (3)设有下列命题: ①若2121 ()n n n u u ∞-=+∑收敛,则1 n n u ∞=∑收敛; ②若1 n n u ∞=∑收敛,则10001 n n u ∞ +=∑收敛; ③若1 lim 1n n n u u +→∞>,则1n n u ∞=∑发散; ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛,则1n n u ∞=∑,1n n v ∞ =∑收敛 正确的是( ) (A )①②(B )②③(C )③④(D )①④ (4)设22 0ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=,则( ) (A )51,2a b ==-;(B )0,2a b ==-;(C )50,2 a b ==-;(D )1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵,齐次线性方程组(I )0Ax =有非零解,则非齐次线性方程组(II ) T A x b =,对任何12(,,)T n b b b b =L (A )不可能有唯一解; (B )必有无穷多解; (C )无解; (D )可能有唯一解,也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵,则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 (A )1 (2)n A B --; (B )2T A B -; (C )12A B --; (D )1 2(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ,12,,,n X X X L 为来自X 的样本,X 为样本均值,则( ) (A )22 11()~(1)1n i i X X n n χ=---∑; (B )221 1(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑; (C )22 12()~()2n i i X n χ=-∑; (D )221 ()~()2n i i X X n χ=-∑; (8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ,若概率1 ()2 P aX bY μ-<=则( ) (A )11,22a b ==;(B )11,22a b ==-;(C )11,22a b =-=;(D )11 ,22 a b =-=-; 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。把答案填在题中的横线上。
考研数学一、数学三模拟试题 (考试时间:180分钟) 一、选择题(每小题4分,共32分) 1. 设{},{},{}n n n a b c 均为非负数列,且lim 0,lim 0.1,lim ,n n n n n n a b c →∞ →∞ →∞ ===∞则必有 【 】 A .,1,2,.n n a b n <= B .,1,2,.n n b c n <= C. 极限lim n n n a c →∞ 不存在 D. 极限lim n n n b c →∞ 不存在 2. 设函数()f x 在 上连续,其导函数的图形如右图所示, 则()f x 有 【 】 A. 一个极小值点和两个极大值点。 B. 两个极小值点和一个极大值点。 C. 两个极小值点和两个极大值点。 D. 三个极小值点和一个极大值点。 3. 设(,)()()(),x y x y u x y x y x y t dt ??ψ+-=++-+ ? 其中?具有二阶导数,ψ具有一阶导数,则必有 【 】 A. 2 2 2 2 u u x y ??=- ??. B. 2 2 22 u u x y ??= ??. C. 2 2 2 u u x y y ??= ???. D. 2 2 2 u u x y x ??= ???. 4. 设()f x 为连续函数,1 ()(),t t y F t dy f x dx = ?? 则(2)F '= 【 】 A. 2(2).f B. (2).f C. (2).f - D. 0. 5. 设11 121321 222331 32 33,a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???2123 22231113 121331 3332 33,a a a a B a a a a a a a a +?? ?=+ ? ?+??0 10100,00 1P ?? ? = ? ?? ?1 000 10,10 1Q ?? ? = ? ?? ? 则必有【 】 A. .PQA B = B. .PAQ B = C. .APQ B = D. .QAP B = 6. 设向量组Ⅰ:12,,,r ααα 可由向量组Ⅱ:12,,,s βββ 线性表示,则 【 】 A. 当rs 时,向量组Ⅱ必线性相关. C. 当rs 时,向量组Ⅰ必线性相关. 7. 将一枚硬币独立地掷两次,事件A={第一次出现正面},B ={第二次出现正面},C ={正、反面各出 现一次},D ={正面出现两次}, 则事件 【 】 A. A,B,C 相互独立. B. B,C,D 相互独立. C. A,B,C 两两独立. D. B,C,D 两两独立. 8. 设随机变量2 1~()(1),,X t n n Y X >= 则 【 】 A. 2 ~().Y n χ B. 2 ~(1).Y n χ- C. ~(,1).Y F n D. ~(1,).Y F n 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.(数一) 20 11lim .tan x x x x →? ?-= ??? 9.(数三)幂级数21 1 (1) 2 n n n n x n ∞ +=-∑的收敛域为____________________. 10. 已知函数()y y x =由方程2 61y e xy x ++=确定,则(0)_______.y ''= 11. 微分方程20y y x ''++=的通解为 ___________________________.
考研数学二模拟题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。 (1)当0x →时,设2 arctan x α=,11(0)a x a β=(+)-≠,2 arcsin x tdt γ=? ,把三个无 穷小按阶的高低由低到高排列起来,正确的顺序是( ) (A ),,αβγ;(B ),,βγα;(C ),,βαγ;(D ),,γβα; (2)设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,在(,0) (0,)-∞+∞内可导,函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为( ) (A) (B)
(C) (D) (3)若()f x 是奇函数,()x ?是偶函数,则[()]f x ?( ) (A )必是奇函数 (B )必是偶函数 (C )是非奇非偶函数 (D )可能是奇函数也可能是偶函数 (4)设220ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=,则( ) (A )51,2a b ==- ;(B )0,2a b ==-;(C )5 0,2 a b ==-;(D )1,2a b ==- (5)下列说法中正确的是( ) (A )无界函数与无穷大的乘积必为无穷大; (B )无界函数与无穷小的乘积必为无穷小; (C )有界函数与无穷大之和必为无穷大; (D )无界函数与无界函数的乘积必无解; (6)设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶线性非齐次方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解, 123,,C C C 为任意常数,则该方程的通解是( ) (A )112333C y C y C y ++; (B )1123123()C y C y C C y +++; (C )1123123(1)C y C y C C y +---;(D )1123123(1)C y C y C C y ++--; (7)设A 是n 阶矩阵,齐次线性方程组(I )0Ax =有非零解,则非齐次线性方程组(II )T A x b =,对任何12(,, )T n b b b b = (A )不可能有唯一解; (B )必有无穷多解; (C )无解; (D )可能有唯一解,也可能有无穷多解
2018年考研数学模拟试题(数学三) 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) (1) 设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ,1)0(='y 的解,则 2 0)(lim x x x y x -→ ( ) (A )等于0. (B )等于1. (C )等于2. (D )不存在. (2)设在全平面上有0),(?x y x f ,0),(>??y y x f ,则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是( ) (A )21x x >,21y y <. (B )21x x <,21y y <. (C )21x x >,21y y >. (D )21x x <,21y y >. (3)设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数,且)()(x f x f --=,当0
考研数学三模拟题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。 (1)()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数,对任何0b a >>,记()b a M xf x dx =?, 01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+??(中间的加号改成减号),则必有( ) (A )M N ≥;(B )M N ≤;(C )M N =;(D )2M N =; (2)设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导,函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为( ) (A) (B)
(C) (D) (3)设有下列命题: ①若 21 21 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛,则1 n n u ∞=∑收敛; ②若1 n n u ∞=∑收敛,则10001 n n u ∞ +=∑收敛; ③若1 lim 1n n n u u +→∞>,则1n n u ∞=∑发散; ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛,则1n n u ∞=∑,1n n v ∞ =∑收敛 正确的是( ) (A )①②(B )②③(C )③④(D )①④ (4)设220ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=,则( ) (A )51,2a b ==- ;(B )0,2a b ==-;(C )5 0,2 a b ==-;(D )1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵,齐次线性方程组(I )0Ax =有非零解,则非齐次线性方程组(II )T A x b =, 对任何12(,,)T n b b b b =L (A )不可能有唯一解; (B )必有无穷多解; (C )无解; (D )可能有唯一解,也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵,则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 (A )1 (2)n A B --; (B )2T A B -; ( C )12A B --; ( D )1 2(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ,12,,,n X X X L 为来自X 的样本,X 为样本均值,则( )
模拟测试题(二) 考生注意:(1)本试卷共三大题,23小题,满分150分. (2)本试卷考试时间为180分钟. 一、选择题(本题共8小题,每题4分,共32分) (1) 设{}n x 是无界数列,{}n y 是无穷大量, {}n z 是无穷小量.则以下结论正确的是 ( ) . (A ) {}n n n x y z ++是无界数列; (B )1{}n n n x z y + +是无界数列; (C ) 1{}n n x z + 是无界变量; (D ) 1{ }n n n z x y ++是无穷小量. (2) 设 2 221()||2,2212 x x f x x x x x x --<-?? ?=+≤??+>?? 则()f x 在2x =±的左、右导数中 有( ) . (A ) (2);f '+=∞ (B ) (2);f '-=∞ (C ) (2);f '+-=∞ (D ) (2).f '--=∞ (3) (一) 级数11120 2 2 ;,11n n n n J d x J d x x x ∞ ∞ === = +-∑∑? ? 则( ). (A ) 1J 收敛, 2J 发散; (B ) 1J 发散, 2J 收敛 ; (C )两级数皆收敛; (D ) 两级数皆发散 . (3)(二、三)设D 是第二象限中的一个有界闭区域, 且0 1.y <<
且3 1,D I yx d σ= ?? 23 3 23,.D D I y x d I σ= = ?? ?? 则 ( ) . (A ) 123;I I I ≤≤ (B ) 213;I I I ≤≤ (C ) 312;I I I ≤≤ (D ) 321.I I I ≤≤ (4) (一) 设(0,0)1,(0,0) 2.x y f 'f '==则( ). (A ) (0,0)(,)|2;df x y dx dy =+ (B ) (,)f x y 在(0,0)点连续 ; (C )(,)f x y 在原点沿{0,1}方向导数等于1; (D )(,)f x y 在原点沿{0,-1}方向导数为 -2. (4) (二、三) 曲线2 2 11x x e y e --+= -( ). (A ) 没有渐进线 ; (B ) 仅有水平渐进线 ; (C ) 仅有铅直渐进线 ; (D ) 既有水平渐进线又有铅直渐进线 . (5)设m n ?矩阵A 的n 个列向量线性无关,则( ) . (A) ();T r n =A A (B ) ();T r n A A (D ) ().T r m >A A (6) 设123,,,αααβ均是三维向量, 则下列命题正确的是 ( ) . ①若 β 不能由123,,ααα线性表示,则123,,ααα必线性相关 ; ②若 β 不能由123,,ααα线性表示,则123,,ααα必线性无关 ; ③若123,,ααα线性相关,则 β 必可由123,,ααα线性表示 ; ④若123,,ααα线性无关,则 β 必可由123,,ααα线性表示 . (A ) ①② ; (B ) ①③ : (C )①④ ; (D )②④ .
[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷2 一、解答题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 0 设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(1/2,0). 1 试求曲线L的方程; 2 求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小. 2 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点,其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分. 3 求曲线y=f(x)的方程; 4 已知曲线y=sinx在上的弧长为l,试用l表示曲线y=f(x)的弧长s. 5 设函数y(x)具有二阶导数,且曲线l:y=y(x)与直线Y=x相切于原点.记a为曲线f在点(x,y,)处切线的倾角,若da/dx=dy/dx,求y(x)的表达式. 6 设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为 S1,区间上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒为1,求此曲线y=y(x)的方程. 7 设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)=1.对任意的 t∈[0,+∞),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体,若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式.
8 一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数 k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少小时? 9 某飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数k=6.0×106).问从着陆点算起,飞机滑行的最大距离是多少? 注:kg 表示千克,km/h表示千米/小时. 10 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度ν之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为 κ(κ>0).试建立y与ν所满足的微分方程,并求出函数关系式y=f(ν). 11 某湖泊的水量为V1,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V/6,流入湖泊内不含A的水量为V/6,流出湖泊的水量为V/3.已知1999年底湖中A的含量为5m0,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排人湖泊中含A 污水的浓度不超过m0/V.问至多需经过多少年,湖泊中污染物A的含量降至m0以内?(注:设湖水中A的浓度是均匀的.) 11 有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕,,轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内 无液体).(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分.) 12 根据t时刻液面的面积,写出t与φ(y)之间的关系式;
[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷439 一、选择题 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。 1 2 设f(x)在区间[0,1]上连续,且0≤f(x)≤1,又设则级数 ( ) (A)发散. (B)条件收敛. (C)绝对收敛. (D)敛散性与具体的f(x)有关. 3 设常数a>0,则( ) (A)当0<a<1时,f(x)的最大值是 (B)当0<a<1时,f(x)的最大值是f(0). (C)当a≥1时,f(x)的最小值是 (D)当a≥1时,f(x)的最小值是f(0).
4 设平面区域D(t)={(x,y)|0≤3g≤Y,0<t≤y≤1}, (A)4. (B)一4. (C) (D) 5 设A是4阶方阵,则下列线性方程组是同解方程组的是( ) (A)Ax=0;A2x=0. (B)A2x=0;A3x=0. (C)A3x=0;A4x=0. (D)A4x=0;A5x=0. 6 设是2阶实矩阵,则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是( ) (A)ad—bc<0. (B)b,c同号. (C)b=c. (D)b,c异号. 7 设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为λ的指数分布,则下列随机变量中服从参数为2λ的指数分布的是( )
(A)X+Y. (B)X-Y. (C)max{X,Y). (D)min{X,Y). 8 设X1,X2,…X n是来自总体X的简单随机样本,EX=μ,DX=1,下面说法中正确的是( ) (A) (B)为μ2的无偏估计. (C)由切比雪夫不等式知(ε为任意正数). (D)若μ为未知参数,则样本均值既是μ的矩估计,又是μ的最大似然估计. 二、填空题 9 设三元函数向量l的三个方向角分别为 则u在点O(0,0,0)处方向为l的方向导数 10 设常数a>0,双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)围成的平面区域记为D,则二重积分 11 微分方程ydx—xdy=x2ydy的通解为________. 12
[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷415 一、选择题 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。 1 下列无穷小中阶数最高的是( ). (A)eχ-e tanχ (B)ln(1+2t)dt (C)ln(1+χ)-sinχ (D)-1 2 下列命题正确的是( ). (A)若f(χ)在χ0处可导,则一定存在δ>0,在|χ-χ0|<δ内f(χ)可导 (B)若f(χ)在χ0处连续,则一定存在δ>0,在|χ-χ0|<δ内f(χ)连续 (C)若存在,则f(χ)在χ0处可导 (D)若f(χ)在χ0的去心邻域内可导,f(χ)在χ0处连续,且f′(χ)存在,则f(χ)在χ0处可导,且f′(χ0)f′(χ) 3 下列说法中正确的是( ). (A)若f′(χ0)<0,则f(χ)在χ0的邻域内单调减少 (B)若f(χ)在χ0取极大值,则当χ∈(χ0-δ,χ0)时,f(χ)单调增加,当χ∈(χ0,χ0+δ)时,f(χ)单调减少
(C)f(χ)在χ0取极值,则f(χ)在χ0连续 (D)f(χ)为偶函数,f〞(0)≠0,则f(χ)在χ=0处一定取到极值 4 设δ>0,f(χ)在(-δ,δ)内恒有f〞(χ)>0,且|f(χ)|≤χ2,记I-δδ=∫f(χ)dχ,则有( ). (A)I=0 (B)I>0 (C)I<0 (D)不能确定 5 设厂有一阶连续的偏导数,且f(χ+y,χ-y)=4(χ2-χy-y2),则χf′χ(χ,y)+yf′y(χ,y)为( ). (A)2χ2-8χy-2y2 (B)-2χ2+8χy-2y2 (C)2χ2-8χy+2y2 (D)-2χ2+8χy+2y2 6 设f(χ)=χ3-3χ+k只有一个零点,则k的取值范围是( ). (A)|k|<1 (B)|k|>1 (C)|k|>2 (D)k<2
全国硕士研究生入学统一考试数学( 三) 模拟试卷 一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.) (1)已知当0→x 时,1)2 31(31 2 -+x 与 1cos -x 是 ( ) (A )等价无穷小 (B )低阶 无穷小 (C )高价无穷小 (D )同阶 但非等价无穷小 (2)设()f x 满足 ()(1cos )()()sin f x x f x xf x x '''+-+=,且 (0)2f =,0)0(='f 则( ) (A )0x =是函数()f x 的极小值点 (B )0x =是函数()f x 的极大值点 (C )存在0δ >,使得曲线()y f x =在点 (0,)δ内是凹的 (D )存在0δ >,使得曲线()y f x =在点 (0,)δ内是凸的 (3)设有两个数列 {}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞ =,则正确的是 ( ) (A )当 1 n n b ∞ =∑收敛时, 1 n n n a b ∞ =∑收敛. (B )当 1 n n b ∞ =∑发散时, 1n n n a b ∞ =∑发散. (C )当 1 n n b ∞ =∑收敛时, 221 n n n a b ∞ =∑收敛. (D )当 1 n n b ∞ =∑发散时, 221 n n n a b ∞ =∑发散. (4)设22(,)xy z f x y e =-,其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数,则z z y x x y ??+=?? ( ) (A )( ) v xy f e y x '+2 2 (B) v xy u f xye f xy '+'24 (C) ( ) u xy f e y x '+2 2 (D) v xy f xye '2 (5)设四阶方阵()1234,,,,A αααα=其中 12,αα线性无关,若1232αααβ+-=, 1234ααααβ+++=, 1234232ααααβ+++=,则Ax β=的通 解为( ) (A ) 123112213111012k k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ??????? (B ) 12012123201112k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ?-??????
模拟测试题(七) 考生注意:(1)本试卷共三大题,23小题,满分150分. (2)本试卷考试时间为180分钟. 一、选择题(本题共8小题,每题4分,共32分) (1)函数sin y x x =+及其表示的曲线 ( ). (A ) 没有极值点,有无限个拐点 ; (B ) 有无限个极值点和无限个拐点 ; (C ) 有无限个极值点,没有拐点 ; (D ) 既无极值点,也无拐点 . (2) 设222 22(0(,)0,0x y x y f x y x y ?++≠?=??+=? 则在(0,0)点处, (,)f x y ( ). (A ) 连续但二偏导数不都存在 ; (B ) 二阶偏导数存在但不连续; (C ) 连续且二偏导数存在但不可微 ; (D ) 可微 . (3)(一、三)设级数 n n a ∞ =∑收敛,则下列三个级数① 2 1 ,n n a ∞ =∑②41 ,n n a ∞ =∑③61 n n a ∞ =∑中( ) (A ) ①、②、③均收敛 ; (B ) 仅②、③收敛 ; (C ) 仅③收敛 ; (D ) ①、②、③均未必收敛 . (3)(二) 设21,0 ()||,(),,0 x x f x x g x x x -≥?==?
2015年考研数学一模拟练习题及答案(三) 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)设函数2 ()ln(3)x f x t dt = +? 则()f x '的零点个数( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 (2)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞ =,则( ) (A )当 1n n b ∞ =∑收敛时, 1n n n a b ∞ =∑收敛. (B )当 1n n b ∞ =∑发散时, 1n n n a b ∞ =∑发散. (C )当 1 n n b ∞ =∑收敛时, 221 n n n a b ∞ =∑收敛. (D )当 1 n n b ∞ =∑发散时, 221 n n n a b ∞ =∑发散. (3)已知函数()y f x =对一切非零x 满足 02()3[()]x x xf x x f x e e --''+=-00()0(0),f x x '==/则( ) (A )0()f x 是()f x 的极大值 (B )0()f x 是()f x 的极小值 (C )00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点 (D )0()f x 是()f x 的极值,但00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点 (4)设在区间[a,b]上1()0,()0,()0(),b a f x f x f x S f x dx '''><>= ?,令 231 ()(),[()()](),2 S f b b a S f a f b b a =-=+-则 ( ) (A )123S S S << (B )213S S S << (C )312S S S << (D )231S S S << (5)设矩阵111111111A --?? ?=-- ? ?--??,100020000B ?? ? = ? ??? ,则A 于B ( ) (A ) 合同,且相似 (B )合同,但不相似 (C ) 不合同,但相似 (D )既不合同,也不相似 (6)设,A B 均为2阶矩阵,* * ,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块
第一套试题 数学(一)试题(1-1) 一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内。) (1)若01 12cos 2cos lim 2 ≠=-+-→a x x x x ,则( ) 。 (A )22-==a k , ( B )22-=-=a k , (C )22==a k , (D )22=-=a k , (2)设),,(0000z y x P 是条件极值问题?????=----++=0 1)1(.32),,(min 2 22 22y x z t s z y x z y x u 的解,且22 0202032R z y x =++。又设1π,2π分别是曲面222232R z y x =++和曲面 01)1(22=----y x z 在点),,(0000z y x P 的切平面,则( )。 (A )1π与2π互相垂直 (B )1π与2π重合 (C )1π与2π的法线的夹角是0 45 (D )A ,B ,C 都不正确 (3)设常数0>α,正项级数 ∑∞ =1 n n a 收敛,则级数 ∑∞ =+++-1 2 2 cos 1) 1(n n n n a α ( )。 (A )发散 (B )条件收敛 (C )绝对收敛 (D )敛散性与α的值有关 (4)设由zx yz xy e z ++=确定的隐函数为),(y x f z =,则),(y x f z =存在的充分条件 与曲面),(y x f z =在点)0,1,1(处的切平面方程分别为( )。 (A )0≠--y x e z 与2=++z y x (B )0≠++y x e z 与2=++z y x (C )0≠--y x e z 与2=--z y x (D )0≠++y x e z 与2=--z y x (5)设10<
[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷278 一、选择题 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。 1 设f(x)和φ(x)在(-∞,+∞)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)≠0,φ(x)有间断点,则( )。 (A)φ[f(x)]必有间断点 (B)[φ(x)]2必有间断点 (C)f[φ(x)]必有间断点 (D)φ(x)/f(x)必有间断点 2 设常数λ>0,而级数收敛,则级数( ). (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与A有关 3 在曲线z=t,y=-t2,z=t3的所有切线中,与平面x+2y+z=4平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条 (D)不存在
4 设函数f(x,y)连续,则二次积分等于 ( ). 5 设A是m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r1,则( ). (A)r>r1 (B)r<r1 (C)r=r1 (D)r与r1的关系由C而定 6 设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则a1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是( ). (A)λ1=0 (B)λ2=0 (C)λ1≠0 (D)λ2≠0 7 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<P<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( ). (A)3p(0<P<1)2 (B)6p(0<P<1)2
(C)3p2(0<P<1)2 (D)6p2(0<P<I)2 8 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则随着σ的增大,概率P{|X-μ|<σ}( ). (A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定 二、填空题 9 设=__________. 10 设曲面∑是z=x2+y2介于z=0与z=4之间的部分,则 __________. 11 设,则a=__________. 12 幂级数的和函数为__________. 13 若f(x1,x2,x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的,则t的取值范围是 _________. 14 已知随机变量X和Y相互独立,则X~N(1,1),Y~(1,4),又 P{aX+bY≤0}=1/2,则a与b应满足关系式__________.
* 4.微分方程 y 2 y x e 2x 的特解 y 形式为() . * 2x * 2 x (A) y (ax b)e (B) y ax e (C) y * ax 2 e 2x (D) y * ( ax 2 bx)e 2 x 2016 年考研数学模拟试题(数学二) 参考答案 一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项的字母填在题后的括号内) 1.设 x 是多项式 0 P( x) x 4 ax 3 bx 2 cx d 的最小实根,则() . (A ) P ( x 0 ) 0 ( B ) P ( x 0 ) 0 (C ) P ( x 0 ) 0 ( D ) P (x 0 ) 0 解 选择 A. 由于 lim P( x) x x 0 ,又 x 0 是多项式 P(x) 的最小实根,故 P (x 0 ) 0 . 2. 设 lim x a f ( x) 3 x f (a) a 1 则函数 f ( x) 在点 x a () . (A )取极大值( B )取极小值( C )可导( D )不可导 o o 解 选择 D. 由极限的保号性知,存在 U (a) ,当 x U (a) 时, f ( x) 3 x f (a) a 0 ,当 x a 时, f ( x) f (a) ,当 x a 时, f ( x) f (a) ,故 f ( x) 在点 x a 不取极值 . lim f ( x) f (a) a lim f ( x) f (a) a 1 x a x x a 3 x 3 ( x a) 2 ,所以 f ( x) 在点 x a 不可导 . 3.设 f ( x, y) 连续,且满足 f ( x, y) f ( x, y) ,则 f (x, y) dxdy () . x 2 y 2 1 (A ) 2 1 1 x 2 1 1 y 2 0 dx f ( x, y)dy ( B ) 2 0 dy 1 y 2 f ( x, y)dx 1 1 x 2 1 1 y 2 (C ) 2 dx 1 x 2 f ( x, y)dy ( D ) 2 dy f ( x, y)dx 解 选择 B. 由题设知 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy 2 1 0 dy 1 y 2 1 y 2 f ( x, y)dx . x 2 y 2 1 x 2 y 2 1, y 0
[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷206 一、选择题 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。 1 设f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值一2,则( ). (A)a=1,b=2 (B)a=一1,b=一2 (C)a=0,b=一3 (D)a=0,b=3 2 设(x+y≠0)为某函数的全微分,则a为( ). (A)一1 (B)0 (C)1 (D)2 3 若正项级数( ). (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛
(D)敛散性不确定 二、填空题 4 =________. 5 =_________. 6 =_________. 7 =_________. 8 ∫0+∞x5e-x2dx=________. 9 一平面经过点M1(2,1,3)及点M2(3,4,一1),且与平面3x—y+6z一6=0垂直,则该平面方程为________. 10 设y=y(x)满足(1+x2)y'=xy且y(0)=1,则y(x)=________. 三、解答题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11 求. 12 求.
13 讨论f(x)=在x=0处的可导性. 14 证明:当x>0时,. 15 求下列不定积分: 16 求. 17 求cos2xdx. 18 设f(x)在区间[a,b]上阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫a b f(x)dx=(b- a)f''(ξ). 19 设z=. 20 设μ=x yz,求dμ.
21 求max{xy,1}dxdy,其中D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}. 22 求dxdy,其中D:x2+y2≤π2. 23 计算xdydz+ydzdx+zdxdy,其中∑是z=x2+4y2(0≤z≤4)的上侧. 24 判断级数的敛散性,若收敛是绝对收敛还是条件收敛. 25 求微分方程xy'+(1一x)y=e2x(x>0)的满足=1的特解. 26 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比,比例系数为k>0,设融化过程 中形状不变,设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的,求全部融化需要的时间.
考研数学模拟试题(数学二) 参考答案 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项的字母填在题后的括号内) 1.设0x 是多项式432()P x x ax bx cx d =++++的最小实根,则(). (A )0()0P x '≤(B )0()0P x '<(C )0()0P x '≥(D )0()0P x '> 解 选择A. 由于0 lim ()x x P x →=+∞,又0x 是多项式()P x 的最小实根,故0()0P x '≤. 2. 设1x a →= 则函数()f x 在点x a =(). (A )取极大值(B )取极小值(C )可导(D )不可导 解 选择D. 由极限的保号性知,存在()U a ,当()x U a ∈ 0>,当x a <时,()()f x f a <,当x a >时,()()f x f a >,故()f x 在点x a =不取极值 . ()()lim x a x a f x f a x a →→-==∞-,所以()f x 在点x a =不可导. 3.设(,)f x y 连续,且满足(,)(,)f x y f x y -=,则 221 (,)x y f x y dxdy +≤=?? (). (A )1002(,)dx f x y dy ?? (B )1 2(,)dy f x y dx ?? (C )10 2 (,)dx f x y dy ?? (D )1 2(,)dy f x y dx ?? 解 选择B. 由题设知 22221 1 1,0 (,)2 (,)2(,)x y x y y f x y dxdy f x y dxdy dy f x y dx +≤+≤≥==?? ???? . 4.微分方程22e x y y x '''-=的特解* y 形式为(). (A) *2()e x y ax b =+ (B) *2e x y ax = (C) *22e x y ax = (D) *22()e x y ax bx =+
2018年考研数学模拟试题(数学二) 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项的字母填在题后的括号内) 1.设0x 是多项式432()P x x ax bx cx d =++++的最小实根,则( ). (A )0()0P x '≤(B )0()0P x '<(C )0()0P x '≥(D )0()0P x '>. 2.设 1x a →= 则函数()f x 在点x a =( ). (A )取极大值(B )取极小值(C )可导(D )不可导 3.设(,)f x y 连续,且满足(,)(,)f x y f x y -=,则 221 (,)x y f x y dxdy +≤=?? ( ). (A )1 002(,)dx f x y dy ?? (B )1 2(,)dy f x y dx ?? (C ) 10 2 (,)dx f x y dy ?? (D )1 2(,)dy f x y dx ?? . 4.微分方程22e x y y x '''-=的特解*y 形式为( ). (A) *2()e x y ax b =+ (B) *2e x y ax = (C) *22e x y ax = (D) *22()e x y ax bx =+ 5. 设函数()f x 连续,则下列函数中,必为偶函数的是( ). (A ) 20 ()x f t dt ? (B )20 ()x f t dt ? (C ) [()()]x t f t f t dt +-? (D )0 [()()]x t f t f t dt --? 6. 设在全平面上有0) ,(?x y x f , 0),(>??y y x f ,则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是( ) (A )21x x >,21y y <. (B )21x x <,21y y <. (C )21x x >,21y y >. (D )21x x <,21y y >. 7.设A 和B 为实对称矩阵,且A 与B 相似,则下列结论中不正确的是( ).