6、尾数和余数

二、完全平方数的特征
有些题目需要判断一个或几个数是否是平方数，能用的方法有下面 3 个，但一定要记住，尾数和余数特征是多用来判断数不是平方数的，也就 是说满足了这些特征只能说这个数有可能是平方数，不满足就一定不是平 方数；而因数特征才是判断一个数是完全平方数的根本方法！也就是说， 满足因数特征的就一定是平方数，不满足的就一定不是。
3. 范围判断
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数，这个判断方法需要大家 多背一些平方数。
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五年级春季知识点总结
吴超超
4. 因数特征——偶指奇约
⑴完全平方数分解质因数：每一个质因数的指数都必须是偶数！ ——判断一个数是完全平方数的根本方法 ⑵完全平方数的因数个数：奇数个。 （反之，其他数的因数一定有偶数个）
三、练习题
【练习 1】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是______的平方．
【练习 2】写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数．
【练习 3】从 1 到 100 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少 个？
五年级春季知识点总结
吴超超
第八讲 完全平方数
完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约 数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯 赛和小升初试卷中的一个热点。
一、完全平方数的定义
完全平方数：自然数的平方，也简称为平方数。 注意：完全平方数一定是自然数，也一定可以拆分成两个相同自然 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数， 则 a 的最小值是________．
【练习 5】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上 述条件的最小的正整数．

除法口算口诀训练除法是数学中的基本运算之一，它在我们日常生活中随处可见。

掌握好除法口算口诀对于提高计算速度和准确性有着重要的作用。

接下来，我将为大家介绍一些除法口算口诀的训练方法，以帮助大家更好地掌握除法运算。

一、整除口诀整除是除法运算中的一种特殊情况，它的口诀是：“除数被除尽，商数为1”。

也就是说，如果除数能够整除被除数，那么商数就是1。

例如，8除以8等于1，40除以40等于1。

这个口诀可以帮助我们快速判断一些简单的整除问题。

二、尾数口诀尾数口诀是指在除法运算中，被除数除以除数得到商数后，剩下的未被除尽的数叫做尾数。

尾数口诀可以帮助我们确定尾数的大小。

1. 第一位尾数口诀：“小数”是指被除数的第一位小数。

如果第一位小数小于除数，那么商数的第一位是零，尾数的第一位就是这个小数。

例如：23除以5的商是4余3，商数的第一位是4，尾数的第一位是3。

2. 第二位尾数口诀：“余数”是指尾数的第一位数与除数的乘积再除以10的结果，即余数等于(尾数的第一位数 ×除数) / 10。

如果余数小于除数，那么商数的第二位是零，尾数的第二位就是这个余数。

例如：23除以5的商是4余3，余数是(3 × 5) / 10 = 1，商数的第二位是0，尾数的第二位是1。

三、进位口诀进位口诀是指在长除法运算中，每一位的计算结果超过9时，需要将余数向前一位进位，再进行下一位的运算。

1. 向前一位进位：如果计算某一位的结果超过9，那么需要将该位的十位数加上1，并将余数减去除数的十倍。

例如，在68除以7的运算中，当计算到个位时，结果是6，超过了9，需要向十位进位，此时十位加上1，余数减去7的十倍，即68减去70，得到-2。

对于下一位，我们将-2当作被除数继续进行运算。

2. 逐位进位：当第一次进位后，对于后续的每一位，我们在计算时需要将十位上的进位值加到当前位上。

例如，在68除以7的运算中，第一次进位后，余数变为-2，此时我们在计算十位时需要将进位值-2加到被除数的高位上，即68的十位加上-2，得到6-2=-8。

考试中出现的余数问题的类型济南分校-杨东时余数同余问题是数学运算考察的传统重点，也是难点题型。

虽然近年来考察有所减弱，但对于基础知识与基本题型方法的掌握扔不可轻视。

行测考试数学运算中余数问题侧重考查考生的逐步分析能力。

在解答余数问题时需要考生充分利用相关知识点排除不可能的情形，这需要考生具备比较高的分析能力。

下文用真题为例，说明余数问题的解题思路。

按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类：代入排除类型、余数关系式和恒等式的应用、同余问题、同余问题的延伸。

一、代入排除类型【例1】学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。

如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( )A.102B.98C.104D.108【讲解】对于余数问题我们可以优先考虑代入排除法。

直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，选项108满足条件，因此选择D选项。

【例2】在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少?( )A.237B.258C.279D.290【讲解】对于余数问题我们可以优先考虑代入排除法。

根据题目可得被除数+除数=319-21-6=292。

直接代入选项，如代入A项，可得除数为292-237=55，利用被除数=除数乘以商再加余数，这个等式利用尾数法，来快速排除答案。

最后可得选择C选项。

二、余数关系式和恒等式的应用余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数），但是在这里需要强调两点：1、余数是有范围的（0≤余数＜除数），这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。

2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商＋余数。

【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。

1、平方数尾数的性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是
0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位
2．平方数的余数有下面的性质：
⑴偶数的平方被4整除；
⑵奇数的平方被8除时余数为1，因而被4除时余数也为1。

教学目标
1、 掌握平方数的因数与余数的性
质； 2、 初步体会用尾数分析法，因数分
析法，余数分析法解有关整数的问题。

3、 提高分析能力与解题能力。

完全平方数
引入
例1
揿动一次(这时编号为偶数的所有的灯全熄灭
环节二：
环节一： 引入
环节三：例2
环节四：例3
环节五：
平方数尾数的性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

例4
环节五：例5
环节六：
、全课你学到了什么？
【练习1】在100～200之间的整数里，因数个数为奇数的都有哪些？。