基本初等函数的导数公式的推导过程

5.2 导数的运算

5.2.1 基本初等函数的导数

素养目标 学科素养

1.能根据导数的定义推导常用函数的导数．

2．掌握基本初等函数的导数公式．(重点)

3．利用基本初等函数的导数公式解决有关问题．(难点) 1.数学抽象；

2．逻辑推理；

3．数学运算

情境导学

高铁是目前非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，即f(t)的导数．根据导数的定义，运算比较复杂，是否有更好的求导方法呢？

1．几个常用函数的导数

函数 用定义法求导数

y＝f(x)＝c y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0 c－cΔx＝0

y＝f(x)＝x y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0 x＋Δx－xΔx＝1

y＝f(x)＝x2 y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝limΔx→0 (2x＋Δx)＝2x

y＝f(x)＝x3 y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝limΔx→0 [3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2

y＝f(x)＝1x y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0 1x＋Δx－1xΔx＝limΔx→0 －1x2＋x·Δx＝－1x2

y＝f(x)＝x y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx－xΔx＝limΔx→01x＋Δx＋x＝12x

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)若f(x)＝2，则f′(x)＝2.( )

× 提示：f′(x)＝0.

(2)若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x2.( )

导数的概率、运算以及几何意义

１．函数的平均变化率：

一般地，已知函数()yfx，0x，1x是其定义域内不同的两点，记10xxx，

10yyy10()()fxfx00()()fxxfx，

则当0x时，商00()()fxxfxyxx称作函数()yfx在区间00[,]xxx（或00[,]xxx）上的平均变化率．

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：

设函数()yfx在0x附近有定义，当自变量在0xx附近改变量为x时，函数值相应的改变00()()yfxxfx．

如果当x趋近于0时，平均变化率00()()fxxfxyxx趋近于一个常数l，那么常数l称为函数()fx在点0x的瞬时变化率．

“当x趋近于零时，00()()fxxfxx趋近于常数l”可以用符号“”记作：

“当0x时，00()()fxxfxlx”，或记作“000()()limxfxxfxlx”，符号“”读作“趋近于”．

函数在0x的瞬时变化率，通常称为()fx在0xx处的导数，并记作0()fx．

这时又称()fx在0xx处是可导的．于是上述变化过程，可以记作

“当0x时，000()()()fxxfxfxx”或“0000()()lim()xfxxfxfxx”．

考点1： 导数的定义

【铺垫】求下列函数在区间22x，和33x，上的平均变化率

①fxx ②2()fxx

【例1】 平均变化率与瞬时变化率

⑴ 求下列函数在区间00[]xxx，上的平均变化率．

① ()fxx ② 2()fxx ③ 3()fxx ④1()fxx ⑤()fxx

⑵ 求下列函数分别在1x，2x和3x处的瞬时变化率．

JUNE 2021 ln的运算法则

整理人 尼克

知识改变命运 导数的计算

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1、能够用定义求四个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。

2、使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数．

一、几个常用函数的导数：

1．函数的导数

函数 导数

2．函数的导数

函数 导数

3．函数的导数

函数 导数

4．函数的导数

函数 导数

（2）推广：若，则

二、基本初等函数的导数公式：

函数 导数

2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点

导数运算法则

1．

2．

3．

推论：

类型一：利用公式及运算法则求导数

例1．求下列函数的导数：

（1）； （2）

（3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4

举一反三：

【变式】求下列函数的导数：

（1）；

（2） （3）y=6x3―4x2+9x―6

例2．求下列各函数的导函数

（1）； （2）y=x2sinx;

（３）y=； （４）y=

举一反三：

【变式1】函数在处的导数等于( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式3】求下列函数的导数.

1. ；（2）；（3）.

类型二：复合函数的求导

例3．求下列函数导数.

（1）； （2）；

（3）； （4）.

举一反三：

【变式1】求下列函数的导数：

(1)； （2）

1. y=ln（x＋）； （4）

类型三：求曲线的切线方程

例8．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.

导数公式及导数的运算法则

一、导数公式

1.基本导数公式：

(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。

(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。

(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。

(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。

(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。

2.基本初等函数的导数公式：

(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。

(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。

(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x))

= f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。

(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -

f(x)*g'(x))/[g(x)]^2 3.复合函数的导数：

(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *

du/dx = f'(u) * g'(x)。

1.反函数的导数：

若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。