届高三数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例夯基提能作业本理

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第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1。

已知=（2,1)，点C（—1,0),D（4，5)，则向量在方向上的投影为( ）A。

-B。

-3 C. D.32。

(2017北京东城二模）已知向量a=(1,2),b=(x,4）,且a⊥b,那么x的值为( ）A.—2 B。

-4 C.-8 D.-163.(2015北京通州一模)在正方形ABCD中,已知AB=3,E是CD的中点，则·等于( ）A。

B。

6 C。

D。

4。

设向量a，b满足|a|=1,｜a-b|=,a·（a—b)=0，则｜2a+b｜=( ）A.2 B。

2C。

4 D.45。

(2018北京海淀期末)在△ABC中，AB=AC=1,D是AC边的中点,则·的取值范围是（) A. B.C. D.6.(2017北京东城期末)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=5，b=7，c=8，则·等于。

7。

(2015北京朝阳一模)已知平面向量a，b满足｜a｜=|b|=1,a与b的夹角为60°，则a·（a+b）= .8.（2016北京西城二模)设平面向量a，b满足｜a｜=｜b｜=2,a·（a+b)=7，则向量a,b夹角的余弦值为.9。

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为( )A.-B.-3C.D.32.(2017某某某某期中)已知向量a=(1,m),b=(0,-2),且(a+b)⊥b,则m等于( )A.-2B.-1C.1D.23.(2017某某师大附中模拟)在直角三角形ABC中,角C为直角,且AC=BC=2,点P是斜边上的一个三等分点,则·+·=( )A.0B.4C.D.-4.设向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,a·(a-b)=0,则|2a+b|=( )A.2B.2C.4D.45.(2016某某八校联考(二))已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,-2),若(a-c)∥b,则向量a与向量c的夹角的余弦值是( )A. B.C.- D.-6.设向量a=(m,1),b=(1,2),若|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.7.已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值X围是.8.如图,平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60°,点M在AB边上,且AM=AB,则·等于.9.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|和|a-b|.10.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.B组提升题组11.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )A.4B.-4C.D.-12.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ=()A.B. C. D.13.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角为( )A.B. C. D.14.如图,菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,M为DC的中点,若N为菱形内任意一点(含边界),则·的最大值为.15.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C.(1)求角C的大小;(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·(-)=18,求c.16.已知向量a=,b=,实数k为大于零的常数,函数f(x)=a·b,x∈R,且函数f(x)的最大值为.(1)求k的值;(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若<A<π, f(A)=0,且a=2,求·的最小值.答案全解全析A组基础题组1.C 因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影为||cos<,>===.2.D ∵a=(1,m),b=(0,-2),∴a+b=(1,m-2),又(a+b)⊥b,∴0×1-2(m-2)=0,即m=2.3.B 由题意不妨取=,则·+·=·(+)=(+)·(+)=·(+)=·(+)= ++·=×4+×4+0=4.故选B.4.B 由a·(a-b)=0,可得a·b=a2=1,由|a-b|=,可得(a-b)2=3,即a2-2a·b+b2=3,解得b2=4.故(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12,所以|2a+b|=2.5.A 由已知得a-c=(3-k,3),∵(a-c)∥b,∴3(3-k)-3=0,∴k=2,即c=(2,-2),∴cos<a,c>===.6.答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2得a·b=0,所以a⊥b,则m+2=0,所以m=-2.7.答案∪0,∪解析a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a与b不共线,则解得λ<-或0<λ<或λ>,所以λ的取值X围是∪∪.8.答案 1解析因为=+=+,=+,所以·=·(+)=||2+||2+·=1+-·=-||·||·cos60°=-×1×2×=1.9.解析(1)由(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-4a·b-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得a·b=-6,∴cos θ===-.又θ∈[0,π],∴θ=.(2)|a+b|====.同理,|a-b|==.10.解析(1)∵m⊥n,∴m·n=0,故sin x-cos x=0,∴tan x=1.(2)∵m与n的夹角为,∴cos<m,n>===,故sin=.又x∈,∴x-∈,则x-=,即x=,故x的值为.B组提升题组11.B 因为n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-,又4|m|=3|n|,所以cos<m,n>===-=,所以t=-4.故选B.12.A 解法一:=-=(1-λ)-,=-=λ-.∵||=||=2,<,>=60°,∴·=||·||·cos 60°=2,又·=-,∴[(1-λ)-]·(λ-)=-,即λ||2+(λ2-λ-1)·+(1-λ)·||2=,所以4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)=,解得λ=.解法二:以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,),∴=(2,0),=(1,),∴P(2λ,0),Q(1-λ,(1-λ)),∵·=-,∴(-1-λ,(1-λ))·(2λ-1,-)=-,化简得4λ2-4λ+1=0,∴λ=.13.D 由|a+b|=|a-b|可知a⊥b,设=b,=a,如图,作矩形ABCD,连接AC,BD,可知=a+b,=a-b,设AC与BD的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,∴∠AOD=,∴∠DOC=,又向量a+b与a-b的夹角为与的夹角,故所求夹角为,选D.14.答案9解析由平面向量的数量积的几何意义知,·等于与在方向上的投影之积,所以(·)max=·=·(+)=++·=9.15.解析(1)m·n=sin A·cos B+sin B·cos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0<C<π,∴sin(A+B)=sin C,∴m·n=sin C,又m·n=sin 2C,∴sin 2C=sin C,∴cos C=,则C=.(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得2c=a+b.∵·(-)=18,∴·=18,即abcos C=18,ab=36.由余弦弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,∴c2=4c2-3×36,c2=36,∴c=6.16.解析(1)由题意知,f(x)=a·b=·=ksin·cos-kcos2=ksin-k·=-=sin-cos-=sin-.因为x∈R,所以f(x)的最大值为=,则k=1.(2)由(1)知, f(x)=sin-,所以f(A)=sin-=0,化简得sin=,因为<A<π,所以<-<,则-=,解得A=.因为cos A=-==,所以b2+c2+bc=40,则b2+c2+bc=40≥2bc+bc(当且仅当b=c时取等号), 所以bc≤=20(2-).则·=||||cos=-bc≥20(1-),所以·的最小值为20(1-).。

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1.设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),则(a+2b)·c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-112.(2016河南八市重点高中质检)已知平面向量a,b的夹角为,且a·(a-b)=8,|a|=2,则|b|等于( )A. B.2 C.3 D.43.已知e1,e2是单位向量,m=e1+2e2,n=5e1-4e2,若m⊥n,则e1与e2的夹角为( )A. B. C.π D.π4.(2016德州模拟)如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,<,>=60°,则||=( )A.1B.2C.D.55.如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2,=,=,若·=-,则·=( )A.-B.C.-D.6.已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb垂直,则实数k= .7.如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则·(-)= .8.已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,则||= .9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.(1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|;(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?10.(2016上海静安一模)如图,已知O为坐标原点,向量=(3cos x,3sin x),=(3cos x,sinx),=(,0),x∈.(1)求证:(-)⊥;(2)若△ABC是等腰三角形,求x的值.B组提升题组11.(2016河南商丘二模)已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( )A.[3,]B.[3,5]C.[3,4]D.[,5]12.(2016四川成都模拟)已知菱形ABCD边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R,若·=-3,则λ的值为( )A. B.-C. D.-13.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是.14.已知圆O的半径为2,AB是圆O的一条直径,C、D两点都在圆O上(C、D不与A、B重合),且||=2,求|+|.15.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=,n=,且m与n的夹角为.(1)求角C;(2)已知c=,S△ABC=,求a+b的值.答案全解全析A组基础题组1.C ∵a=(1,-2),b=(-3,4),∴a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6).又∵c=(3,2),∴(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3,故选C.2.D 因为a·(a-b)=8,所以a·a-a·b=8,即|a|2-|a||b|cos <a,b>=8,所以4+2|b|×=8,解得|b|=4.3.B 因为m⊥n,|e1|=|e2|=1,所以m·n=(e1+2e2)·(5e1-4e2)=5+6e1·e2-8=-3+6e1·e2=0.所以e1·e2=.设e1与e2的夹角为θ,则cos θ==.因为θ∈[0,π],所以θ=.4.C 因为O为BC中点,所以=(+),||2=(+2·+)=(12+2×1×3×cos60°+32)=,所以||=.5.A如图,作AF⊥BC于F,∵△ABC是等腰三角形,∴BF=FC=BC=1.因为=⇒D是AC的中点⇒=(+),所以·=-⇒(+)·(-)=-⇒-=-1⇒=5⇒||=,所以cos∠ABC==,·=(-)·=·(-)=·-=2××-×5=2-=-.6.答案±解析已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb垂直,则(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2=,所以k=±.7.答案-解析由已知得||=,||=,则·(-)=(+)·=·+·=cos +×=-.8.答案 2解析因为=,所以点D为BC的中点,所以=(+)=2m-2n,又因为|m|=,|n|=2,平面向量m,n的夹角为,所以||=2|m-n|=2=2=2.9.解析由已知得,a·b=4×8×=-16.(1)①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=4.②∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,∴|4a-2b|=16.(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)·(ka-b)=0,∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0.解得k=-7.即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.10.解析(1)证明:∵-=(0,2sin x),∴(-)·=0×+2sin x×0=0,∴(-)⊥.(2)△ABC是等腰三角形,则AB=BC,∴(2sin x)2=(3cos x-)2+sin2x,整理得2cos2x-cos x=0,解得cos x=0或cos x=.∵x∈,∴cos x=,x=.B组提升题组11.B∵a、b均为单位向量,且a·b=0,∴设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),代入|c-4a|+|c-3b|=5,得+=5,即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5(如图),令c的起点为坐标原点O,则c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段,又|c+a|=,表示M(-1,0)到线段AB上点的距离,最小值是点(-1,0)到直线3x+4y-12=0的距离,∴|c+a|min==3.又最大值为|MA|=5,∴|c+a|的取值范围是[3,5].故选B.12.A解法一:由题意可得·=2×2cos60°=2,·=(+)·(-)=(+)·[(-)-]=(+)·[(λ-1)-]=(1-λ)-·+(1-λ)·-=(1-λ)·4-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,∴λ=,故选A.解法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(1,),D(-1,).设P(x,0),则·=(-3,)·(x-1,-)=-3x+3-3=-3x=-3,得x=1.∵=λ,∴λ=.故选A.13.答案解析由已知可得=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=(-)-(+)=-,=+=+=(-)-(+)=-,因为·=4,所以·=4,则·=·=·--+·=·-(+)=×4-(+)=-1,所以+=,从而·=·=-·-+·=-(+)+·=-×+×4==.14.解析如图,连接OC,OD,则=+,=+,因为O是AB的中点,所以+=0,所以+=+,设CD的中点为M,连接OM,则+=+=2,易知△COD是边长为2的等边三角形,所以||=,故|+|=|2|=2.15.解析(1)因为向量m=,n=,所以m·n=cos2-sin2,|m|==1,|n|==1,又m与n的夹角为,所以cos ==cos2-sin2=cos C=,因为0<C<π,所以C=. (2)因为S△ABC=absin C=absin =ab,所以ab=,所以ab=6,又cos C=,所以==,解得a+b=.。

第3讲平面向量的数量积及应用举例1．平面向量的数量积(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°.已知a ，b 是平面向量．如果|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝2，那么|a －b |＝( ) A. 46 B ．7 C ．5D. 21解析：选A.由|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝9＋2a ·b ＋16＝4，得2a ·b ＝－21，所以|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝9＋21＋16＝46，所以|a －b |＝46.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．解析：因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7. 答案：7已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________．解析：b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2) ＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22＝3－2×1×1×cos π3－8＝－6.答案：－6平面向量数量积的运算[典例引领](1)(2018·豫南九校联考)已知向量a ＝(m ，2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a ·（a ＋b ）等于( ) A ．－53B ．1C ．2D. 54(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】 (1)因为a ⊥b ，所以2m －2＝0，所以m ＝1，则2a －b ＝(0，5)，a ＋b ＝(3，1)，所以a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5，|2a －b |＝5，所以|2a －b |a ·（a ＋b ）＝55＝1.(2)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B. 【答案】 (1)B (2)B在本例(2)的条件下，若D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于________． 解析：法一：(通性通法)因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝23，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋22－2×23×2×12＝289，即AD ＝273，同理可得AE ＝273，在△ADE中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝289＋289－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322×273×273＝1314，所以AD →·AE →＝|AD →|·|AE→|cos ∠DAE ＝273×273×1314＝269.法二：(光速解法)如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A ()0，3，D ⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫13，0，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3＝269.答案：269(1)向量数量积的两种运算方法①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解．[通关练习]1．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选D.a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52.2．(2018·云南省第一次统一检测)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( ) A ．48 B ．36 C ．24D ．12解析：选C.法一：AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24.法二：(特例图形)，若▱ABCD 为矩形，建立如图所示坐标系，则N (4，6)，M (8，4)． 所以AM →＝(8，4)，NM →＝(4，－2)所以AM →·NM →＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.3．(2017·高考北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO →＝(2，0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 法二：由题意知，AO →＝(2，0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO →·AP →＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 答案：6平面向量的夹角与模(高频考点)平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，属中档题．高考对平面向量的夹角与模的考查主要有以下三个命题角度： (1)求两向量的夹角； (2)求向量的模； (3)两向量垂直问题．[典例引领]角度一 求两向量的夹角(2018·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( ) A.π6 B.5π6 C.π4D.3π4【解析】 因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝3，又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝（a ＋2b ）·b|a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6. 【答案】A角度二 求向量的模在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 设AB 的长为a (a >0)，又因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0，所以a ＝12，即AB 的长为12.【答案】 12角度三 两向量垂直问题已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】 因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0. 所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】712(1)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ·b|a ||b |，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系； ②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22； (2)求向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量模的运算转化为数量积运算．②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．[通关练习]1．(2018·河南百校联盟联考)已知非零向量a ，b 满足：2a ·(2a －b )＝b ·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________．解析：由2a ·(2a －b )＝b ·(b －2a )得4a 2＝b 2，由|a －2b |＝3|a |得a 2－22a ·b ＋2b 2＝9a 2，则a ·b ＝0，即a ⊥b ，所以a 与b 的夹角为90°. 答案：90°2．(2017·高考山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________解析：因为（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2， 故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案：33 3．(2018·东北四市高考模拟)已知向量OA →＝(3，1)，OB →＝(－1，3)，OC →＝mOA →－nOB →(m >0，n >0)，若m ＋n ＝1，则|OC →|的最小值为________．解析：由OA →＝(3，1)，OB →＝(－1，3)得OC →＝mOA →－nOB →＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m >0，n >0)，所以n ＝1－m 且0<m <1，所以OC →＝(1＋2m ，4m －3)，则|OC →|＝（1＋2m ）2＋（4m －3）2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋5(0<m <1)，所以当m ＝12时，|OC →|min ＝ 5.答案： 5向量数量积的综合应用[典例引领](2017·高考江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 【解】 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[通关练习]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin A2，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，则∠A ＝________．解析：因为2m ·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2 A 2＝sin A －(cos A ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m |＝1，所以2m ·n ＋|m |＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝12.因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.答案：5π122．(2018·山东模拟)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cosB ，2cos 2 C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0.(1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， 所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，所以cos C ＝12，而C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ，所以a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之也不成立．易错防范(1)a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .(2)a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立．1．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．2D ．3解析：选D.依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb2＋(2λ－1)a ·b ＝0，－3λ＋9＝0，λ＝3.2．(2018·山西四校联考)向量a ，b 满足|a ＋b |＝23|a |，且(a －b )·a ＝0，则a ，b 的夹角的余弦值为( ) A ．0 B.13 C.12D.32解析：选B.(a －b )·a ＝0⇒a 2＝b ·a ，|a ＋b |＝23|a |⇒a 2＋b 2＋2a ·b ＝12a 2⇒b 2＝9a 2，所以cos 〈a ，b 〉＝b ·a |b |·|a |＝a 23|a |·|a |＝13.故选B.3．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知向量a ＝(1，0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为( ) A.55B ．－55C ．1D ．－1解析：选 D.依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d|d |＝－1，选D.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥AB →.所以∠A ＝90°，又因为根据条件不能得到|AB →|＝|AC →|.故选C.5．(2018·福建漳州八校联考)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－92D.92解析：选 D.由|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方可得，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →)，即AB →2＋AC →2＝4AB →·AC →，又|AB →|＝|AC →|＝3，所以AB →·AC →＝92，又因为CB →＝AB →－AC →，所以CB →·CA →＝(AB →－AC →)·(－AC →)＝AC →2－AB →·AC →＝9－92＝92，故选D.6．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2 b |＝ ________ .解析：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.答案：2 37．(2018·江西七校联考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________． 解析：因为b 在a 上的投影为－3，所以|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋（3）2＝2，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a ·b ＝1×3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b |＝32＋（－33）2＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为23π.答案：23π8．(2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.又AB →·AC →＝3×2×12＝3，所以AD →·AE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(－AB →＋λAC →)＝－13AB →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23AB →·AC →＋23λAC →2＝－3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4，则λ＝311.答案：3119．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )． (1)若a ⊥(a ＋b )，求|b |的值；(2)若a ＋2b ＝(4，－7)，求向量a 与b 夹角的大小． 解：(1)由题意得a ＋b ＝(3，－1＋x )． 由a ⊥(a ＋b )，可得6＋1－x ＝0， 解得x ＝7，即b ＝(1，7)， 所以|b |＝50＝5 2.(2)a ＋2b ＝(4，2x －1)＝(4，－7)， 故x ＝－3， 所以b ＝(1，－3)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝（2，－1）·（1，－3）5×10＝22，因为〈a ，b 〉∈[0，π]， 所以a 与b 夹角是π4.10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解：(1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a ·b －27＝61，所以a ·b ＝－6.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13. (3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.1．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是( ) A.33B.22C.23D.34解析：选C.设BC 的中点为M ，则AG →＝23AM →.又M 为BC 中点， 所以AM →＝12(AB →＋AC →)，所以AG →＝23AM →＝13(AB →＋AC →)，所以|AG →|＝13AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →.又因为AB →·AC →＝－2，∠A ＝120°， 所以|AB →||AC →|＝4.所以|AG →|＝13AB →2＋AC →2－4≥132|AB →||AC →|－4＝23，当且仅当|AB →|＝|AC →|时取“＝”， 所以|AG →|的最小值为23，故选C.2．(2018·广东七校联考)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.不妨设点M 靠近点A ，点N 靠近点C ，以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B (0，0)，A (0，2)，C (2，0)，线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)．设M (a ，2－a )，N (a ＋1，1－a )(由题意可知0<a <1)，所以BM →＝(a ，2－a )，BN →＝(a ＋1，1－a )，所以BM →·BN→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋32，因为0<a <1，所以由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.3．设非零向量a 与b 的夹角是5π6，且|a |＝|a ＋b |，则|2a ＋t b ||b |的最小值是________．解析：因为非零向量a 与b 的夹角是5π6，且|a |＝|a ＋b |， 所以|a |2＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b 2|＋2|a |·|b |cos 5π6，所以|b |2－3|a ||b |＝0，所以|b |＝3|a |，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋t b ||b |2＝4|a |2＋t 2|b |2＋4t a ·b |b |2＝4|a |2＋t 2·3|a |2－6t |a |23|a |2＝t 2－2t ＋43＝(t －1)2＋13， 所以当t ＝1时，|2a ＋t b ||b |取最小值13＝33. 答案：334．(2018·昆明质检)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )； ③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)解析：当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a·e|＜|a|·|e |＜|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④. 答案：①④5．(2018·安康模拟)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (0，2)、B (4，1)、C (－6，9)． (1)若AD 是BC 边上的高，求向量AD →的坐标；(2)若点E 在x 轴上，使△BCE 为钝角三角形，且∠BEC 为钝角，求点E 横坐标的取值范围． 解：(1)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y －2)， BD →＝(x －4，y －1)，由题意知AD ⊥BC ，则AD →·BC →＝0，即－10x ＋8(y －2)＝0，即5x －4y ＋8＝0，① 由BD →∥BC →，得8(x －4)＝－10(y －1)， 即4x ＋5y －21＝0，② 联立①②解得x ＝4441，y ＝13741，则AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4441，5541.(2)设E (a ，0)，则EB →＝(4－a ，1)，EC →＝(－6－a ，9)， 由∠BEC 为钝角，得(4－a )·(－6－a )＋9＜0，解得－5＜a ＜3， 由EB →与EC →不能共线，得9(4－a )≠－6－a ，解得a ≠214.故点E 的横坐标的取值范围为(－5，3)．6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1.所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

1．向量的夹角2.平面向量的数量积设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b. 3．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a.(2)(λa)·b ＝λ(a ·b)＝a ·(λb)． (3)(a ＋b)·c ＝a ·c ＋b ·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22[小题体验]1．已知|a|＝2，|b|＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为________． 答案：5π62．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b)⊥a ，则|b|＝________.解析：因为a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，所以a －2b ＝(－3,3－2t )．因为(a －2b)⊥a ，所以(a －2b)·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，所以b ＝(1,2)，所以|b|＝12＋22＝ 5.答案： 53．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.解析：由b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，得b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝－6.答案：－61．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c(a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量． 2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b ＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b ＜0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b. 4．在用|a|＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方． [小题纠偏] 1．给出下列说法：①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；②若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a ·b)c ＝a(b ·c)；④若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0. 其中正确的说法有________个． 答案：02．已知向量BA ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝________.解析：因为BA ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，所以BA ―→·BC ―→＝34＋34＝32.所以cos ∠ABC ＝BA ―→·BC ―→| BA ―→||BC ―→|＝32，又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°. 答案：30°3．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b|＝23，则|b|＝________.解析：因为a ＝(1，3)，所以|a|＝2，又|a －2b|＝23，即|a|2－4a ·b ＋4|b|2＝12，故22－4×2×|b|×cos π3＋4|b|2＝12，化简得|b|2－|b|－2＝0，所以|b|＝2.答案：2考点一 平面向量的数量积的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b)·c ＝________. 解析：因为a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， 所以(a ＋2b)·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3. 答案：－32．(2018·南京高三年级学情调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM ―→＝λBC ―→.若AM ―→·BC ―→＝－173，则实数λ＝________.解析：因为BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→，AB ―→·AC ―→＝2×3×cos 120°＝－3.所以AM ―→·BC ―→＝(λ－1)AB ―→2＋λAC ―→2＋(1－2λ)AB ―→·AC ―→＝19λ－12＝－173，所以λ＝13.答案：133．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)， 所以|a|＝－22＋－62＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案：104．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的中点，则AB ―→·AD ―→＝________.解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22，所以AB ―→·AD ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CD ―→)＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CD ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 45°＋|AB ―→|·|CD ―→|cos 45°＝22×2×22＋22×1×22＝6.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)，D (－1,0)，所以AB ―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，AD ―→＝ (－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，所以AB ―→·AD ―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.答案：6[谨记通法]向量数量积的2种运算方法考点二 平面向量数量积的性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题． 常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直．[题点全练]角度一：平面向量的模1．(2018·苏州高三暑假测试)已知平面向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，若|a ＋b|＝52，则|b|＝________. 解析：因为a ＝(2,1)，所以|a|＝5，又|a ＋b|＝52，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，所以b 2＝25，所以|b|＝5.答案：5角度二：平面向量的夹角2．(2018·太湖高级中学检测)已知|a|＝1，|b|＝2，且a ⊥(a －b)，则向量a 与向量b 的夹角为________． 解析：因为a ⊥(a －b)，所以a ·(a －b)＝a 2－a ·b ＝1－2cos a ，b ＝0，所以cos a ，b ＝22， 所以a ，b ＝π4.答案：π43．(2019·启东中学检测)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．解析：如图，在△ABC 中，设BC ―→＝β，BA ―→＝α， 则AC ―→＝BC ―→－BA ―→＝β－α.因为α与β－α的夹角为120°，所以A ＝60°.由正弦定理得BC sin A ＝BA sin C ，则BA ＝233sin C ．又0＜sin C ≤1，所以0＜BA ≤233，故α的模的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，233.答案：⎝⎛⎦⎤0，233角度三：平面向量的垂直4．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量AB ―→＝(6,1)，BC ―→＝(x ，y )，CD ―→＝(－2，－3)，且AD ―→∥BC ―→. (1)求x 与y 之间的关系式；(2)若AC ―→⊥BD ―→，求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题意得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝(x ＋4，y －2)，BC ―→＝(x ，y )． 因为AD ―→∥BC ―→，所以(x ＋4)y －(y －2)x ＝0， 即x ＋2y ＝0.(2)由题意得AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝(x ＋6，y ＋1)，BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝(x －2，y －3)． 因为AC ―→⊥BD ―→，所以(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1时，AC ―→＝(8,0)，BD ―→＝(0，－4)， S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝16；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3时，AC ―→＝(0,4)，BD ―→＝(－8,0)， S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝16.所以四边形ABCD 的面积为16.[通法在握]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b| a |·|b|，要注意θ∈[0，π]．(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a|2或|a|＝a ·a. ②|a ±b|＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2.(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b|＝|a ＋b|.[演练冲关]1．(2019·海安模拟) 已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a －3b|＝________. 解析：由题意可得a ·b ＝|a|·|b|cos π3＝3， 所以|2a －3b|＝2a －3b2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61.答案：612．已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b|＝1，|a －b|＝21，则向量a ，b 的夹角为________． 解析： 易知|b|＝1，|a|＝5，对|a －b|＝21两边平方，整理得2a ·b ＝5， 即2|a||b|cos θ＝5，解得cos θ＝12，则向量a ，b 的夹角为π3.答案：π33．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λ AB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：BC ―→＝AC ―→－AB ―→，由于AP ―→⊥BC ―→， 所以AP ―→·BC ―→＝0，即(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→) ＝－λAB ―→2＋AC ―→2＋(λ－1)AB ―→·AC ―→＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12 ＝0，解得λ＝712.答案：712考点三 平面向量与三角函数的综合重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·启东高三期中)已知向量a ＝(sin x,2)，b ＝(cos x ，1)，函数f (x )＝a ·b. (1)若a ∥b ，求tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的值；(2)求函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值和最大值．解：(1)由a ∥b ，得sin x ＝2cos x ．所以tan x ＝2. 所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋11－tan x ＝－3.(2)因为f (x )＝a ·b ＝sin x ·cos x ＋2＝12sin 2x ＋2，所以y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，从而－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1.于是，当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12有最小值74，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12有最大值52.[由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．[即时应用]已知向量m ＝(3cos x ，－1)，n ＝(sin x ，cos 2x )． (1)当x ＝π3时，求m ·n 的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，且m ·n ＝33－12，求cos 2x 的值．解：(1)当x ＝π3时，m ＝⎝⎛⎭⎫32，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫32，14，所以m ·n ＝34－14＝12.(2)m ·n ＝3cos x sin x －cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. 若m ·n ＝33－12，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12＝33－12， 即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝33.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以－π6≤2x －π6≤π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝63，则cos 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6sin π6＝63×32－33×12＝32－36.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·海门模拟)向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________． 解析：∵向量a ＝(3,4)，b ＝(1，－1)， ∴向量a 在向量b 方向上的投影为 |a|cos θ＝a ·b | b|＝3×1＋4－112＋－12＝－22.答案：－222．(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b)＝8，|a|＝2，则|b|＝________.解析：因为a ·(a －b)＝8，所以a ·a －a ·b ＝8， 即|a|2－|a||b|cos a ，b ＝8， 所以4＋2|b|×12＝8，解得|b|＝4.答案：43．(2018·苏州期末)已知a ＝(m,2)，b ＝(1，n )，m ＞0，n ＞0，且|a|＝4，|b|＝2，则向量a 与b 的夹角是________．解析：设向量a 与b 的夹角是θ，θ∈[0，π]， ∵a ＝(m,2)，b ＝(1，n )，m ＞0，n ＞0，且|a|＝4，|b|＝2， ∴m 2＋4＝16,1＋n 2＝4，解得m ＝23，n ＝ 3. ∴a ·b ＝m ＋2n ＝43＝4×2×cos θ，∴cos θ＝32，则向量a 与b 的夹角是π6. 答案：π64．(2018·滨海期末)已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(3，t )，若a ⊥b ，则|2a ＋b|＝________. 解析：∵向量a ＝(－1,3)，b ＝(3，t )，a ⊥b ， ∴a ·b ＝－3＋3t ＝0，解得t ＝1， ∴b ＝(3,1)，2a ＋b ＝(1,7)， 故|2a ＋b|＝1＋49＝5 2. 答案：5 25．(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠ABC ＝60°，则AB ―→·AC ―→＝________.解析：由题意得AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，所以AB ―→·AC ―→＝AB ―→·(AB ―→＋AD ―→)＝AB ―→2＋AB ―→·AD ―→＝4＋2×1×cos 120°＝3.答案：36．(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC ，BD ―→＝12BC ―→，AE ―→＝13AC ―→，AD 与BE 交于点P ，则PB ―→·PD ―→的值为________．解析：如图，以D 为原点，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，D (0,0)，A (0，33)，E (1, 23)，P ⎝⎛⎭⎫0，332，所以PB ―→·PD―→＝|PD ―→|2＝⎝⎛⎭⎫3322＝274.答案：274二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·淮安调研)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a|＝________. 解析：由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b)·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3， 所以|a|＝1＋x 2＝4＝2. 答案：22．(2019·如皋模拟)已知平面向量a 与b 的夹角为60°， a ＝(3,4)，|b|＝1，则|a －2b|＝________. 解析：∵a ＝(3,4)，∴|a|＝32＋42＝5，又|b|＝1，∴a ·b ＝|a|·|b|cos 60°＝5×1×12＝52，∴|a －2b|2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝25＋4－10＝19， 则|a －2b|＝19. 答案：193．(2018·苏北四市期末)已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________． 解析：因为非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|，所以a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，a ·b ＝－12a 2＝－12b 2，所以a ·(2a －b)＝2a 2－a ·b ＝52a 2，|2a －b|＝2a －b2＝5a 2－4 a ·b ＝7|a|，cos 〈a,2a －b 〉＝a 2a －b |a|·|2a －b|＝52a 2|a|·7|a|＝527＝5714.答案：57144．(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 所在平面内一点，且满足P A ＝3，PC ＝4，矩形对角线AC ＝6，则PB ―→·PD ―→＝________.解析：由题意可得PB ―→·PD ―→＝(P A ―→＋AB ―→)·(P A ―→＋AD ―→)＝P A ―→2＋P A ―→·AD ―→＋AB ―→·P A ―→＋AB ―→·AD ―→＝9＋P A ―→·(AD ―→＋AB ―→)＋0＝9＋P A ―→·AC ―→＝9＋3×6×cos(π－∠P AC )＝9－18×P A 2＋AC 2－PC 22×P A ×AC ＝9－18×9＋36－162×3×6＝－112.答案：－1125．(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→，λ∈R ，若BD ―→·CP ―→＝－3，则λ＝________.解析：法一：由题意可得BA ―→·BC ―→＝2×2cos π3＝2，BD ―→·CP ―→＝(BA ―→＋BC ―→) ·(BP ―→－BC ―→) ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(AP ―→－AB ―→)－BC ―→] ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(λ－1)·AB ―→－BC ―→]＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→·BC ―→＋(1－λ)BA ―→·BC ―→－BC ―→2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， 所以λ＝12.法二：建立如图所示的平面直角坐标系， 则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ―→·CP ―→＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1.因为AP ―→＝λAB ―→，所以λ＝12.答案：126．(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→＝________.解析：BC ―→·DC ―→＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝(OC ―→＋OD ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝OC ―→2－OD ―→2，同理，AB ―→·AD ―→＝AO ―→2－OD ―→2＝－7，所以BC ―→·DC ―→＝OC ―→2－OD ―→2＝OC ―→2－AO ―→2－7＝9.答案：97．(2019·崇川一模)若非零向量a 与b 满足|a|＝|a ＋b|＝2，|b|＝1，则向量a 与b 夹角的余弦值为________．解析：∵非零向量a 与b 满足|a|＝|a ＋b|＝2，|b|＝1， ∴|a|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a ·b ， 即a ·b ＝－12|b|2＝－12×12＝－12，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a||b|＝－122×1＝－14，∴向量a 与b 夹角的余弦值为－14.答案：－148．(2018·盐城期中)如图，在四边形ABCD 中，A ＝π3，AB ＝2，AD ＝3，分别延长CB ，CD 至点E ，F ，使得CE ―→＝λCB ―→，CF ―→＝λCD ―→，其中λ＞0，若EF ―→·AD ―→＝15，则λ的值为________．解析：∵EF ―→＝CF ―→－CE ―→＝λCD ―→－λCB ―→＝λBD ―→＝λ(AD ―→－AB ―→)， ∴EF ―→·AD ―→＝λ(AD ―→－AB ―→)·AD ―→＝λ(AD ―→2－AB ―→·AD ―→)＝λ(9－3)＝15， ∴λ＝52.答案：529．(2019·通州调研)设两个向量a ，b 不共线．(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若|a|＝2，|b|＝3，a ，b 的夹角为60°，求使向量k a ＋b 与a ＋k b 垂直的实数k 的值． 解：(1)证明：∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝(a ＋b)＋(2a ＋8b)＋3(a －b) ＝6(a ＋b)＝6AB ―→，∴AD ―→与AB ―→共线，且有公共点A ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 垂直， ∴(k a ＋b)·(a ＋k b)＝0，∴k a 2＋(k 2＋1)|a||b|·cos 60°＋k b 2＝0， 即3k 2＋13k ＋3＝0， 解得k ＝－13±1336.10．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP ―→＝2PD ―→. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP ―→·BP ―→的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP ―→·BP ―→＝6，求AB ―→与AD ―→夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ―→⊥AD ―→，即AB ―→·AD ―→＝0， 又AB ＝9，BC ＝6，CP ―→＝2PD ―→， 所以AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋13AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－23AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋13AB ―→·⎝⎛⎭⎫AD ―→－23AB ―→＝AD ―→2－13AB ―→·AD ―→－29AB ―→2＝62－29×92＝18.(2)设AB ―→与AD ―→的夹角为θ，由(1)得， AP ―→·BP ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋13AB ―→·⎝⎛⎭⎫AD ―→－23AB ―→＝AD ―→2－13AB ―→·AD ―→－29AB ―→2＝62－ 13×9×6×cos θ－29×92＝6，所以cos θ＝23.故AB ―→与AD ―→夹角的余弦值为23.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为AB 上的一点，若OP ―→·OA ―→＝2，则OP ―→·AB ―→＝________.解析：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，由OP ―→·OA ―→＝2，可得2x ＝2，x ＝1，P 为A B 上的一点，所以|OP ―→|＝2，所以P (1，3)，OP ―→＝(1，3)，又AB ―→＝(－2,2)，所以OP ―→·AB ―→＝－2＋2 3.答案：－2＋2 32．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q.若||AB ―→＝3，||AC―→＝5，则(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→)的值为________． 解析：法一：因为AP ―→＝A Q ―→＋Q P ―→，所以AP ―→＋A Q ―→＝2A Q ―→＋Q P ―→，而AB ―→－AC ―→＝CB ―→，由于Q P ―→⊥CB ―→，所以Q P ―→·CB ―→ ＝0，所以(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝(2A Q ―→＋Q P ―→)·CB ―→＝2A Q ―→·CB ―→，又因为Q 是BC 的中点，所以2A Q ―→＝AB ―→＋AC ―→，故2A Q ―→·CB ―→＝(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→2－AC ―→2＝9－25＝－16.法二：由题意得△ABC 是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB ⊥BC ，从而P 为AC 的中点． 又|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝5，所以|BC ―→|＝4，cos ∠BAC ＝35，故AP ―→＋A Q ―→＝12AC ―→＋12(AB ―→＋AC ―→)＝12AB ―→＋AC ―→，从而(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→) ＝⎝⎛⎭⎫12AB ―→＋AC ―→·(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→2＋12AB ―→·AC ―→－AC ―→2 ＝12×9＋12×3×5×35－25＝－16.答案：－163．(2019·姜堰中学调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，AD ⊥BC 于D ，求BA ―→·AD ―→的值．解：(1) 由m ·n ＝35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )·sin B ＝35，所以cos A ＝35.因为0＜A ＜π2，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝45.(2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22.因为0＜B ＜π2，所以B ＝π4，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22(sin A ＋cos A )＝7210. 又|AD ―→|＝|AC ―→|sin C ＝5×7210＝722，所以BA ―→·AD ―→＝(BD ―→＋DA ―→)·AD ―→＝－AD ―→2＝－|AD ―→|2＝－492.命题点一 平面向量基本定理1．(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC 中，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：由题知EB ―→＝EA ―→＋AB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＝－12⎣⎡⎦⎤12AB ―→＋AC ―→＋AB ―→＝34AB ―→－14AC ―→＝34a －14b. 答案：34a －14b2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b)，则λ＝________.解析：由题易得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b)， 所以4λ＝2，解得λ＝12.答案：123．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎫15，75. 又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.答案：34．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝2－5＝－3.答案：－3命题点二 平面向量的数量积1.(2016·江苏高考)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA ―→·CA ―→＝4，BF ―→·CF ―→＝－1，则BE ―→·CE ―→的值是________．解析：由题意，得BF ―→·CF ―→＝(BD ―→＋DF ―→)·(CD ―→＋DF ―→)＝(BD ―→＋DF ―→)·(－BD ―→＋DF ―→)＝DF ―→2－BD ―→2 ＝|DF ―→|2－|BD ―→|2＝－1，①BA ―→·CA ―→＝(BD ―→＋DA ―→)·(CD ―→＋DA ―→) ＝(BD ―→＋3DF ―→)·(－BD ―→＋3DF ―→) ＝9DF ―→2－BD ―→2 ＝9|DF ―→|2－|BD ―→|2＝4.② 由①②得|DF ―→|2＝58，|BD ―→|2＝138.所以BE ―→·CE ―→＝(BD ―→＋DE ―→)·(CD ―→＋DE ―→) ＝(BD ―→＋2DF ―→)·(－BD ―→＋2DF ―→)＝4DF ―→2－BD ―→2 ＝4|DF ―→|2－|BD ―→|2＝4×58－138＝78.答案：782．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ―→＝3PD ―→，AP ―→·BP ―→＝2，则AB ―→·AD ―→的值是________．解析：因为AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋14AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－34AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→·⎝⎛⎭⎫AD ―→－34AB ―→＝|AD ―→|2－316|AB ―→|2－12AD ―→·AB ―→＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ―→·AD ―→＝22.答案：223．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b)＝________.解析：a ·(2a －b)＝2a 2－a ·b ＝2|a|2－a ·b. ∵|a|＝1，a ·b ＝－1， ∴原式＝2×12＋1＝3. 答案：34．(2018·北京高考)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b)，则m ＝________. 解析：因为a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )， 所以m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b)，得a ·(m a －b)＝0， 即m ＋1＝0，所以m ＝－1. 答案：－15.(2018·天津高考改编)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ―→·BE ―→的最小值为________．解析：如图，以D 为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC . 由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°， 则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE ―→＝(－1，y )，BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－32，y －32，∴AE ―→·BE ―→＝32＋y 2－32y ＝⎝⎛⎭⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE ―→·BE ―→有最小值2116. 答案：21166．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (cos α，sin α)，则AP ―→＝(cos α＋2，sin α)，AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.法二：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，当且仅当x ＝1，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.答案：67．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m ＝________. 解析：因为|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a ·b ＝|a|2＋|b|2， 所以a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，所以m ＋2＝0，所以m ＝－2. 答案：－28．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.。

平面向量的数量积与平面向量应用举例[考试要求]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a·b投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21数量积a·b＝|a||b|cos θa·b＝x1x2＋y1y2夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同．a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.[常用结论]1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．3．a在b方向上的投影为，b在a方向上的投影为.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材习题衍生1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝() A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11C[∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.]2．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于() A．13＋62B．25C．30D．34D[∵a＝(1,1)，∴|a|＝1＋1＝2.∴a·b＝|a||b|cos 45°＝22×22＝2.∴|3a＋b|＝9a2＋b2＋6a·b＝18＋4＋12＝34.故选D.]3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________.8[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]4．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ＝________，a在b方向上的投影为________．5π6－3[cos θ＝a·b|a|·|b|＝－632×6＝－32.又因为0≤θ≤π，所以θ＝5π6.a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－636＝－ 3.]考点一 平面向量数量积的运算平面向量数量积的三种运算方法[典例1] (1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE →·DF→＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)已知两个单位向量a 与b 的夹角为60°，则向量a －b 在向量a 方向上的投影为________．(1)B (2)12 [(1)法一：(定义法)根据题意，得DE →·DF →＝(DA →＋AE →)·(DC→＋CF →)＝DA →·DC →＋DA →·CF →＋AE →·DC →＋AE →·CF→＝0＋2×1×cos 0＋2×4×cos 0＋0＝10. 法二：(坐标法)以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (0,0)，B (4,0)，C (4,2)，D (0,2)．∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴E (2,0)，F (4,1)．∵DE →＝(2，－2)，DF →＝(4，－1)，∴DE →·DF →＝2×4＋(－2)×(－1)＝10. (2)由两个单位向量a 和b 的夹角为60°，可得a ·b ＝1×1×12＝12，所以(a －b )·a ＝a 2－a·b ＝1－12＝12，所以向量a －b 在向量a 方向上的投影为错误!＝错误!＝错误!.]点评：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐标法．定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系．[跟进训练]1．在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( )A ．6B ．6C ．12D ．18D [如图，过点O 作OD ⊥AB 于D ， 可知AD ＝12AB ＝3，则AO →·AB →＝(AD →＋DO →)·AB →＝AD →·AB →＋DO →·AB→＝3×6＋0＝18.] 2．(2020·成都模拟)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM→＝________. 24 [法一：(定义法)AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC→＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24. 法二：(特例图形)：若▱ABCD 为矩形，建立如图所示坐标系，则N (4,6)，M (8,4)．所以AM→＝(8,4)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝(8,4)·(4，－2)＝32－8＝24.] 考点二 平面向量数量积的应用平面向量的模求向量模的方法(1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a·a .(2)|a ±b |＝错误!＝错误!. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x2＋y2.[典例2－1] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC中，AB→＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD →|等于( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA→＋3PB →|的最小值为________． (1)A (2)5 [(1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b ·a ＋b 2)＝4×⎝⎛⎭⎪⎪⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则PA→＋3PB→＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．所以|PA→＋3PB→|＝错误!(0≤y≤b)．当y＝34b时，|PA→＋3PB→|min＝5.]点评：求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．平面向量的夹角求向量夹角问题的方法[典例2－2](1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3 C.2π3D.5π6(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．(1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－92，3 [(1)法一：因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a·b －|b |2＝0，又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos 〈a ，b 〉－|b |2＝0，即cos 〈a ，b 〉＝12，又知〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π3，故选B.法二：如图，令OA→＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b ，因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝90°，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即〈a ，b 〉＝π3.故选B.(2)因为2a －3b 与c 的夹角为钝角，所以(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0，所以4k －6－6＜0，所以k ＜3.若2a －3b 与c 反向共线，则2k －32＝－6，解得k ＝－92，此时夹角不是钝角，综上所述，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－92，3.]点评：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．两个向量垂直问题1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[典例2－3] (1)(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC→，则实数λ的值为________． (1)D (2)712 [(1)法一：由题意，得a·b ＝|a|·|b |cos 60°＝12.对于A ，(a ＋2b )·b ＝a·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0，故A 不符合题意；对于B ，(2a ＋b )·b ＝2a·b ＋b 2＝1＋1＝2≠0，故B 不符合题意；对于C ，(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝12－2＝－32≠0，故C 不符合题意；对于D ，(2a －b )·b ＝2a·b －b 2＝1－1＝0，所以(2a －b )⊥b .故选D.法二：不妨设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32，b ＝(1,0)，则a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，32，2a ＋b ＝(2，3)，a－2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，32，2a －b ＝(0，3)，易知，只有(2a －b )·b ＝0，即(2a －b )⊥b ，故选D.(2)因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC→＝0.又AP→＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0， 所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712.]点评：解答本例(2)的关键是BC→的转化，考虑到AP →＝λAB →＋AC →，且AB →与AC →的夹角为120°，故BC →＝AC →－AB →.从而AP →⊥BC →可转化为AP →·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0.[跟进训练]1．(2021·全国统一考试模拟演练)已知单位向量a ，b 满足a·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉＝( ) A.73 B.23C.79D.29B [设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(7，2)，所以cos 〈a ，c 〉＝a·c |a|·|c|＝73，sin 〈a ，c 〉＝23.]2．(2020·福州模拟)已知向量|OA→|＝3，|OB →|＝2，OC →＝m OA →＋n OB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数m n的值为( )A ．16B ．14C ．6D ．4A [因为向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝m OA →＋n OB →，OA →与OB →夹角为60°，所以OA →·OB →＝3×2×cos 60°＝3，所以AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(m OA →＋n OB →)＝(m －n )OA →·OB→－m |OA →|2＋n |OB →|2 ＝3(m －n )－9m ＋4n ＝－6m ＋n ＝0，所以m n ＝16，故选A.]3．(2020·全国卷Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 3 [∵a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，∴(a ＋b )2＝1，∴1＋1＋2a ·b ＝1，∴a ·b ＝－12，∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1＋1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝3，∴|a －b |＝3.]考点三 平面向量的应用平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查．解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解．[典例3] (1)设P 是△ABC 所在平面内一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，且AB →2＝AC →2－2BC →·AP→，则点P 是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心(2)在△ABC 中，AB →＝(3sin x ，sin x )，AC→＝(－sin x ，cos x )．①设f (x )＝AB →·AC→，若f (A )＝0，求角A 的值；②若对任意的实数t ，恒有|AB→－t AC →|≥|BC →|，求△ABC 面积的最大值． (1)A [由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA→－CP →)]＝0， 所以AB →·(PB→＋PA →)＝0. 设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0. 由AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，得 (AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝－2BC →·AP →， 即(AB →＋AC →－2AP →)·BC→＝0. 设E 为BC 的中点，则(2AE →－2AP →)·BC →＝0，则2PE →·BC →＝0， 故BC →·PE→＝0. 所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点， 所以P 是△ABC 的外心．故选A.] (2)[解] ①f (x )＝AB →·AC→＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋sin 2x2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3－32.∵f (A )＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π3＝32.又∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，2π＋π3，∴2A ＋π3＝2π3，∴A ＝π6.②如图，设AD→＝t AC →，则AB →－t AC →＝DB →，即|DB →|≥|BC →|恒成立，∴AC ⊥BC . ∵|AB →|＝4sin2x ＝2－2cos 2x ≤2，|AC→|＝1，∴|BC→|＝|AB→|2－|AC →|2≤3， ∴△ABC 的面积S ＝12BC ·AC ≤32，当且仅当cos 2x ＝0，即x ＝π4＋k π，k ∈Z 时等号成立，∴△ABC 面积的最大值为32.点评：运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心 (1)|OA→|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)⇔O 是△ABC 的内心；(2)OA→＋OB →＋OC →＝0⇔O 是△ABC 的重心； (3)OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA→⇔O 是△ABC 的垂心； (4)OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|⇔O是△ABC 的内心．[跟进训练]1．(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为F 1，F 2，且|F 1|＝|F 2|，F 1与F 2的夹角为θ.给出以下结论，其中正确的是( )A ．θ越大越费力，θ越小越省力B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |AD [对于A ，由|G |＝|F 1＋F 2|为定值，所以|G|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1|×|F 2|×cos θ＝2|F 1|2(1＋cos θ)，解得|F 1|2＝错误!.由题意知θ∈[0，π)时，y ＝cos θ单调递减，所以|F 1|2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力，A 正确；对于B ，由题意知，θ的取值范围是[0，π)，故B 错误；对于C ，当θ＝π2时，|F 1|2＝|G|22，所以|F 1|＝22|G |，故C 错误；对于D ，当θ＝2π3时，|F 1|2＝|G |2，所以|F 1|＝|G |，故D 正确．故答案为AD.]2．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，其面积S ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，332，则AB →与BC →夹角的取值范围为( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π4 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π3 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π3 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3，3π4C [设AB →与BC →的夹角为θ，∵AB →·BC →＝3，∴|AB →||BC →|cos θ＝3，即|AB →||BC →|＝3cos θ.又S ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，332，故32≤12|AB →||BC →|sin(π－θ)≤332，所以32≤32tan θ≤332，即33≤tan θ≤3.又θ∈[0，π]，∴π6≤θ≤π3.故选C.]备考技法4 平面向量中的最值(范围)问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.数量积的最值(范围)问题[技法展示1] 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB→＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1B [法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图①所示，设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，连接AD ，PE ，PD ，则有PB→＋PC →＝2PD →，图①则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →)＝2(PE →2－EA →2)．而EA →2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫322＝34， 当点P 与点E 重合时，PE →2有最小值0，故此时PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.法二：(坐标法)如图②，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以边BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB→＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB→＋PC →)取得最小值，最小值为－32.]图②[评析] 设a ，b 是平面内的两个向量，则有a·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]；极化恒等式的几何意义是在△ABC 中，若AD 是BC 边上的中线，则AB →·AC→＝AD 2－BD 2.具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．[技法应用]1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则A P →·A B →的取值范围是( )A ．(－2,6)B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6)A [AP →·AB →＝|AP →|·|AB →|·cos ∠P AB ＝2|AP →|cos ∠P AB ，又|AP →|cos ∠P AB 表示AP →在AB →方向上的投影，所以结合图形(图略)可知，当P 与C 重合时投影最大，当P 与F 重合时投影最小．又AC →·AB→＝23×2×cos 30°＝6，AF →·AB →＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，AP →·AB→∈(－2,6)，故选A.]2．在半径为1的扇形AOB 中，若∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP→的最小值是________． －116[方法一：(极化恒等式)如图①，取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →＝PD 2－OD 2＝PD 2－14，即求PD 的最小值．图①由图可知，当PD ⊥OB 时，PD min ＝34，则OP →·BP →的最小值是－116.方法二：(坐标法)以OB 所在的直线为x 轴，过点A 且垂直于OB 的直线为y 轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，图②则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，O ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0， 可得直线AB 的方程为2x ＋233y ＝1，设P 错误!， 则OP →＝错误!，BP→＝错误!， 所以OP →·BP →＝4x 2－3x ＋12＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －382－116，当x ＝38时，OP →·BP →的最小值是－116.]模的最值问题[技法展示2] (2020·赣州模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝2，|b |＝1，若对任意的正实数λ，|a －λb |的最小值为3，则cos θ＝( ) A ．22B ．12C ．±12D ．0B [方法一(函数法)：根据题意，|a |＝2，|b |＝1，a ，b 的夹角为θ，则a·b ＝2cos θ，若对任意的正实数λ，|a －λb |的最小值为3，则|a －λb |2的最小值为3，则|a －λb |2＝a 2＋λ2b 2－2λa·b＝4＋λ2－4λcos θ＝(λ－2cos θ)2＋4－4cos 2 θ， 故当λ＝2cos θ时，|a －λb |2取得最小值3， 即有4－4cos 2θ＝3，即cos θ＝±12，又由λ＞0，则cos θ＝12，故选B.方法二(数形结合法)：如图，设OB→＝a ，OA →＝λb (λ＞0)，则|a －λb |＝|AB →|，易知当BA ⊥OA 时|a －λb |取得最小值3，此时sin θ＝32，cos θ＝12.故选B.][评析] 模的最值问题求解方法一种是借助函数，另一种是借助向量的几何意义．前者可以建系借助坐标法求解，后者常用三角形法则数形结合求解．[技法应用](多选)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为()A．2－1 B．1C．2D．2AB[因为a，b，c均为单位向量，a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0，所以c·(a＋b)≥1，而|a＋b－c|＝错误!＝错误!＝错误!≤错误!＝1，所以选项C，D不正确．故选AB.]。

第3讲 平面向量的数量积及应用举例一、知识梳理 1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角． (2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．平面向量的数量积 定义已知两个向量a ，b ，它们的夹角为θ，把|a||b |·co s__θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b投影 |a |cos__θ叫作向量a 在b 方向上的射影， |b |cos__θ叫作向量b 在a 方向上的射影几何 意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 方向上的射影|b |cos__θ的乘积或b 的长度|b|与a 在b 方向上的射影|a |cos__θ的乘积(1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a·a |a|＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a⊥b 的充 a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0要条件1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.二、教材衍化1．已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )A．12 B．6C．3 3 D．3解析：选B.a·b＝|a||b|cos 135°＝－122，所以|b|＝－1224×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝6.2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.答案：123．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的射影为________．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的射影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.答案：－2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．( )(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)没有找准向量的夹角致误； (2)不理解向量的数量积的几何意义致误； (3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋a ·c ＝________． 解析：因为a ，b ＝b ，c ＝a ，c ＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1，所以a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝1×1×cos 120°＝－12，所以a ·b ＋b ·c ＋a ·c ＝－32.答案：－322．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的射影为________．解析：AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，由定义知，AB →在CD →方向上的射影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：3223．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于________．解析：a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52.答案：52平面向量数量积的运算(师生共研)(一题多解)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________．【解析】 法一：因为AB →·AC →＝2AB →·AD →，所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →，所以AB →·DC →＝AB →·AD →.因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →|·|AD →|cos π4，化简得|AD →|＝2 2.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝(22)2＋22×2cos π4＝12.法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n ，0)，其中m ＞0，n ＞0，则由AB →·AC →＝2AB →·AD →，得(n ，0)·(m ＋2，m )＝2(n ，0)·(m ，m )，所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD →·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.【答案】 12平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．[提醒] 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．1．(2020·河南新乡二模)已知a ＝(1，2)，b ＝(m ，m ＋3)，c ＝(m －2，－1)，若a ∥b ，则b ·c ＝( )A ．－7B ．－3C ．3D ．7解析：选B.因为a ＝(1，2)，b ＝(m ，m ＋3)，a ∥b ，所以1×(m ＋3)－2m ＝0，所以m ＝3，所以b ·c ＝m (m －2)－(m ＋3)＝－3，故选B.2．(一题多解)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝________．解析：法一：AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24.法二(特例图形)：若▱ABCD 为矩形，建立如图所示坐标系，则N (4，6)，M (8，4)．所以AM →＝(8，4)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24. 答案：24平面向量数量积的应用(多维探究) 角度一 平面向量的模(1)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为__________．【解析】 (1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b ·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.(2)建立平面直角坐标系如图所示 ，则A (2，0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )．所以|PA →＋3PB →|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )． 当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.【答案】 (1)A (2)5求向量的模的方法(1)公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量模的运算转化为数量积的运算．(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．角度二 平面向量的夹角(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________．(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【解析】 (1)设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则c ＝(2，－5)，所以cos 〈a ，c 〉＝21×4＋5＝23. (2)因为2a －3b 与c 的夹角为钝角， 所以(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0， 所以4k －6－6<0，所以k <3. 【答案】 (1)23(2)(－∞，3)(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，180°]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解． (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．角度三 两向量垂直问题(1)(2020·福建厦门一模)已知a ＝(1，1)，b ＝(2，m )，a ⊥(a －b )，则|b |＝( )A ．0B ．1 C. 2D ．2(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】 (1)由题意知a －b ＝(－1，1－m )．因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝－1＋1－m ＝0，所以m ＝0，所以b ＝(2，0)，所以|b |＝2.故选D.(2)因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0. 所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】 (1)D (2)712(1)当向量a 与b 是坐标形式时，若证明a ⊥b ，则只需证明a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a ·b ＝0.(3)数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(2，x )不平行，且满足(a ＋2b )⊥(a －b )，则x ＝( ) A ．－12B ．12C ．1或－12D ．1或12解析：选A.因为(a ＋2b )⊥(a －b )，所以(a ＋2b )·(a －b )＝0，所以|a |2＋a ·b －2|b |2＝0，因为向量a ＝(2，1)，b ＝(2，x )，所以5＋4＋x －2(4＋x 2)＝0，解得x ＝1或x ＝－12，因为向量a ，b 不平行，所以x ≠1，所以x ＝－12，故选A.2．(2020·安徽黄山模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝4，b 在a 方向上的投影为－2，则|a －3b |的最小值为( )A ．12B ．10 C.10 D ．2解析：选B.设a 与b 的夹角为θ.由于b 在a 方向上的射影为－2，所以|b |cos θ＝a ·b|a |＝－2，所以a ·b ＝－8， 又|b |cos θ＝－2，所以|b |≥2，则|a －3b |＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝64＋9b 2≥64＋9×22＝10，即|a －3b |的最小值为10，故选B.3．(一题多解)已知正方形ABCD ，点E 在边BC 上，且满足2BE →＝BC →，设向量AE →，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________．解析：法一：因为2BE →＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，则|AE →|＝5，|BD →|＝22，AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →·(AD →－AB →)＝12|AD →|2－|AB →|2＋12AD →·AB →＝12×22－22＝－2，所以cos θ＝AE →·BD→|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.法二：因为2BE →＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则点A (0，0)，B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，所以AE →＝(2，1)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.答案：－1010平面向量与三角函数(师生共研)已知两个不共线的向量a ，b 满足a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈R . (1)若2a －b 与a －7b 垂直，求|a ＋b |的值；(2)当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，若存在两个不同的θ，使得|a ＋3b |＝|m a |成立，求正数m 的取值范围．【解】 (1)由条件知|a |＝2，|b |＝1，又2a －b 与a －7b 垂直，所以(2a －b )·(a －7b )＝8－15a ·b ＋7＝0，所以a ·b ＝1.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝4＋2＋1＝7，故|a ＋b |＝7. (2)由|a ＋3b |＝|m a |，得|a ＋3b |2＝|m a |2. 即|a |2＋2 3 a ·b ＋3|b |2＝m 2|a |2，即4＋23a ·b ＋3＝4m 2，7＋23(cos θ＋3sin θ)＝4m 2. 所以43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4m 2－7.由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得θ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[6，43)，即6≤4m 2－7＜43，即134≤m 2＜7＋434，又m ＞0，所以132≤m ＜2＋32.即实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫132，2＋32.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的射影． 解：(1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4， 由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的射影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.平面向量的综合运用一、平面向量在平面几何中的应用(1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心(2)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________．【解析】 (1)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →＝2AD →(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.(2)在平行四边形ABCD 中，BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CD →＝AD →－12AB →，又因为AC →＝AD →＋AB →，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×1×12|AB →|－12|AB →|2＝1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，所以|AB →|＝12. 【答案】 (1)C (2)12向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．二、平面向量与函数、不等式的综合应用(1)设θ是两个非零向量a ，b 的夹角，若对任意实数t ，|a ＋t b |的最小值为1，则下列判断正确的是( )A ．若|a |确定，则θ唯一确定B ．若|b |确定，则θ唯一确定C ．若θ确定，则|b |唯一确定D ．若θ确定，则|a |唯一确定(2)(一题多解)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a＋c |的最小值为________．【解析】 (1)设g (t )＝(a ＋t b )2＝b 2t 2＋2t a ·b ＋a 2，当且仅当t ＝－2a ·b2b2＝－|a |cos θ|b |时，g (t )取得最小值1，所以b 2×|a |2cos 2θ|b |2－2a ·b ×|a |cos θ|b |＋a 2＝1，化简得a 2sin 2θ＝1，所以当θ确定时，|a |唯一确定．(2)法一：因为向量c 与a ＋b 共线，所以可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，所以a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，所以(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2，因为向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，所以(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，所以|a ＋c |≥32，所以|a ＋c |的最小值为32. 法二：因为向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，所以向量a ，b 的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，因为向量c 与a ＋b 共线，所以可设c ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(t ∈R )，所以a ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t2，32t ，所以|a ＋c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋3t 24＝t 2＋t ＋1≥32，所以|a ＋c |的最小值为32. 【答案】 (1)D (2)32通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．三、平面向量与解三角形的综合应用已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 【解】 (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C ，0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，所以c ＝6.(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．四、平面向量与解析几何的综合应用(1)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．(2)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB →＝3FA →，则此双曲线的离心率为________．【解析】 (1)由椭圆x 24＋y 23＝1可得F(－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.(2)由F (－c ，0)，A (0，b )，得直线AF 的方程为y ＝b cx ＋b . 根据题意知，直线AF 与渐近线y ＝b ax 相交，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bc x ＋b ，y ＝ba x ，消去x 得，y B＝bcc －a .由AB →＝3FA →，得y B ＝4b ，所以bc c －a＝4b ，化简得3c ＝4a ，所以离心率e ＝43.【答案】 (1)6 (2)43向量在解析几何中的2个作用载体 作用向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题工具 作用 利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：选C.因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6 B ．π3C.2π3D ．5π6解析：选B.设a 与b 的夹角为α， 因为(a －b )⊥b ， 所以(a －b )·b ＝0， 所以a ·b ＝b 2，所以|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3.故选B.3．(2020·河北衡水模拟三)已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2，4)，则“k ＝－12”是“|a ＋b |2＝a 2＋b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由|a ＋b |2＝a 2＋b 2，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2，得a ·b ＝0，得(1，k )·(2，4)＝0，解得k ＝－12，所以“k ＝－12”是“|a ＋b |2＝a 2＋b 2”的充要条件．故选 C.4.(2020·河南安阳二模)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝4，CD ＝8.若CE →＝－7DE →，3BF →＝FC →，则AF →·BE →＝( )A ．11B ．10C ．－10D ．－11解析：选D.以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．则A (0，0)，B (4，0)，E (1，4)，F (5，1)，所以AF →＝(5，1)，BE →＝(－3，4)，则AF →·BE →＝－15＋4＝－11.故选D.5．已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数m n的值为( )A.16 B ．14 C ．6D ．4解析：选A.因为向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，OA →与OB →夹角为60°，所以OA →·OB →＝3×2×cos 60°＝3，所以AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(mOA →＋nOB →) ＝(m －n )OA →·OB →－m |OA →|2＋n |OB →|2＝3(m －n )－9m ＋4n ＝－6m ＋n ＝0，所以m n ＝16，故选A.6．(2020·河南郑州一模)已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b 方向上的射影为________．解析：根据题意得，a ·b ＝9e 1·e 2＋6e 22＝9×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋6＝－92＋6＝32，又因为|b |＝3，所以a 在b 方向上的射影为a ·b |b |＝323＝12.答案：127．(2020·江西临川九校3月联考)已知平面向量a ＝(2m －1，2)，b ＝(－2，3m －2)，且a ⊥b ，则|2a －3b |＝________．解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝－2(2m －1)＋2(3m －2)＝0，解得m ＝1， 所以a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)，所以2a －3b ＝(2，4)－(－6，3)＝(8，1)， 所以|2a －3b |＝64＋1＝65. 答案：658．(2020·石家庄质量检测(一))已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →＝0，则λμ的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，所以AB →＝(0，2)，AC →＝(1，0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ， 所以λμ＝12y x ＝14.答案：149．已知向量m ＝(sin α－2，－cos α)，n ＝(－sin α，cos α)，其中α∈R . (1)若m ⊥n ，求角α；(2)若|m －n |＝2，求cos 2α的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0，即为－sin α(sin α－2)－cos 2α＝0， 即sin α＝12，可得α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .(2)若|m －n |＝2，即有(m －n )2＝2， 即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2， 即为4sin 2α＋4－8sin α＋4cos 2α＝2， 即有8－8sin α＝2， 可得sin α＝34，即有cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×916＝－18.10．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)法一：由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得： (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11， 所以t ＝－115.法二：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3，5)， t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115.[综合题组练]1．(2020·安徽滁州一模)△ABC 中，AB ＝5，AC ＝10，AB →·AC →＝25，点P 是△ABC 内(包括边界)的一动点，且AP →＝35AB →－25λAC →(λ∈R )，则|AP →|的最大值是( )A.332B ．37 C.39D ．41解析：选B.△ABC 中，AB ＝5，AC ＝10，AB →·AC →＝25，所以5×10×cos A ＝25，cos A ＝12， 所以A ＝60°，BC ＝52＋102－2×5×10×12＝53，因为AB 2＋BC 2＝AC 2，所以B ＝90°.以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0，0)，B (5，0)，C (5，53)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤5，0≤y ≤53，因为AP →＝35AB →－25λAC →，所以(x ，y )＝35(5，0)－25λ(5，53)＝(3－2λ，－23λ)，所以⎩⎨⎧x ＝3－2λ，y ＝－23λ，所以y ＝3(x －3)，直线BC 的方程为x ＝5，联立⎩⎨⎧y ＝3（x －3），x ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2 3.此时|AP →|最大，为52＋（23）2＝37.故选B.2.(2020·广东广雅中学模拟)如图所示，等边△ABC 的边长为2，AM ∥BC ，且AM ＝6.若N 为线段CM 的中点，则AN →·BM →＝( )A ．24B ．23C ．22D ．18解析：选B.法一：如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (1，3)，因为△ABC 为等边三角形，且AM ∥BC ，所以∠MAB ＝120°，所以M (－3，33)．因为N 是CM 的中点，所以N (－1，23)，所以AN →＝(－1，23)，BM →＝(－5，33)，所以AN →·BM →＝23.法二：依题意知|AC →|＝|AB →|＝2，AC →与AB →的夹角为60°，且AM →＝3BC →，AN →＝12(AM →＋AC →)＝12(3BC →＋AC →)＝32(AC →－AB →)＋12AC →＝2AC →－32AB →.BM →＝AM →－AB →＝3BC →－AB →＝3(AC →－AB →)－AB →＝3AC →－4AB →.则AN →·BM →＝⎝⎛⎭⎪⎫2AC →－32AB →·(3AC →－4AB →)＝6AC 2→＋6AB 2→－8AB →·AC →－92AB →·AC →＝23.3.如图，AB 是半圆O 的直径，P 是AB ︵上的点，M ，N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝________．解析：连接AP ，BP ，则PM →＝PA →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(PA →＋AM →)·(PB →－AM →)＝PA →·PB →－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5.答案：54．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________．解析：如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值为－32. 答案：－325．(创新型)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0. (1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sinA )cos C ＝0，sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，所以cos C ＝12，而C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， 所以a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.。