反比例函数与面积问题(成都市东湖中学九上数学)

【初中数学】反比例函数策略三——面积问题与面积法

反比例函数策略（三）

——面积问题与面积法

王 桥

这一篇文章早都该写了。因忙于修订《春季攻势》，今天略得小闲，续写《反比例函数策略（三）——面积问题与面积法。

在《沙场秋点兵》曾经有专门一讲，是讲述“反比例函数中的面积问题”的。而对于“面积法”，更绝非一篇文章能够阐述得了的，只能是“后悔”“有期”了。今天只谈与反比例函数“自带”的“面积模型”和与反比例函数相关的“面积法”。

一、反比例函数中的“面积模型”

反比例函数是“自带”“面积模型”的！

常言：“龙生龙，凤生凤”，发比例函数一旦诞生，就“自带”贵族气质——“自带”“面积模型”。反比例函数就是这么“任性”！

（一）反比例函数图像上的坐标矩形与坐标三角形的面积（以下部分内容选自《沙场秋点兵》）

1、如图1，若反比例函数解析式为y=x/k，则；S矩形OBAC=|k|；

2、如图2，若反比例函数解析式为y=x/k，则；S△OAB=1/2·|k|。

关于这两个结论的证明，自然不用赘述，关于这两个结论的灵活应用，则更是仪态万千，手头有《沙场秋点兵》的话，上面有许多练习，自己练练。也可从本公众号找到去年推送的文章——反比例函数中的面积问题》自己打印练习......

（二）反比例函数中的三角形与等积梯形

1、如图3，若反比例函数解析式为y=k/x，则；S△OAB=S梯形BCDA；

2、如图4，若反比例函数解析式为y=k/x，则（1）S△OAB=S梯形CDEA；（2）

CD2=EB·EA；

这两个结论，其实是前面结论的更进一步，但是，已经有些同学不太好理解了。其证明如下：

1、如图3，易知S△BOC=S△AOD=1/2·|k|，∴S△AOM=S梯形ADCM，∴S△BOM+S△ABM=S梯形ADCM+S△ABM，即S△AOB=S梯形BCDA；

2、如图4，易知S△COD=S△BOE=1/2·|k|，∴S△COM=S梯形BEDM，则（1）S△COM+S△梯形ABMC=S梯形BEDM+S梯形ABMC，即S△AOB=S梯形BEDM；（2）易知CD·OD=BE·OE，∴BE:CD=OD:OE=CD:AE，即CD2=EB·EA。

1 专题、反比例函数中的面积问题

一、反比例与矩形面积的关系

1、如图，若过双曲线0kxky上一点yxP,作xPA于A点，

作yPB于B点，则矩形PABO的面积为kxyyxPBPAS.

2、k的几何意义

对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，

可得出对应的面积的结论为：

结论1：如图1，在直角三角形ABO中，kSAOB21；

结论2：如图2，在矩形ABOC中，kSOABC矩形；

结论3：如图3，在ABM中，xAM轴，kSABM；

结论4：如图4，在ABC中，xBCyAC//,//，则kSABC2；

结论5：如图5，ACEBPEOACBOAPBSSSS△△梯形梯形），（）（21；

结论6：如图6，xPA轴，xCD轴，2211,,,yxCyxP，

则2222121xxyyADCDPASSPADCOPC高下底上底梯形△；

二、中点坐标公式

（1）在平面直角坐标系上，点11,yxA与点22,yxB的中点是00,yxC，则02102122yyyxxx. 图4 图5 图6 图3 图2 图1 2 考点一、已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k） 例1、(1)如图1，直线OA与反比例函数0kxky的图象在第一象限交于A点，xAB轴于点B，OAB的面积为2，则k ．

（2）如图2，已知双曲线0xxky经过矩形OABC的边BCAB,的中点EF,，且四边形OEBF的面积为2，则k ．

如图，矩形ABOD的顶点A是函数xky与函数1kxy在第二象限的交点，xAB轴于yADB,轴于D，且矩形ABOD的面积为3．

（1）求两函数的解析式．

（2）求两函数的交点CA,的坐标．

（3）若点P是y轴上一动点，且5APCS，求点P的坐标．

万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题

万能解题模型(一)：反比例函数中的面积问题

类型1：单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积

设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点

$A(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，点 $P(x_1,0)$ 为

$A$ 点向 $x$ 轴作垂线段的底部交点，则 $\triangle AOP$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1y_1$，同时 $\triangle ABC$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1\cdot\frac{k}{x_1}=\frac{1}{2}k$，因此

$\triangle AOP$ 和 $\triangle ABC$ 面积的比值为

$\frac{S_{\triangle AOP}}{S_{\triangle

ABC}}=\frac{\frac{1}{2}x_1y_1}{\frac{1}{2}k}=\frac{y_1}{k}$，即 $S_{\triangle AOP}=|k|\cdot S_{\triangle ABC}$。

类型2：单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积

设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点

$P(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，$AC$ 和 $DE$ 分别为

$P$ 点向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段的线段，$B$ 点为 $AC$ 和

$DE$ 的交点，则四边形 $PMON$ 的面积为 $S=|x_1y_1|$，同时四边形 $ACDE$ 的面积为

$S=\frac{1}{2}|x_1|\cdot|y_1|=\frac{1}{2}S_{\square PMON}$，因此四边形 $PMON$ 和四边形 $ACDE$ 面积的比值为

$\frac{S_{\square PMON}}{S_{\square

ACDE}}=\frac{2S}{|x_1|\cdot|y_1|}=2|k|$，即 $S_{\square

1 成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题————二次函数中的面积计算专题导学

例:已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C点，顶点为P，

（1）S△ AOC=____________、S△ BOC=_______ （2）S△ COP=_______ 、 S△ PAB=_______

（3）S△ PCB=_______ 、S△ ACP=_______

一、运用2铅垂高水平宽S

例：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B。

（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝S△CAB ，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

练1、 在平面直角坐标系中，有两点A（-1，0），B（3，0），如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值。

练习2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段 2 OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

二.运用y

例1、如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．