【高考一轮】2018课标版文科数学一轮复习 3.1变化率与导数、导数的计算 夯基提能作业本(含答案)

第一节变化率与导数、导数的计算A组基础题组1.已知函数f(x)=cosx,则f(π)+f'=()A.-B.-C.-D.-2.已知f(x)=x(2016+lnx),若f'(x0)=2017,则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e3.(2016济宁模拟)曲线y=xe x+2x-1在点(0,-1)的切线方程为()A.y=3x-1B.y=-3x-1C.y=3x+1D.y=-3x-14.(2016贵州贵阳一模,6)曲线y=xe x在点(1,e)处的切线与直线ax+by+c=0垂直,则的值为()A.-B.-C.D.5.(2016重庆适应性测试)若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线,则实数a=()A. B.2 C. D.26.(2014江西,11,5分)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.7.已知f(x)=3lnx-2xf'(1),则曲线y=f(x)在点A(1,m)处的切线方程为.8.曲线y=alnx(a>0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a=.9.求下列函数的导数:(1)y=x·tanx;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y=.10.已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-lnx).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a 的值,并判断两切线是否为同一条直线.B组提升题组11.(2017河南郑州二中期末)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=()A. B.- C. D.-或12.已知f(x)=lnx,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1)),则m的值为()A.-1B.-3C.-4D.-213.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.14.函数f(x)=的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于.15.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.16.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.答案全解全析A组基础题组1.C∵f(x)=cosx,∴f'(x)=-cosx+·(-sinx),∴f(π)+f'=-+·(-1)=-.2.B f'(x)=2016+lnx+x×=2017+lnx,由f'(x0)=2017,得2017+lnx0=2017,则lnx0=0,解得x0=1.3.A由题意得y'=(x+1)e x+2,则曲线y=xe x+2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3,故曲线y=xe x+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即y=3x-1.4.D y'=e x+xe x,则y'|x=1=2e,∵切线与直线ax+by+c=0垂直,∴-=-,∴=,故选D.5.B依题意,设直线y=ax与曲线y=2lnx+1的切点的横坐标为x0,对于y=2lnx+1,易知y'=,则有y'=,于是有解得x 0=,a=2,选B.6.答案(e,e)解析令f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1,设P(x0,y0),则f'(x0)=lnx0+1=2,∴x0=e,此时y0=x0lnx0=elne=e,∴点P的坐标为(e,e).7.答案x-y-3=0解析由题意得f'(x)=-2f'(1),所以f'(1)=3-2f'(1),即f'(1)=1.∴m=f(1)=-2f'(1)=-2,所以所求切线方程为y+2=x-1,即x-y-3=0.8.答案8解析令f(x)=y=alnx,则f'(x)=,∴在x=1处的切线的斜率为a,∵f(1)=aln1=0,故切点为(1,0),∴切线方程为y=a(x-1),令y=0,得x=1;令x=0,得y=-a,∵a>0,∴所围成的三角形的面积为×a×1=4,∴a=8.9.解析(1)y'=(x·tanx)'=x'tanx+x(tanx)'=tanx+x·'=tanx+x·=tanx+.(2)y'=(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'=(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(3)因为y===e x+e-x-=e x+e-x-,所以y'=(e x)'+(e-x)'-'=e x-e-x-.10.解析易知:曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f'(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g'(1)=-a.又f'(1)=g'(1),所以a=-3.因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0;曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以两切线不是同一条直线.B组提升题组11.D∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,∴f'(x)的图象开口向上,则排除②④.若f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=; 若f'(x)的图象为③,则a2-1=0,且-a>0,∴a=-1,∴f(-1)=-.综上知选D.12.D∵f'(x)=,∴直线l的斜率k=f'(1)=1,又f(1)=0,∴切线l的方程为y=x-1.g'(x)=x+m,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),则有x0+m=1,y0=x0-1,y0=+mx0+(m<0),由此可解得m=-2.13.答案解析由y=x2-lnx,得y'=2x-(x>0),设点P 0(x0,y0)是曲线y=x2-lnx上到直线y=x-2的距离最小的点,则y'=2x0-=1,解得x0=1或x0=-(舍).∴点P0的坐标为(1,1).∴所求的最小距离==.14.答案解析f'(x)==,则f'(-1)=-4,故切线方程为y=-4x-2,切线在x,y轴上的截距分别为-,-2,故所求三角形的面积为.15.解析f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围为∪.16.解析(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=,故2a-=.又因为f'(x)=a+,则有a+=,所以a=1,b=3.故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知,f'(x)=1+,则曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.。

(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(
(3) 与 曲 线 只 有 一 个 公 共 点 的 直 线 一 定 是 曲 线 的 切 线.( )
(4)[f(ax＋b)]′＝f ′(ax＋b).(
2
) )
1 (5)若 f(x)＝f ′(a)x ＋lnx(a>0)， 则 f ′(x)＝2x f ′(a)＋ x .(
1 3 4 y－3x0＋3＝x2 0(x－x0)，
2 3 4 2 y＝x0·x－ x0＋ . 3 3
∵点
2 3 4 2 P(2，4)在切线上，∴4＝2x0－ x0＋ ， 3 3
2 3 2 2 即 x3 － 3 x ＋ 4 ＝ 0 ，∴ x ＋ x － 4 x 0 0 0 0 0＋4＝0，
x 1 x (2)由题可得：y＝sin －cos2 ＝－ sinx， 2 2
1 1 1 ∴y′＝ －2sinx ′＝－ (sinx)′＝－ cosx. 2 2
1＋ x＋1－ x 1 1 2 (3)y＝ ＋ ＝ ＝ ， 1－ x 1＋ x （1－ x）（1＋ x） 1－x
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0 且 a≠1) f(x)＝lnx
f ′(x)＝ex
1 f ′(x)＝xlna(a>0，且 a≠1)
1 f ′(x)＝x
4.导数运算法则
f (x)±g′(x) ； (1)[f(x)± g(x)]′＝____________
f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝__________________ f ′(x)g(x)－f(x)g′(x) f （x） 2 [ g ( x )] (3) ′＝___________________ (g(x)≠0). g（x）

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第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的运算一、选择题1．设函数f（x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x）在x＝5处的切线的斜率为( ）A．－错误! B．0 C.错误! D．5解析因为f(x)是R上的可导偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x）在x＝0处取得极值，即f′(0）＝0,又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0,即曲线y＝f（x）在x＝5处的切线的斜率为0，选B。

答案 B2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数,且满足f（x)〉0,xf′（x）＋f(x）〈0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有( )．A．af(b）<bf(a）B．bf（a)<af(b)C．af(a)〈f(b) D．bf(b)〈f(a)解析构造函数F（x)＝错误!（x>0)，F′（x）＝错误!，由条件知F′(x）〈0,∴函数F（x）＝错误!在(0，＋∞）上单调递减，又a〉b〉0，∴错误!〈错误!,即bf（a)〈af（b）．答案B3．已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋错误!x（a〉0),则f（2)的最小值为( ）．A．12错误!B．12＋8a＋错误!C．8＋8a＋错误!D．16解析f（2）＝8＋8a＋错误!，令g(a)＝8＋8a＋错误!,则g′(a)＝8－错误!,由g′(a）〉0得a>错误!，由g′（a）<0得0<a〈错误!,∴a＝错误!时f（2）有最小值．f（2）的最小值为8＋8×错误!＋错误!＝16.故选D.答案D4．已知函数f(x)的导函数为f′(x），且满足f(x)＝2xf′（1)＋ln x，则f′(1)＝（)．A．－e B．－1 C．1 D．e解析由f(x）＝2xf′（1)＋ln x，得f′(x）＝2f′(1)＋错误!，∴f′(1)＝2f′（1）＋1，则f′（1)＝－1。

2.函数y=f（x）在x=x0处的导数 （1）定义
称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
=
y
lim
x0 x
为函数y=f（x）在
x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x=x0，
即f′(x0)=
lim
x0
y x
=
lim f (x0 x) f (x0 )
复合而成,
∴y′=f′(u)·u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4·2
=10u4=10(2x-3)4.
（2）设u=3-x,
则y=
3 x
由y=u
1 2
与u=3-x复合而成.
y
f
(u) u(x)
1
(u 2 )(3 x)
1
u
1 2
(1)
2
1
Байду номын сангаас
u
1 2
1
3x.
2
2 3 x 2x 6
(3)设y=u2,u=sin v,v=2x+ π , 3
（ C）
x
A.Δx+ 1 +2
B.Δx- 1 -2
x
x
C.Δx+2
D.2+Δx- 1
x
解析 ∵Δy=（1+Δx）2+1-12-1=(Δx)2+2Δx,
∴ y =Δx+2. x
2.设正弦函数y=sin x在x=0和x= π 附近的平均变化率 2
为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 （ A ）
A.k1＞k2
思维启迪 （1）A在曲线上,即求在A点的切线方程.

§3.1 变化率与导数、导数的计算考纲展示► 1.了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．考点1 导数的概念及运算法则1.导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx为函数y＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0________.函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝ lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx 为f (x )的导函数．答案：f x 0＋Δx －f x 0Δx2．基本初等函数的导数公式续表答案：0 αxα－1cos x －sin x e x a xln a xx ln a3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________； (2)[f (x )g (x )]′＝________； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．答案：(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝________，即y 对x 的导数等于________的导数与________的导数的乘积．答案：y u ′·u x ′ y 对u u 对x(1)[教材习题改编]在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.则运动员的速度v ＝________，加速度a ＝________.答案：－9.8t ＋6.5，－9.8(2)[教材习题改编]f (x )＝cos x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0处的切线的倾斜角为________．答案：3π4导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错． (1)若函数f (x )＝2x 3＋a 2，则f ′(x )＝________.答案：6x 2解析：本题易出现一种求导错解：f ′(x )＝6x 2＋2a ，没弄清函数中的变量是x ，而a 只是一个字母常量，其导数为0.(2)函数y ＝ln xe x 的导函数为__________．答案：y ′＝1－x ln xx e x解析：y ′＝1x ·e x －e x·ln x x 2＝1－x ln xx e x，易用错商的求导法则．[典题1] 分别求出下列函数的导数： (1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x .[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .[点石成金] 导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．考点2 导数运算的应用[典题2] (1)[2017·吉林实验中学高三]函数f (x )的导函数f ′(x )，对∀x ∈R ，都有f ′(x )>f (x )成立，若f (ln 2)＝2，则满足不等式f (x )>e x 的x 的范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(ln 2，＋∞)D ．(0，ln 2)[答案] C [解析] 设F (x )＝f xex，F ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xex>0，∴F (x )在定义域R 上单调递增，不等式f (x )>e x即F (x )>1， ∵f (ln 2)＝2，∴F (ln 2)＝1，即F (x )>F (ln 2)， ∴x >ln 2，故选C.(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________.[答案] －2 017[解析] 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016x，所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2016)＋2 0162 016，即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.(3)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．[答案] 212[解析] 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.[点石成金] 在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．1.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )A．－1 B．－2C．2 D．0答案：B解析：∵f(x)＝ax4＋bx2＋c，∴f′(x)＝4ax3＋2bx.又f′(1)＝2，∴4a＋2b＝2，∴f′(－1)＝－4a－2b＝－2.2．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，则f2 017(x)＝( )A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x答案：C解析：f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2 017(x)＝cos x.考点3 导数的几何意义导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点________处的________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为________．答案：P(x0，y0) 切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)曲线y＝2x3－3x＋5在点(2,15)处的切线的斜率为________．答案：21解析：因为y′＝6x2－3，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜率k＝6×22－3＝21.求曲线的切线方程：确定切点；求导数；得出斜率；写出切线方程． (1) 曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为__________． 答案：3x －y －1＝0解析：依题意得y ′＝(x ＋1)e x＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率k ＝(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即3x －y －1＝0.(2)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝__________. 答案：12解析：易知点(1，a )在曲线y ＝ax 2－ln x 上，y ′＝2ax －1x，∴y ′|x ＝1＝2a －1＝0，∴a ＝12.[考情聚焦] 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．主要有以下几个命题角度： 角度一 求切线方程[典题3] (1)[2017·河北唐山模拟]曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0 D ．(e －1)x －y －1＝0 [答案] C[解析] 由于y ′＝e －1x，所以y ′x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)[2017·四川雅安模拟]设曲线y ＝e x＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则实数a ＝( )A ．3B ．1C ．2D ．0[答案] C[解析] ∵与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2， ∴f ′(0)＝e 0＋12a ＝2，解得a ＝2.(3)过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条[答案] A[解析] 由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 2－3，利用点斜式方程可知切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2,1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋7＝0.令y ＝2x 30－6x 20＋7，则y ′＝6x 20－12x 0.由y ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，y ＝7＞0；当x 0＝2时，y ＝－1＜0.结合函数y ＝2x 30－6x 20＋7的单调性可得方程2x 30－6x 20＋7＝0有3个解．故过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条，故选A.角度二 求切点坐标[典题4] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．[答案] (e ，e)[解析] 由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．角度三 求参数的值[典题5] (1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] C[解析] ∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a ，m ＝1，即a ＝1，∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1.又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.(2)若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 上存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线， ∴f ′(x )存在零点， ∴x ＋1x－a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(x ＞0)．[点石成金] 1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．2．已知斜率k ，求切点A (x 0，f (x 0))，即解方程f ′(x 0)＝k .3．(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.[方法技巧] 1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；[f (x 0)]′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即[f (x 0)]′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． [易错防范] 1.曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．利用公式求导时，要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，但直线不一定是曲线的切线；同样，直线是曲线的切线，但直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过点(0,0)的切线y ＝0的两侧．真题演练集训1．[2014·大纲全国卷]曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1答案：C 解析：y ′＝ex －1＋x ex －1＝(x ＋1)ex －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D 解析：y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．答案：y ＝－2x －1解析：由题意可得，当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.答案：1－ln 2解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))，则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)， 化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln x 2＋，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.5．[2015·陕西卷]设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．答案：(1,1)解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．课外拓展阅读求解导数问题最有效的两种解题方法方法一 公式法利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是： 第一步，用公式，运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导； 第二步，得结论； 第三步，解后反思．[典例1] [改编题]求函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数． [思路分析][解] 解法一：y ′＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′ ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. 解法二：设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3， 则y ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin v cos v＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. 温馨提示当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏．方法二 构造法有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是：第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，或构造一个新的函数；第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导； 第三步，得出结论．[典例2] 证明：当x ＞1时，有ln 2(x ＋1)＞ln x ·ln(x ＋2)．[思路分析][证明] 构造辅助函数f (x )＝x ＋ln x (x ＞1)，于是有f ′(x )＝x ln x －x ＋x ＋x x ＋2x .因为1＜x ＜x ＋1，所以0＜ln x ＜ln(x ＋1)，即x ln x ＜(x ＋1)ln(x ＋1)．则在(1，＋∞)内恒有f ′(x )＜0，故f (x )在(1，＋∞)内单调递减．又1＜x ＜x ＋1，则f (x )＞f (x ＋1)， 即x ＋ln x ＞x ＋x ＋， 所以ln 2(x ＋1)＞ln x ·ln(x ＋2)．技巧点拨要证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＞0，则F (x )在(a ，b )内是增函数，同时F (a )≥0，则有x ∈(a ，b )时，F (x )＞0，即证明了f (x )＞g (x )．同理可证明f (x )＜g (x )．但要注意，此法中所构造的函数F (x )在给定区间内应是单调的．混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误[典例3] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[易错分析] 没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错．[解析] 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32. 当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564； 当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564. [答案] A易错提醒1．对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．2．对于已知的点，应先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．。

2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标13变化率与导数、导数的计算 理[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算，它是导数方法的基础；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．一、选择题1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝( D ) A ．2 B ．0 C ．－2D ．－4解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( D )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)·…·(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)·…·(x －a 8)＋x [(x －a 1)·…·(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8 ＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.3．(2017·河南八市质检)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x的值是( D )A ．－23B ．－43C ．43D ．34解析：因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D ． 4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 解析：∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e xx ＋2＝－4exx2＋2e x＋1＝－4e x＋1ex ＋2≥－1⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号，∴－1≤tan α<0. 又∵0≤α<π，∴3π4≤α<π，故选B ．5．(2017·河南郑州质检)函数f (x )＝e xcos x 在点(0，f (0))处的切线方程为( C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：∵f ′(x )＝e xcos x ＋e x(－sin x )＝e x(cos x －sin x )，∴f ′(0)＝e 0(cos 0－sin 0)＝1.又∵f (0)＝1，∴f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0，故选C ．6．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝( D )A ．13B ．－23C ．73D ．－13或53解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1， ∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除． 若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0， 又对称轴x ＝－a >0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.二、填空题7．(2017·广东惠州模拟)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为5x ＋y ＋2＝0.解析：由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.8．(2017·河北邯郸模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于12log 2e.解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)， ∴三角形面积为S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12log 2e.9．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3. 解析： ∵y ′＝x 2－3x，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＝12，x >0，解得x ＝3.故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3.三、解答题10．(1)已知f (x )＝e πx·sin πx ，求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(2)已知f (x )＝(x ＋1＋x 2)10，求f f.解析：(1)∵f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πxcos πx ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe π2 .(2)∵f ′(x )＝10(x ＋1＋x 2)9·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x1＋x 2， ∴f ′(1)＝10(1＋2)9·⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝102(1＋2)10＝52(1＋2)10. 又f (1)＝(1＋2)10，∴f f＝5 2.11．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. (1)求C 上斜率最小的切线方程；(2)证明：C 关于斜率最小时切线的切点对称．解析：(1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，即切线的斜率最小，最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0.(2)证明：设点(x 0，y 0)∈C ，点(x ，y )是点(x 0，y 0)关于切点(2，－12)对称的点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .∵点(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6，整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴点(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称． 12．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．解析：(1)f ′(x )＝a －1x ＋b2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1＋b2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，所以a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数．所以函数g (x )＝x ＋1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x－1＋1x －1＋1.可知，函数g (x )的图象按向量a ＝(1,1)平移，即得到函数f (x )的图象，故函数f (x )的图象是以点(1,1)为对称中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1x 0－2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x 0－2(x－x 0)．令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1.令y ＝x 得x ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1，2x 0－1)． 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.所以所围三角形的面积为定值2.。

一、自我诊断 知己知彼1．设()f x 存在导函数且满足()()112lim 12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ）A. ﹣1B. ﹣2C. 1D. 2 【答案】A【解析】∵()f x 存在导函数且满足()()112lim12x f f x x∆→--∆=-∆∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()()()1121lim 12x f f x f x∆→--∆∆'==-故选A. 2．函数x xy e=在[0，2]上的最大值是（ ） A.1e B. 22e 【答案】A 【解析】∵()x xf x e=， ∴()1xxf x e ='-， ∴当1x <时， ()()0,f x f x '>单调递增；当1x >时， ()()0,f x f x '<单调递减．∴()()max 11f x f e==．选A ． 3．已知a 为函数()312f x x x =-的极小值点，则a ＝（ ） A. －9 B. －2 C. 4 D. 2 【答案】D【解析】∵()312f x x x =-，∴()()()2312322f x x x x ==-'-+，∴当2x <-或2x >时， ()()0,f x f x '>单调递增； 当22x -<<时， ()()0,f x f x '<单调递减．∴当2x =时， ()f x 有极小值，即函数的极小值点为2．选D ． 4．函数()af x x =， a Q ∈，若()'14f =，则a 的值为（ ）A. 4B. -4C. 5D. -5 【答案】A 【解析】()a f x x =()1a f x ax -∴=' ()'14f =114a a -∴⨯=， 4a =故选A5．函数y 22sin x cos x =-的导数是( )A. 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭' B. cos2sin2y x x -'=C. sin2cos2y x x +'=D. 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭' 【答案】A 【解析】因为y 2s i n x c o s x=-,所以()''sin2cos22222222444y x x cos x sin x sin os x os sin x x πππ⎫⎛⎫=-=+=+=-⎪⎭' ⎪⎝⎭，故选A.二、温故知新 夯实基础1．导数与导函数的概念 (1)一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是()()0000limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()00|x x f x y ''＝或，即()0'f x =()()0000limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆.(2)如果函数()y f x =在开区间(),a b 内的每一点处都有导数，其导数值在(),a b 内构成一个新函数，这个函数称为函数()y f x =在开区间内的导函数．记作()'f x 或'y . 2．导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线的斜率k ，即()0'k f x =． 3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若()()','f x g x 存在，则有[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+2()'()()()'()[]' [()0]()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x -=≠''[()]()kf x kf x =.5．复合函数的导数复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为''',x u x y y u =即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．三、典例剖析 思维拓展考点一 导数的计算1．若()0'2f x =，则()()000limh f x h f x h h→+--=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 6 【答案】C【解析】分析：由导函数定义， ()()()0000lim2?'h f x h f x h f x h→+--=，即可求出结果.详解：∵()0'2f x =， 则()()000h f x h f x h limh→+--=()()()()00000h f x h f x f x f x h limh→+-+--=()()()()00000h h f x h f x f x h f x limlimhh→-→+---+-=2f ′（x 0）=4． 故选：C ．点睛：本题考查了导函数的概念，考查了转化的思想方法，考查了计算能力，属于中档题.2．若函数()f x 在R 上可导， ()()2ln f x xf e x +'=，则()f e '＝（ ） A. 1 B. －1 C. 1e- D. e - 【答案】C【解析】求导得： ()()1'2'f x f e x =+ ，把x e = 代入得()()1'2'f e f e e=+ 解得()1'-.f e e=考点二 导数的几何意义1．设函数()ln 1f x x =-的图象与x 轴相交于点A ，则()f x 在点A 处的切线方程为__________．【答案】0x ey e --= 【解析】函数()ln 1fx x =-与x 轴相交于点为(),0e ， ()1f x x'=，故切线斜率()1k f e e ='=，故切线方程为： ()1y x e e=-，即： 0x ey e --=．故答案为： 0x ey e --=2．曲线():sin 2xC f x x e =++在0x =处的切线方程为_______．【答案】23y x =+【解析】∵曲线():sin 2xC f x x e =++∴()cos xf x x e ='+，则()02f '=.∴曲线C 在0x =处的切线的斜率为()02k f ='= ∵()03f =∴曲线C 在0x =处的切线方程为23y x =+ 故答案为23y x =+.3．已知函数()3f x x =，则过（1,1）的切线方程为__________．【答案】313244y x y x =-=+或【解析】 由函数()3f x x =，则()23f x x '=，当点()1,1为切点时，则()13f '=，即切线的斜率3k =， 所以切线的方程为()131y x -=-，即32y x =-，当点()1,1不是切点时，设切点()3,P m m ，则32131m k m m -==-，即2210m m --=，解得12m =-或1m =（舍去），所以34k = 所以切线的方程为()3114y x -=-，即3144y x =+.四、举一反三 成果巩固考点一导数的计算1．求下列函数的导数．()231(21)x y x =+ ()2sin2x y e x -=．【答案】（1）2422'(21)x x y x -=+；（2）'(2cos2sin2xy e x x -=-. 【解析】试题分析：（1）根据导数的除法运算法求导即可； （2）根据导数的乘法运算法则和复合函数的求导法则求导即可． 试题解析：()3222642(21)3(21)2221'(21)(21)x x x x x x y x x ⋅+-⋅+⋅-==++； ()()2'sin22cos22cos2sin2x x x y e x e x e x x ---=-+=-.2．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为()()()042064，，，，，，则()()11lim2x f x f x→--= ____________ .(用数字作答)【答案】1 【解析】()()()f 04f 42f 24===，，，∴由函数的图象可知，2402y 226x x x x -+≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，，，由导数的几何意义知()()()x 0f 1x f 11lim f '112x2→--=-=．故答案为：1.3．已知函数()()221f x x xf =+'，则()1f 的值为__________．【答案】-3【解析】 由函数()()221f x x xf =+'，则()()221f x x f +''=，令1x =，所以()()1221f f =+''，解得()12f '=-，即()24f x x x =-，所以()211413f =-⨯=-.4．已知()21cos2y x =+，则3|x y π='= __________．【答案】【解析】()()()'21cos2sin224sin21cos2y x x x x =+⋅-⋅=-+；∴31|412x y π=⎛⎫=--= ⎪⎝⎭'故答案为：考点二 导数的几何意义1．已知函数()ln xf x x x e =-（e 为自然对数的底数），则()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______。

2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数、导数的计算真题演练集训 理 新人教A 版1．[2014·大纲全国卷]曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1答案：C 解析：y ′＝ex －1＋x ex －1＝(x ＋1)ex －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D 解析：y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．答案：y ＝－2x －1解析：由题意可得，当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.答案：1－ln 2解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))，则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)， 化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋x 2＋，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.5．[2015·陕西卷]设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．答案：(1,1)解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．课外拓展阅读求解导数问题最有效的两种解题方法方法一 公式法利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是： 第一步，用公式，运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导； 第二步，得结论； 第三步，解后反思．[典例1] [改编题]求函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数． [思路分析][解] 解法一：y ′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.解法二：设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′＝y u ′·u v ′·v x ′ ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v cos v＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. 温馨提示当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏．方法二 构造法有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是：第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，或构造一个新的函数；第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导； 第三步，得出结论．[典例2] 证明：当x ＞1时，有ln 2(x ＋1)＞ln x · ln(x ＋2)． [思路分析][证明] 构造辅助函数f (x )＝x ＋ln x(x ＞1)，于是有f ′(x )＝x ln x －x ＋x ＋x x ＋2x.因为1＜x ＜x ＋1，所以0＜ln x ＜ln(x ＋1)， 即x ln x ＜(x ＋1)ln(x ＋1)． 则在(1，＋∞)内恒有f ′(x )＜0， 故f (x )在(1，＋∞)内单调递减． 又1＜x ＜x ＋1， 则f (x )＞f (x ＋1)， 即x ＋ln x＞x ＋x ＋，所以ln 2(x ＋1)＞ln x ·ln(x ＋2)． 技巧点拨要证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＞0，则F (x )在(a ，b )内是增函数，同时F (a )≥0，则有x ∈(a ，b )时，F (x )＞0，即证明了f (x )＞g (x )．同理可证明f (x )＜g (x )．但要注意，此法中所构造的函数F (x )在给定区间内应是单调的．混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误[典例3] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[易错分析] 没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错． [解析] 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20， 所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.[答案] A易错提醒1．对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．2．对于已知的点，应先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．。

（2）函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数：
①定义：称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率
Δy fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx lim _________________ ＝_______ 为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数， Δx→0 Δx 0 fx0＋Δx－fx0 lim Δy Δx 记作 f′(x0)或 y′|x x0 即 f′(x0)＝ lim Δx＝____________________. Δx→0
y0 f ( x0 ) （2）解方程组 求出切点坐标； f ( x0 ) b , f (x 0 ) x a 0
（3）利用点斜式写出切线方程.
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13 4 例 3、 已知曲线 y＝3x ＋3. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； 4x-y-4=0 (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程． x-y+2=0或4x-y-4=0
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变化率与导数、导数的计算
高三（8）班高考数学第一轮复习
考纲要求
1.了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义，求函数y 2， ＝c(c为常数 ) ， y ＝ x ， y ＝ x 1 3 y ＝ y＝x ， x，y＝ x 的导数． 4．能利用给出的基本初等函 数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数.
高三（8）班高考数学第一轮复习
考点 2 导数的几何意义 f ′(x0)表示函数 f ′(x0)的几何意义就 1.函数 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的导数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率， 导数 y－y0＝ f ′(x0)(x－x0)．
是函数 y＝f(x)在 P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为 2． 在求切线方程时， 应先判断已知点 Q(a,b)是否为切点， 若不是切点，则应先求出切点的坐标.其求法如下： （1）设出切点的坐标 P(x0，y0);

解析：设切点为(x0，y0)，则 f′(x0)＝－1a·e x0 ＝－1， ∴e x0 ＝a，又－1a·e x0 ＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2. 答案：e2
考向一 导数的计算[自主练透型]
求下列函数的导数： (1)y＝x2sinx； (2)y＝ln x＋1x； (3)y＝coesxx；
解析：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
3．(2018·河南郑州质检)函数 f(x)＝excosx 的图象在点(0，f(0)) 处的切线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析：f(0)＝e0cos0＝1，因为 f′(x)＝excosx－exsinx，所以 f′(0) ＝1，所以切线方程为 y－1＝x－0，
[知识重温]
一、必记 5●个知识点 1．平均变化率及瞬时变化率 (1)f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率是：ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1. (2)f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是： Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
2．导数的概念
解析：y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝2，则 x0＝( ) A．e2 B．e
ln 2 C. 2
D．ln 2
解析：由已知有 f′(x)＝ln x＋x·1x＝ln x＋1， 所以 f′(x0)＝2⇒ln x0＋1＝2⇒x0＝e.故选 B. 答案：B
答案：(1,1)
6．已知曲线 y＝13x3 上一点 P（2，83），则过点 P 的切线方程为 ________．
解析：设切点坐标为（x0，13x03），由 y′＝（13x3）′＝x2，得 y′| x＝x0 ＝x20，即过点 P 的切线的斜率为 x02，又切线过点 P（2，83），若 x0≠2， 则 x20＝13xx030－－283，解得 x0＝－1，所以过点 P 的切线的斜率为 1；若 x0 ＝2，则过点 P 的切线的斜率为 4.

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第十七页，编辑于星期六：二十二点 三十一分。
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☞角度 2 求切点坐标
若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标是________．
(e，e) [由题意得 y′＝ln x＋x·1x＝1＋ln x，直线 2x－y＋1＝0 的斜率为 2. 设 P(m，n)，则 1＋ln m＝2，解得 m＝e，所以 n＝eln e＝e，即点 P 的坐标为(e， e)．]
(2)f′(x)＝aln
x＋x·1x＝a(1＋ln
x)．
由于 f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又 f′(1)＝3，所以 a＝3.]
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导数的几何意义
☞角度 1 求切线方程
已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 【导学号：51062073】
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( ) (2)求 f′(x0)时，可先求 f(x0)再求 f′(x0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若 f(x)＝e2x，则 f′(x)＝e2x.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
器人的瞬时速度为 v(2)＝2×2－232＝143.]
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f(x)=ln x
导数 f '(x)=⑥ 0 f '(x)=⑦ αxα-1 f '(x)=⑧ cos x f '(x)=⑨ -sin x f '(x)=⑩ axln a f '(x)= ex
1 x ln a f '(x)=
1 f '(x)= x
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
(4)因为(ln x)'= 1
x
,所以
1 x
'=ln x.
(×)
(5)y=cos 3x由函数y=cos u,u=3x复合而成. (√)
1.下列求导运算正确的是 ( )
A. x '=1x1+
1 x2
B.(log2x)'=
1 x ln 2
C.(3x)'=3xlog3e D.(x2cos x)'=-2sin x
x 0 x
②
lim
x 0
f (x0 x)f (x0)
. x
lim y x 0 x
(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f '(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处 的③ 切线的斜率 .相应地,切线方程为④ y-y0=f '(x0)(x-x0) . (3)函数f(x)的导函数
2
4.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)

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第二十一页，共四十页。
【解析】 (1)设切点坐标为(x0，3x0)． 由 y＝3x 得 y′＝3xln 3， 所以 k＝y′|x＝x0＝3x0ln 3， 切线方程为 y－3x0＝3x0ln 3·(x－x0)． 由于切线 y＝kx 过原点(0，0)， 所以－3x0＝3x0ln 3·(－x0)， 解得 x0＝ln13＝log3e，即 3x0＝e. 所以 k＝3x0ln 3＝eln 3，故选 C.
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(2)因为 y′＝2x－x12，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为 y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 y＝x＋ 1.
【答案】 (1)C (2)y＝x＋1
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(1)求曲线切线方程的步骤 ①求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线的斜率． ②由点斜式方程求得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． (2)求曲线切线方程需注意两点 ①当曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线垂直于 x 轴(此时导 数不存在)时，切线方程为 x＝x0.
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由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8. 法二：同法一得切线方程为 y＝2x－1. 设 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切于点(x0，ax20＋(a ＋2)x0＋1)．因为 y′＝2ax＋a＋2， 所以 y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2. 由2aaxx20＋0＋（a＋a＋2＝2）2，x0＋1＝2x0－1，解得xa＝0＝8－. 21， 【答案】 (1)C (2)8

§3.1 变化率与导数、导数的计算考纲展示► 1.了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．13．能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝ 的导数．x4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单 复合函数(仅限于形如 y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．考点 1 导数的概念及运算法则1.导数的概念函数 y ＝f (x )在 x ＝x 0处的导数：Δyf x 0＋Δx －f x 0 称函数 y ＝f (x )在 x ＝x 0处的瞬时变化率 lim＝ lim为函数 yΔx →0 Δx Δx →0Δx Δy ＝ f (x )在 x ＝ x 0处 的 导 数 ， 记 作 f ′(x 0)或 y ′|x ＝ x 0， 即 f ′(x 0)＝ lim＝Δx →0Δxlim Δx →0________.函数 f (x )的导函数：称函数 f ′(x )＝limΔx →0fx ＋Δx －f xΔx 为 f (x )的导函数．f x 0＋Δx－fx 0答案：Δx2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝________ f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝e xf ′(x )＝________ f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝________- 1 -续表基本初等函数导函数f(x)＝ln x f′(x)＝________f(x)＝log a xf′(x)＝________(a＞0，a≠1)1 1答案：0αxα－1cos x－sin x e x a x ln ax x ln a3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________；(2)[f(x)g(x)]′＝________；f x f xg x－f x g x(3)[g x]′＝(g(x)≠0)．[g x]2答案：(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．答案：y u′·u x′y对u u对x(1)[教材习题改编]在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.则运动员的速度v＝________，加速度a＝________.答案：－9.8t＋6.5，－9.8π( ，0)处的切线的倾斜角为________．(2)[教材习题改编]f(x)＝cos x在点23π答案：4导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错．(1)若函数f(x)＝2x3＋a2，则f′(x)＝________.答案：6x2解析：本题易出现一种求导错解：f′(x)＝6x2＋2a，没弄清函数中的变量是x，而a只是- 2 -一个字母常量，其导数为0.ln x(2)函数y＝的导函数为__________．e x1－x ln x答案：y′＝x e x1·e x－e x·ln xx1－x ln x解析：y′＝＝，易用错商的求导法则．e x 2 x e x[典题1]分别求出下列函数的导数：(1)y＝e x ln x；1 1(x2＋x3)；(2)y＝x＋xx x(3)y＝x－sin cos ；2 2(4)y＝ln 1＋2x.1 1[解](1)y′＝(e x)′ln x＋e x(ln x)′＝e x ln x＋e x·＝e x x).x(ln x＋1 2(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.x2 x31 1(3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x.2 21(4)∵y＝ln 1＋2x＝ln(1＋2x)，21 1 1∴y′＝··(1＋2x)′＝.2 1＋2x1＋2x[点石成金]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．考点2导数运算的应用- 3 -[典题2](1)[2017·吉林实验中学高三]函数f(x)的导函数f′(x)，对∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln 2)＝2，则满足不等式f(x)>e x的x的范围是()A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(ln 2，＋∞)D．(0，ln 2)[答案] Cf x f x e x－f x e x f x－f x[解析]设F(x)＝，F′(x)＝＝>0，e x e x 2 e x∴F(x)在定义域R上单调递增，不等式f(x)>e x即F(x)>1，∵f(ln 2)＝2，∴F(ln 2)＝1，即F(x)>F(ln 2)，∴x>ln 2，故选C.1(2)已知f(x)＝x2＋2xf′(2016)＋2 016ln x，则f′(2016)＝________.2[答案]－2 0172 016[解析]由题意得f′(x)＝x＋2f′(2016)＋，所以f′(2016)＝2 016＋2f′(2x2 016016)＋，即f′(2016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.2 016(3)在等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为________．[答案]212[解析]因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2).....(x－a8)]′.x＝(x－a1)(x－a2).....(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2).. (x)a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.[点石成金]在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．1.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1 B．－2- 4 -C．2 D．0答案：B解析：∵f(x)＝ax4＋bx2＋c，∴f′(x)＝4ax3＋2bx.又f′(1)＝2，∴4a＋2b＝2，∴f′(－1)＝－4a－2b＝－2.2．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，则f2 017(x)＝()A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x答案：C解析：f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2 017(x)＝cos x.考点3导数的几何意义导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点________处的________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为________．答案：P(x0，y0)切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)曲线y＝2x3－3x＋5在点(2,15)处的切线的斜率为________．答案：21解析：因为y′＝6x2－3，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜率k＝6×22－3＝21.求曲线的切线方程：确定切点；求导数；得出斜率；写出切线方程．(1) 曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为__________．- 5 -答案：3x－y－1＝0解析：依题意得y′＝(x＋1)e x＋2，则曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率k＝(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即3x－y－1＝0.(2)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.1答案：2解析：易知点(1，a)在曲线y＝ax2－ln x上，1y′＝2ax－，x1∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝.2[考情聚焦]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一求切线方程[典题3](1)[2017·河北唐山模拟]曲线y＝e x－ln x在点(1，e)处的切线方程为()A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0[答案] C1[解析]由于y′＝e－，所以y′x＝1＝e－1，故曲线y＝e x－ln x在点(1，e)处的切线x方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.1(2)[2017·四川雅安模拟]设曲线y＝e x＋ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y－1＝0垂2直，则实数a＝()A．3 B．1C．2 D．0[答案] C[解析]∵与直线x＋2y－1＝0垂直的直线斜率为2，- 6 -1∴f′(0)＝e0＋a＝2，解得a＝2.2(3)过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有()A．3条B．2条C．1条D．0条[答案] A[解析]由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x30－3x0)，那么切线的斜率为k＝3x20－3，利用点斜式方程可知切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x30－6x20＋7＝0.令y＝2x30－6x20＋7，则y′＝6x20－12x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y＝7＞0；当x0＝2时，y＝－1＜0.结合函数y＝2x30－6x20＋7的单调性可得方程2x30－6x20＋7＝0有3个解．故过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有3 条，故选A.角度二求切点坐标[典题4]若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．[答案](e，e)1[解析]由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，xn)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．角度三求参数的值[典题5](1)若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝()A．－1 B．0C．1 D．2[答案] C[解析]∵两曲线的交点为(0，m)，∴Error!即a＝1，∴f(x)＝cos x，∴f′(x)＝－sin x，则f′(0)＝0，f(0)＝1.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0，∴a＋b＝1.1(2)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x上存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是2- 7 -________．[答案][2，＋∞)1[解析]∵f(x)＝x2－ax＋ln x，21∴f′(x)＝x－a＋.x∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，1∴x＋－a＝0有解，x1∴a＝x＋≥2(x＞0)．x[点石成金] 1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．2．已知斜率k，求切点A(x0，f(x0))，即解方程f′(x0)＝k.3．(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.[方法技巧] 1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即[f(x0)]′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．[易错防范] 1.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．2．利用公式求导时，要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，但直线不一定是曲线的切线；同样，直线是曲线的切线，但直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过点(0,0)的切线y＝0的两侧．真题演练集训- 8 -1．[2014·大纲全国卷]曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2e B．eC．2 D．1答案：C解析：y′＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0 B．1C．2 D．3答案：D1解析：y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.x＋13．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．答案：y＝－2x－11解析：由题意可得，当x>0时，f(x)＝ln x－3x，则f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，则在x点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.答案：1－ln 2解析：设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x21＋1))，则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，x11y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，x2＋11 1 x2化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，x1 x2＋1 x2＋1依题意，得Error!1解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.215．[2015·陕西卷]设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂x直，则P的坐标为________．答案：(1,1)1 解析：y′＝e x，曲线y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)x- 9 -1 1 1的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)．因为两切线x2 x m2垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．课外拓展阅读求解导数问题最有效的两种解题方法方法一公式法利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是：第一步，用公式，运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导；第二步，得结论；第三步，解后反思．π[典例1][改编题]求函数y＝sin2( 3)的导数．2x＋[思路分析]ππ( 3)]′[解]解法一：y′＝2sin2x＋3)[sin(2x＋πππ( cos ·′＝2sin2x＋3) (2x＋3 )3) (2x＋ππ(2x＋cos 3 )＝4sin3) (2x＋2π(4x＋3 ).＝2sinπ 解法二：设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，3则y′＝y u′·u v′·v x′＝2u·cos v·2＝4sin v cos v- 10 -ππ＝4sin (2x＋3)cos(2x＋3 )2π＝2sin(4x＋.3 )温馨提示当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏．方法二构造法有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是：第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，或构造一个新的函数；第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导；第三步，得出结论．[典例2]证明：当x＞1时，有ln2(x＋1)＞ln x·ln(x＋2)．[思路分析]ln x＋1[证明]构造辅助函数f(x)＝(x＞1)，于是有f′(x)＝ln xx ln x－x＋1ln x＋1.x x＋1ln2x因为1＜x＜x＋1，- 11 -所以0＜ln x＜ln(x＋1)，即x ln x＜(x＋1)ln(x＋1)．则在(1，＋∞)内恒有f′(x)＜0，故f(x)在(1，＋∞)内单调递减．又1＜x＜x＋1，则f(x)＞f(x＋1)，ln x＋1ln x＋2即＞，ln x ln x＋1所以ln2(x＋1)＞ln x·ln(x＋2)．技巧点拨要证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＞0，则F(x)在(a，b)内是增函数，同时F(a)≥0，则有x∈(a，b)时，F(x)＞0，即证明了f(x)＞g(x)．同理可证明f(x)＜g(x)．但要注意，此法中所构造的函数F(x)在给定区间内应是单调的．混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误15[典例3]若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a＝()425 21A．－1或－B．－1或64 47 25 7C．－或－D．－或74 64 4[易错分析]没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错．[解析]因为y＝x3，所以y′＝3x2，设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，则在该点处的切线斜率为k＝3x20，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x20x－2x30.3又点(1,0)在切线上，所以x0＝0或x0＝.215 25当x0＝0时，切线方程为y＝0，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；4 643 27 27 27 27 15当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－2 4 4 4 4 41.25综上，a的值为－1或－.64- 12 -[答案] A易错提醒1．对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．2．对于已知的点，应先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．- 13 -。

关键能力—考点突破
答案：D
2．[2022·四川省南充市测试]已知函数f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f(e)＝ ()
A．－e B．e C．－1 D．1
答案：C
0
1
y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.
反思感悟
[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化 简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇 到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导 法则，减少运算量．
D x－y＋2＝0或4x－y－4＝0
答案：B
反思感悟 求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再 让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数 解析式求出切点的纵坐标．
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标，列出切线 方程，将切点代入曲线方程，已知点代入切线方程联立方程求出切点 坐标．
三、必练4类基础题 (一)判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5) 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 P(x0 ， y0) 处 的 切 线 与 过 点 P(x0 ， y0) 的 切 线 相 同．( × )
答案：D
f′(x)＝________ f′(x)＝________
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

第十四板块选修1-1 第三章 导数及其应用【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:高等数学中的微积分知识设置在中学课本中是新课标的一个创举，它对于解决一些初等数学问题提供了一种简捷方便的解法，也是选修内容中较为重要的内容．导数以及其应用的广泛性，不仅为我们所学过的函数问题提供了一般性的方法，而且还可以简洁地解决一些实际问题．本单元的主要知识点有：导数产生的背景、导数的概念、导数的运算法则，应用导数探求函数的单调性、极值，及在给定闭区间上的最值．熟记导数的公式、熟练运用导数研究函数的性质，是本单元的重点．命题趋向: 1.高考中主观题和客观题中都可能出现，难度属容易题和中档题为多．导数在其中主要扮演工具的角色．特别是把实际问题转化为函数，然后再用导数作为工具处理是高考的热点．2.新课标导数在高考中的位相当重要,客观题主要考查导数概念、导数的几何性质、函数曲线的切线方程等内容；综合题考查了导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用.高考命题中也同时凸现了导数的思想及其丰富内涵，导数在解决实际问题中的作用及导数的工具性作用，发展考生的数学思维能力．状元心得:1.导数给高中数学注入了新的活力，同时导数作为高等数学的重要工具,是同学们后继学习的重要基础.因此导数的应用理所当然将成为高考试题的热点.在高考复习中，导数的应用应引起同学们的高度重视.2.利用导数求函数的最值,在解决实际问题时十分有用.特别是在实际问题中,如果可以断定可导函数有定义域开区间内存在最值,且函数在这个开区间内只有唯一的极值点,那么可以断定,这个极值点的函数值就是最值.3.导数的出现,可使我们透彻认识曲线的切线,导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率,这也为我们研究曲线切线的有关问题提供了一条重要途径.4.应多阅读有关资料，了解微积分创立的时代背景和有关人物，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值.学科知识体系结构图:第一节 变化率与导数、导数的计算【考点点知】知己知彼，百战不殆导数的概念和运算，是导数应用的重要前提，从新课程标准对本部分内容的要求以及新高考试题来看，高考对本部分内容的考查主要采用客观题的形式，题目难度为容易题和中等题，其中主要以导数的运算为考查重点．虽然本部分内容的试题难度较低，但其基础性不容忽视，应加强复习．考点一: 导数的概念 1.平均变化率：对于函数()y f x =，P(x 0,y 0)是函数图象上一点，11(,)Q x y 是图象上另一点，自变量x 从x 0变化到1x 时，相应的函数值则由y 0变化到1y ，其中1x －x 0叫做自变量x 的增量，记为Δx ，1y －y 0叫做函数的增量，记为Δy ，则Δy ＝1y －y 0＝10()()f x f x -，因此，求解有关变化率问题，必须搞清函数值是的变化是如何变化的.2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝21()()f x f x -； (2)计算平均变化率2121()()f x f x y x x x -=- . 3.曲线的切线设函数y =f (x )的图象C 上一点P(x 0,y 0)及邻近一点Q(x 0+Δx ,y 0+Δy ),过P 、Q 作C 的割线PQ,那么割线PQ 的斜率为ΔyΔx .当点Q(x 0+Δx ,y 0+Δy )沿着曲线逐渐向P(x 0,y 0)接近时割线PQ 将绕着点P 逐渐转动,当Q 沿曲线无限地接近P,即Δx →0时,如果割线有一个极限位置PT,那么直线PT 叫做曲线在P 点的切线,割线PQ 的斜率的极限就是曲线在点P 处的切线的斜率,即：切线斜率k =0limx ∆→ΔyΔx =0lim x ∆→f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ,切线方程为:y -y 0=k (x -x 0).4.瞬时速度物体做直线运动时,设物体的运动方程(位移公式)为:S =s (t ).如物体在时刻t 0时位于s (t 0),在时刻t 0+Δt 时位于s (t 0+Δt ),相应地,从t 0到t 0+Δt 这段时间内,物体的位移是:Δs =s (t 0+Δt )-s (t 0),那么,位置增量Δs 与时间增量Δt 的比,就是这段时间内物体的平均速度v ,即v =ts∆∆.当Δt →0时,v 的极限就是物体在时刻t 0的瞬时速度,即:v =0lim t ∆→v =0lim t ∆→t s∆∆=0lim t ∆→00()()f t t f t t∆∆+-.5.导数的概念一般地，函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是0limx ∆→f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =0lim x ∆→ΔyΔx，我们称它为函数y =f (x )在x =x 0处的导数，记作f ´(x 0)或y´|x=x 0， 即f ´(x 0)=0lim x ∆→f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内的每点处都有导数,此时对于每一个x ∈(a ,b ),都对就着一个确定的导数f ´(x ),从而构成了一个新的函数f ´(x ),称这个函数f ´(x )为函数y =f (x )在开区间内的导函数,简称导数,也记作y ´,即f ´(x )=y ´=0lim x ∆→ΔyΔx =0lim x ∆→f (x +Δx )-f (x )Δx .6.导数的几何意义函数y =f (x )在x =x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P(x 0,f (x 0))处的切线的斜率,即k=f´(x 0).相应地,切线方程为y -y 0=f ´(x 0)(x -x 0).考点二: 几种常见函数的导数 常用函数的导数公式: c ´=0(c 为常数); (x m )´=mx m -1(m ∈Q); (sin x )´=cos x ; (cos x )´=-sin x ; (e x )´=e x ; (a x )´=a x ln a ;(ln x )´=1x ; (log a x )´=1x log a e .考点三: 函数和、差、积、商的导数 导数的运算法则:)0)(()]([)()()()(])()(.[3;)()()()()]()(.[2;)()()]()(.[12/////////≠-=+=⋅±=±x g x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f (1)和或差的导数:两个可导函数和或差的导数等于两个函数导数的和或差.(2)积的导数:两个可导函数积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第二个函数的导数乘以第一个函数.(3)商的导数:两个可导函数商的导数等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方.考点四: 复合函数的导数(理)复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积.即:设)(),(x g u u f y ==,则()()x y f u g x '''=⋅【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007宁夏卷理科10)曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e思路透析:由已知条件可得11221()2x x y e e ''==, 当4x =时, 1242122ek e ⨯==,∴过点(24,e )的切线方程为22(4)2e y e x -=-, 分别令0,0x y ==可解得切线在两坐标轴上的截距分别为2e -, 2 , ∴切线与坐标轴围成的三角形的面积221|||2|2S e e =⨯-⨯=, 故应选D. 点评:考生解题中易出现的错点有两个,一个曲线的切线斜率不正确,二是切线方程的求解及在坐标轴上的截距求解错误.解题中要注意按规定的步骤依次进行,按题意的顺序求解,注意函数与方程间的关系及整体思想的应用.例2.(基础·2006湖北文)半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1， ○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数． 对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： ○2 ○2式可以用语言叙述为： 思路透析:（34πR 3）`＝4πR 2， 用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数．点评:从平面到空间,可以通过公式间的相互关系进行猜想,球的体积公式与表面积公式存在着导数关系.本题考查了从平面到空间的数学理论的类比,考查了考生的类比能力及推广应用数学知识的能力、归纳猜想的数学素养及数学直观意识.例3.(综合·2005湖南)设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（ ）A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx思路透析:x x f x f x x f x f x x f sin )()(,cos )()(,sin )(12010-='=='==,.,sin )()(,cos )()(3423⋅⋅⋅='=-='=x x f x f x x f x f 由此继续求导下去，四个一循环，又2005.cos )()(1501412005x x f x f ，='=⋅⋅⋅=÷所以余故选C.点评:按顺序依次求导数,四个导数求出后,后面的规律自然就出现了.求函数导数的方法有两个：①用导数定义求，②用常见函数的导数公式和求导法则求，一般来说第二种方法更好.例4.(综合·2007湖南理)曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 .思路透析:由两曲线联立方程组可解得交点坐标为(1,1).又2211(),()2y y x x xx''''==-==, 则以P(1,1)为切点的曲线1y x=上的切线方程为1(1)y x -=--,与x 轴交于点A(2,0) ;以(1,1)为切点的曲线2y x =上的切线方程为12(1)y x -=-,与x 轴交于点B(12,0) ,∴111||(2)1222ABP P S AB y ∆=⋅=⨯-⨯=34.点评:先对两个曲线方程对应的函数求导,得出将点处的两条件切线方程,分别求得其与x 轴的交点坐标,即可得三角形的面积.本题考查了曲线的切线方程及导数的几何意义.求两曲线的公切线时，可以先各自设切点得出切线方程，再将两切线方程比较，对应系数成比例.例 5.(创新探究·2007湖北八校联考)已知1()s i n c o s f x x x =+，记2132()(),()(),......,f x f x f x f x ''==1()(),n n f x f x -'=(,2)n N n *∈≥，则122007()()......()222f f f πππ+++=________． 思路透析:由已知可得234()cos sin ,()sin cos ,()cos sin ,f x x x f x x x f x x x =-=--=-+ 5()sin cos f x x x =+,62()()f x f x =,73()()f x f x =, ………, 即得()n f x 为以4为周期的数列. ∵1234()()()()0f x f x f x f x +++=,∴1232007()()()()2222f f f f ππππ+++⋅⋅⋅+=200520062007()()()222f f f πππ++1234()()()()cos sin 1222222f f f f ππππππ=++=-=-=-.点评:本题考查了导数的概念及周期数列的求和、三角函数的周期性问题.求较复杂函数的导数时经常要用复合函数的求导法则，这时，要先将求导函数分拆成由两个函数复合而成，甚至要分拆成三个以及三个以上的函数复合而成，然后分三次及三次以上求导，原则是由外到内.有些函数的求导可先两边取对数，再两边对x 求导.例6.(创新探究·2007大同市调研)已知曲线y =13x 3+43.(Ⅰ)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (Ⅱ)求曲线过点P(2,4)的切线方程.(Ⅲ)求满足斜率为1的曲线的切线方程. 思路透析:(Ⅰ)∵y ´=x 2,∴在点P(2,4)处的切线斜率k =y ´|x =2=22=4, ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.(Ⅱ)设曲线y =13x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0,13x 03+43),则切线的斜率k =y ´|x =x 0=x 02.∴切线方程为y -(13x 03+43)=x 02(x -x 0),即y =x 02·x -23x 03+43.∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x 02-23x 03+43,即x 03-3x 02+4=0,解得x 0=-1或x 0=2.故所求切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0.（Ⅲ）设切点为（00,x y ），故切线的斜率为20k x =＝1，解得01x =±，故切点为5(1,),(1,1)3-， 故所求切线方程为511(1),1(1)333y x y x -=--=+，即360,340x y x y -+=-+=.点评:函数y =f (x )在x =x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P(x 0,f (x 0))处的切线的斜率,即k=f´(x 0).相应地,切线方程为y -y 0=f ´(x 0)(x -x 0).因此求函数对应曲线在某一点处的切线斜率,只要求函数在该点处的导数即可.导数的几何意义建立了导数与解析几何知识的关联,运用导数知识解决相应的解析几何问题,是在知识交汇处命制试题的一个热点. 【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)函数在某点处的导数是用函数的极限进行定义的,由函数在某点处的导数的定义可知:若函数在某点处可导,则函数在该处一定连续.用导数的定义求函数y =f (x )在点x 0处的导数,其基本步骤是:①函数的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);②求平均变化率Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ;③取极限,得导数f ´(x 0)=0limx ∆→f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .(2)关于导函数的概念,可以从以下几个方面理解:①函数y =f (x )在点x 0处的导数f ´(x 0)就是导函数f ´(x )在x =x 0处的函数值,即f ´(x 0)=f ´(x )|x=x 0;②并不是所有的函数都有它的导数; ③导函数f ´(x )与原来的函数f (x )有相同的定义域(a ,b ),且导函数f ´(x )在x 0处的函数值即为函数f (x )在点x 0处的导数f ´(x 0);④区间一般指开区间,因为在其端点处不一定有增量.(3)导数的概念本身就是求函数在某一点处导数的方法之一,而利用可导函数四则运算的求导法则、复合函数的求导法则将一些复杂运算转化为几种常见函数和指数函数、对数函数的求导法则运算,则是更普遍的求导方法.在求函数导数的过程中,首先要注意分析函数的结构和特征,选择恰当的求导法则和公式,然后再进行求导.(4)掌握复合函数的求导方法,关键在于分清函数的复合关系,适当选定中间变量,分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导.复合函数的复合次数为3次或3次以上时,法则仍然适用.比如y =g (u ),u =u (v ),v =v (x ),则y´x =g´(u )·u´(v )·v´ (x ) 2.学以致用:(1)函数2(1)y x =+在x=1处的导数等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5(2)甲乙两个物体沿直线运动的方程分别是3212s t t t =-+和2231s t t =--，则在2t =秒时两个物体运动的瞬时速度关系是A.甲大B.乙大C.相等D.无法比较(3)若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= (4)求下列函数的导数(理)（Ⅰ）2sin(sin )y x = （Ⅱ）1sin xy e=答案:(1)C 解析:y =x 2+2x +1，22y x '=+，∴y 在x =1处的导数等于2×1+2=4．(2)B 解析:'211341v s t t ==-+，'2261v s t ==-，所以在2t =秒时两个物体运动的瞬时速度分别是5和11，故乙的速度大.(3)A 解析:与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A.(4)解析:（Ⅰ） /22/222/cos(sin )(sin )cos(sin )cos ()y x x x x x ==222cos(sin )cos x x x =.（Ⅱ）111sin sin sin ///211111(sin )cos ()cos xx x y e e e x x x x x===-.3.易错分析:(1)对“变与不变”、“曲与直”、“局部与整体”、“近似与精确”、“有限与无限”等对立统一关系认识不清．(2)不能正确理解导数的几何意义．函数在某点的导数的意义就是函数图象在该点的切线的斜率应用不够熟练．(3)应用复合函数求导法则时,要注意弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆.(4)在复合函数求导问题中,要注意区分f ´(u (x ))与[f (u (x ))]´的不同含义.前面是先对f (x )求导,再在导函数中用u (x )代替x ,后者是先在f (x )中u(x )代x ,再对x 求导,一般情况下,两者不相等.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝5处的切线的斜率为A ．－51 B ．0 C ．51D ．5 2.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．123.已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4.设函数()1x af x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M ⊂≠P ,则实数a的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)5.物体在地球上作自由落体运动时，下落距离212S gt=其中t为经历的时间，29.8/g m s=，若(1)(1)limtS t SVt∆→+∆-=∆9.8/m s=，则下列说法正确的是（）A.0～1s时间段内的速率为9.8/m sB.在1～1+△ts时间段内的速率为9.8/m sC.在1s末的速率为9.8/m sD.若△t＞0，则9.8/m s是1～1+△ts时段的速率；若△t＜0，则9.8/m s是1+△ts～1时段的速率．6.设曲线12+=xy在其上任一点),(yx处的切线的斜率为)(xg，则函数xxgy cos)(=的部分图象可以为A．B．C．D．二、填空题:7.()f x'是31()213f x x x=++的导函数，则(1)f'-的值是．8.设0a>，2()f x ax bx c=++，曲线()y f x=在点00(,())P x f x处切线的倾斜角的取值范围为[0,4π，则点P到曲线()y f x=对称轴距离的取值范围为.9.设函数())(0)f xϕϕπ=+<<，若()()f x f x'+是奇函数，则ϕ=10.对正整数n，设曲线)1(xxy n-=在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为n a，则数列}1{+na n的前n项和的公式是.三、解答题:11.求函数的导数(Ⅰ)y=(x2－2x+3)e2x(Ⅱ)y=31xx-.12.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.13.已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.14.已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.【能力训练】参考答案一、选择题:1. B2. A3. B4. C5. C6. A二、填空题:7. 3 8. 1[0,]2a 9. 6π 10. 122n +- 三、解答题:11.解析:(1)注意到y ＞0,两端取对数，得ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2x 22222222222221(23)222(2)222323232(2)2(2)(23)2(2)2323x x x x x x x y y x x x x x x x x x x y y x x e x x e x x x x '-+--+'∴⋅=+=+=-+-+-+-+-+'∴=⋅=⋅-+⋅=-+⋅-+-+ (2)两端取对数，得ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |),两边解x 求导，得11111111(),313(1)3(1)y y y y x x x x x x -''⋅=-=∴=⋅⋅=---12. 解析:设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1.4 m 时，t 0=157341=⋅,又s ′=－21 (25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t 29251t -, 所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0.875(m/s).13. 解析:由l 过原点，知k =00x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴00x y =x 02－3x 0+2,y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2,又k =00x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23,由x ≠0,知x 0=23,∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83 ∴k =00x y =－41,∴l 方程y =－41x 切点(23，－83). 14.解析:设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2)对于C 1：y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①对于C 2：y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2), 即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0 ∴直线l方程为y=0或y=4x－4.。

0 f′(x)＝________
－ αxα 1 f′(x)＝________
cos x f′(x)＝________
－sin x f′(x)＝________ ex f′(x)＝________
a ln a f′(x)＝________
x
f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1)
π ，0 2
处的切线的倾斜角
导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错．
2 6 x (1)若函数f(x)＝2x ＋a ，则f′(x)＝________.
3
2பைடு நூலகம்
解析：本题易出现一种求导错解：f′(x)＝6x2＋2a，没弄 清函数中的变量是x，而a只是一个字母常量，其导数为0.
1－xln x ln x y′＝ xex (2)函数y＝ x 的导函数为______________ ． e
考点2
导数运算的应用
[典题2]
(1)[2017· 吉林实验中学高三]函数f(x)的导函数
f′(x)，对∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln 2)＝2，则满 足不等式f(x)>ex的x的范围是( C A．(1，＋∞) C．(ln 2，＋∞) B．(0,1) D．(0，ln 2) )
[解析] >0，
函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ fx＋Δx－fx lim 为f(x)的导函数． Δ x Δ x→0
2．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)＝C(C为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0，a≠1) 导函数
fx f′xgx－fxg′x (3) (g(x)≠0)． 2 ′＝ g x [ g x ]