2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本：第九章 平面解析几何 第七节 抛物线 Word版含解析

第七节 抛物线

A组 基础题组

1.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )

A.(0,a) B.(a,0)

C. D.

2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )

A. B.1 C. D.2

3.(2016山西高三考前质检)已知抛物线C1:x2=2py(p>0)的准线与抛物线C2:x2=-2py(p>0)交于A,B两点,C1的焦点为F,若△FAB的面积等于1,则C1的方程是( )

A.x2=2y B.x2=y

C.x2=y D.x2=y

4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( )

A.x=1 B.x=2

C.x=-1 D.x=-2

5.已知P为抛物线y=x2上的动点,点P在x轴上的射影为点M,点A的坐标为,则|PM|+|PA|的最小值是( )

A.8 B. C.10 D.

6.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .

7.已知点P在抛物线y2=4x上,且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为,则点P到x轴的距离为 .

8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽

米.

9.如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.

(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;

(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.

10.(2016陕西商洛月考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(4,m)在抛物线上,且|AF|=5.

(1)求抛物线的标准方程;

(2)是否存在直线l,使l过点(0,1),并与抛物线交于B,C两点,且满足·=0?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

B组 提升题组

11.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=( )

A. B.3 C. D.2

12.过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB,CD与抛物线交于A,B,C,D四点,且AB⊥CD,则·+·的最大值等于( )

A.-4 B.-16 C.4 D.-8

13.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( )

A.y=x-1或y=-x+1

B.y=(x-1)或y=-(x-1)

C.y=(x-1)或y=-(x-1)

D.y=(x-1)或y=-(x-1)

14.(2016天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为

.

15.(2016广东深圳一模)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p等于 .

16.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.

答案全解全析

A组 基础题组

1.C 将y=4ax2(a≠0)化为标准方程是x2=y(a≠0),所以焦点坐标为,所以选C.

2.D 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=(k>0)得k=1×2=2,故选D.

3.A 由题意得F,不妨设A,B,∴S△FAB=·2p·p=1,则p=1,即抛物线C1的方程是x2=2y,故选A.

4.C 由题可知焦点为,∴直线AB的方程为y=-,与抛物线方程联立得消去y,得4x2-12px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.∵线段AB的中点的横坐标为3,∴=3,∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-1.

5.B 依题意可知焦点为F,准线方程为y=-,延长PM交准线于点H(图略).

则|PF|=|PH|,|PM|=|PF|-,|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-.

因为|PF|+|PA|≥|FA|,

又|FA|==10.

所以|PM|+|PA|≥10-=,故选B.

6.答案 2

解析 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-(p>0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,解得p=2.

7.答案 2

解析 设点P的坐标为(xP,yP).

抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,根据已知条件及抛物线的定义,可知=⇒xP=1,∴=4,∴|yP|=2.

则点P到x轴的距离为2. 8.答案 2

解析 建立坐标系如图所示.

则可设抛物线方程为x2=-2py(p>0).

∵点(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x2=-2y.

当y=-3时,x=±.

∴水位下降1米后,水面宽2米.

9.解析 (1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0).

因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则

由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),

所以2y0k=4.

又y0=2,所以k=1,

故直线l的方程是y=x-1.

(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消去x,整理得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0.

|AB|=|y1-y2|

=·

=·

=4(m2+1).

所以4(m2+1)=20,解得m=±2,所以直线l的方程是x=±2y+1,即x±2y-1=0.

10.解析 (1)∵点A(4,m)在抛物线上, 且|AF|=5,

∴4+=5,∴p=2,

∴抛物线的标准方程为y2=4x.

(2)存在.

理由:由题意可设直线l的方程为x=k(y-1)(k≠0),

代入抛物线方程,整理得y2-4ky+4k=0,

则Δ=16k2-16k>0⇒k<0或k>1,

设B(x1,y1),C(x2,y2),

则y1+y2=4k,y1y2=4k,

由·=0,即x1x2+y1y2=0,得(k2+1)y1y2-k2(y1+y2)+k2=0,

则有(k2+1)·4k-k2·4k+k2=0,

解得k=-4或k=0(舍去),

∴直线l存在,其方程为x+4y-4=0.

B组 提升题组

11.B ∵=4,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则=,即=.∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.

12.B 依题意可得,·=-(||·||).

因为||=yA+1,||=yB+1, 所以·=-(yAyB+yA+yB+1).

设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),

联立x2=4y,可得x2-4kx-4=0,

所以xA+xB=4k,xAxB=-4.

所以yAyB=1,yA+yB=4k2+2.

所以·=-(4k2+4).

同理,·=-.

所以·+·=-≤-16.

当且仅当k=±1时等号成立.

13.C 由题意知直线l不垂直于x轴.

当直线l的倾斜角α

过A作AA1垂直准线于A1,过B作BB1垂直准线于B1.设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,则|AF|=|AA1|=3t.作BB2垂直AA1于B2,易知△AB2B∽△BB1C,∴=,则有=,∴|BC|=2t,∴∠B1CB=,∴直线l的倾斜角α=.

当倾斜角α>时,由对称性可知α=π.

∴直线l的倾斜角α=或π.

又F(1,0),∴直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).故选C.

14.答案

解析 由已知得抛物线的方程为y2=2px(p>0),则|FC|=3p,∴|AF|=|AB|=p,A(p,p)(不妨设A在第一象限).易证△EFC∽△EAB,所以===2,所以=,所以S△ACE=S△AFC=×p×p=p2=3,所以p=.

15.答案

解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则=2px1,=2px2,

两式相减,整理得(y1+y2)·=2p,即2y0×1=2p,所以y0=p,

又AB的方程为y=x-,

所以x0=p,即M,

代入AB的中垂线y=-x+2,可得p=.

16.解析 (1)直线AB的方程是y=2,

与y2=2px联立,整理得4x2-5px+p2=0,

所以x1+x2=.

由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,

所以p=4,从而抛物线的方程是y2=8x.

(2)将p=4代入4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0,

从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,

从而A(1,-2),B(4,4).

设=(x3,y3),则(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又=8x3,所以2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.