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确定图示各图形的形心位置

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4.1. 确定图示各图形的形心位置。
C
1

C
2

y
C

z
C2

z
z
c

(c)
y
c
1

C(yC, zC)

C
1

C
2

No.14b

No.20b
O

h
zCyC yC2z01 x C(yC, zC)
a

a

2a
2a

(d)
解：(c) 查型钢表得
槽钢No.14b

2
11
21.316 1.67

o
Acmzcm==

工字钢No.20b
2
2
39.578 20Acmh==cm

由组合图形的对称性（对称轴是z
C轴）知：yC
=0；

1122
12

21.316(1.6720)39.5781021.31639.57814.09CCCAzAzzAAcm⋅+⋅×++×
==

++

=

(d) y
C轴是图形对称轴，则有zC
=0；使用负面积法

22
1122

2
4 0

2
CC
AayAaya===−=

()
()
2

1122
22
12

2
0
2
2

6
4

CC
C

aa
AyAy

ya

AA
aa

+−×
⋅+⋅

==++−=−

4.4. 计算图示平面图形对形心轴yC的惯性矩。
z
c

(c)
y
c
1

C(yC, zC)

C
1

C
2

No.14b

No.20b
O

h
z
C

y
C

y
C2

z
01

x
解：(c)
(1) 查型钢表得
槽钢No14b

1
24
11
21.316 61.1 1.67

C
yo
AcmIcmzcm===

工字钢No20b

2
24
2
39.578 2500 20

C
y
AcmIcmhcm===

m (2) 形心位置(由题4.1知) =0 14.09CCyzc=
(3) 用平行移轴公式计算图形1、2对y
C
轴的惯性矩

1
2
2

1)11

4

61.1(1.672014.09)21.3161285.8 CCyyIICCAcm=+=++−×

=

2
2
2

2)2

4

2500(14.0910)39.5783162.1 CCyyIICOAcm=+=+−×

=
(4) 求组合图形对yC轴的惯性矩
4
1)2)
4447.9

CCC
yyy
IIIcm=+=

4.5. 计算半圆形对形心轴y
C
的惯性矩。

y
y
c

z

O
C
θ

d
θ

ρ

dρ

d
解：(1) 求图形的形心坐标：z轴是对称轴，所以：y
C
=0

()()
23

00

2
sinsin

3

r

y
SzdAddddr
π

ρθρθρρρθθ
====

∫∫∫∫

3
2
2/34

/23
y

C

S
rr

z

Ar
ππ
===

(2) 求图形对y轴惯性矩
()()
2
2

4
32

00

sinsin8yAArIzdAddrddπρθρθρπρρθθ==
==
∫∫

∫∫
(3) 应用平行移轴定理
()
2
4

2244
48

/20.10980.00686

8389
C

yyC

rr
4
IIzArrrd

ππ
π

ππ

⎛⎞⎛⎞
=−=−=−==
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

上海理工大学 力学教研室
1
4.6. 计算图示图形对y、z轴的惯性积。
z

40
40
10

10

y
O

1

2

解：将图形分成1、2两部分
1212
40101040
00010

4

()()400003750077500 yzAAAAIyzdAyzdydzyzdydzydyzdzydyzdzmm+==+=+

=+=
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

4.7.确定图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩。

z
C

1
120
z
C

180
40

30 30
2

O
C
y
C

y
解：(1) 计算形心位置：组合图形由外面矩形1减去里面矩形2；
由组合图形的对称性（对称轴是z
C轴）知：yC
=0；

1122
12

120180906014070102.712018060140CCCAzAzzmmAA⋅−⋅××−××
===

−×−×

(2) 计算平面图形对z
C轴和yC
轴的惯性矩

33323264111801201406023.41012121[120180(102.790)120180]121 [60140(102.770)60140]1239.110zCyC64
Imm

I

mm

=××−××=×
=××+−××−
××+−××
=×
(3) 由于z
C轴是对称轴，所以yC轴和zC
轴是形心主惯性轴，形心主惯性矩即为

6464
00
39.110 23.410

CCCC
yyzz
IImmIImm==×==×

上海理工大学 力学教研室
2

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定积分求形心坐标公式

定积分求形心坐标公式

定积分求形心坐标公式
定积分求形心坐标公式，是一种用定积分来计算平面图形形心坐标的方法。

在平面图形中，形心是指该图形所有点的平均位置，也是该图形对于某个坐标系的
几何中心。

对于一般的平面图形，可以使用定积分求解其形心坐标。

具体地，如果将平面图形分成许多小区域，每个小区域的面积为dA，其形心坐标为(x,y)，则该平面图
形的形心坐标(x₀,y₀)可以表示为以下定积分的形式：
x₀ = (1/S)∫(xdA)
y₀ = (1/S)∫(ydA)
其中，S为该平面图形的总面积。

这个公式可以用来计算各种形状的平面图形
的形心坐标，包括矩形、三角形、梯形等等。

对于一个矩形而言，其形心坐标可以通过直接套用上述公式来求解。

具体地，如果矩形的长为a，宽为b，则其形心坐标为：
x₀ = (1/2a)∫(x.dx) = a/2
y₀ = (1/2b)∫(y.dy) = b/2
其中，dx和dy分别表示在x和y方向上的微小位移。

对于一个三角形而言，其形心坐标同样可以通过定积分公式来求解。

具体地，如果三角形的底边长为a，高为h，则其形心坐标为：
x₀ = (1/3S)∫(x.dy) = a/3
y₀ = (1/3S)∫(y.dx) = h/3
其中，S为三角形的面积。

总之，定积分求形心坐标公式是一种十分实用的计算平面图形形心坐标的方法，可以应用于各种形状的平面图形，为理论计算和实际应用提供了便利。

材料力学求形心位置例题

材料力学求形心位置例题

材料力学求形心位置例题对于一个物体，定位其形心位置是物体力学中的基本问题之一。

形心位置是一个物体整体平衡的位置，也可以被认为是物体质量的重心。

通过求解形心位置，可以帮助我们更好地理解物体的平衡状态和运动性质。

下面我们来看一个求解形心位置的例题。

例题：一个均匀的长方形板有边长为a和b，其质量密度为ρ。

求解板的形心位置。

解答：为了求解板的形心位置，我们需要用到物体的质量和质量元的概念。

质量(m)可以通过物体的质量密度(ρ)和物体体积(V)相乘得到，即m = ρV。

对于一个均匀的长方形板，可以将其看作无数个宽度微小但高度为b的质量元叠加而成。

首先，我们将长方形板沿着宽度(b)方向进行切割，得到宽度为Δx的无数个矩形质量元。

然后，对于每个质量元，我们需要确定其质量(dm)和距离形心位置的距离(x)。

由于板的质量密度为ρ，那么每个矩形质量元的质量(dm)可以表示为dm = ρΔx。

而每个质量元距离形心位置的距离(x)可以表示为x = Δx/2。

然后，我们可以将质量元质量(dm)和距离形心位置的距离(x)相乘，然后将所有的质量元的乘积累加起来得到形心位置的坐标。

形心位置的x坐标可以表示为x_cm = Σ(dm*x) / Σ(dm)。

而形心位置的y坐标则与矩形板的宽度(b)无关，即y_cm = 0。

接下来，我们将上面的表达式代入求解。

解得，形心位置的x坐标为x_cm = (b/2) * (a/3) = ab/6。

因此，长方形板的形心位置为(ab/6, 0)。

通过求解形心位置，我们可以得到长方形板的形心位置坐标。

这个结果说明，在一个均匀的长方形板上，形心位置位于长方形的重心位置，且形心位置的x坐标与长方形的长和宽有关，y坐标为0。

在实际问题中，求解形心位置对于分析物体的平衡和运动至关重要。

对于复杂的物体形状，求解形心位置可能需要更加复杂的数学方法，但其基本原理是相同的。

形心位置的求解是物体力学中的一个基础知识点，对于学习物理学的人来说具有重要意义。

截面的静矩和形心位置和惯性矩的计算

截面的静矩和形心位置和惯性矩的计算


二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2α
I xy cos 2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。
惯性积。
组合截面的惯性矩，惯性积
n
I x I xi i1
n
I y I yi i1
n
I xy I xyi i 1
例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
截面的形心必在对称轴 zc 上。 取过矩形 2 的形心且平行 于底边的轴作为参考轴， 记作 y 轴 。
97.3 104 mm4
2 I xy
tg2 0 (
Ix
) 1.093 Iy
Ix Iy 2α 0 在第三象限 2α 0 227.60
0
113.80
形心主惯性轴 x0 , y0 分别由 x 轴和 y 轴绕 C点 逆时针转 113.80 得出。
形心主惯形矩为
I x0 I x I y 1
形心主惯性矩—— 截面对形心主惯性轴的惯性矩。
主惯性轴的位置：设 为主惯性轴与原坐标轴 之间的夹角，
则有 由此
I I x I y 2 sin 2 0 xy cos 2 0 0
tg 20
2I xy
Ix Iy
求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。
主惯性矩的计算公式
I x0
I y0
Ix
y 0
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
工程力学 第三章 重心和形心

工程力学 第三章 重心和形心

《工程力学》
第三章 重心和形心
第十讲 重心和形心
《工程力学》
第十讲
重心和形心
目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。
教学重点：分割法和负面积法计算形心。 教学难点：对计算形心公式的理解。
《工程力学》
§3-4 重心和形心
一、重心的概念：
1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的， 必须要加以掌握。 2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为 物体的重心。 无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心 的位置保持不变。
《工程力学》
方法二(负面积法)：
用负面积法求形心。计算简图如图。 A1＝80mm×120mm＝9600mm2 x1＝40mm y1＝60mm A2=－108mm×68mm＝－7344mm2 x1＝12mm＋（80－12)mm/2=46mm y1＝12mm＋（120－12)mm/2=66mm
《工程力学》
《工程力学》
式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体 的重心、质心和形心的位置重合。
《工程力学》
五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：
令式中的∑Ai.xi＝A.xc＝Sy；
∑Ai.yi＝A.yc＝Sx 则Sy、Sx分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一 次矩。

《工程力学》
六、物体重心位置的求法 ：
1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简 单形状的均质物体，其重心一定在它的对称 面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的 应用见下图。

《工程力学》
《工程力学》
2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计
算的物体，常用试验法确定其 重心位置，常 用的试验法有悬挂法和称重法。 （1）、悬挂法 利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次， 重心必定在两次绳延长线的交点上。 悬挂法 确定物体的重心方法见图

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