第1课时平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念及表示方法2.3.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． (2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . [基础自测]1．设a 0，b 0分别是与a ，b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0·b 0＝1 C ．|a 0|＋|b 0|＝2D ．|a 0＋b 0|＝2解析：因为a 0，b 0是单位向量，所以|a 0|＝|b 0|＝1. 答案：C2．下列命题中正确的是( )A.OA →－OB →＝AB →B.AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D.AB →＋BC →＋CD →＝AD →解析：OA →－OB →＝BA →；AB →、BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即AB →＋BA →＝0；零向量与任意向量的数量积都为0，故选D. 答案：D3．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |. 正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：只有④正确． 答案：A4．(教材改编题)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示) 解析：∵AC →＝a ＋b ， ∴CN →＝－14(a ＋b )，∴MN →＝MC →＋CN →＝12b －14(a ＋b )＝14(b －a )．答案：14(b －a )5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________. 解析：由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12.答案：－12考点一 平面向量的概念[例1] 给出下列六个命题①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5审题视点 理解向量基本概念的内涵，按照定义逐个判定，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可．解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．答案 C解决这类与平面向量的概念有关的命题真假判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足；(1)模相等；(2)方向相同．1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时， λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量． 答案：C2．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确命题的序号是________． 解析：①②正确，③④错误． 答案：①②考点二 平面向量的线性运算[例2] (1) 如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( ) A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b(2)(2016·烟台模拟)若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →审题视点 (1)用平行四边形法则求解． (2)利用三角形性质及向量的运算法则求解．解析 (1)连接OC 、OD 、CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，有∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且OA ＝OC ＝OD ，则△OAC 与△OCD 均为边长等于圆O 的半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .(2) 如图，OB →＋OC →＝2OD →， 又∵2OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴OB →＋OC →＝－2OA →. ∴2OD →＝－2OA →，∴OD →＝AO →.答案 (1)D (2)A1．平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则． 2．两个重要结论(1)向量的中线公式：若P 为线段AB 中点， 则OP →＝12(OA →＋OB →)．(2)向量加法的多边形法则 A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.1．(2016·衡水中学质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|3 AM →－AB →－AC →|＝0，G 为BC 的中点，则△ABM 与△ABC 的面积之比等于( )A.34B.14C.13D.12解析：如图，G 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2 AG →， ∵|3 AM →－AB →－AC →|＝0，∴3 AM →－AB →－AC →＝0， ∴3 AM →＝AB →＋AC →＝2 AG →，∴|AM →||AG →|＝23，∴S △ABM S △ABG ＝23，又S △ABG ＝12S △ABC ， ∴△ABM 与△ABC 的面积之比等于12×23＝13，故选C.答案：C2．(2016·大连高三检测)如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.答案：23考点三 共线向量定理及其应用[例3] 已知a 、b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．审题视点 先假设存在，再利用a ，b 表示目标向量，最后判断是否有CE →＝kCD →成立即可．解 由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决．但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且存在公共点时，才能得出三点共线．1．(2016·四川资阳模拟)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．故选B. 答案：B2．(2015·高考课标卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝__________. 解析：依据共线向量定理列方程组求解. ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行， ∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：12以向量为背景的新定义问题[典例] 设A 1、A 2、A 3、A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割点A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解题指南 本题为信息题，由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：A 1，A 2，A 3，A 4四点共线，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →，则1c ＋1d＝2，然后逐项代入验证．解析 由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：四点A 1，A 2，A 3，A 4在同一条直线上，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →，则1c ＋1d ＝2，选项A 中c ＝12，此时d 不存在，故选项A 不正确；同理选项B 也不正确；选项C 中，0<c <1,0<d <1，1c ＋1d>2，也不正确，故选D.答案 D阅卷点评 本小题考查了对向量共线的理解及应用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力，求解时应明确，若点C 在线段AB 上，则当AC →＝λAB →时，0<λ<1，而当点C 在线段AB 的延长线上时，若AC →＝λAB →，则有λ>1，求解本题时还要注意不等式性质及反证法思想的应用．难度适中．创新点评 本题有以下创新点：(1)命题背景新颖，本题为新定义题目，用新定义考查阅读能力与知识迁移能力；(2)考查内容创新：以共线向量为背景，结合不等式，通过创新情境，考查化归与转化的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力． 备考建议 (1)可通过特例、验证等方法理解新定义问题；(2)化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决； (3)“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办．◆一条规律一般地，首尾顺次连接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． ◆向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2016·吉林省实验中学一模)已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12解析：若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则有2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1，解得λ＝－12，故选C.答案：C2．(2016·四川泸州检测)已知D 为△ABC 的边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA →＝PB →＋PC →，则|PD →||AD →|的值为( )A ．1 B.13 C.12D ．2解析：因为PA →＝PB →＋PC →，所以PA 必为以PB ，PC 为邻边的平行四边形的对角线，因为D 为边BC 的中点，所以D 为边PA 的中点，|PD →||AD →|的值为1，故选A.答案：A3．(2016·贵阳检测)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( ) A ．a B ．b C ．cD ．0解析：依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.答案：D4．(2016·郑州模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________． 解析：由于c 与d 同向，所以c ＝k d (k ＞0)， 于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又因为k ＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 答案：15．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________． 解析：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，故A 、B 、C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形6．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →. 又O 是AC 的中点， ∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. 答案：27．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？解：设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )，化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13λb ＝0，∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故t ＝12时，a 、t b 、13(a ＋b )的终点在一条直线上．8．如图所示，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取一点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取一点Q ，使得MQ ＝λCM 时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →， ∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC →＝12(BC →－BM →)＝12MC →∴λ＝12.[B 级 能力突破]1．(2016·山师大附中模拟)已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2 AP →，所以点P 在线段AC 上．答案：C2．(2016·威海模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：由AB →＝λa ＋b ， AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得：AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋t μb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝t μ，所以λμ＝1.故选D.答案：D3．(2016·孝感模拟)如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →，则( )A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b解析：∵OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋3BC →＝OA →＋3(OC →－OB →)＝3OC →＋OA →－3OB → ∴2OC →＝－OA →＋3OB → ∴c ＝OC →＝－12a ＋32b .答案：A4．设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为__________．解析：设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝0，即2OM →＋4ON →＝0，所以OM →＝－2ON →，说明M ，O ，N 三点共线，即O 为中位线MN 上的一个三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABCS △AOC＝3.答案：35．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析：过点D 作DF ⊥AB 的延长线于点F ，设AB ＝1，则AC ＝1，BC ＝2，ED ＝2，BD ＝62，∴DF ＝32，BF ＝32. ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →.∴x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 326．(2016·山西四校第三次联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是________．解析：∵AO →＝xAB →＋AC →－xAC →，∴AO →－AC →＝x (AB →－AC →)，即CO →＝xCB →＝－3xCD →， ∵O 在线段CD 上(不含C 、D 两点)运动， ∴0<－3x <1，∴－13<x <0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，07．如图，过△OAB 的重心G 的直线与OA 、OB 分别交于P 、Q ，设OP →＝hOA →，OQ →＝kOB →，求证：1h ＋1k是常数．证明：OG →＝λ1OP →＋(1－λ1)OQ →(λ1∈R )，OM →＝12OA →＋12OB →，且O 、G 、M 三点共线，G 为重心，故OG →＝23OM →，即λ1OP →＋(1－λ1)OQ →＝23×12(OA →＋OB →)．又∵OP →＝hOA →，OQ →＝kOB →，∴λ1(hOA →)＋(1－λ1)(kOB →)＝13(OA →＋OB →)．而OA →与OB →为三角形两邻边，∴OA →、OB →不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1h ＝13，－λ1k ＝13.消去λ1得13h ＝3k －13k ，即1h ＋1k＝3.第2课时 平面向量基本定理及其坐标表示1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，a 为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O 为起点作OP →＝a .由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得OP →＝x i ＋y j .因此a ＝x i ＋y j .我们把实数对(x ，y )叫作向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y )．(2)设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是点A 的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 为坐标原点) 3．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [基础自测]1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③解析：②③中e 1与e 2均共线． 答案：A2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 解析：∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴． 答案：C3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2解析：a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，由a ＋b 与4b －2a 平行得3×(4x －2)－6×(1＋x )＝0解得x ＝2. 答案：D4．(教材改编题)若点O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB →，则点A ′的坐标为________，点B ′的坐标为__________，向量A ′B ′→的坐标为________．解析：∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)，∴OA →＝(1,2)，OB →＝(－1,3)，OA ′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB ′→＝3×(－1,3)＝(－3,9)． ∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．答案：(2,4) (－3,9) (－5,5)5．e 1，e 2是不共线向量，且a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 1，若b ，c 为一组基底，则a ＝________. 解析：设a ＝λ1b ＋λ2c ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2) 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－12λ1＋12λ2＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727∴a ＝－118b ＋727c .答案：－118b ＋727c考点一 平面向量基本定理的应用[例1] (1)如图(1)所示，P 点是其阴影部分任意一点(其中OM ∥AB )，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 、y 应满足的条件是________．(1) (2)(2)如图(2)所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________. 审题视点 (1)先由平面向量基本定理设出OP →＝mOB →＋nAB →，再由向量共线的条件列方程求解． (2)由B ，H ，C 三点共线，可用向量AB →，AC →来表示AH →.解析 (1)设OP →＝mOB →＋nAB →，由图可知，OP →＝OB ′→＋OM ′→，∴OB ′→＝mOB →，OM ′→＝nAB →，∴0≤m ≤1且n ≥0.又OP →＝mOB →＋n (OB →－OA →)＝(m ＋n )OB →－nOA →＝xOA →＋yOB →，而OA →与OB →不共线，∴x ＝－n ≤0，y ＝m ＋n ，即m ＝x ＋y .故应填：x ≤0且0≤x ＋y ≤1.(2)由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.答案 (1)x ≤0且0≤x ＋y ≤1 (2)121．以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.答案：A2．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 解析：∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →.∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16. 答案：12 －16考点二 平面向量的坐标运算[例2] 若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(6，－10)审题视点 利用向量加法的坐标运算．解析 ∵CA →＝(4,7)， ∴AC →＝(－4，－7) ∵BC →＝BA →＋AC →∴BC →＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4) 答案 A向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故选A. 答案：A2．已知平面向量a ＝(2m ＋1,3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( ) A.1027B.52或2 2 C.52D ．2 2解析：因为a 与b 反向，所以a 与b 共线，所以m (2m ＋1)－2×3＝0，解得m ＝－2或m ＝32.当m ＝－2时，a ＝(－3,3)，b ＝(2，－2)，a与b 反向，此时|b |＝22；当m ＝32时，a ＝(4,3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，a 与b 同向，应舍去，故选D. 答案：D考点三 平面向量共线的坐标运算[例3] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 审题视点 利用平行关系，建立含字母参数的实数方程求解． 解 (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝32m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．(1)一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．1．(2015·高考四川卷)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3. 答案：B2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)．a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)方法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →.即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ，解得m ＝32.方法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.忽视向量平行的充要条件致误[典例] 设向量a ，b 满足|a |＝2 5，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解题指南 设a ＝λb (λ<0)，利用|a |＝25列出关于λ的方程求解即可． 解析 ∵a 与b 方向相反，∴可设a ＝λb (λ<0)， ∴a ＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a |＝5λ2＝25，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，故a ＝(－4，－2)． 答案 (－4，－2)易错分析 易误认为“a 与b 的方向相反⇔a ∥b ”致使设a ＝λb 出现增解(4,2)． 失分警示 (1)向量共线的条件掌握不准导致错解或无法解题． (2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件．备考建议 (1)熟记向量共线的表示方法，同时要强化理解零向量与任意向量都共线这一特殊情况．(2)将已知向量分解的关键是如何确定基底，然后可根据平面几何中的有关知识来确定待定系数．◆一个区别向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化． ◆两点防范(1)平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量不共线．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2014·高考福建卷)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)解析：由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)． 答案：B2．e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析： 对于A ，∵e 1，e 2不共线，故λ1＝λ2＝0正确；对于B ，空间向量a 应改为与e 1，e 2共面的向量才可以；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定与e 1，e 2共面；D 中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是惟一一对．答案：A3．(2016·郑州质检)已知△ABC 中，平面内一点P 满足CP →＝23CA →＋13CB →，若|PB →|＝t |PA →|，则t 的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：由题意可知PB →＝CB →－CP →＝CB →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →＝23(CB →－CA →)＝23AB →，同理可得PA →＝－13AB →，∴|PB →|＝2|PA →|，即t ＝2.答案：C4．(2015·高考江苏卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－35．(2016·荆州模拟)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝________. 解析：AB →＝(4－k ，－7)，AC →＝(－2k ，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴－2(4－k )－14k ＝0，解得k ＝－23.答案：－236．(2016·江西南昌模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为__________．解析：由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎨⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M的距离的最大值为|OP |＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.答案：167．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，B －*4/5)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →， ∴2(B －*4/5)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，B －*4/5)＝2(2，－2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，B －*4/5＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． 解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时， 由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)， ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴A ，B ，M 三点共线．[B 级 能力突破]1．(2015·高考湖南卷)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：法一：AC 为Rt △ABC 的斜边，则AC 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，故AC 必经过原点，如图，则PA →＋PC →＝2PO →，|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|≤2 |PO →|＋|PB →|，当P ，O ，B 三点共线时取等号，即当B 落在点(－1,0)处时|PA →＋PB →＋PC →|取得最大值，此时，PO →＝(－2,0)，PB →＝(－3,0)，2 |PO →|＋|PB →|＝2×2＋3＝7，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7.法二：同解法一，得|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|. 又PB →＝OB →－OP →，∴|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋OB →－OP →|＝|OB →－3 OP →| ＝OB →2＋9 OP →2－6 OB →·OP →＝ 12＋9×22－6×1×2cos∠POB ＝37－12cos ∠POB ≤37＋12＝7，当且仅当∠POB ＝180°时取“等号”，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7. 法三：同法一，得|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|.设B (cos α，sin α)，则|2 PO →＋PB →|＝|2(－2,0)＋(cos α－2，sin α)|＝|(－6＋cos α，sin α)|＝－6＋cos α2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7(当cos α＝－1，即B 落在点(－1,0)处时取等号)． 故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7. 答案：B2．(2016·保定模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由p ∥q 得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°.答案：B3．(2016·河北邯郸一模)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m n等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12，故选C.答案：C4．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.答案：125．如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰好为P ，则AP →＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，连接BP ，则AP →＝AC →＋CP →＝b ＋PR →①AP →＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB →② ①＋②得，2AP →＝a ＋b －RB →③ 又RB →＝12QB →＝12(AB →－AQ →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →④ 将④代入③得， 2AP →＝a ＋b －12(a －12AP →)，解得AP →＝27a ＋47b .答案：27a ＋47b .6．(2014·高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．解析：设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆． 又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)．∴|OA →＋OB →＋OC →|＝x －2＋y ＋32.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7，故x －2＋y ＋32的最大值为7＋1.答案：7＋17．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示． (1)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (2)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标；(3)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立． 解：(1)∵a ＝(1,1)，∴f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)． 又∵b ＝(1,0)，∴f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p ，2y －x ＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p ，∴c ＝(2p －q ，p )．(3)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，∴mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)成立．第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．两个向量的夹角(1)夹角的定义(2)射影的定义设θ是a与b的夹角，则|b|cos θ叫作b在a方向上的射影．|a|cos θ叫作a在b方向上的射影．射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量．当θ∈[0°，90°)时，它是正值；当θ∈(90°，180°]时，它是负值；当θ＝90°时，它是0.2．平面向量的数量积(1)向量的数量积的定义已知两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)向量数量积的性质①若e 是单位向量，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.②若a ⊥b ，则a ·b ＝0；反之，若a ·b ＝0，则a ⊥b ，记作a ⊥b ⇔a ·b ＝0. ③|a |＝a ·a .④cos θ＝a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0)．⑤对任意两个向量a 、b ，有|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立． (3)向量数量积的运算律 给定向量a ，b ，c 和实数λ，有 ①a ·b ＝b ·a ；(交换律)②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(数乘结合律) ③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．平面向量数量积的坐标运算 (1)平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． (2)向量模的坐标表示若A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12(两点间距离公式)．若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2，|a |＝x 2＋y 2. (3)两向量夹角的余弦公式设a 、b 是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，则有cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两个向量垂直的充要条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)直线的方向向量把与直线l 共线的向量m 称为直线l 的方向向量，设直线方程为y ＝kx ＋b ，则其方向向量为m ＝(1，k )．设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则其方向向量为m ＝(－B ，A )，利用直线的方向向量可以表示过定点的直线方程、求两直线的夹角等，这给我们处理解析几何问题增加了一条新途径．[基础自测]1．(教材改编题)已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，－1)，则(a ＋b )·(a －b )的值为( ) A ．0 B ．10 C ．－10 D ．5解析：∵a ＋b ＝(1,1)，a －b ＝(－3,3)，∴(a ＋b )·(a －b )＝1×(－3)＋1×3＝0. 答案：A2．已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π4 C.2π3D.3π4解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12， ∴θ＝2π3.答案：C3．已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的射影为( ) A ．2 B.32 C ．－2D ．－32解析：∵|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，∴b 在a 方向上的射影为－32. 答案：D4．若向量a ＝(1,1)，b ＝(x,2)互相垂直，则x ＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴x ＋2＝0，∴x ＝－2. 答案：－25．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为____． 解析：∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0即x ＝4.∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(2＋x )×(x －3)＋(－3)×(－y －2)＝0，解得y ＝－4. ∴|MN →|＝＋2＋－4－2＝8 2.答案：8 2考点一 求两平面向量的数量积[例1] (1)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，若点P 为△ABC 的外心，则AP →·BC →的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8(2)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →·AF →的最大值为________． 审题视点 (1)因AB 、AC 已知，故把BC →写为BC →＝AC →－AB →，利用AP ＝BP ＝CP 和数量积定义化简． (2)建立坐标系，设F (x ，y )，用坐标计算AE →·AF →. 解析 (1)∵BC →＝AC →－AB →， ∴AP →·BC →＝AP →·AC →－AP →·AB →.又cos ∠BAP ＝AB 2＋AP 2－BP 22·AB ·AP ＝AB 22·AB ·AP，∴AB →·AP →＝AB 22，同理AC →·AP →＝AC 22，∴AP →·BC →＝AC 22－AB 22＝162－42＝6.(2)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，设F (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤1，AE →·AF →＝2x ＋12y ，令z ＝2x ＋12y ，当z ＝2x ＋12y 过点(2,1)时，AE →·AF →取最大值92.答案 (1)C (2)92(1)已知向量a 、b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)已知向量a 、b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．1．(2016·南昌市高三模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________. 解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2. 答案：22．(2016·河北邢台模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( ) A ．－94B.94C.274D ．－274解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则有CD ＝AC ·sin 30°＝32.∴CD →·CB →＝|CD →|·|CB →|·cos ∠BCD ＝CD→2＝94.故选B.考点二 利用数量积求向量夹角和模[例2] (1)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6(2)已知e 1，e 2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m ＝2e 1＋3e 2，则|m |＝1的充要条件是( )A ．θ＝πB ．θ＝π2C ．θ＝π3D ．θ＝2π3审题视点 (1)BC →＝AC →－AB →，先求|BC →|2的最小值． (2)利用m 2＝1，求e 1·e 2便得θ. 解析 (1)∵AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|cos 120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥ 2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.(2)由|m |＝1，得m 2＝1，即(2e 1＋3e 2)2＝1.展开得，4e 21＋9e 22＋12e 1·e 2＝1，即4＋9＋12cos θ＝1，所以cos θ＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.答案 (1)C (2)A(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a·a 要引起足够重视，是求模常用的公式． (2)利用向量数量积的定义，知cos θ＝a·b|a ||b |，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．1．(2015·高考重庆卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π。
