对数函数图像与性质

一般地,函数y = loga x(a＞0,且a≠1) 叫做对数函数.其中 x是自变量.
注意:对数函数对底数的限制条件：
a＞0,且a≠ 1 函数的定义域是（0,+∞）.
例.画出函数 y log2 x与y log1 x的图象 .
x …
1 8
1 4
1 2
2
1 0 0
2 1 -1
4 2 -2
8 3 -3
( 3) log a 5.1, log a 5.9(a 0, a 1)
归纳总结
问题. 两个同底数的对数比较大小的 一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性； ③比较真数大小，然后利用对数函数的 增减性判断两对数值的大小．
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
(1) log0.5 6______ log0.5 4
例题讲解
例1 求下列函数的定义域:
(1) y log a x
2
( 2) y log a (4 x )
( 3) y log a (9 x )பைடு நூலகம்
2
问题:对于具体函数式求定义域该如何 考虑？
例题讲解
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log 2 3.4,log 2 8.5
(2) log 0.5 1.8,log 0.5 2.7
课前复习
一、对数的运算性质：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
(1) loga (M N ) loga M loga N
M (2) log a log a M log a N N n (3) loga M n loga M (n R)

联系。
小结：
01
对数函数的图像与性质
利用对数函数的性质解决有关 问题
02
l o g 2 0 . 6 ＞ l o g 2 0 . 8
3
3
l o g 1 .5 6 ＜ l o g 1 .5 8
log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
log1.5 m ＜ loA组 3,4
思考题： 对比对数函数与指数函数的图 像与性质，找出他们的区别和
求解对数函数定义域问题的关键是要求
总 真数大于零，当真数为某一代数式时， 结 可将其看作一个整体单独提出来求其大
于零的解集即该函数的定义域。
例题讲解（二）
例2：比较下列各组中，两个值的大小 ：
（1） （2）
lloogg203.7与1.6lo与g2l3o.5g
0.7
1.8
比较两个同底对数值的大小时，
总 结
首先观察底是大于1还是大于0小于1 （大于1时为增函数，大于0且小于1 时为减函数）；再比较真数值的大小
；最后根据单调性得出结果。
(3) log34与 log43 (4) log32与 log20.8
总 结
当不能利用对数函数的单调性进行比较 时,可在两个对数中间插入一个中间数(如1
或0等),间接比较上述两个对数的大小。
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对数函数的图像及性质
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对数函数的定义
一般地，形如y= logax(a＞0,且a≠ 1)的函数 叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域 是(0 ,+∞).
注：(1) logax 的系数为1； ② 底数是不为1的正数； ③ 真数只含自变量x,而且x>0

3
讲解范例 例2：求下列函数的定义域： ①y=logax2 ②y=loga(4-x)
解： ①要使函数有意义，则
x 0
2
x 0
∴函数的定义域是{x|x≠0} ② 要使函数有意义，则
4 x 0 x 4
∴函数的定义域是{x |x<4 }
学习函数的一般模式（方法）： 解析式（定义） 图像
y
x =1
y l oga x ( a 1)
0＜a＜1
y
X
x =1
图 象 性
O
(1,0)
(1,0)
O
y l oga x ( 0 a 1)
X
定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R
质 定 点: (1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
增函数 在(0,+∞)上是 减函数 在(0,+∞)上是：
log53 < log55 =1
得:log 35
>
log 53
> log 20.8 < 得:log 32 >
0 0 log 20.8
方 法
当底数不相同，真数也不相同时，
常需引入中间值 或 (各种变形式）.
0 1
练习1：比较大小 ① log76
< >
1
1
② log0.53
<
1
③ log67
④ log0.60.1
列 表 描 点
连 线
X
1/4
1/2
1
2
4
…
y=log2x
-2
-1
0
1
2
…
y 2
1
0

log0.5 6 ＞ log0.5 8 log0.5 m＞ log0.5 n 则 m ＜ n
log2 0.6 ＞ log 2 0.8 log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
3
3
log1.5 6 ＜ log1.5 8
log1.5 m ＜ log1.5 n 则 m ＜ n
比较下列各组中两个值的大小:
∵5.1<5.9
∴ loga5.1 < loga5.9 ②若0<a<1则函数在区间（0，+∞）上是减函 数； ∵5.1<5.9
∴ loga5.1 > loga5.9
注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论
即0<a<1 和 a > 1
你能口答吗？ 变一变还能口答吗？
log10 6 ＜ log10 8 log10 m＜ log10 n 则 m ＜ n
在(0,+∞)上是 增函数 当x>1时， y>0
质 当x=1时， y=0
当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是 减函数
当x>1时， y<0 当x=1时， y=0 当0<x<1时，y>0
图 形
补充 性质 一 补充 性质 二
y
y=log 2 x
y=log 10 x
01
x
y=log 0.1 x
y=log 0.5 x
y
log28.5
y = log2 x
考察函数y=log 2 x , ∵a=2 > 1,
log23.4
0 1 3.4 8.5 x
∴函数在区间（0，+∞） 上是增函数；